Резонансные явления в динамике заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации

Оглавление
1 Введение 7
1.1 А кту ш і ы і ость тем ы работы............................. 7
1.2 Резонансные явления в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями.................................... 30
1.3 Основные результаты диссертации............................ 44
2 Серфотронное ускорение заряженных частиц 48
2.1 Релятивистская частица в однородном магнитном поле и наклонно распространяющейся плоской электростатической волне......................................................... 51
2.1.1 Уравнения движения................................. 53
2.1.2 Приведение к стандаргному виду в окрестности резонанса .................................................. 56
2.1.3 Захват в резонанс ................................. 61
2.1.4 Рассеяние на резонансе ............................ 72
2.1.5 Заключительные замечания........................... 77
2.2 Серфотронное ускорение релятивистской заряженной частицы ударной волной.......................................... 79
2
2.3 Серфотронное ускорение релятивистской частицы плоской электромагнитной волной.................................... 85
2.3.1 Основные уравнения .................................. 85
2.3.2 Движение вблизи резонанса и захват в резонанс ... 89
2.3.3 Рассеяние на резонансе .............................. 99
2.3.4 Потери энергии, связанные с излучением...............103
2.4 Нерелятивистская частица в однородном магнитном поле и наклонно распространяющейся плоской электромагнитной волне...........................................................106
2.4.1 Постановка задачи и описание динамики ...............107
2.4.2 Эволюция распределения частиц по скоростям .... 114
2.4.3 Обсуждение и приложения..............................115
Динамика электрона в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли 119
3.1 Невозмущенная система: электрон в параболическом магнитном поле................................................122
3.1.1 Параболическая модель магнитного поля в хвосте магнитосферы земли.........................................122
3.1.2 Уравнения движения в отсутствие возмущения .... 124
3.2 Электрон в параболическом магнитном поле и в плоской электростатической волне...................................130
3.2.1 Электростатическая волна..............................130
3.2.2 Движение вблизи резонанса.............................135
3.2.3 Захват в резонанс и рассеяние на резонансе.........139
3.3 Электрон в параболическом магнитном поле и в плоской электромагнитной волне....................................146
3.3.1 Электромагнитная волна.............................146
3.3.2 Динамика вблизи резонанса..........................151
3.3.3 Захват в резонанс .................................154
3.3.4 Рассеяние на резонансе ............................159
3.3.5 Резонансные явления вблизи (5з = О.................160
3.3.6 Динамика набольших интервалах времени и хаос . . 162
3.4 Обсуждение и выводы........................................166
Устойчивые периодические траектории в области переходов через сепаратрису и динамика ионов в магнитном поле с параболическими силовыми линиями 169
4.1 Изменение фазы между двумя переходами через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медленными переменными .....................................................172
4.1.1 Формулировка полученных результатов.................173
4.1.2 Замены переменных. Адиабатическое и улучшенное адиабатическое приближения.................................177
4.1.3 Формула для псевдофазы..............................183
4.1.4 Случай подвижной седловой точки....................195
4/2 Существование устойчивых периодических решений в области переходов через сепаратрису...........................198
4.2.1 Математическая постановка задачи и формулировка результатов...............................................198
4.2.2 Доказательство существования устойчивых периодических решений............................................205
4.3 Устойчивые периодические траектории и острова устойчивости в задаче о движении заряженной частицы в параболической модели магнитного поля...............................230
4.3.1 Модель поля .......................................230
4.3.2 Формулы, описывающие динамику в медленной системе, и переходы через сепаратрису.......................234
4.3.3 Численные результаты...............................237
4.4 Об отсутствии устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрису в несимметричных гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями ........................................................247
4.4.1 Свойства системы и основные предположения .... 247
4.4.2 Адиабатическое и улучшенное адиабатическое приближения .................................................251
4.4.3 Описание перехода через сепаратрису ...............254
4.4.4 Отображение последования...........................256
4.4.5 Отсутствие устойчивых периодических траекторий . 261
4.4.6 Существование периодических решений................264
5 Резонансные явления в некоторых задачах атомной физи-
5
ки 268
5.1 Захват в резонанс в динамике классического атома водорода
в осциллирующем электрическом поле...........................268
5.1.1 Уравнения движения вблизи резонанса 2:1...........269
5.1.2 Захват в резонанс при малых значениях эксцентриситета......................................................275
5.2 Скачок адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в нелинейной двухмодовой модели резонанса Фешбаха..........................................................284
5.2.1 Основные уравнения и фазовые портреты.................289
5.2.2 Изменение адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису ..........................................296
5.3 Направленный транспорт частиц в стохастическом слое . . . 307
5.3.1 Основные уравнения. Диффузия адиабатического инварианта..................................................309
5.3.2 Средняя скорость транспорта...........................313
5.3.3 Случай внешней силы не малой амплитуды................319
6
Глава 1
Введение
Диссертация посвящена исследованию явлений захвата в резонанс, рассеяния на резонансе и перехода через сепаратрису в модельных задачах, описывающих динамику заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации. Полученные результаты носят теоретический характер и подкрепляются результатами численных исследований. В настоящей главе дается общее введение в предмет и основные методы исследования; в заключительном разделе перечислены основные результаты работы, подробное изложение которых содержится в остальных четырех главах.
1.1 Актуальность темы работы
Резонансное взаимодействие заряженных частиц с электростатическими и электромагнитными волнами является одним из наиболее красивых и интересных эффектов физики плазмы, наблюдаемых и в околоземном пространстве, и в лабораторных экспериментах. Резонансные эффекты ак-
7
тивно исследуются, начиная от классической задачи затухания электростатической волны за счёт резонанса с электронами — затухания Ландау [24], и заканчивая современными теориями нагрева и ускорения плазмы (см., например, обзоры и монографии |25, 26, 27, 28]).
Условно методы исследования резонансного взаимодействия волна-частица можно разделить на две группы подходов. Первая группа объединяет методы, используемые для систем с сильным внешним магнитным полем. Исторически именно такие задачи исследовались наиболее интенсивно, так как приложения к лабораторным экспериментам и к области радиационных поясов Земли требовали изучения поведения частицы в случае, когда в отсутствие воли её движение регулярно. Сильное поле приводит к сохранению с высокой (экспоненциальной) точностью магнитного момента, соответствующего усреднению по гировращению заряженной частицы вокруг внешнего магнитного поля. Как следствие, построение теорий резонансного взаимодействия с волнами в такой системе строится как теория возмущения быстрого гировращения и движения вдоль силовой линии силами. действующими со стороны волн. Такие задачи сводятся к учёту гирорезонансом различного порядка, где каждый гирорезонанс соответствует корреляции действия волны на частицу между заданным количеством гиропериодов. При этом эффекты захвата в таких системах обеспечиваются продольной неоднородностью системы [29, 30, 31, 27, 2(3). Даже в присутствии единственной волны неоднородность системы обеспечивает стохастизацию движения частицы [32, 33]. Однако, важным приложениям соответствует и теория резонансного взаимодействия вол на-частица в
8
сильном магнитном поле в присутствии ансамбля волн, когда есть необходимость учёта большого числа возможных резонансов с различными волнами - квазилинейная теория [34, 35. 36|.
Вторая группа методов призвана решить задачу резонансного взаимодействия волна-частица в присутствии слабого магнитного поля, когда силы, действующие на частицу со стороны волны могут превосходить силу Лоренца, действующую со стороны внешнего поля. Эти задачи восходят к проблемам описания эффекта затухания Ландау в слабом магнитном поле [37, 38| и к задачам об ускорении частиц ударными волнами в межпланетном пространстве [39. 40]. Такие задачи не предусматривают рассмотрения силы, действующей со стороны волны, в рамках теории возмущений и не приводят к разложению резонансного взаимодействия по циклотронным резонансам. Вместо этого, основным резонансом в системе является черепковский резонанс, соответствующий совпадению скорости движения частицы в направлении распространения волны и скорости волны. Из-за того, что резонансное взаимодействие может привести к захвату частицы, когда сила Лоренца внешнего магнитного поля полностью компенсирована силой, приложенной со стороны волны, частица меняет свое движение с гировращения на осцилляции в захвате с волной. Таким образом, разложение по гирорезонансам в такой задаче не представляется возможным, так как частица после захвата уже не совершает осцилляций в магнитном поле. При этом в рассматриваемой системе и до захвата и после захвата движение частицы описывается сохранением адиабатического инварианта, но если до захвата данный инвариант - это магнитный момент, то после
9
захвата инвариант соответствует усреднению по быстрым осцилляциям в потенциальной яме волны.
Аналогично вопросам резонансного взаимодействия частицы с волной дело обстоит и с вопросами динамики частицы в неоднородном магнитном поле. Хорошо известно, что уравнения движения частицы не интегрируются в общем случае неоднородного поля, и требуется введение дополнительных инвариантов движения для описания динамики частицы. Наибольшего успеха в этом направлении удалось достичь благодаря теории “ведущего центра”, построенной для систем с сильным магнитным полем [41, 42|. В таких системах пространственные масштабы вариации магнитного поля существенно превышают масштаб гировращения (лар-моровский радиус) и, как следствие, усреднение по гировращению даёт адиабатический инвариант - магнитный момент. Однако, в современной физике космической плазмы всё чаще возникает необходимость описывать динамику частиц в системах с неоднородным, но слабым магнитным полем, когда пространственный масштаб вариации магнитного поля много меньше масштаба гирорадиуса частицы. К таким системам следует, прежде всего, отнести токовые слои - ключевые объекты магнитоплазменных конфигураций, наблюдаемых в хвостовых областях планет [43, 44], в лабораторном моделировании [45, 46, 47, 48], в солнечной короне [49. 50| и в магнитосферах звёзд |51, 52]. В таких системах магнитный момент не сохраняется, однако наличие малого параметра, определяющего отношение масштабов вариации поля и гирорадиуса частиц, позволяет ввести новый ад и абати»іес к и й и и вар и ант [87].
10
Перейдем к более подробному описанию круга, вопросов, рассматриваемых в работе.
Заряженная частица в поле электромагнитной или электростатической волны в присутствии достаточно слабого фонового магнитного поля может при прохождении через резонанс с волной типа черепковского быть захвачена в потенциальную яму волны и начать ускоренное движение вдоль волнового фронта. Это явление называется серфотронным ускорением. Оно рассматривается при описании различных явлений в плазме [39, 53). Исходно этот механизм был предложен для описания ускорения заряженных частиц вдоль фронта ударной волны [39|, и эта тематика до сих пор сохраняет свою актуальность |54, 55, 56]. С другой стороны, существуют различные приложения серфотронного механизма в задачах о генерации высокоэнергетичных частиц в астрофизике [57, 58, 59, 60, 611 и межпланетной среде [62|, а также последующего излучения |63, 64, 65|. В нерелятивистском случае задача о захвате в резонанс рассматривалась, в частности, в работах |66], |67|, |68), [69]. Серфотронное ускорение релятивистских частиц рассматривалось, например, в работах |53|, |70],|71]. Во всех перечисленных работах авторы рассматривают взаимодействие частицы с электростатической волной. В |71|, где рассматривался случай наклонной волны, было показано, что изначально не захваченная в резонанс частица с начальной скоростью, достаточно близкой к скорости света, может захватиться волной и перейти в режим неограниченного ускорения. Полное описание захватов в режим серфотронного ускорения, выбросов из резонанса, рассеяния на резонансе для релятивистской частицы в поле
наклонной электростатической волны проводится в разделе 2.1 настоящей диссертации.
Для реализации механизма серфотронного ускорения необходимо, чтобы внешнее магнитное поле было достаточно слабым. Распространение на фоне такого слабого поля электромагнитных (или электростатических) воли наблюдается, в частности, в хвосте земной магнитосферы. Однако, эффекты захвата в резонанс и рассеяния на резонансе в системах со слабым магнитным полем наблюдаются не только в хвосте земной магнитосферы, но и в солнечном ветре, заполняющем межпланетное пространство. Мезомасштабные структуры солнечного ветра — токовые слои и ударные волны - являются ключевыми структурами, ответственными за ускорение заряженных частиц. Так, хорошо известен эффект наблюдения ускоренных частиц вблизи квазиперпендикулярных ударных волн, ускорение которых связываю!' с серфотронным механизмом (72. 62, 73, 74). Данный механизм рассматривается в перспективе ускорения тяжёлый ионов в солнечной короне |75] и в астрофизических релятивистских ударных волнах |61, 76). Задача о захвате релятивистской заряженной частицы в резонанс с ударной волной рассматривается в разделе 2.2 диссертации.
Серфотронное ускорение частиц электромагнитной волной изучено в меньшей степени. Аналитическая теория была построена только для нерелятивистской |77] или ультрарелятивистской [71, 78) частицы. Численное исследование динамики релятивистской частицы проводилось в [79, 78]. Кроме того, проводились численные исследования случая, когда амплитуда волны мала но сравнению с фоновым магнитным полем [80, 81]; в
12
этом случае энергия частицы растет за счет многократных рассеяний на волне. Для исследования серфотронного ускорения частиц электромагнитными волнами также проводились лабораторные исследования с релятивистскими частицами и волнами большой амплитуды (см. работу |82| и приведенные в ней ссылки). Таким образом, построение полной аналитической теории захватов релятивистской заряженной частицы электромагнитными волнами и возникающего при этом ускорения является важной нерешённой задачей. В случае плоской волны, распространяющейся перпендикулярно к фоновому магнитному полю, эта задача решается в разделе 2.3.
Захват частицы волной и последующее серфотронное ускорение возможно, если фазовая скорость волны меньше абсолютной величины скорости частицы (и, соответственно, меньше скорости света). В этом случае проекция скорости частицы на направление волнового вектора может сравняться с фазовой скоростью волны, что и будет соответствовать условию резонанса. Известны некоторые моды плазменных колебаний, при которых могут распространяться волны с такими свойствами: магнитозвуковая волна с частотой, близкой к нижне-гибридной [77], плазменная волна с частотой, близкой к верхне-гибридной [57] или различные моды дрейфовой неустойчивости (83]. Кроме того, заметим, что относительно малое количество изначально захваченных частиц может уменьшить фазовую скорость волны [84] и обеспечить выполнение условия резонансного взаимодействия.
Хотя резонансное взаимодействие частицы с наклонно (по отношению
13
к фоновому магнитному полю) распространяющейся волной представляет собой распространенное явление (см., например, (3'2|), исследованию серфотронного ускорения нерелятивистской частицы электромагнитной волной в случае ее наклонного распространения уделялось мало внимания. До настоящего времени оно исследовалось только численно (см. работу [85| и приведенные в ней ссылки). Задача о захвате в режим серфотронного ускорения в этом случае рассматривается в разделе 2.4 настоящей диссертации. Отметим, что полученные в этом разделе результаты об ограничении энергии, которую частица может получить от волны, могут быть использованы при исследовании задач о серфотронном ускорении ударными волнами, распространяющимися не строго перпендикулярно к направлению магнитного поля.
Одну из важных задач физики плазмы представляет собой исследование динамики заряженных частиц в магнитных ловушках и, в частности, в магнитосфере Земли. Значительное внимание в последние годы уделялось исследованию динамики заряженных частиц в области обращения магнитного поля в хвосте магнитосферы Земли [86]. В частности, в [87. 88, 89, 90, 91, 92, 93| были изучены различные механизмы хаотизации движения ионов и оценен диапазон параметров электрического и магнитного полей, в котором происходит хаотизация. Были исследованы механизмы разрушения адиабатических инвариантов (магнитного момента и продольного адиабатического инварианта) и оценено время разрушения адиабатической инвариантности и развития хаоса в системе. В работах [92. 94] была исследована динамика ионов в хвосте магнитосферы в при-
14
сутствии электростатической или электромагнитной волны.
Описание динамики частиц в области радиационных поясов также является традиционным объектом приложения теории адиабатических инвариантов [95, 96]. В спокойных геомагнитных условиях движение электронов в поле земного диполя может быть разделено на три периодические составляющие: ларморовское вращение вокруг силовых линий магнитного поля, баунс-колебания вдоль силовых линий между магнитными пробками и медленный азимутальный дрейф частиц вокруг Земли. Каждому такому периодическому движению соответствует свой адиабатический инвариант: магнитный момент, продольный инвариант J■\ и магнитный поток через траекторию частицы, огибающую Землю. Динамика радиационных поясов связана с разрушением этих инвариантов за счёт резонансного рассеяния частиц на волнах |26, 27, 97). Однако, кроме вариаций магнитного поля при волновой активности, определённую роль в разрушении инварианта продольного движения 7ц играют топологические особенности магнитного поля на утренней стороне магнитосферы. В этой области давление солнечного ветра приводит к сжатию силовых линий диполя и в экваториальной плоскости образуется локальный максимум магнитного поля |96|. В результате частица, приходящая на утреннюю сторону за счёт медленного азимутального дрейфа в процессе баунс-осцилляций, оказывается в системе с сепаратрисой на плоскости быстрых (по сравнению с азимутальным дрейфом) переменных. Переходы через сепаратрису приводят к нарушению инварианта и, как следствие, к радиальному транспорту в направлении от Земли [98. 99]. Для описания данного эффекта требуется развитие
теории скачков адиабатического инварианта в гамильтоновых системах с сепаратрисой.
Радиационные пояса магнитосфер планет, обладающих собственным магнитным полем, являются одной из основных областей применения теории резонансных взаимодействий частиц и волы. Так, теория резонансного взаимодействия заряженных частице широким спектром воли лежит в основе описания динамики радиационных поясов (см. оригинальные работы [100, 101, 102) и обзор о современном состоянии дел [97)). При этом резонансное взаимодействие описывается в рамках квазилинейной теории, предполагающей стохастическое рассеяние заряженных частиц в фазовом пространстве |34, 103, 35, 36]. В этом случае эволюция фазовой плотности резонансных частиц рассчитывается с применением диффузионных уравнений, коэффициенты в которых учитывают вклады отдельных циклотронных резонансов 1104. 105, 106. 107, 108]. При этом речь идёт в первую очередь о питч-угловом и энергетическом рассеянии электронов ансамблем вистлерных волн. Данные волны, как правило, распространяются под углом к внешнему сильному магнитному полю 1109, 110, 111|, обеспечивая условия резонансного взаимодействия с электронами на различных циклотронных резонансах в зависимости от магнитной широты [26|
Однако, можно отметить, что кроме широкого спектра низкоамплитудных волн в области радиационных поясов Земли в последнее время были обнаружены сильные (е амплитудой несколько сотен мВ/м) вистлерные волны [112, 113|. Резонансное взаимодействие релятивистских электронов с такими волнами сопровождается эффектом захвата частиц, что в усло-
16
ізиях неоднородного магнитного поля приводит к существенному набору энергии и эффективному питч-угловому рассеянию [114, 32, 33, 115, 116]. При этом, исследование резонансного взаимодействия осуществляется либо в рамках численного моделирования |115, 116], либо в рамках аналитической теории с введением адиабатического инварианта - магнитного момента [32, 33|. Тут можно отметить, что сильное магнитное поле радиационных поясов не позволяет рассматривать возможность компенсации силы Лоренца, действующей на частицу, силой, приложенной со стороны волны. В результате захваты в резонанс возможно только при продольном распространении и соответствуют черенковскому резонансу с учётом гировращения. Как следствие в системе отсутствует эффект серфотронного ускорения, сопровождающийся движением частицы поперёк внешнего магнитного поля за счёт захвата в волну. Однако, данный эффект может реализовываться в на некотором расстоянии от Земли, где магнитное поле диполя существенно искажено поперечными токами горячей плазмы. Так уже на 7-8 радиусах Земли на ночной стороне магнитосферы во время геомагнитных возмущений (суббурь), сопровождающихся инжекциями частиц из «хвостовой» области магнитосферы, значение магнитного поля на экваторе может уменьшиться на порядок и составить всего 10 нТ, что в свою очень существенно влияет на резонансное взаимодействие заряженных частице волнами [117, 118). В этой области силовые линии магнитного поля вытягиваются в противоположное от Земли направление, формируя параболы. При этом инжекция частиц из хвостовой части магнитосферы сопровождается генерацией сильных электромагнитных волн с ампли-
17
тудами в сотни мВ/м 1119]. Распространение данных волн под большим углом к внешнему магнитному полю приводит к усилению электростатической составляющей 1120, 1211 с поперечной компонентой электрического поля. Вопрос о резонансном взаимодействии таких волн с электронами в существенно недипольном магнитном иоле с вытянутыми силовыми линиями до сих пор не рассматривался.
За пределами радиационных поясов папочной стороне земной магнитосферы располагается так называемый магнитосферный “хвост”, представляющей собой область с вытянутыми силовыми линиями магнитного поля, малым значением магнитного поля в экваториальной плоскости и токовым слоем, разделяющим противоположно направленные сильные магнитные поля сверху и снизу от экваториальной плоскости. Так как основная компонента магнитного поля меняет знак при пересечении экваториальной плоскости, то эта плоскость часто называется «нейтральной». Хвосты магнитосфер со схожими конфигурациями существуют на всех планетах с собственным магнитным полем (см., например, обзор |43|). На планетах без магнитного поля (Марс. Венера) существуют индуцированные магнитосферы, обладающие хвостовой областью со схожей конфигурацией силовых линий. Так как магнитное поле вблизи от нейтральной плоскости относительно слабое, то динамика ионов и электронов в этой области принципиально различаются: пространственный масштаб вариации магнитного поля (радиус кривизны силовой линии) оказывается существенно меньше ларморовского радиуса ионов, но всё ещё заметно превышает масштаб ларморовского радиуса электронов. В результате электроны в этой
области “замагиичены” и движутся вдоль силовых линий магнитного поля, в то время как движение ионов уже не контролируется магнитным полем [87].
Представляет интерес исследование динамики электронов в области обращения магнитного поля в присутствии электростатической или электромагнитной волны, распространяющейся под углом к магнитному полю. Этим вопросам посвящена Глава 3 диссертации. Главным различием задач о движении электронов и ионов является то обстоятельство, что характерный ларморовский радиус электрона в системе всегда значительно меньше характерного радиуса кривизны силовых линий магнитного поля, и, следовательно, электрон в системе всегда замагничен, а первый адиабатический инвариант (магнитный момент) сохраняется с высокой точностью. Малость отношения ларморовского радиуса к радиусу кривизны магнитных силовых линий и малость амплитуды волны, позволяют ввести в системе иерархию быстрых и медленных масштабов движения. Рассматривается область значений параметров, где возможен резонанс: проекция усредненной по ларморовскому вращению скорости электрона на направление волнового вектора равна фазовой скорости волны. Электростатические и электромагнитные возмущения, иногда весьма значительной амплитуды, часто наблюдаются в хвосте магнитосферы [122, 123]. В разделе
3.2 мы рассматриваем возмущение в простейшей модельной форме медленной плоской электростатической волны, не вдаваясь в детали происхождения таких волн. Отметим лишь, что рассматриваемому диапазону параметров отвечает, например, волна с частотой, близкой к частоте ниж-
19
него гибридного резонанса. В разделе 3.3 рассматривается влияние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны. Электромагнитные возмущения различных типов в большом количестве присутствуют в хвосте магнитосферы Земли (124, 123, 125, 126).
Сильные токи и наличие потоков горячих частиц приводят к развитию различных неустойчивостей в токовом слое магнитосферного хвоста (см. обзоры 1127, 128|). Так, наиболее существенную роль в перестройке топологии магнитного поля играет разрывная неустойчивость токового слоя, приводящая к формированию областей магнитного пересоединения (129; 130]. Вблизи данных областей формируются быстрые нелинейные электромагнитные волны, распространяющиеся к Земле, так называемые фронты диполизации (131, 132]. Кроме того, области с вытянутыми силовыми линиями магнитного поля по обе стороны от области пересоединения заполнены высокочастотынми плазменными волнами, сформированными за счёт неустойчивости потоков ускоренных частиц (см. обзор (133]).
Одной из актуальных проблем современной физики магнитосфериой плазмы является построение моделей формирования популяции электронов высоких энергий (порядка нескольких десятков кэВ) в хвосте земной магнитосферы. Основной механизм ускорения электроно1з (магнитное пересоединение) не способен обеспечить необходимый масштаб набора энергии. Дело в том, что неустойчивость движения электронов в области магнитного пересоединения приводит к ограничению на энергию, набираемую частицами в этой области [134, 135. 136]. В результате оценки максимальной энергии электронов, ускоренных в области пересоединения,
20
оказываются существенно меньше наблюдаемых энергий [137). Как следствие, необходимо рассмотрение механизмов дополнительного ускорения в токовых слоях в окрестности пересоедииения. Перспективным в этом направлении представляется рассмотрение резонансного взаимодействия электронов с теми волнами, которые наблюдаются в токовых слоях с сильно вытянутыми силовыми линиями магнитного поля [138, 123, 133, 139). Частотный диапазон таких волн простирается от нижней гибридной частоты до электронной циклотронной частоты.
Четвертая глава диссертации посвящена задачам, связанным с переходами через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями. Задачи, в которых имеют место переходы через сепаратрису, возникают во многих областях физики. Помимо задач о движении заряженных частиц в волновых полях (например, 1140, 141, 87)), это явление важно также в радиофизике (распространение коротких радиоволн в ионосфере 1142), физике твердого тела (движение заряженных квазичастиц 1143)), небесной механике (происхождение люков Кирквуда в поясе астероидов [ 144)). гидродинамике (например. 1145, 146, 147)).
Переход через сепаратрису представляет собой особый тип резонанса, при котором частота изменения быстрых переменных системы при замороженных значениях медленных переменных обращается в ноль. При изменении медленных переменных форма сепаратрис изменяется: в частности, может изменяться площадь, охватываемая сепаратрисой на плоскости быстрых переменных. В то же время, площадь внутри замкнутой траектории невозмущенной (при замороженных значениях медленных пе-
21
ременных) системы является адиабатическим инвариантом точной системы и приближенно сохраняется в ходе эволюции. Это приводит к тому, что фазовые траектории точной системы могут переходить через сепаратрису нсвозмущенной системы. Поскольку на сепаратрисе частота изменения быстрых переменных обращается в ноль, стандартный метод усреднения здесь не работает. Пусть малый параметр е определяет отношение типичных скоростей изменения медленных и быстрых переменных. Оказывается, что при переходе через сепаратрису значение адиабатического инварианта (действия в быстрой системе) испытывает скачок, имеющий две составляющие. Одна из них порядка единицы, связана с геометрией задачи (так называемый геометрический скачок) и другая составляющая, малая по параметру е (в типичной ситуации она имеет порядок eine), которая, собственно, и обусловлена неадиабатичностью движения, и которую можно рассматривать как случайную.
Формулы для изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису были сперва получены для гамильтоновых систем с одной степенью свободы, гамильтониан которых зависит от медленно изменяющегося параметра [140, 148, 149|. Такие системы являются частным случаем систем с быстрыми и медленными движениями. Для гамильтоновой системы с быстрыми и медленными переменными такая формула была получена в |150|. При рассмотрении результата многократных переходов через сепаратрису важна связь между значениями быстрых фаз при двух последовательных переходах. Для случая гамильтоновой системы, зависящей от медленно изменяющегося параметра, такая формула
22
была получена в 11511. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными переменными соответствующая формула получена в разделе 4.1 Главы 4 настоящей диссертации. Формула для скачка адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису, проходящую через вырожденную седловую точку (эта задача важна, в частности, при рассмотрении динамики ионов в бифурцированном хвосте магнитосферы Земли), рассматривалась в |152].
Многократные переходы через сепаратрису приводят, как показывает численный эксперимент и эвристические рассуждения, к хаотизации динамики в большом области фазового пространства (см., например, [149,150)). Надо отмстить, однако, что строгих результатов о хаосе в области переходов через сепаратрису практически не существует. Упомянем работу [153], где доказывается наличие в этой области множества нулевой меры, на котором динамика хаотична, точнее, эквивалентна подкове Смейла (напомним, что мера самой области есть величина порядка единицы). Визуально в ряде задач область переходов через сепаратрису выглядит как область динамического хаоса (см. [154, 155|), в которой отсутствуют какие бы то ни было острова устойчивости. В [156) показано, что индивидуальный остров устойчивости в этой области, если он существует, не может иметь меру, превышающую по порядку є. Тем не менее, в работе |157| (см. также [158]) для системы, зависящей от медленно меняющегося параметра, при выполнении дополнительных условий симметрии было установлено наличие в области переходов через сепаратрису большого числа (порядка с-1) островов устойчивости, каждый из которых имеет меру порядка є. Тем са-
мым, суммарная мера островов устойчивости есть величина порядка единицы и не стремится к нулю при стремлении £ к нулю. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными движениями вопрос о наличии устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрисы рассмотрен в разделе 4.2 Главы 4 настоящей диссертации. Нарушение упомянутых выше дополнительных условий симметрии приводит к тому, что периодические траектории в области переходов через сепаратрису становятся неустойчивыми. В разделе 4.4 Главы 4 диссертации доказывается, что в общем случае при достаточно малом значении е в области переходов через сепаратрису отсутствуют периодические траектории любого наперед заданного периода, за исключением, может быть, проходящих аномально близко к седлу.
Задача о переходах через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медленными движениями тесно связана с исследованием динамики ионов в хвосте магнитосферы земли [87|. Если вопрос динамики электронов в токовых слоях можно рассматривать в рамках классической теории ведущего центра, то для описания динамики ионов эта теория оказывается неприменимой. При этом можно отметить, что сама структура токового слоя хвоста земной магнитосферы определяется токами ионов, и, как следствие, для понимания и моделирования токовых слоёв необходима наиболее подробная информация и движении ионов. Так, особую роль в структуре токового слоя играют ионы на резонансных траекториях, движение по которым не предполагает рассеяния в нейтральной плоскости. Эти ионы, при наличии границ у токового слоя, обладают разомкнуты-
24
ми траекториями, позволяющими им переносить существенный ток поперёк магнитного поля [159, 160, 161, 162, 163|. Как следствие, изучение особенностей динамики таких частиц и оценка устойчивости их движения но отношению к изменениям геометрии системы, представляет собой актуальную задачу. В работе [87] было показано, что в задаче о динамике ионов в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли многократные переходы через сепаратрису приводят к разрушению адиабатического инварианта и его диффузии. Представляет интерес применение полученных в Главе 4 результатов об устойчивых периодических траекториях к этой задаче. Этому посвящен раздел 4.3 диссертации. Устойчивые периодические орбиты соответствуют в хвосте земной магнитосферы частицам, проходящим токовый слой без изменения инварианта. Такие частицы, при наличии квазистационариого электрического поля, связанного с эффектами обтекания магнитосферы солнечным ветром, формируют ускоренные пучки частиц - т. и. бимлеты 1164]. Эти пучки регулярно обнаруживаются в хвосте земной магнитосферы 1165, 166, 167] и являются важным источником информации о структуре дальнего хвоста |168|. Более того, токи, переносимые ионами без скачков адиабатического инварианта в токовом слое, во многом определяют свойства токового слоя на 10-30 радиусах Земли на ночной стороне магнитосферы и ответственны за интенсификацию различных плазменных неустойчивостей (см. обзор [128]).
Глава 5 диссертации посвящена рассмотрению трех задач атомной физики, в которых удается эффективно применить методы исследования ре-
25
зонансных явлений. Это задачи о захвате в резонанс в динамике классического (ридбергского) атома водорода, о прохождении конденсата бозе-ферми через резонанс Фешбаха и о направленном транспорте в стохастическом слое в уравнении, описывающем движение частицы в одномерном периодическом потенциале.
Динамика сильно возбужденных (ридберговских) атомов в микроволновых полях является объектом многочисленных исследований в последние десятилетия. После экспериментов Бейфилда и Коха 1169] и теоретической работы Леопольда и Персиваля [170| стало понятно, что определенные существенные свойства динамики ридберговских атомов водорода могут быть описаны в рамках классического подхода. В более поздних исследованиях методы классической механики дали неожиданно точные результаты в ряде задач о поведении атома водорода в слабых медленно изменяющихся полях (см. [171] и ссылки в этой работе). В работе [171] было показано, что эта точность связана с тем, что в пределе, когда внешнее поле можно рассматривать как малое возмущение, средние значения определенных квантовых величин подчиняются тем же уравнениям, что и соответствующие классические величины, усредненные по кеплеровскому движению.
Одним из основных применений классической механики в данной области являются задачи о хаотической ионизации атомов Ридберга. При достаточно большой амплитуде внешнего поля начинает выполняться чи-риковский критерий перекрытия резонансов [172], и фазовая точка, описывающая состояние системы, может диффундировать в фазовом про-
26
странствс, пока не произойдет ионизация атома. Этот механизм ионизации был подробно исследован для различных конфигураций и поляризаций внешних полей. Упомянем, в частности, ионизацию в линейно поляризованном микроволновом поле, в поле с круговой поляризацией (см. |173| и приведенные там ссылки), в эллиптически поляризованном поле [174|} в поляризованной по кругу микроволне и фоновом магнитном поле |175|.
Другой приложимой к этому кругу задач классической идеей является возможность контроля кеплеровского движения с использованием резонансного взаимодействия с волной малой амплитуды и медленно изменяющейся частоты. Такого рода задачи рассматривались в |176| для одномерной модели и в |177| для трехмерной модели. В частности, в последней работе изучался атом водорода в линейно поляризованном электрическом поле с медленной уменьшающейся частотой. Было показано, что при прохождении через резонанс 2:1 (т.е., когда частота внешнего поля в два раза превышает кеплеровскую частоту) система с изначально нулевым эксцентриситетом электронной орбиты захватывается в резонанс. В захваченном состоянии кеплеровская частота движения электрона изменяется таким образом, чтобы приближенно поддерживалось выполнение резонансного условия. В ходе такой эволюции эксцентриситет орбиты растет, что может приводить к ионизации атома. В разделе 5.1 подробно исследована эта задача и получены новые по сравнению с предшествующими работами результаты о захвате в резонанс.
Понятие адиабатической инвариантности играет важную роль в квантовой механике 1178, 179|. Связь между медленными квантовыми пе-
27
реходами и изменением адиабатического инварианта линейного осциллятора изучалось в работе |180|. Задачи, связанные с динамикой бозе-эйнштейиовсикх конденсатов 1181, 182, 183, 184, 185), приводят к необходимости рассматривать нелинейные системы. Во многих моделях среднего поля, относящихся к физике ВЭК (таких, как нелинейные модели Ландау-Зенера |186|, макроскопический квантовый самозахват [187, 188] и т.д.), обнаруживается существенная роль нелинейных эффектов, сходных с теми, что имеют место в классических нелинейных системах. Одним из таких эффектов является разрушение адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису. Это явление играет существенную роль в физике ВЭК. поскольку изменение классического действия в нелинейной двухуровневой модели связано с вероятностью перехода между двумя состояниями (модами). В разделе 5.2 рассматривается нелинейная модель среднего поля, описывающая медленное прохождение через резонанс Фешбаха квантового газа фермионных атомов, связанного с ВЭК двухатомных молекул |189| (для краткости, будем называть такую систему конденсатом Бозе-Ферми). Система находится в медленно изменяющемся магнитном поле, и при величине этого ноля, соответствующем резонансу Фешбаха, для сталкивающихся атомов становится энергетически выгодным объединение в двухатомные молекулы. С этой задачей тесно связаны и рассматриваемые в последнее время нестационарные задачи динамики конденсатов Бозе-Ферми ([ 190, 191, 189]) и связанных атомномолекулярных ВЭК [192, 193, 194]). Приближение среднего поля для таких систем весьма плодотворно и не тривиально [190]. Замечательно, что
28
в приближении среднего поля многие задачи приводятся к классическим гамильтоновым системам. Мы рассматриваем модель 11S9] в случае ненулевого начального числа частиц в молекулярной фракции. Прохождению через резонанс соответствует переход через сепаратрису в модели среднего поля. В разделе 5.2 диссертации получена формула для изменения действия, которое в рамках модели дает величину остаточной атомарной фракции.
В последние годы значительный интерес исследователей привлекает тема транспортных явлений в нелинейных системах. В частности большое и постоянно растущее число публикаций посвящено динамике систем, в которых возможно направленное (в среднем) движение под действием внешних сил с нулевым средним (это явление иногда называют “рэтчет”, от английского “ratchet.” - храповик). Активное исследование таких систем связано с их важностью для задач о движении броуновских частиц в пространственно периодических потенциалах, направленном транспорте молекулярных моторов в биологии, обнаружением явления рэтчета в квантовой физике (см. обзор |195| и приведенные в нем ссылки). Вообще говоря, явление рэтчета возникает благодаря недостаточной симметричности пространственно периодического потенциала или внешней силы. Представляют интерес микроскопические механизмы этого явления. Один из возможных подходов связан с пренебрежением диссипацией и шумом, что позволяет прийти к гамильтоновой системе с детерминированным возмущением. Это делает возможным применение результатов и методов, развитых в теории гамильтонового хаоса [196]. В последние годы
29
появилось большое число статей, в которых исследовались такие гам ил ь-тоновские рэтчеты (см., например, (197, 198, 199, 200, 201, 202, 203]). В частности, в [201] направленный поток оценивается в случае, когда в хаотической области фазового пространства имеются острова устойчивого движения. Границы таких островов могут быть “клейкими’' [204] (т.е. типичная хаотическая фазовая траектория может проводить в окрестности такого острова большое время) и эта клейкость вместе с несимметричностью островков оказывается ответственной за направленный транспорт. В разделе 5.3 диссертации рассматривается задача о движении частицы в пространственно периодическом потенциале под влиянием медленно периодически изменяющейся внешней силы с нулевым временным средним. Показано, что хаотизация динамики в значительной части фазового пространства обусловлена многократными переходами через резонанс (сепаратрису), и получена формула для средней скорости направленного транспорта на больших интервалах времени.
1.2 Резонансные явления в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями
Исследование медленного прохождения гамильтоновой системы через нелинейный резонанс было начато в работе [205]. С математической точки зрения, наличие резонансов приводит к неинтегрируемости и хаотизации динамики в системе [206, 207]. В настоящем разделе описывается общая теория явлений рассеяния на резонансе и захвата в резонанс [208, 209). В
30
изложении мы следуем работе [4|.
Необходимость рассматривать системы с движениями разных временных масштабов, быстрыми и медленными, возникает при изучении многих физических задач. Переменные в таких системах могут быть разделены на две группы - быстрые и медленные. Адиабатическим инвариантом в таких системах называют величину, которая мало изменяется в ходе эволюции системы на больших интервалах времени, таких, на кагорых изменение медленных переменных не мало. Другими словами, адиабатический инвариант представляет собой приближенный первый интеграл системы. В качестве хорошо известного примера можно упомянуть задачу о движении заряженной частицы в плавнонеодиородном магнитном поле, то есть в поле, которое мало изменяется на расстояниях, порядка ларморовско-го радиуса. В таком движении отношение квадрата ортогональной полю компоненты скорости частицы к величине напряженности поля остается приближенно постоянным. Это свойство используется в магнитных ловушках.
Адиабатические инварианты представляют собой важные динамические величины. Если система имеет достаточное количество адиабатических инвариантов, ее движение набольших интервалах времени близко к регулярному. С другой стороны, разрушение адиабатической инвариантности является одним из механизмов хаотизации динамики.
Как правило, адиабатические инварианты возникают как интегралы усредненной системы. Система с быстрыми и медленными движениями
31
часто может быть записана в виде системы с вращающимися фазами:
X = е}[х,<р,£)
ф = и(х)+єд(х,<р,є)
где од },д - векторы, е - положительный малый параметр, характеризующий скорость изменения медленных переменных х. Переменные 1р - быстро вращающиеся (с частотой ш) фазы, причем функции / и д зависят от фаз 27г—периодически. Для приближенного описания динамики в (1.2.1) можно воспользоваться методом усреднения (см., например, [210, 211|), т.е. использовать вместо первого уравнения в (1-2.1) усредненное уравнение
Здесь Т1 - результат усреднения функции / по V? при е = 0. Если усредненная система приближенно описывает движение в точной системе и имеет первый интеграл 1{х), этот интеграл является приближенным интегралом системы (1.2.1), то есть ее адиабатическим инвариантом. Однако это справедливо, только если метод усреднения работает. Так обстоит дело, например, в одночастотных системах, где <р представляет собой скаляр. В случае много частотных систем возникает проблема резонансов.
Резонансное условие кіиі(х) + ... + кпи)п(х) = 0, где к = (А,-ь ..., кп) - целочисленный ненулевой вектор, о; = (оц, ...,о;п), определяет поверхность в пространстве медленных переменных, называемую резонансной поверхностью. Частоты ы зависят от переменных х} и, когда они медленно изменя-
Я=^(х), ^ =(/>?=,)
(1.2.2)
32
ются, фазовая точка усредненной системы может пересекать резонансную поверхность. Поведение соответствующей фазовой точки точной системы может существенно отличаться от движения в усредненной системе. Далее будет кратко рассмотрена теория резонансных явлений в гамильтоновых двухчастотных системах с быстрыми и медленными движениями.
Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом
Н = Яо(р, <?, I) + еЯ,(р, 1, <р, е), (1.2.3)
где € - положительный малый параметр, и парами канонически сопряженных переменных являются (р,£-1) 6 К2п и (/,<р) 6 Е2 х Т2. Соответствующие уравнения движения имеют вид
ая0 2дн1 р = -£^~£^ дН0 2дн] я ~ £ др + е др дН\
; = -е-
д<р
■ дН0^ дИ1
*’“«Г + еаГ (1'24)
Первые три уравнения описывают эволюцию медленных переменных, а последнее - поведение быстрых фаз. Системы типа (1.2.4) часто возникают следующим образом. Допустим, что гамильтонова система содержит быстрые и медленные переменные, и при замороженном значении медленных переменных, остающаяся подсистема для быстрых переменных (назовем ее быстрой системой) интегрируема. Следовательно в быстрой
33
системе можно стандартным образом внести переменные действие-угол. В этом случае гамильтониан полной системы может быть приведен к виду (1.2.3) (см., например, [208, 209]). Для усреднения системы (1-2.4) следует усреднить гамильтониан (1.2.3). Усредненный гамильтониан не зависит от переменных и усредненная система (называемая в этом случае системой в адиабатическом приближении) выглядит следующим образом:
дЩ . дН0 •
р=-£w q = s~di' 1 = 0- (L2-5)
Таким образом, компоненты вектора I являются интегралами усредненной системы и хорошими кандидатами на роль адиабатических инвариантов точной системы. Поведение (р, q) в (1.2.5) описывается гамильтоновой системой, зависящей от I как от параметра, которая может быть полностью исследована в важном случае п = 1. Следовательно, фазовая траектория адиабатического приближения лежит в плоскости I = const и, в случае п = 1 представляет собой пересечение поверхности уровня гамильтониана #о с этой плоскостью. Предположим, что эта траектория адиабатического приближения пересекает резонансную поверхность. Как ведет себя соответствующая фазовая траектория точной системы? Оказывается, что здесь возможны два типа явлений.
Первым из них является захват в резонанс. Траектория точной системы отслеживает адиабатическую траекторию до пересечения с резонансной поверхностью, где уходит из окрестности адиабатической траектории и начинает следовать вдоль резонансной поверхности. Таким обра-
34