Содержание
Введение ............................................................ 5
Глава 1. Аналитический обзор и постановка задач исследования ..............................................................12
Глава 2. Стохастическая модель одномерной ползучести и длительной прочности энергетического типа............................36
2.1. Постановка задачи............................................36
2.2. Выбор и линеаризация одномерной стохастической модели ползучести и длительной прочности.....................................38
2.3. Идентификация параметров стохастической модели при отсутствии первой стадии ползучести.....................................48
2.4. Расчет деформации ползучести по линеаризованной модели
при ступенчатых режимах нагружения...........................55
2.5. Идентификация параметров стохастической модели при наличии трёх стадий ползучести ........................................60
2.6. Выводы по главе 2............................................65
Глава 3. Методы оценки показателей надежности стержневых элементов конструкций и тонкостенных оболочек по параметрическим критериям отказа в условиях ползучести................66
3.1. Постановка задачи............................................66
3.2. Метод оценки надёжности стержневого элемента по деформационному критерию отказа...........................................68
2
3.3. Оценка надёжности стержневого элемента по деформационному критерию отказа с учётом индивидуальных реологических свойств материала по энергетическому варианту теории ползучести .............................................................86
3.4. Динамическая оценка надёжности стержневых элементов конструкций по катастрофическому деформационному критерию отказа с учётом индивидуальных реономных свойств на основе кинетических уравнений Работнова...................................99
3.5. Оценка надёжности стержня по катастрофическому критерию отказа на основании энергетического варианта теории ползучести ............................................................108
3.6. Стохастическая модель ползучести и длительной прочности тонкостенных цилиндрических оболочек в условиях «растяжение — внутреннее давление — кручение».............................112
3.7. Экспериментальная проверка модели в условиях сложного напряженного состояния и оценка надежности тонкостенных оболочек по катастрофическому критерию отказа........................115
3.8. Выводы но главе 3............................................120
Глава 4. Обобщенные стохастические модели ползучести и длительной прочности элементов конструкций...........................122
4.1. Постановка задачи............................................122
4.2. Основные подходы построения обобщенных моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций..................125
4.3. Обобщенная стохастичекая модель толстостенной трубы под действием внутреннего давления....................................134
4.4. Оценка надёжности толстостенной трубы по параметрическим критериям отказа..................................................143
3
4.5. Обобщенная стохастичекая модель сплошного цилиндра в условиях кручения и оценка его надёжности........................152
4.6. Обобщённая стохастическая модель балки в условиях чистого изгиба и оценка её надёжности................................165
4.7. Внедрение ..............................................177
4.8. Выводы по главе 4.......................................178
Заключение......................................................180
Литература......................................................183
Приложение А. Кривые ползучести образцов из стали
12Х18Н10Т.....................................................206
Приложение Б. Кривые ползучести образцов из жаростойкого сплава ЖС6КП.................................................209
4
Введение
Общая характеристика работы. Одними из наиболее ответственных характеристик, влияющих на работоспособность элементов конструкций из реономиых материалов, являются характеристики ползучести и длительной прочности, которые даже в лабораторных условиях имеют большой разброс данных. В большинстве случаев заложенные в основу отраслевых стандартов методических рекомендаций, СНиП и других руководящих документов детерминированные методики и теории игнорируют объективно существующий разброс свойств материала даже при строго калиброванных (фактически - детерминированных) внешних воздействиях и тем самым позволяют описать кинетику лишь некоторой «осреднениой конструкции». Однако и с теоретической, и с практической точек зрения знание поведения «осреднеи-ной конструкции» является недостаточным при решении вопроса о ресурсе конкретных изделий, следствием чего является совершенно необоснованное, ориентированное на апостериорную информацию, назначение численных значений коэффициентов запаса. До настоящего времени отсутствует теоретическое и экспериментальное обоснование составляющих запаса прочности в условиях ползучести, в должной мере не учитывается стохастическая природа реологических характеристик используемых конструкционных материалов. Поэтому обоснованный подход к определению показателей надежности как на стадии проектирования, так и на стадии эксплуатации в силу стохастической неоднородности материала и внешних воздействий возможен только на основе вероятностных подходов и стохастических моделей ползучести и длительной прочности.
Классические стохастические теории ползучести со случайными параметрами и функциями позволяют получить решения, на основании которых, например, на стадии проектирования можно оценить показатели надежно-
5
сти, ориентированные на «генеральную» совокупность однотипных изделий. Поэтому соответствующие математические ожидания деформации, напряжения, времени до разрушения имеют широкую полосу естественного разброса. Очевидно, что такая информация мало что дает для прогнозирования индивидуального поведения (ресурса) конкретной конструкции, приводит к назначению неоправданно высоких значений коэффициентов запаса и, как следствие этого, — существенному увеличению металлоёмкости элементов конструкций.
Очевидно, что классические методы решения краевых стохастических задач на основе стохастической реологической модели практически непригодны для оценки индивидуального ресурса конкретной конструкции, так как полная стохастическая картина для распределения неупругой деформации по области интегрирования отсутствует.
Поэтому для решения такого рода задач необходимо использовать неклассические способы построения индивидуальных стохастических моделей для элементов конструкций.
Вышеизложенное и определяет актуальность тематики диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является разработка обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций и методов оценки показателей надежности по деформационному и катастрофическому критериям отказа, теоретическое и экспериментальное обоснование разработанных моделей и методов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) выполнено теоретическое обоснование и разработан метод построения обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности, позволяющий. в отличие от существующих методов, аналитически выполнить оценку показателей надежности элементов конструкций; предложены обобщенные стохастические модели для конкретных конструктивных
б
элементов в условиях однопараметрического нагружения;
2) разработана методика стохастической линеаризации уравнений состояния материалов и элементов конструкций и выполнена проверка адекватности линеаризованной модели данным численного эксперимента но нслинеари-зованной модели и экспериментальным данным для стержневых элементов, толстостенной трубы под действием внутреннего давления, сплошного цилиндра в условиях кручения, балки при чистом изгибе, тонкостенных оболочек в условиях «растяжение —кручение —внутреннее давление»;
3) разработана методика идентификации параметров обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций;
4) разработаны методы оценки показателей надежности элементов конструкций на основе обобщенных стохастических моделей по параметрическим критериям отказа по схеме назначенного ресурса и выполнена их экспериментальная проверка;
5) предложен метод динамической оценки показателей надежности элементов конструкций с учетом индивидуальных реологических свойств материала при эксплуатации по техническому состоянию, позволяющий, в отличие от существующих методов, повысить ресурс конкретного изделия на 10 - 30%;
6) выполнена оценка тсхиико-экономических показателей методов оценки ресурса по схеме назначенного ресурса и при эксплуатации по техническому состоянию и даны конкретные рекомендации по назначению вероятности безотказной работы для рассмотренных элементов конструкций (стержие-вые элементы, тонкостенные цилиндрические оболочки в условиях «растяжение—кручение—внутреннее давление», толстостенная труба под внутренним давлением, сплошной цилиндр в условиях кручения, балка при
7
чистом изгибе).
Практическая значимость в теоретическом плане заключается в разработке новых обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций и методик оценки показателей надежности на их основе по параметрическим критериям отказа. С прикладной (инженерной) точки зрения разработанные методы позволяют, во-первых, решить ряд важных прикладных задач оценки ресурса типовых элементов конструкций как на стадии проектирования, так и на стадии их эксплуатации, а во-вторых, предложенные методы могут служить основой при разработке отраслевых стандартов, методических рекомендаций и других руководящих документов в области оценки надежности деталей и конструкций в условиях высокотемпературной ползучести и научно обоснованном выборе коэффициентов запаса прочности для ответственных изделий энергетического и аэрокосмического промышленных комплексов.
На защиту выносится:
1) метод построения обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций, позволяющий, в отличие от существующих методов, аналитически выполнять оценку их показателей надежности;
2) методика стохастической линеаризации уравнений реологического состояния материалов и элементов конструкций;
3) методика идентификации параметров обобщенной стохастической модели ползучести и длительной прочности элементов конструкций;
4) методы оценки показателей надежности элементов конструкций на основе обобщенных стохастических моделей по параметрическим критериям отказа по схеме назначенного ресурса;
8
5) метод динамической оценки показателей надежности элементов конструкций с учетом индивидуальных реологических свойств материала при эксплуатации но техническому состоянию, позволяющий, в отличие от существующих методов, повысить ресурс конкретного изделия на 10 -г 30%;
6) результаты новых теоретических и экспериментальных исследований по определению показателей надежности для ряда конструктивных элементов в условиях ползучести (стержневые образцы, тонкостенные цилиндрические оболочки, толстостенная труба, балки, валы).
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность результатов подтверждается адекватностью модельных математических представлений реальному механическому поведению материалов и элементов конструкций в условиях ползучести; корректностью использования математического аппарата, законов механики деформированного твердого тела; сравнением данных расчета по предложенным линеаризованным обобщенным стохастическим моделям элементов конструкций с экспериментальными данными и данными численного решения соответствующих нелииеаризованных краевых задач для рассмотреных элементов конструкций; сравнением данных расчета по предлагаемым моделям с данными расчета по моделям других авторов.
Апробация работы. Результаты научных исследований опубликованы в 15 печатных работах и докладывались на ряде конференций различного уровня: на конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (г. Пермь, 2008 г.), на 4-м Международном форуме молодых ученых (9- й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (г. Самара, 2008 г.), на Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), на между-
9
народной научной конференции молодых ученых по естественным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу— творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2009 г.), на IV Российской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009 г.), на международной научной конференции молодых ученых по естественным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу— творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.), на 5-м Международном форуме молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2010 г.), на VI Российской научно-технической конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2010 г.), на Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.), на Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011 г.), на VII Российской научно-технической конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2012 г.), на симпозиуме с международным участием «Самолетостроение России. Проблемы и перспективы» (г. Самара, 2012 г.), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В. П., 2010, 2011, 2012 гг.).
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-00644-а) и Министерства образования и науки (проект РНП. 2.1.1/3397, проект 1.312.2011).
Внедрение. Результаты диссертационной работы внедрены в ОКБ инженерного центра ОАО «Кузнецов» (г. Самара), использованы в учебном процессе кафедры «Прикладная математика и информатика» СамГТУ и включены в лекционный материал курсов «Реологические модели», «Математические модели механики сплошных сред», «Стохастические модели и теория
10
надежности».
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК, б статей в сборниках трудов конференций и б тезисов докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников из 177 наименований. Работа содержит 205 страниц основного текста, включая 48 таблиц и 23 рисунка, и приложения.
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук В. П. Радченко за постановки задач и поддержку работы, а таже доценту, кандидату физико-математических наук Н. Н. Попову за консультации и постоянное внимание к работе.
Личный вклад автора. Работа [153] выполнена самостоятельно, в основных работах [96, 113] диссертанту принадлежит совместная постановка задач и разработка методов их решения, ей лично принадлежит алгоритмизация, реализация методов в виде программного продукта и анализ результатов. В остальных работах [112, 124, 125, 150-152], опубликованных в соавторстве, автору в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований.
И
Глава 1
Аналитический обзор и постановка задач
исследования
В условиях современного машиностроения возрастают требования к надежности и прочности элементов конструкций, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих реальные свойства материала. Все реально существующие твердые тела обладают определенной структурной неоднородностью. Структурная неоднородность материала существенно влияет на процесс деформирования и разрушения твердых тел, она вызывает ряд механических эффектов, которые не могут быть описаны в рамках классических феноменологических теорий. В последнее время появился ряд новых теорий, в которых в той или иной мере учитывается структурная неоднородность материала. Такой подход представлен в монографиях В. А. Ломакина [77], И. А. Купина [69], В. П. Ставрова, С. Д. Волкова [22, 23], Т.Д. Шермергора [149] и многих других. Анализ различных подходов, реализуемых при построении таких теорий, проведен в работах
A.A. Ильюшина [49], В.А. Ломакина [76, 78]. Общей чертой этих теорий является наличие дополнительных параметров, определяющих состояние среды, и, соответственно, возможен учет некоторых эффектов, обусловленных структурной неоднородностью материала.
Одними из наиболее ответственных характеристик, влияющих на работоспособность элементов конструкций из реономных материалов, являются характеристики ползучести и длительной прочности материалов. Их обычно получают в лабораторных условиях при высокотемпературных испытаниях большого количества образцов. Однако даже в этом случае опытные данные для деформации и времени до разрушения при ползучести имеют, как пра-
12
вило, значительный разброс [3-5. 7, 13, 29, 59, 85, 88, 101, 102, 108, 128, 129]. Кроме того, сам процесс деформирования протекает существенно неравномерно в пределах одного и того же образца [85. 108, 122, 126, 161]. В монографии И. А. Одинга с соавторами [85] приведены результаты испытаний по исследованию пространственной неоднородности деформаций при одноосном напряженном состоянии, а также при совместном действии растяжения с кручением. В работе H. Broberg [161] изучалось изменение скорости деформации ползучести вдоль образцов. Работы А.М. Рекова, A.A. Вайнштейна,
В.Т. Корниенко [126], А. А. Вайнштейна, В. Н. Алехина [15] посвящены экспериментальному исследованию полей микродеформаций на плоских образцах. В работе В. П. Радченко с соавторами [108] детально анализируются случайные одномерные поля деформаций ползучести и пластичности, и на основе большого объема экспериментальных данных установлена некоррелированность деформаций ползучести и пластичности.
Существенную роль в наблюдаемом разбросе экспериментальных данных играет свойственная реальным материалам стохастическая неоднородность, которая обусловлена его поликристаллической или композиционной структурой, наличием неконтролируемых флуктуаций химического состава материала и влиянием на его свойства случайных изменений параметров технологических процессов при изготовлении изделия. Ю.Н. Работнов в работе [101] отмечает, что разброс выходных параметров, достигающий в некоторых случаях из-за случайных свойств материала 20%, не считается при ползучести чрезмерно большим.
Проблемы методов расчёта прочности и надёжности элементов конструкций в условиях неупругого реологического деформирования как по параметрическим, так и по катастрофическим (разрушение) критериям отказа требуют полной информации о реологических характеристиках материалов, которые носят явно выраженный стохастический характер, начиная с атомно-
13
молекулярного уровня и заканчивая уровнем элемента конструкции. Во многих работах (см., например [3, б, 12, 61, 74, 76, 127,129, 131]) отмечалась необходимость построения соответствующих стохастических моделей для расчётов на прочность из-за существенного влияния случайных возмущений механических характеристик материалов на поля деформации и напряжений. Широко используемые для оценки ресурса безопасной эксплуатации элементов конструкции феноменологические теории (в частности, и теории ползучести), как правило, носят детерминированный характер и игнорируют объективно существующий разброс для тех или иных механических характеристик. Поэтому детерминированный метод расчета является первым и (в ряде случаев) недостаточным приближением. Например, эксперимент по результатам длительных испытаний не позволяет получить надежные однозначные выводы и заключения о средних характеристиках длительной прочности.
В условиях такой неопределенности подход к определению долговечности в силу стохастической неоднородности материала возможен только на основе вероятностных методов.
Так, неточности детерминированного расчёта на прочность покрываются, например, назначением коэффициента запаса прочности, который во многих случаях выбирается без достаточных обоснований и не является оптимальным. Это приводит либо к появлению неиспользуемых резервов прочности элементов конструкции, либо к преждевременному их разрушению. Например, в [87] отмечается, что при проектировании элементов конструкций теплоэнергетического оборудования принимается, что расчетный срок службы большинства деталей (корпуса, роторы, паропроводы и др.) составляет 100 тыс. часов. Однако практика эксплуатации показывает, что многие конструктивные элементы после отработки первоначально установленного срока службы сохраняют свою несущую способность и их действительный ресурс значительно превышает расчетный. Так, один из широко распространенных
и ответственных элементов конструкций,— паропроводные трубы, во многих случаях эксплуатируется в течение 250 - 300 тыс. часов, т.е. их остаточный ресурс составляет 150 - 250 тыс. часов. Это, в первую очередь, связано с тем, что применяемая в нормативных документах величина коэффициента запаса является существенно завышенной.
Детерминированные теории ползучести игнорируют существующий разброс опытных данных и описывают лишь поведение некоторой «осредненной конструкции», механические характеристики которой являются осредненны-ми по ансамблю однотипных конструкций величинами. Таким образом, в соответствующих детерминированных соотношениях происходит замена параметров, зависящих от конкретных свойств материала в различных участках конструкции, на параметры, осредненные но всему конструктивному элементу (чаще даже по нескольким аналогичным элементам), то есть в конечном итоге константы полагаются зависящими от «усредненных» параметров материала.
Знание поведения осредненной конструкции является недостаточным при решении вопроса о долговечности конкретных изделий, когда критерием отказа считается локальная деформация (перемещение) заранее заданной величины. так как одна часть изделий может выйти из строя значительно раньше, а другая— позже среднего срока службы. Локальный характер деформации ползучести необходимо учитывать и при оценке надежности по критерию разрушения, так как участок, «склонный» к деформации ползучести, может служить в одних условиях источником концентрации напряжений, а в других он, наоборот, способен уменьшить концентрацию напряжений. Поэтому при решении задач о надежности необходимо учитывать объективно существующий разброс экспериментальных данных и на основании характеристик этого разброса строить стохастические уравнения ползучести.
Однако при построении соответствующих стохастических моделей необ-
15
ходимо учитывать, что структура полей макро- и микронеоднородностей механических характеристик материала различна. Здесь следует отметить, что установлено существенное влияние макронеоднородностей на долговечность но критериям типа допустимых перемещений (деформаций), а микронеоднородностей—на отказы по критерию разрушения.
Проанализируем глобальную картину неоднородностей свойств материала. Следуя подходу Ю. П. Самарина [130], будем считать, что некоторым производителем в течении длительного времени изготавливается металлический пруток. Тогда всю продукцию можно представить как один глобальный стержень, образованный из последовательно изготовленных прутков. Если через х обозначить координату на оси глобального стержня, а через А(х) — исследуемую механическую характеристику материала, то влияние неоднородности качественно будет описываться кривой, изображенной на рис. 1.1. Здесь нетрудно увидеть два вида неоднородностей: макро- и микро- неоднородности.
Рис. 1.1. Схематическое распределение неоднородностей вдоль глобального стержня
Медленные изменения рассматриваемой функции (плавная кривая на рис. 1.1) соответствуют макронсоднородностям материала, обусловленным трендом (постепенным изменением) условий производства, свойств сырья,
16
нестабильностью технологических процессов и т.д. При этом возможны разрывы кривой, описывающей тренд, за счет перехода на новое сырье, измененную технологию и т.п. Указанные разрывы хорошо известны экспериментаторам при сравнении опытных данных, например, на ползучесть образцов различных плавок.
Наряду с трендом, на рис. 1.1 показана быстро осцилирующая кривая, связанная с микроструктурным строением материала. При этом характерные частоты флуктуаций, возникающих за счет микронеоднородностей, будут гораздо выше частот, обусловленных наличием макронеоднородностей. Поэтому для глобального описания неоднородностей можно предложить следующее соотношение:
Здесь функция щ(х) описывает тренд исследуемой механической характеристики, т.с. макронеоднородность, а выражение под знаком суммы - ее мик-роструктурные флуктуации. Функции щ(х) и х) изменяются так же медленно, как и 'ио(ж). Они предназначены для описания тренда амплитуд мик-роструктуриых флуктуаций.
Пусть теперь из глобального стержны вырезан образец длиной I, соответствующий отрезку [а, а + 1] (рис.1.1). При этом предполагается, что величина I значительно больше, чем характерная длина волны микронеоднородностей, Т.е. ЧИСЛО ид.//27Г является большим. С другой стороны, длину I будем считать достаточно малой для того, чтобы зафиксировать тренд. Тогда в (1.1) функции гго(^), щ{х) и тдфт) можно приближенно считать независящими от х(хб[а,а + /]):
х € [а, а 4- /]. (1.2)
к
17
Очевидно, что величины щ{х)) щ(х) и Ук(х) зависит от того места, где вырезан образец, т.е. от величины а (см. рис. 1.1). Если местоположение образцов выбирать случайно, то указанные величины будут восприниматься по отношению к набору образцов тоже как случайные.
С помощью (1.2) нетрудно найти эффективное (среднее) значение исследуемой механической характеристики дли выбранного образца (х Є [а, а + /]):
поскольку числа ад/ считаются большими.
Таким образом, для описания макронеоднородностей достаточно рассматривать лишь величину щ, причем для набора образцов она будет восприниматься при статистическом исследовании как случайная величина, закон распределения которой зависит от формы кривой, выражающей тренд. Другими словами, кусочно-непрерывная функция тренда аппроксимируется кусочнопостоянной функцией на отрезках длиной I (I - длина образца).
В связи с вышеизложенной схемой моделирования стохастических свойств макро- и микронеодпородпостей, выполним анализ существующих подходов построения стохастических моделей неупругого деформирования и разрушения материалов и элементов конструкций, а также методов оценки ресурса на основании этих моделей.
При построении стохастической модели ползучести и длительной прочности на макроуровне для случайной величины /Уо> которая на отрезке [а,а + 1] принимает значение щ, за основу принимаются детерминированные уравнения, в которых часть параметров и функций полагаются случайными. Вопрос выбора случайных параметров выполняется па основе анализа экспе-
—Ук соьи>к{а 4-I) +Ук соэо^а] « щ,
18
риментальных данных для кривых ползучести, полученных при постоянных напряжениях, таким образом, чтобы вариацией этих случайных величин могла быть описана любая экспериментальная реализация (с соответствующей погрешностью).
Выбор феноменологических детерминированных теорий неупругого реологического деформирования и длительной прочности достаточно широк. Здесь можно отметить работы В. И. Астафьева [1, 2], В. В. Болотина [11], Б. В. Горева [26], Ю.И. Кадашсвича и В. В. Новожилова [84], Л.М. Качанова [55], В. Л. Колмогорова [60], Г. Ф. Лепина [71], А. Ф. Никитенко [82],
С.А. Шестерикова и А.М. Локощенко [74], H.H. Малинина [79], Ю.Н. Ра-ботиова [102], В. П. Радченко [103, 105, 109], Ю.П. Самарина и Я. М. Клебанова [132], О. В. Сосиина [136], Г. М. Хажинского [146], С. А. Шестерикова [154], И. Ю. Цвелодуба [147], J.A. Betten [159], J.T. Boyle и J. Spence [160], F. A. Leckie [170] и многих других авторов.
Следует выделить работы, в которых строятся модели, отражающие за-критическое иеупругое деформирование и разрушение материала, и разрабатываются методы решения соответствующих краевых задач. Здесь можно отметить работы В.Э. Вильдемана, Ю.В. Соколкина, A.A. Ташкинова [21], В. Д. Кшошникова, В. А. Ибрагимова [47], A.A. Лебедева с соавторами [70], Р. Г. Шин, В. Л. Каткова [155], В. П. Радченко, Б. В. Небогиной [114],
В. В. Стружанова с соавторами [44, 138-143], P.A. Васина с соавторами [19], Л.В. Никитина [83], Ю.И. Кадашевича и С.П. Помыткина [53], Б.В. Горева и И. А. Банщиковой [25], В. II. Радченко с соавторами [106, 115], А. М. Линь-кова [72], А.Н. Ставрогина с соавторами [137], и многие другие.
Большинство определяющих стохастических уравнений на макроуровне построены в пределах первых двух стадий ползучести. Так, на основе анализа экспериментальных данных в работах H. Broberg, R. Westlung [162, 166] было сделано заключение, что при исполЕ>зовании на стадии установившейся
19
- Київ+380960830922