Панельный флаттер при низких сверхзвуковых скоростях

Оглавление
Введение 11
1. Явление панельного флаттера ................................. 12
2. Механизмы возбуждения флаттера............................... 14
3. Обзор литературы............................................. 17
3.1. Исследования неограниченных пластин..................... 18
3.2. Исследования конечных пластин в точной аэродинамической постановке............................................ 20
3.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории....................................................... 22
3.4. Влияние пограничного слоя............................... 26
3.5. Нелинейные задачи....................................... 28
3.6. Экспериментальные работы................................ 30
3.7. Новые направления в исследованиях панельного флаттера ........................................................ 32
4. Обзор диссертации............................................ 33
1. Неустойчивость безграничной пластины 39
1.1. Постановка задачи и предварительные замечания................ 40
1.2. Вывод уравнений для возмущений............................... 42
2
Оглавление
1.2.1. Уравнение неразрывности.................................. 42
1.2.2. Уравнение импульсов ..................................... 43
1/2.3. Волновое уравнение....................................... 44
1.2.4. Условие непротекания..................................... 45
1.2.5. Уравнение движения пластины.............................. 40
1.2.6. Замкнутая система уравнений ............................. 47
1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны....................... 48
1.3.1. Возмущения типа бегущих волн ............................ 48
1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения .......................... 49
1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства.............. 53
1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины . . . 56
1.3.5. Дальнейшие вычисления.................................... 58
1.3.0. Обоснование корректности вычислений...................... 61
1.3.7. Структура решения ....................................... 63
1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа 04
1.3.9. Переход к безразмерным переменным........................ 06
1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание.................................................. 69
1.4. Устойчивость тангенциального разрыва............................ 70
1.4.1. Метод исследования....................................... 71
1.4.2. Случай 1 ................................................ 75
1.4.3. Случай 2 75
1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей . . 80
1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения............... 82
1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым
вектором................................................. 83
3
Оглавление
1.4.7. Влияние поверхностного натяжения.................... 84
1.5. Исследование устойчивости в общем случае....................... 86
1.5.1. Неустойчивость длинных волн......................... 86
1.5.2. Поведение решений при изменении к................... 90
1.5.3. Случай малых плотностей газов....................... 91
1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании.............. 95
1.6.1. Критерий устойчивости............................... 95
1.6.2. Случай малой плотности газа......................... 97
1.7. Выводы......................................................... 98
2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы 101
2.1. Постановка задачи............................................. 102
2.2. Неустойчивость одномерных систем.............................. 104
2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными
условиями............................................. 105
2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость.......... 109
2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости ... 112
2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости......... 113
2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость................... 116
2.3. Свойства дисперсионного уравнения............................. 118
2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства.............. 119
2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения 121
2.3.3. Источник проблемы.................................. 123
2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений . . 125
2.4.1. Условие неустойчивости............................. 125
2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости . 126
2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение................ 128
4
Оглавление
2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста......................................................... 130
2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста .......................................................... 131
2.4.6. Расположение собственных частот....................... 134
2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр 135
2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений . . . 138
2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6)....................................................... 139
2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения.................... 141
2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения 142
2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае.............. 143
2.6. Односторонняя неустойчивость................................. 146
2.6.1. Условие защемления.................................... 146
2.6.2. Условие опирания ..................................... 147
2.6.3. Свободный край ....................................... 148
2.7. Обсуждение результатов....................................... 149
2.8. Выводы....................................................... 154
3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы 157
3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления .... 159
3.1.1. Источник погрешности.................................. 159
3.1.2. Вывод уравнения движения пластины..................... 160
3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности................ 162
3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций .............................................................. 166
5
Оглавление
3.2.1. Оценка погрешности.................................. 167
3.2.2. Примеры ............................................ 168
3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций ........................................................... 169
3.3.1. Вязкоупругое демпфирование.......................... 170
3.3.2. Конструкционное демпфирование....................... 171
3.3.3. Примеры ............................................ 173
3.4. Влияние покоящегося газа................................... 173
3.5. Выводы..................................................... 176
4. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя 178
4.1. Постановка задачи.......................................... 179
4.2. Дисперсионное уравнение безграничной пластины в потоке газа 181
4.3. Влияние пограничного слоя на усиливающуюся волну........... 184
4.4. Пример: профили ускоряющихся и замедляющихся течений . 188
4.5. Связь дестабилизации пластины пограничным слоем и устойчивости самого слоя............................................ 191
4.6. Влияние пограничного слоя на нейтральные и затухающие волны ............................................................ 196
4.7. Пластина больших, но конечных размеров .................... 197
4.8. Примеры ................................................... 200
4.9. Использованные ограничения................................. 201
4.10. Выводы.................................................... 203
5. Одномодовый флаттер прямоугольной пластины 204
5.1. Постановка задачи.......................................... 205
6
Оглавление
5.2. Условие усиления колебаний пластины ........................... 207
5/2.1. Динамический краевой эффект......................... 208
5.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам........... 210
5.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом .... 214
5.2.4. Построение собственной функции ......................... 216
5.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины . 218
5.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: равномерное усиление ...................................................... 221
5.5. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: неравномерное усиление............................................. 223
5.5.1. Вывод основного уравнения........................... 224
5.5.2. Решение задачи на собственные значения.............. 227
5.5.3. Анализ решения ......................................... 230
5.5.4. О пространственном росте собственных функций .... 233
5.5.5. Общий случай ........................................... 233
5.6. Влияние покоящегося газа................................... 235
5.7. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины............ 235
5.7.1. Алгоритм расчёта ....................................... 236
5.7.2. Флаттер обшивки летательного аппарата............... 240
5.7.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе..................................................... 243
5.8. Выводы..................................................... 251
6. Численное исследование панельного флаттера 253
6.1. Постановка задачи.......................................... 254
6.2. Численный метод............................................ 257
6.2.1. Описание метода решения............................. 257
7
Оглавление
6.2.2. Сходимость численного метода......................... 259
6.3. Асимптотические границы флаттера............................ 262
6.4. Результаты расчётов: шарнирно опёртая пластина.............. 264
6.4.1. Границы устойчивости-........................... 265
6.4.2. Влияние плотности потока ........................... 271
6.4.3. Влияние натяжения пластины на одномодовый флаттер 274
6.4.4. Влияние натяжения пластины на связанный флаттер . 278
6.4.5. Влияние жёсткости пластины....................... 280
6.4.6. Инкременты усиления колебаний и сравнение с асимптотической теорией.......................................... 281
6.5. Результаты расчётов: защемлённая пластина................... 284
6.6. Сравнение границ флаттера с другими работами................ 287
6.6.1. Связанный тип флаттера............................... 287
6.6.2. Одпомодовый флаттер.................................. 288
6.7. Выводы...................................................... 293
7. Вычисление аэродинамического демпфирования 295
7.1. Численный метод............................................. 296
7.2. Двумерная задача............................................ 301
7.2.1. Сходимость........................................... 302
7.2.2. Сравнение с расчётами методом Бубиова-Галёркина и асимптотическими результатами............................... 305
7.3. Трёхмерная задача........................................... 308
7.3.1. Пластина в однородном потоке......................... 309
7.3.2. Влияние пограничного слоя............................ 312
7.4. Выводы...................................................... 313
8
Оглавление
8. Нелинейный одномодовый флаттер пластины 315
8.1. Постановка задачи.......................................... 316
8.2. Результаты исследования линейной устойчивости ............. 319
8.3. Вывод уравнения для амплитуды.............................. 321
8.4. Вычисление давления........................................ 322
8.5. Простые одночастотные колебания............................ 325
8.5.1. Поведение мод, затухающих в линейном приближении . 326
8.5.2. Поведение моды, растущей в линейном приближении . 328
8.5.3. Пример............................................... 330
8.5.4. Поведение пластины при увеличении М.................. 331
8.6. Простые многочастотные колебания........................... 333
8.6.1. Предельные циклы..................................... 333
8.6.2. Условия существования двучастотного предельного цикла ......................................................... 336
8.6.3. Устойчивость предельных циклов ...................... 337
8.7. Многочастотные колебания с внутренним резонансом........... 339
8.7.1. Чётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке 340
8.7.2. Нечётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке ....................................................... 348
8.8. Колебания прямоугольных пластин ........................... 352
8.9. Сравнение амплитуд при одномодовом и связанном флаттере 356
8.10. Выводы..................................................... 358
9. Экспериментальное исследование панельного флаттера 360
9.1. Методика проведения эксперимента........................... 361
9.1.1. Схема эксперимента................................... 361
9.1.2. Описание модели...................................... 364
9
Оглавление
9.1.3. Условия эксперимента................................ 370
9.1.4. Аппаратура и методика измерений..................... 372
9.1.5. Программа испытаний................................. 375
9.2. Методика обработки результатов............................. 378
9.3. Собственные колебания пластины ............................ 381
9.3.1. Экспериментальное определение собственных частот и форм........................................................ 381
9.3.2. Факторы, не контролируемые в эксперименте........... 385
9.3.3. Численное исследование неконтролируемых факторов . 386
9.4. Анализ экспериментальных данных............................ 392
9.4.1. Трансзвуковые режимы работы трубы................... 392
9.4.2. Режим М = 3......................................... 400
9.5. Выводы..................................................... 400
Заключение 404
Литература 410
10
Введение
Введение
1. Явление панельного флаттера
Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Эта задача возникает при изучении явления «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.
Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают
Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б).
при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих
а
б
Т
Рис. 2. Колебание изолированной панели.
возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило,
12
Введение
сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.
Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно непосредственно не приводит к крушению. но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолета и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных американских истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединенного с этой панелью, что привело к крушению. На другой серии истребителей проблема повышенного шумового фона в кабине пилотов была решена после того, как было выяснено, что причиной является панельный флаттер обшивки [1). Возникновение панельного флаттера зафиксировано на гиперзвуковом летательном аппарате North American Х-15. В 1960-е годы серьёзные проблемы с флаттером панелей имелись при разработке ракеты «Сатурн V» американской лунной программы «Аполлон» [1]. Панельный флаттер имел место на американском истребителе F-117A в 1980-х гг: после одного из испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2]. Задача обеспечения устойчивости к флаттеру панелей решалась при проектировании самолёта-разведчика Lockheed SR-71 [3) и истребителя F-22 |4|.
13
Введение
Необходимость предотвращение панельного флаттера возникала при проектировании перспективного гиперзвукового летательного аппарата Х-2000 (ЦИАМ) [5,6]. При этом рассчитывалась как модель самого аппарата, находящегося в гиперзвуковом потоке, так и пилона для стендовых испытаний, находящегося в локально трансзвуковом потоке.
В настоящее время явление панельного флаттера исследовано недостаточно, и его изучение остаётся актуальной задачей. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются и испытываются самолёты с гибкими крыльями, адаптирующимися к условиям полёта, что также требует уменьшении толщины обшивки. Разра.-ботка летательных аппаратов новых геометрических форм, внедрение новых материалов, в том числе композитов, меняет параметры обтекания панелей и их физические свойства, что также может привести к возникновению флаттера. Недостаточно хорошо изученным остаётся флаттер при трансзвуковых и низких сверхзвуковых скоростях.
2. Механизмы возбуждения флаттера
Среди множества явлений, возникающих в поведении аэроупругих и гид-роупругих систем, потеря устойчивости представляет одно из самых опасных явлений, поскольку часто ведет к быстрому разрушению конструкций.
Различают два вида потери устойчивости — статическую (дивергенцию) и динамическую (флаттер). Дивергенция представляет собой статическую деформацию (выпучивание) конструкции, возникающую при преодолении потоком некоторой критической скорости. Флаттером называются автоколебания
14
Введение
системы поток - упругое тело. Причиной и дивергенции, и флаттера является передача энергии потока в упругую среду. Однако, как правило, именно флаттер представляет наибольшую опасность, так как скорости потока, при которых деформации, вызванные диверг енцией, приводят к разрушению, обычно выше скоростей, при которых наступает флаттер.
Рассмотрим произвольную аэроупругую систему и будем считать, что при малых деформациях конструкции изменение потока газа также мало, другими словами будем рассматривать системы, которые при малых возмущениях являются линейными. Для этого, например, достаточно, чтобы течение при колебаниях конструкции было безотрывным. Считая, что колебания (пока амплитуды малы) являются гармоническими и зависят от времени как рассмотрим спектр собственных частот системы. В отсутствии газа они совпадают с собственными частотами конструкции и являются вещественными. В покоящемся газе собственные частоты приобретают отрицательную мнимую часть, поскольку он демпфирует колебания. Будем постепенно увеличивать скорость потока. Тогда возможны два механизма возникновения неустойчивости: одномодовый флаттер (в литературе также встречаются названия «флаттер с одной степенью свободы», «siiigle-degree-of-freedorii flutter», «single mode flutter») и флаттер связанного типа [7, ch. 3, § 3.6) (в англоязычной литературе — «coupled-mode flutter», «coalescence flutter»).
При флаттере с одной степенью свободы демпфирование одного из собственных колебаний со стороны газа сменяется усилением, мнимая часть соответствующей частоты становится положительной (рис. 3, а), и это колебание становится неустойчивым. При этом какого-либо взаимодействия между собственными колебаниями не происходит.
При флаттере связанного типа происходит сближение двух соседних (как
15
Введение
^ 1т со
О
-е е-
Яе со ©--------------©—
О
■ Тш со I б
Яе о
1 , | I ’
Рис. 3. Качественный вид траекторий движения собственных частот колебаний при увеличении скорости потока и потеря устойчивости: при одномодовом флаттере (а), флаттере связанного типа (б). Кружками показаны частоты в отсутствии газа, точками — при флаттере.
правило, первой и второй) собственных частот, слияние и изменение направления их движения: одна уходит в нижнюю полуплоскость, и соответствующее колебание является устойчивым, вторая уходит в верхнюю полуплоскость, и колебание в момент пересечения вещественной оси становится неустойчивым (рис. 3, б). Форма неустойчивого колебания является «смешанной» по сравнению с формами колебаний до слияния частот. Так, при связанном флаттере крыла происходит слияние изгибной и крутильной формы колебаний, а флаттерное колебание имеет вид связанного изгибно-крутильного движения. При панельном флаттере, как правило, сливаются формы колебаний, имеющие одну и две полуволны в направлении потока, а флаттерное колебание имеет переменную длину волны (ббльшую у передней кромки и меньшую — у задней) и амплитуд}' (меньшую у передней кромки и ббльшую у задней).
В теории флаттера крыла возможно возбуждения обоих типов флаттера.
16
Введение
В теории панельного флаттера, где для вычисления давления, действующего на колеблющуюся пластину, как правило, используется поршневая теория [8,9), до сих пор экспериментально был обнаружен и детально исследовался лишь флаттер связанного типа.
Основным результатом настоящей работы является доказательство существования и подробное исследование флаттера пластины с одной степенью свободы. Показано, что он не может быть обнаружен при использовании поршневой теории. Выяснен физический механизм возбуждения колебаний, асимптотическими методами получен критерий флаттера и изучены его свойства. Проведены численные исследования и построены границы устойчивости. Изучено влияние пограничного слоя на границы флаттера. Рассмотрена нелинейная задача и исследованы предельные циклы колебаний. Проведено экспериментальное исследование, подтвердившее возникновение одномодового панельного флаттера на реальной конструкции.
3. Обзор литературы
В приводимом ниже обзоре отмечены ключевые и наиболее интересные, с точки зрения автора, исследования. Подробные обзоры содержатся в работах [10-13), а также книгах [14-16]. В книге [16] имеется обширная библиография по данной теме (более 700 ссылок).
В подавляющем большинстве работ но панельному флаттеру рассматриваются сверхзвуковые скорости потока. В дозвуком потоке основной вид потери устойчивости (наступающий при меньшей скорости) — дивергенция, то есть статическое выпучивание пластины. Это доказано как теоретически, так и экспериментально [17]. Однако, при определённых условиях дивергенция пластины может быть очень слабой, и намного более опасен флаттер, возни-
17
Введение
кающий при больших, но всё ещё дозвуковых скоростях [18|. Неустойчивость в виде флаттера также возникает в случае пластин очень больших размеров, когда упругие и гидродинамические силы имеют один порядок [19|.
Задачи об устойчивости пластины при дозвуковых скоростях и в несжимаемой жидкости возникают не только в авиакосмической области, но и в других областях, например, при производстве бумаги [20|, исследованиях ледяного покрова океана |21), при строительстве плавучих аэродромов и искусственных островов и в биомеханике [22]. Однако, в подавляющем большинстве технических приложений возникновение разрушающего конструкцию флаттера возможно лишь при сверхзвуковых скоростях, поэтому далее в обзоре рассматриваются преимущественно только такие скорости.
3.1. Исследования неограниченных пластин
Как отмечалось выше, первое наблюдение панельного флаттера было сделано в 1944 г., однако первые серьёзные теоретические исследования относятся к 1956 г. Наиболее простым случаем является безграничная пластина она может быть исследована аналитически, поскольку устойчивость в данном случае определяется поведением бегущих волн. Майлз [23] в двумерной постановке рассмотрел задачу об устойчивости безграничной во всех направлениях упругой пластины, обтекаемой с одной стороны однородным потоком невязкого совершенного газа и аналитически получил критерий устойчивости (в главе 1 эта задача рассмотрена с учётом газа, покоящегося с другой стороны от пластины, и показано, что он всегда приводит к дестабилизации системы). В [241 он рассмотрел ту же задачу, но однородный поток газа заменил сдвиговым слоем, моделирующим пограничный слой. Выли получены два важных результата: во-первых, показатель усиления растущих воли при
18
Введение
учёте пограничного слоя уменьшается по сравнению с однородным потоком, и во-вторых, возможен новый тип неустойчивости, связанный с передачей энергии от сдвигового потока к пластине, отсутствующий при однородном течении газа (подробнее влияние пограничного слоя рассматривается в разд. 3.3).
Дауэлл (25] рассмотрел задачу о пластине в однородном потоке, безграничной в направлении течения и ограниченной в перпендикулярном направлении, причём на боковых кромках были выставлены условия опирання. В [26| постановка задачи была усложнена: помимо того, что ширина пластина считалась ограниченной в направлении, перпендикулярном потоку, область течения представляла прямоугольную бесконечно длинную трубу, то есть была ограничена «по высоте». Получены критерии устойчивости и исследована их зависимость от параметров задачи.
Также устойчивость бесконечной пластины исследовалась в (27], в этой работе имеется обширная библиография но устойчивости пластин в потоке газа.
Помимо самостоятельного интереса, задача об устойчивости пластины бесконечной длины изучалась в связи с флаттером конечных пластин, удлинённых в направлении потока. Для таких пластин метод Бубнова-Галёрки на, обычно применяющийся для численного решения, требует привлечения большого числа членов ряда, что было затруднительно в эпоху отсутствия быстродействующих компьютеров. Кроме того, численные исследования таких пластин показывают, что их неустойчивость проявляется в виде бегущих по потоку волн (11], что давало основания связывать эту неустойчивость с неустойчивостью бесконечных пластин. Однако, сравнение результатов расчётов для пластин конечной и бесконечной протяжённости даёт большую погрешность, и каких-либо продвижений в этом вопросе так и не было сделано [25].
19
Введение
В настоящей работе показана связь между флаттером ограниченной и неограниченной пластин: с неустойчивостью (ростом) бегущих по безграничной пластине волн связан обнаруженный флаттер конечной пластины с одной степенью свободы. Флаттер пластин конечных размеров, с которым сравнивалась неустойчивость безграничной пластины в цитированных работах, имеет связанный тип, и его механизм возбуждения отличен от неустойчивости бегущих волн. По этой причине и не было достигнуто согласования между результатами расчетов конечных и бесконечных пластин.
3.2. Исследования конечных пластин в точной аэродинамической постановке
В 1946 г. в работе (28) в двумерной постановке было получено точное инте-гродифференциальное уравнение движения конечной пластины, обтекаемой однородным сверхзвуковым потоком. Нестационарное давление выведено из теории потенциального течения (решение волнового уравнения с условием непротекания на поверхности колеблющейся пластины). Это выражение также приведено в [29), где, помимо этого, выведено аналогичное выражение в трёхмерной постановке. В [30] получены удобные для использования формулы трёхмерной постановки для случая обтекания прямоугольной пластины, близкого к продольному или поперечному. Во всех случаях давление выражается интегральным оператором от прогиба пластины, подстановка которого в уравнение движения пластины приводит к интегродифференциальному уравнению.
В 1956 г. Нельсон и Каннигхем [31] впервые рассмотрели задачу об устойчивости пластины в потенциальном потоке газа. Проведены конкретные вычисления с помощью метода Бубнова-Галёрки на в двух- и четырёхчленном
20
Введение
приближении и получены границы устойчивости. Их сравнение с экспериментами дало удовлетворительные результаты.
Далее линейная задача устойчивости исследовалось численно в работах [32,33] (трёхмерная постановка) и [34] (двумерная постановка). В [33] построены линейные границы устойчивости и проведено сравнение с экспериментами. В [34] расчёты проведены методом конечных элементов и сопоставлены с результатами расчётов методом Бубнова-Галёрки на [31]. Получено хорошее согласие между этими работами. Эти численные исследования проведены при конкретных параметрах задачи, что не позволяет понять общие принципы поведения системы.
В [35-37] методом Бубнова-Галёркина исследовалась устойчивость многопролётной пластины, в частности — влияние условий закрепления миогопро-лётной пластины. Крутильная жёсткость стрингеров, к которым крепится пластина, варьировалась, так что граничное условие на кромках пластины промежуточное между защемлением (бесконечная крутильная жёсткость) и шарнирным опиранием (нулевая жёсткость).
В [38] задача изучалась с учётом геометрической нелинейности пластины (модель Кармана). Исследована амплитуда предельного цикла колебаний. В последние годы были проведены нелинейные исследования [39-42], в которых учитывалась нелинейность как пластины, так и потока. В этих работах изучался переход от дивергенции к флаттеру при трансзвуковом течении, когда важен учёт аэродинамической нелинейности. Было показано, что при трансзвуковых скоростях колебания пластины при флаттере имеют вид бегущей волны, при увеличении скорости потока фазовая скорость волн уменьшается, и колебания приобретают характер стоячей волны.
Среди публикаций, использующих точную аэродинамику, особняком сто-
21
Введение
ит работа 1958 г. Дун Мин-Дэ (43], её результаты также изложены в [44]. В ней аналитически было найдено общее решение интегродифференциального уравнения движения пластины и получено частотное уравнение. Это сводит решение задачи о флаттере в точной постановке к решению алгебраического частотного уравнения, хотя и очень сложного вида. Однако, эта выдающаяся работа, по-видимому, не была замечена исследователями, поскольку её результаты больше нигде не использовались, а единственная ссылка на неё дана в обзоре [10].
Это, по сути, все известные автору работы с использованием точной аэродинамики. Такое небольшое количество (в сравнении с более 700 ссылками в [16], авторы абсолютного большинства которых используют поршневую теорию) объясняется сложностью решению интегродифференциального уравнения движения пластины в потенциальном потоке газа. С точки зрения настоящей работы, исследования флаттера в точной постановке интересны тем, что позволяют обнаружить флаттер с одной степенью свободы. Ниже будет проводится сравнение результатов, полученных в диссертации, с некоторыми из этих работ.
3.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории
В 1956 г. появились работы [8| и [9], где для исследования флаттера пластин предлагалась «поршневая теория» — связь давления, действующего на колеблющуюся пластину, и прогиба в виде
22
Введение
где ро, ао, щ — невозмущённые плотность, скорость звука и скорость течения газа, р и IV — возмущения давления и прогиба. Это выражение сводит уравнение движения пластины к уравнению в частных производных, которое намного легче для исследования, чем точное интегродифференциальное уравнение. Поршневая теория получена как предел точной связи давления и прогиба при М —► оо, однако исследования показывают, что она даёт приемлемую точность уже при М > 1.7 [14].
Эта теория, благодаря своей простоте, была сразу же взята на вооружение исследователями. Мовчан |45) с её помощью аналитически и численно в двумерной постановке исследовал устойчивость пластины, защемлённой но передней кромке и имеющей свободную заднюю кромку. Получен алгоритм исследования такого рода задач, в общем виде получена граница устойчивости и проведены конкретные расчёты. Этот алгоритм далее был применен для исследования флаттера прямоугольных пластин с двумя типами граничных условий: опирание по всем кромкам [46] и свободные передняя и задняя кромки при опирании по боковым кромкам [47]. Получены достаточные условия устойчивости и приведены конкретные примеры. Сравнение результатов [46] с экспериментальными данными [48] (исследованы случаи М > 1.7) дало очень хорошее совпадение. Ценность этих работ Мовчана, помимо практических результатов, состоит в том, что аналитически показано, что потеря устойчивости происходит при слиянии собственных частот, то есть флаттер при больших числах Маха имеет связанный тип.
В последующих работах исследовались различные случаи закрепления и относительных размеров пластин, многопролётные и ортотропные пластины, учитывались усилия в плоскости пластины, а также произвольное направление потока [14,49-54].
23
Введение
Рядом авторов изучалось поведение пластины, к которой приложены сжимающие нагрузки в срединной плоскости. В пустоте пластина остаётся устойчивой до достижения критической нагрузки, после чего статически теряет устойчивость — выпучивается (потеря устойчивости по Эйлеру). При наличии потока с небольшим скоростным напором (до достижения флаттера) область устойчивости увеличивается — выпучивание происходит при большем сжимающем усилии, чем в пустоте. С другой стороны, наступление флаттера при фиксированном сжимающем усилии и увеличивающемся скоростном напоре происходит раньше, чем в случае пластины, свободной от усилий [55). Наиболее интересные явления происходят при увеличении как сжимающего усилия, так и скоростного напора: при определённом соотношении между ними возникает динамическая потеря устойчивости в виде сложного предельного цикла (негармонические периодические колебания) или хаотических вибраций [56,57).
Кроме проведения конкретных вычислений, в литературе обсуждались два вопроса: точность поршневой теории и точность численных методов Бубнова-Галёркина и конечных элементов при решении задачи о флаттере. Первому вопросу, в частности, посвящены работы [14,33,58-60). Установлено, что при числах Маха М > 1.7 результаты расчётов по поршневой теории удовлетворительно совпадают как с расчётами по теории потенциального течения, так и с экспериметальными результатами. При малых числах Маха это совпадение значительно хуже. Предлагалось несколько объяснений этого факта: потеря точности линейной теории (влияние аэродинамической нелинейности), влияние пограничного слоя и, наконец, слабость возникающего при малых числах Маха одномодового флаттера, неспособного преодолеть конструкционное демпфирование.
24
Введение
Вопросу построения приближённой теории, которая, с одной стороны, была бы пригодна при низких сверхзвуковых скоростях, а с другой, давала бы более простые выражения для возмущения давления, чем точная, посвящены работы [61,62). В них использовался следующий оригинальный подход. Решение волнового уравнения, использующееся для определения давления потока на пластину в потенциальном потоке, находится с помощью преобразования Лапласа исходных уравнений, вычисления изображений и возвращения к оригиналам при обратном преобразовании Лапласа. Это приводит к сложному интегродифференциальному оператору. Авторы цитируемых работ поступили следующим образом: разложили изображение в ряд Лорана в окрестности одной из его особенностей. Учёт одного члена в разложения после обратного преобразования приводит к поршневой теории, учёт двух членов — к теории, развиваемой в этих работах. Однако, вместе с описанной плодотворной идеей в этих работах содержится ошибочное представление о том, что порядок дисперсионного уравнения в точной и в разработанной авторами теории повышается с 4-го до 5-го и, следовательно, при постановке задач на кромках пластины нужно ставить не 4, а 5 граничных условий (см. разд. 2.2 главы 2).
Вопрос о точности применяемых численных методов возник в связи с «мембранным парадоксом» [14]: расчёты флаттера мембраны давали конечную критическую скорость потока, хотя строгие аналитические результаты показывали, что флаттер мембраны при больших М вообще невозможен. Этот парадокс объяснен в [14,63], где, помимо этого, показано, что для пластины численные расчёты должны давать правильные результаты.
25
Введение
3.4. Влияние пограничного слоя
Задача об устойчивости пластины в потоке вязкого газа с пограничным слоем тесно связана с широко известной задачей об устойчивости самого пограничного слоя. В классическом случае исследуется устойчивость погранс-лоя в несжимаемой жидкости на абсолютно жёсткой стенке, такая постановка естественно возникает из необходимости затянуть турбулизацию погранслоя и снизить сопротивление при движении тел в жидкости. Ещё в 1950-60-х годах сначала экспериментально, затем теоретически показано существенное влияние гибкости и демпфирующих свойств поверхности на устойчивость ламинарного течения [64-66]. Собственные моды связанной задачи естественным образом разбиваются на порождённые погранслоем (волны Толмина-Шлихтинга) и порождённые пластиной (которые существуют и в потенциальном потоке) [67,68]. Свойства пластины по-разному влияют на эти классы: так, демпфирование стабилизирует волны, порождённый пластиной, но расширяет область неустойчивости волн Толмина-Шлихтинга. Определённое сочетание свойств упругости и демпфирования позволяет затянуть процесс ламинарно-турбулентного перехода. Исследования в этом направлении активно ведутся как различными численными [69], так и асимптотическими [70] методами.
С другой стороны, известно, что неустойчивость погранслоя на жёсткой стенке имеет конвективный характер, поэтому ламинарное течение не разрушается там, где возникла неустойчивость, поскольку растущие волновые пакеты сносятся вниз по потоку. При наличии податливости пластины неустойчивость в определённой области чисел Рейнольдса может стать абсолютной [71,72], поэтому неудачный подбор свойств пластины может привести к турбулизации течения во всей области линейной неустойчивости.
26
Введение
Подавляющее большинство исследований «гидродинамической» части связанной задачи проводится на модели несжимаемой жидкости. «Упругая» часть связанной задачи, то есть вопрос о влиянии пограничного слоя на флаттер, актуальна в первую очередь в сжимаемом сверхзвуковом потоке. Таких исследований чрезвычайно мало. В [24] рассматривалась безграничная пластина в потоке с пограничным слоем, возмущения которого моделировались в невязком приближении. Показано, что при наличии пограничного слоя часть возмущений пластины, ответственных за возникновение флаттера, может быть ослаблена или полностью подавлена. При этом другие возмущения пластины, нейтрально устойчивые в потенциальном потоке, становятся растущими в пограничном слое. Этот результат был получен при исследовании обобщённо-выпуклых профилей погранслоя.
В работе [73] исследовался конкретный профиль пограничного слоя — «закон одной седьмой». Как и в [24], было показано, что наличие погранслоя сужает границы флаттера. Сравнение с экспериментальными данными [74| вполне удовлетворительное. В [75] отмечено, что при очень большой толщине пограничного слоя неустойчивость в виде флаттера исчезает и скачком переходит в дивергенцию пластины. Это вызвано, очевидно, тем, что поток уже нельзя разделить на основное течение и пограничный слой, и в значительной окрестности пластины течение дозвуковое.
В недавней работе [76] проводится тщательное численное моделирование флаттера при условиях эксперимента [74|. Получено очень хорошее совпадение с экспериментами [74] и расчётами [73]. Пользуясь верифицированной моделью, авторы проводят расчёты при более высоких М, вплоть до М = 2.4. На основании расчётов делаются весьма полезные выводы о применимости упрощённых критериев панельного флаттера.
27
Введение
Отметим один недостаток всех работ, в которых учитывается влияние на флаттер пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. При движении летательных аппаратов в зависимости от условий обтекания в разных частях поверхности могут образовываться качественно разные профили пограничных слоев, в том числе имеющие обобщённую точку перегиба. Более того, даже однородное основное течение около плоской пластины (аналог задачи Блазиуса) в сжимаемом ламинарном потоке даёт пограничный слой с обобщённой точкой перегиба. Такие профили в литературе не исследованы. В главе 4 диссертации аналитически исследуется влияние пограничного слоя произвольного вида на одномодовый флаттер; показано, что влияние профилей с обобщённой точкой перегиба в некотором смысле противоположно обобщёнпо-выпуклым профилям и дестабилизирует пластину, расширяя область флаттера.
3.5. Нелинейные задачи
Линейные постановки задач позволяют определить границу устойчивости. Для вычисления амплитуд колебаний и оценки опасности флаттера необходимо рассмотрение задачи в нелинейной постановке. В явлении панельного флаттера основную роль играют два вида нелинейности — геометрическая нелинейность пластины и аэродинамическая нелинейность потока.
Случай геометрической нелинейности исследовался в [14.77]. Аэродинамика описывалась линейной поршневой теорией. В двухчленном приближении методом Бубнова-Галёркина получена аналитическая зависимость амплитуды предельного цикла колебаний от числа Маха. Аналогичное исследование проведено численно в [55]. Та же задача, но с использованием линейной аэродинамики потенциального потока, решена в [38]. Главный эффект геометри-
28
Введение
ческой нелинейности — замедление экспоненциального роста колебаний пластины и формирование предельного цикла. При наличии только геометрической нелинейности происходит мягкое возбуждение нелинейных колебаний.
Аэродинамическая нелинейность проявляется при трансзвуковых (М ~
1) и гииерзвуковых (М > б) скоростях, при умеренных сверхзвуковых скоростях она несущественна. В [14] показано, что при гииерзвуковых скоростях соотношение межды аэродинамической (использовалась нелинейная поршневая теория) и геометрической нелинейностью определяет тип возбуждения колебаний — мягкое возбуждение при преобладающей геометрической нелинейности и жёсткое при преобладающей аэродинамической нелинейности. При характерных параметрах жёсткое возбуждение происходит лишь при очень больших скоростях, М > 30. Предельные циклы колебаний с помощью нелинейной поршневой теории также исследовались в [78,79]. В работе [80] изучался флаттер в разреженной атмосфере при гиперзвуковых скоростях, для получения аэродинамического давления использовалась кинетическая теория. Показано, что при гиперзвуковых скоростях нестационарное напряжение трения на поверхности пластины, наряду с давлением, играет большую роль как в определении границы флаттера, так и в вычислении амплитуды предельного цикла. В работе [81] использовалась к ваз и стати чес кая теория для вычисления распределения давления и температуры по поверхности пластины, дополненная нестационарными членами нелинейной поршневой теории. Поведение пластины сравнивается с расчётами по нелинейной поршневой теории, результаты сильно различаются.
Аэродинамическая нелинейность при трансзвуковом течении изучалась в цитированных выше работах [39-42]. Основной эффект трансзвукового потока — флаттер в виде бегущих по пластине волн.
29
Введение
Математические аспекты аэродинамической и геометрической нелинейности обсуждаются в [82]
3.6. Экспериментальные работы
Экспериментальных работ по панельному флаттеру проведено немного, по-видимому, это связано со сложностью изготовления модели и её крепления, необходимостью тщательного контроля многочисленных факторов — температуры и натяжения пластины, перепада давления на пластине (включая контроль давления покоящегося в полости воздуха), скачков уплотнения, вызванные выступающими частями модели. Особенно это актуально для экспериментов на малых сверхзвуковых скоростях, когда у каждого незначительно выступающего элемента модели (планки зажимов, головки винтов, и т.п.) образуются отошедшие криволинейные скачки уплотнения, которые могут значительно искажать картину течения. Первые экспериментальные исследования были проведены в 50-х годах в США по контрактам с НАСА, однако достоверность и качество полученных результатов вызывают сомнения. Эти эксперименты носили предварительный характер, поскольку содержательная теория в те времена ещё не была разработана; при их проведении ключевым был вопрос вообще о существовании явления флаттера панелей. Отметим лишь [83], где исследовалось влияние натяжения пластины на границы флаттера.
В СССР первые эксперименты описаны в [48], они были направлены на подтверждение теоретических результатов [46], что и было убедительно продемонстрировано. Исследованы числа Маха от 1.7 до 3.0.
Фундаментальная работа [33] была проведена в компании Боинг. Помимо численных расчетов (линейная устойчивость с использованием трёхмерной
30
Введение
теории потенциального потока) были проведены эксперименты, с которыми сравнивались эти расчёты. При М ^ 2 совпадение удовлетворительное, при М < 2 наблюдается значительное расхождение теории с экспериментом: флаттер возникал при большем динамическом давлении, чем предсказано теорией. Для объяснения этого расхождения предлагалось три гипотезы — проявление аэродинамической нелинейности, «слабость» одномодового флаттера, возникающего при малых М, и влияние пограничного слоя, который в экспериментах не контролировался.
В серии экспериментов [84], выполненных в НАСА при М = 3, исследовалось влияние на флаггер выпучивания пластины, вызванного температурными напряжениями. Сравнение с теорией проведено в [85], где также исследовалось влияние перепада давления на пластине.
В работах, проведённых ПАСА [74,86], изучаюсь влияние на флаттер турбулентного пограничного слоя. Сравнение этих результатов с теорией проводится в [60|. Экстраполяцией экспериментальных данных [74] на случай нулевой толщины погранслоя получены границы флаттера, близкие к вычисленным в [33]. Таким образом, пограничный слой в значительной мере объясняет имеющееся расхождение между теорией и экспериментом при малых М > 1. Сравнения с результатами расчётов, где учитывается пограничный слой, приведено в [73,76], результаты вполне удовлетворительные.
Отметим, что сравнение экспериментальных границ флаттера, полученных в трёх работах [33,74,86], приведённое в [60], даёт их существенное различие, что показывает несовершенства даже тщательно проведённых испытаний и говорит о чрезвычайной сложности их безупречной постановки.
В экспериментах [87], проведённых в Новосибирске при М = 2.5 и 3.0, определялись не только границы устойчивости, но и амплитуда предельного
31
Введение
цикла. При увеличении скоростного напора при фиксированном М амплитуда при наступлении флаттера резко растёт, затем достигает максимума и уменьшается. Экспериментальная граница устойчивости лежит в пределах 12-18% теоретической, при этом в эксперименте наблюдался флаттер по формам, отличным от теоретических. Расчёты удлинённых пластин по теории потенциального потока дают лучшее совпадение с экспериментом, чем по поршневой теории.
Флаттер композитных панелей при наличии перепада давления и температуры исследовался в Японии [88] при М = 1.6...2.0. Результаты сравнивались с расчётами по поршневой теории.
3.7. Новые направления в исследованиях панельного флаттера
К концу 1970-х годов в решении задачи о флаттере при умеренных сверхзвуковых скоростях потока был достигнут глубокий уровень понимая проблемы, получено хорошее согласие между теорией и экспериментом, разработаны и оттестированы численные алгоритмы решения, учитывающие множество факторов — различные виды механических и температурных нагрузок, граничных условий и направлений потока, выпущены соответствующие руководства для инженеров 112,89,90). Число статей по этой теме резко сократилось, однако в начале 1990-х годов интерес к этой задаче вновь возродился.
Во-первых, для изготовления обшивок все чаще используются новые, в частности, композиционные материалы (в упоминавшемся выше случае возникновения флаттера истребителя Р-117А разрушению были подвержены именно композитные панели). Поэтому ряд работ посвящен анализу флаттера композитных пластин [91-93]
32
Введение
Также в связи с возможным применением новых материалов исследуется флаттер вязкоупругих пластин [94-100].
Из-за необходимости снижать вес летательных аппаратов и неизбежности панельного флаттера разрабатываются системы его активного подавления с помощью пьезоэлектрических элементов, наклеиваемых на обшивку (2|, или материалов с памятью формы [1011.
Недостаточно исследованным остался случай трансзвуковых [39-42] и низких сверхзвуковых скоростей. В первом случае важно учитывать аэродинамическую нелинейность трансзвукового потока, во втором — одномодовый флаттер, возникающий при низких сверхзвуковых скоростях.
4. Обзор диссертации
Как показывает обзор литературы, в подавляющем числе статей но флаттеру пластин для описания аэродинамики используется поршневая теория и её модификации, а изменения и усложнения в постановках задач связаны с моделированием пластины. Лишь несколько авторов используют точную теорию потенциального потока или более сложные модели аэродинамики. Хотя поршневая теория принципиально упрощает задачу, сводя интегродифферен-циальный оператор к простому дифференциальному, она имеет существенный недостаток — неспособность описать одномодовый флаттер. В цитированных исследованиях, где используется теория потенциального течения или более сложные модели, одномодовый флаттер детально не исследовался, поскольку границы получены численно при конкретных параметрах задачи, а точность численных методов, использовавшихся в 1950-70-х годах, оставляет желать лучшего. Также не был выяснен физический механизм перехода к неустойчивости при одиомодовом типе флаттера. Обычное объяснение
33
Введение
заключается в появлении «отрицательного аэродинамического демпфирования». Действительно, разложение точного выражения для давления при колебаниях пластины с малой частотой даёт
М ( дги М2 — 2дп)\ . 9ч
р{х'ь)=рттт=1 \щТх+ ш)+0{ш)]
где ш — частота колебаний. Очевидно, коэффициент при дю/дЬ, который выражает вклад аэродинамического демпфирования, меняет знак при М = \/2, при этом при М < \/2 возникает одномодовый флаттер. Однако, такой подход слишком прост и имеет физически некорректные следствия. А именно,
при М < л/2 неустойчивы все моды пластины, при любых её размерах, жёсткостях. действующих напряжениях и т.д. Как показывается в диссертации, реальные области одномодовой неустойчивости могут лежать значительно шире диапазона 1 < М < \/2, при наличии натяжения пластины область неустойчивости смещается к большим М, а флаттер очень коротких пластин невозможен. Поэтому указанное разложение давления не годится даже для качественного описания одномодового флаттера, что приводит к необходимости тщательного изучения этого явления.
Таким образом, диссертация посвящена изучению флаттера пластин при низких сверхзвуковых скоростях, где поршневая теория неверна. Она состоит из 9 глав, в которых исследование проводится аналитически (главы 1-5 и 8), численно (главы 6-7) и экспериментально (глава 9).
В главе 1 рассмотрена задача об устойчивости безграничной упругой пластины, обтекаемой с одной стороны потоком газа, при наличии с другой стороны покоящегося газа. Получена система уравнений и граничных условий и показано, что их устойчивость определяется поведением корней дисперсионного уравнения системы. Показано, что в общем случае система всегда неустойчива, причём неустойчивы длинные волны. Рассмотрены два частных
Введение
случая: тангенциальный разрыв между слоями сжимаемого газа и обтекание пластины с одной стороны при постоянном давлении с другой. Получены условия устойчивости и детально исследовано поведение волн различной длины. Отметим, что задача об устойчивости тангенциального разрыва имеет долгую историю |102.103|, однако автору неизвестны работы, где исследовалась устойчивость разрыва между слоями разных газов. Между тем, такие разрывы возникают, например, при движении тела с подводом энергии перед ним [104].
В главе 2 в двумерной постановке исследована устойчивость пластины конечной протяжённости, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Для нахождения спектра собственных частот применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости. Найдены два типа неустойчивости, названные низкочастотным и высокочастотным флаттером. Первый является флаттером связанного типа, хорошо описывается с помощью поршневой теории и подробно исследован в литературе. Второй является одномодовым флаттером и не может быть получен в приближении поршневой теории. Исследованы физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера. Аналитически получены асимптотические критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний.
В главе 3 проведена оценка точности решения задачи главы 2. Доказано, что указанный асимптотический метод даст хорошие результаты даже для не слишком удлинённых пластин. Рассмотрено влияние конструкционного демпфирования и рассеяния энергии в материале пластины на высокочастотный флаттер. Показано, что возможно сочетание параметров, при которых демпфирование не сможет подавить флаттер.
В главе 4 исследуется влияние пограничного слоя на одномодовый флат-
35
Введение
тер. Обобщённо-выпуклые профили погранслоя стабилизируют часть растущих возмущений, но дестабилизируют нейтрально устойчивые возмущения. Профили погранслоя с обобщённой точкой перегиба ещё больше дестабилизируют растущие возмущения при маленькой толщине слоя, но полностью стабилизируют пластину при большой.
В главе 5 в трёхмерной постановке асимптотическим методом решена задача об одномодовом флаттере прямоугольной пластины. Для собственных форм колебаний пластины получено условие их усиления в потоке газа и описан физический механизм возбуждения. Исследованы возможности искажения флаттерных форм колебаний по сравнению с колебаниями в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта флаттера и проведены конкретные вычисления. Показано, что возможны ситуации, когда пластина совершает одномодовые флаттерные колебания при отсутствии флаттера связанного типа.
В главе 6 проводится численное исследование двумерной задачи с использованием точного интегродифференциального оператора давления. Полученные ранее асимптотические границы флаттера хорошо приближают точно рассчитанные границы при умеренных и больших длинах пластин. Рассчитаны границы устойчивости коротких пластин. Исследовано движение границ при изменении параметров задачи.
В главе 7 предлагается упрощённый способ численного исследования одномодового флаттера, пригодный для изучения более сложных конструкций — пластин сложной формы, неплоских оболочек и др.
В главе 8 аналитически исследуется нелинейная задача. Показано, что при возникновении одномодового флаттера амплитуда предельного цикла растёт очень быстро — существенно быстрее, чем при связанном типе флаттера. При неустойчивости по двум и более модам одновременно могут существовать
36
Введение
разные предельные циклы — «простые», когда каждая линейно неустойчивая мода совершает колебания независимо, и «резонансные», когда имеется внутренний резонанс между модами и, соответственно, передача энергии между ними.
В главе 9 описываются эксперименты по обнаружению одномодового флаттера пластины при низких сверхзвуковых скоростях. Эксперименты проведены в НИИ механики МГУ. Проводятся сравнения с теоретическими результатами.
Все результаты получены автором самостоятельно, кроме главы 9. Результаты последней получены в соавторстве с А. Ф. Зубковым, С. В. Гувернюком и М. Е. Колотниковым; автору принадлежит постановка и общее руководство экспериментами, предварительное численное моделирование, разработка документации для изготовления модели, разработка программы испытаний и обработка результатов.
Основные результаты, полученные в данной работе, докладывались на семинаре по механике сплошных сред под руководством академика РАН
А. Г. Куликовского, профессора А. А. Бармина, профессора В. П. Карли-кова и члена-корреспондента РАН О. Э. Мельника, совместном семинаре по аэрогидромеханике ЦАРИ - СПбГПУ - ИТПМ - НИИ механики МГУ, семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ под руководством профессора И. А. Кийко, семинаре отдела флаттера ЦАРИ, семинаре НИИ механики МГУ под руководством профессора С. Я. Герцен-штейна, XII I и коле-сем инаре «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Туапсе, 2004), 1-й и 4-й Европейской конференции по аэрокосмическим наукам ЕиСАБЗ (Москва, 2005 и Санкт-Петербург, 2011), 6-й и 7-й Европейской конференции по механике твёрдого тела ЕБМС (Будапешт, 2006 и Лисса-
37
Введение
бон, 2009), коллоквиуме БШЮМЕСН 483 «Геометрически нелинейные вибрации конструкций» (Порто, 2007), международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Москва. 2007), международной конференции «Авиация и космонавтика 2008» (Москва, 2008), IX всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2009» (Москва, 2009), 9-й и 11-й международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2009 и 2011), всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2009), международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Звенигород, 2010), восьмой международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях КРМЛ’20Ю (Алушта, 2010), 7-м международном симпозиуме АБМЕ по взаимодействию жидкости с конструкциями, взаимодействию потоков со звуком, вибрациям и шуму (Монреаль, 2010), двустороннем росс.ийско-тайваньском симпозиуме по современным проблемам механики (Москва. 2010), 8-й Европейской конференции по механике жидкости ЕЕМС (Бад Райхснхаль, 2010), международном форуме по аэроупругости и динамике конструкций 1РЛ81Э (Париж, 2011), XVI Байкальской всероссийской конференции «Информационные и математические технологии» (Иркутск, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011).
По теме диссертации опубликованы 40 работ, в том числе 28 статей {105— 132] (из них 14 из списка ВАК) и 12 тезисов докладов [133-144].
38
Глава 1.
Неустойчивость безграничной пластины
39
Глава 1. Неустойчивость безграничной пластины
1.1. Постановка задачи и предварительные замечания
В линейном приближении исследуется устойчивость плоской безграничной по всем направлениям тонкой упругой пластины, сверху и снизу от которой находятся два газа: нижний ~ покоится, верхний — поступательно течёт с постоянной скоростью и параллельно пластине. Газы считаются невязкими и совершенными с плотностями рь р2 (индекс «1» означает верхний газ, «2» — нижний) и скоростями звука а\ и й2\ течение считается адиабатическим. Пластина подвержена изотропному растяжению и обладает изгибной жёсткостью. Её толщина к, плотность материала рт, растягивающее усилие N и изгибная жёсткость И считаются постоянными. Массовые силы отсутствуют.
Выберем систему координат хуг так, что оси х и у лежат в плоскости невозмущённой пластины, причём х направлена вдоль вектора скорости и, а ось г перпендикулярна пластине и направлена в сторону верхнего газа
Пусть в начальный момент на систему налагается малое возмущение. Докажем, что для исследования устойчивости движение и верхнего, и нижнего
(рис. 1.1).
и
Рис. 1.1. Общий вид и система координат.
40
Глава 1. Неустойчивость безграничной пластины
газа можно считать потенциальными. Действительно, в общем случае вектор скорости можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой части: v — grad у 4- rot Л. Первая часть полностью определяется объемным распределением источников е = div с, вторая — распределением вектора вихря LO = ^rotiJ [145, гл. VIII, §26]. Поскольку выполнены все условия теоре-мы Томсона [146, гл. VI, §7], то вектор вихря, а следовательно, и вихревая часть возмущения, вморожены в частицы газа. Так как в области, занимаемой газом, в линейном приближении вихревая и потенциальная части возмущений распространяются независимо, то единственная возможность их влияния друг на друга — через взаимодействие с пластиной. Однако действие пластины эквивалентно приложению поверхностных сил к области, занимаемой газом, и в силу теоремы Томсона возмущение газа, вызываемое пластиной, всегда является потенциальным. Следовательно, возникшее вихревое возмущение может через взаимодействие с пластиной возбуждать потенциальное возмущение, но не наоборот.
В системе координат, движущейся вместе с газом (или покоящейся, если рассматривается возмущение нижнего газа), вихревая часть возмущения представляет собой статическую силу, приложенную к пластине. Возмущение прогиба можно представить как сумму статического прогиба, вызванного вихревым возмущением, и добавочного прогиба, вызванного процессом установления статического прогиба из невозмущённого состояния. Этот добавочный прогиб, как показано выше, может порождать только потенциальное возмущение газа. Если каждое потенциальное возмущение будет оставаться ограниченным во времени, то и описанный процесс действия вихревого возмущения на систему будет приводить к суммарному ограниченному возмущению, если же хотя бы одно потенциальное возмущение будет усиливаться,
41