Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости

Введение
В научной и учебной литературе под основной задачей электростатики понимают задачу отыскания напряженности электрического поля системы зарядов в присутствии проводников и диэлектриков [1], [2), [5], [311, [32], [33], [34], [36], [39], [40], [41 ], [42], [43], [62]. Решение этой задачи представляет значительные трудности даже для уединённых проводников и диэлектриков находящихся во внешних электрических ПОЛЯХ. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики [31], [32], [33], [41], [62].
Расчёт электрических и магнитных полей различных систем элементами которых являются проводники и диэлектрики представляет практический интерес для различных областей науки: электрофизики, радиоэлектроники, радиофизики, электроники. Развитие этих областей науки предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата.
Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [8]. М.А. Лаврентьевым теория функций комплексного переменного рассматривалась неразрывно с физическими представлениями [30]. Развитие ТФКП на основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение к задачам электростатики вариационных методов и комплексного анализа позволяет разработать довольно эффективные методы решения этих задач. Разработке эффективных аналитических
Введение
методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов на конкретных примерах и посвящена данная работа.
На современном этапе развития науки становится всё более актуальным вопрос о том, как передавать такой громадный багаж знаний, накопленный веками, последующим поколениям. Всем ясно, что нужно передавать только общие концептуальные вещи, методики, потому что все частные случаи рассмотреть невозможно в принципе. Наиболее кумулятивным способом представления информации в частности в такой науке как физика является формула. Особенно большой интерес представляют формулы, отражающие наиболее общие закономерности и правила. Так классическая механика базируется на законах Ньютона, классическая электродинамика на уравнениях Максвелла и т.д. Но это примеры действительно самых общих постулатов, которых всё же не достаточно - немаловажную роль в образовании играют и более специфические, но довольно общие в своей области применимости формулы. К примерам таких формул можно отнести и некоторые формулы для решения электростатических задач на плоскости, представленные в данной работе. Важно, что на основе этих формул могут быть получены все частные решения этих задач. То есть знание теории функций комплексных переменных и умение производить элементарные алгебраические операции позволяет развернуть всё то, что содержится в этих формулах в сжатом виде - решить всевозможные конкретные задачи. Мы предлагаем внедрить их в процесс обучения студентов физических специальностей. Представляется, что методически верно знакомить студентов именно с такими довольно общими закономерностями, которые они могут развернуть для частных примеров, конкретных задач. Так для плоских электростатических задач удобно использовать комплексные переменные и соответственно представленные в данной работе формулы. Трудностей с применением, развертыванием таких формул у студентов физических специальностей возникать не должно, так как теории функций комплексных переменных на таких специальностях уделяется должное внимание.
В данной работе реализованы подходы к построению аналитической электростатики, связанные с рассмотрением в неразрывном единстве электрического поля и его источников - электрических зарядов - на всей комплексной плоскости, а не в отдельных областях её, как это часто делают в математической физике. Конкретные электростатические задачи формулируются как задачи о минимуме энергетических
2
Введение
функционалов, поэтому возникает необходимость разработки методов выбора пробных функций с учётом характерных особенностей задач. Предлагаются соответствующие методы для задач электростатики проводников и диэлектриков. Их суть заключается в построении на поверхности проводника базисной системы распределений зарядов, электрические поля которых ортогональны в энергетической мере. Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля круговым мультипольным моментам минимального порядка названы характеристическими мультиполями. Нахождение характеристических мультиполей эквивалентно построению ортогонального базиса в функциональном пространстве электрических потенциалов, источниками которых служат поверхностные заряды проводника (диэлектрика). Следует отметить, что аппарат характеристических мультиполей позволяет решить задачи для различных геометрических форм проводников и диэлектриков (круг, эллипс и т. д), находящихся во всевозможных внешних электрических полях, будь то поле точечного заряда, поле диполя, поле квадруполя, поля мультиполя, и т.п. Введение новых для теории поля понятий характеристических мультиполей и высших поляризуемостей для проводников и диэлектриков, позволяет построить конструктивные решения всевозможных задач о проводниках и диэлектриках, находящихся во внешних электрических полях.
Наиболее перспективными, на наш взгляд, приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют получать оценки сверху и снизу, например, для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений, получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений |8].
Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов
з
Введение
мы можем оценивать точность полученных результатов, которая зависит от выбора вида потенциалов аппроксимирующих полей.
Так аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей позволяет вычислить емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников. Например, оценить ёмкость системы проводящий эллипс и лежащий вне области эллипса проводящий круг.
Также весьма любопытным результатом является то, что использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом даёт возможность представить математическую задачу о нахождении корней многочленов как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала [18]. Вариационная схема расчёта корней многочлена основана на аппроксимации электрического поля зарядов некого проводника полями точечных мультиполей. Простейшими примерами являются: аппроксимация поля зарядов проводящей прямой полями точечных диполей (или точечных зарядов), либо аппроксимация поля зарядов проводящего круга полями точечных диполей (или точечных зарядов).
Цель работы:
Разработка эффективных методов расчета электрических полей в электростатике проводников и диэлектриков на плоскости.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
- на конкретных примерах показать эффективность совместного применения вариационных принципов и теории функций комплексных переменных в решениях электростатических задач на плоскости;
- рассмотреть задачи о проводниках и диэлектриках во всевозможных внешних электрических полях;
- развить необходимую систему понятий;
- разработать вариационные схемы вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов систем проводников, основанные на аппроксимации полей индуцированных зарядов полями точечных источников.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней:
1. Показана эффективность совместного использования вариационных методов и методов теории функций комплексных переменных для
4
Введение
решения электростатических задач на плоскости на конкретных примерах: проводящий круг, проводящая прямая, проводящий эллипс, однородный диэлектрический круг, однородный диэлектрический эллипс, анизотропный диэлектрический круг во всевозможных внешних электрических ПОЛЯХ.
2. Впервые построены комплексные функции Грина внешней и внутренней областей эллипса.
3. Введены новые понятия: эллипс сходимости, мнимый точечный заряд, характеристические мультиполи.
4. С помощью аппарата характеристических мультиполей впервые решена задача об анизотропном диэлектрическом круге в различных внешних электрических полях.
5. Впервые математическая задача о нахождении корней многочленов представлена как обратная задача электростатики, сводящаяся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.
6. На основе задачи аппроксимации полей индуцированных на проводниках зарядов полями точечных источников построены вариационные схемы расчёта корней многочленов и показана возможность практического применения такой физической интерпретации математической задачи для численных расчётов.
7. На примере проводящих эллипса и круга рассмотрена возможность вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов такой системы с помощью аппроксимации электрических полей точечными экранированными .мультиполями на основе вариационных принципов.
Научная и практическая ценность.
Предложен метод анализа электростатических полей, основанный на органичном объединении методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.
Развитые теоретические методы расчёта электрических полей различных систем проводников и диэлектриков на плоскости могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике, некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Наиболее эффективными методом решения электростатических задач на плоскости является объединение методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.
5
Введение
2. Эффективным методом реализации вариационных принципов электростатики является построение базисных распределений индуцированных зарядов - характеристических мультиполей; применение такого метода рассматривается на примере задач о проводящем эллипсе во всевозможных внешних электрических полях.
3. Применение аппарата характеристических мультиполей позволяет дать полное решение задач о диэлектрических телах во внешних электрических полях; рассмотрены задачи об однородном диэлектрическом круге, об однородный диэлектрическом эллипсе, а также об анизотропном диэлектрическом круге во всевозможных внешних электрических полях. .
4. Использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом позволяет представить математическую задачу о нахождении корней многочленов, как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.
5. На основе вариационных принципов удобно получать решения задач аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями, что позволяет вычислять емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников.
с
Глава 1
Проводящий круг и проводящая прямая в задачах электростатики на плоскости
1.1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле
1.1.1 Общие соотношения
Задача о проводящем круге в разных вариантах встречается в литературе по электродинамике [ 1 ], [2], [о], [31), [32], [41]. Цель работы - представить эти задачи единым комплексом, как частные решения более общей задачи о проводящем круге во внешнем электрическом поле. Общее решение этой задачи позволяет записать подход, использующий комплексный анализ [17],[44], [45].
Пусть проводящий в целом не заряженный круг \г\ < а находится во внешнем электрическом поле с комплексным потенциалом 11(г). В области круга П(г) - аналитическая функция, поэтому её можно представить в круге степенным рядом
Под действием внешнего поле на границе круга наводятся электрические заряды такие, что их электрическое поле компенсирует в области круга внешнее электрическое поле, а так как полный электрический заряд круга равен нулю, то потенциал наведённых зарядов должен обращаться в нуль в центре круга. Поэтому потенциал индуцированных на окружности \г\ = а внешним полем зарядов в области круга
ос
П(*) = Е Ьтгт.
(11)
т=0
П(*) = - Е Ьтгт = П(0) - П(г).
ОС
(1.2)
т=1
1.1. Проводящий круг во внешнем электрическом поле
Вне круга комплексный потенциал индуцированных зарядов
ос
а
2т
П(г) = - Е Ь’т— = п*(0) - П V/**), (1 -3)
7Н=1 2
поскольку в области \г\ > а он представляет собой аналитическую функцию, реальная часть которой на окружности \г\ = а совпадает с реальной частью П(0) - П(г), а в бесконечно удалённой точке П(з) принимает нулевое значение.
Электрическое поле индуцированных зарядов
р* р р _ / п (2) N <а /і д\
Ь -Ьх-1Ьу-у _(П/(а2/^))*(а2/22) |^| > а V*)
на границе круга испытывает разрыв первого рода, величина которого согласно соотношению
•*\ у
(1.5)
<ф) = -є0(п'{г)- + П'*(*)-) = -2е„ ДеП'(г)-
V Д О/ ) \г\=а Й
г \=а
определяет плотность индуцированных зарядов на окружности \г\ = а. Собственную энергию наведённых зарядов находим как
IV = ]• I <т(г)ЯеЩг)^ = -- \ ф) Я.сЩг) (И, (1.6)
2 У V / V / 2
\г\=а \г\=а
где <п - элемент длины окружности. При переходе ко второму равенству здесь учтено, что полный заряд окружности равен нулю. Принимая во внимание соотношение (1.5), можно записать
И' = 5 / (П^ + П'*(.г)^)(11(*) + П*(*))Л.
\г\ =а а
Раскрывая в выражении под интегралом скобки и учитывая, что П(2)П'(2)2/0, и П*(г)П'*(г)г*/а - это аналитические в круге \г\ < а функции от 2 и от 2* соответственно, а также что с помощью формул
^ _ а (1г _ га (1г* гг (II г* (II
справедливых для круга и сводящих интегрирование по длине окружности к интегрированию по 2 и по 2*, получаем
I 1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле
На этом решение задачи о проводящем незаряженном в целом круге во внешнем электрическом поле можно считать законченным, поскольку найдены комплексный потенциал индуцированных зарядов
(1.2), (1.3), их распределение по границе круга (1.5), а также собственная энергия наведённых зарядов (1.6), (1.7). Энергия взаимодействия индуцированных зарядов с внешним электрическим полем будет просто равна взятой со знаком минус удвоенной собственной энергии, то есть
И^ = -2Ж (1.8)
Рассмотрим теперь примеры использования полученных здесь общих формул.
1.1.2 Проводящий круг в мультипольном электрическом иоле т-го порядка
Проводящий круг в мультипольном электрическом поле т-го порядка с комплексным потенциалом
П(г) = Е*тгт = (Етг - гЕт1)гт
поляризуется так, что индуцированные на границе круга заряды создают электрическое поле с комплексным потенциалом
„ _ /Г (р'Тп
П(г) = -От N <а; П(г) = |г| > а,
как это следует из соотношений (1.2) и (1.3). Плотность индуцированных зарядов согласно формуле (1.5)
a(z) = -£0m(E*nzm/a+Emz*Tn/а) = —2 е0шат 1(Етгс.оътО+Етгъи\тв),
= —zt0rncm 1
|2|=в
где 0 = arg г. Собственную энергию этих зарядов находим с помощью соотношения (1.7)
_ „2т I Ещ |
— z7T£077m. ———.
1.1.3 Задача о проводящем круге в электрическом иоле нескольких точечных зарядов
Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов, комплексный потенциал которых равен
Л A«
-5 *'"(¥)
1 1 Проводящий круг во внешнем электрическом ноле
может быть решена с помощью описанной выше общей схемы. Для комплексного потенциала индуцированных зарядов по формулам (1.2) и
(1.3) находим
г - а2/<\
к Л(г)
Щг) = Е 5^т1п 1=1
\z\ > а.
(1.9)
(1-Ю)
Напомним, что значения точечных зарядов вещественны, а также отметим, что потенциал (1.10) представляет собой сумму комплексных потенциалов точечных зарядов — расположенных в точках с?/г*, и комплексного потенциала заряда, равного сумме зарядов Л^и находящегося в центре круга.
Соответствующую плотность индуцированных зарядов определяем по формуле (1.5)
1 AW(a - \z,\cos(6 - в,))
1*1—а
; в — arg г; 0г = arg^. (1.11)
7Г г=1 о? + \гг\2 — 2а\гг\cos (в — 0г)
Для расчёта собственной энергии индуцированных зарядов воспользуемся формулой (6) и, принимая во внимание выражения для <j(z) и П(г), запишем
1 X X A<*>A<>>
о 'ю
W = Re- ГУ Л
2-17-1 27Г£о ы!
/ 1п (Ьг) a^dl
z\—a
Учитывая, что
/ In
1*1—ö
-г - г,. R
j Cj(z) dl = — In ^
гг - ci2/z*
имеем
1 к к
2
^ г=
В частности, если
W = 5 £ £ а«луао0); А, = -L ы
^ г—1 j=l ЛгЄв
2, z* - а2
(1.12)
1 1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле
то
А? . / Л І
иг--^іп(пгі(-5і_ру (1.13)
4тгє0 V,=!,=! \г,г* - а2) )
1.1.4 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей
Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей, комплексный потенциал которых равен
1 * А(?)
п« = ^-Е 1
2тг£0 Т=1 г - гг5
может также быть решена с помощью описанной выше общей схемы. Для комплексного потенциала индуцированных зарядов по формулам (1.2) и
(1.3) находим
1 к А(г^
Ш = Е-т^т 1*1 < а; (1.14)
^£0 *=1 2г)
1 к А(,1)’а2 П(г) = Т, л0:1 0 , Ы > а. (1.15)
2тгЄоїҐі z:\z-ayг'г) 11
Потенциал (1.15) представляет собой сумму комплексных потенциалов
точечных диполей А^ = А^*а2/г*2, расположенных в точках 1% — а2/г*.
Соответствующую плотность индуцированных зарядов определяем по
формуле (1.5)
* м. . м. _ 1 ^ I 4”* . *!*■«•
<Ф)■= Е Л^,(.)+Л^м =
\г\ =а
1 ^ ( А^?(а2 соб в - 2а\гр\ сое 9Р -I- \гр\2 соъ{9 - 29Р)) Хи\а2 біп в — 2а\гр\ віп 0Р + \гр\2 зіп(0 - 2вр))
ргу- Е 1 —Ц ІІЕІІ . (1.16)
тг р=1 V (а2 + 1гр|2 - 2а|гр| соэ(^ - вр))2
(а2 4- |2Р|2 - 2а\гр\ соъ(в - вр))
Для расчёта собственной энергии индуцированных зарядов воспользуемся формулой (1.6) и, принимая во внимание выражения для а(г) и П(г), запишем
1 1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле
Учитывая, что
г А^рДг) + ^ _ д
•/ 7. — 7...
г- гч
имеем
-------- 1 III-------------------Л.
2тгг0 (грг* - а2)2
Здесь точка, стоящая между вектором и матрицей, обозначает матричное умножение. В частности, если
1.1.5 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга
Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга, может быть решена по общей схеме, если в качестве П(.г) выбрать потенциал
то
(1.18)
Комплексный потенциал индуцированных зарядов
|г| > а.
12
1.1. Проводящий круг во внешнем электрическом иоле
Индуцированные заряды будут распределены по окружности |г| = а, как это следует из формулы (1.5), с плотностью
С-л — К(?Р',{г) гР'(г)\ . 0„
Для собственной энергии наведённых зарядов с помощью соотношения
(1.7) получим
А 2
W =
4(2*)*ев| I \ аР'(г) \Р(0) j + aP(z) \Р*(0)))
\z\-a
х г (njPb) 1п пд
v aP(z) Р(0)
r zP'(z) P{z)\ п + ~ÖP[z) Wg Р(б)]
(1.21)
1.1.6 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга
Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями* лежащими вне круга, может быть решена по обшей схеме, если в качестве П(г) выбрать потенциал
Л. P'(z)
1 2тге„ P(z) '
Комплексный потенциал индуцированных зарядов
N_ Ai (Р\0) P\z)\ , , ^
{z) 2теДр(о) P(z)) и ’
(1.22)
д Л, /Р*»(0) P'‘(a?/z*)\
() 2теДр*(0) Р{а2/г") / 11
Индуцированные заряды будут распределены по окружности \z\ = а, как это следует из формулы (1.5), с плотностью
„М ■ bk - У W(1.23)
7г Р 2(z) а
13
1 2 Проводящая прямая во внешнем электрическом поле
Для собственной энергии наведённых зарядов с помощью соотношения
(1.7) получим
И, = ^_ / КА(рі.*)р"(*) ~ р,2(£) £ | д (124)
2(2тг)2£ ^ "Ч Р*(г) а Р*(2) і 1 ’
На основании рассмотренных выше примеров можно сделать вывод о том, что полученное и представленное в комплексной форме решение основной задачи электростатики является простым и универсальным. При решении задачи для проводящего круга в поле любого потенциала нам достаточно знать лишь одну формулу (1.3). Причём решение нетрудно получить практически для любого потенциала, какой только можно себе представить. Немаловажен и тот факт, что с использованием формулы (1.6) на основании полученных в работе результатов можно найти энергетические характеристики полей.
1.2 Проводящая прямая во внешнем электрическом поле
1.2.1 Общие соотношения
Электрическое поле зарядов проводящей прямой Я.ег = О, индуцированных на ней внешним электрическим полем с комплексным потенциалом П(г), представляющим собой аналитическую в области Яег < 0 функцию, может быть выражено обычным образом через его комплексный потенциал
П(г) = ( "Р” (1.25)
[ —П (—г ) при Я.ег > 0.
Действительно, этот комплексный потенциал аналитичен во всех точках комплексной плоскости за исключением точек проводящей прямой Ясг = 0, его реальная часть непрерывна во всей комплексной
плоскости, а на проводящей прямой она в сумме с реальной частью внешнего поля даёт нулевой потенциал, как это и должно быть. Таким образом, потенциал (1.25) является комплексным потенциалом зарядов, индуцированных на проводящей прямой Пег = 0, внешним поле с комплексным потенциалом П(г).
Плотность индуцированных зарядов на проводящей прямой может быть получена как умноженная на электрическую постоянную е0 величина разрыва первого рода, который испытывает на прямой
14