Электродинамическая теория зеркальных и полосковых антенн

Содержание
Введение.........................................................7
Глава 1. Общий подход к постановке и решению электродинамических задач анализа зеркальных антенн с произвольной формой рефлектора..................................16
1.1. Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на конечном экране произвольной формы. Интегральное представление поля отраженной волны в произвольной точке пространства................................................16
1.2. Система гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих поверхностной плотности тока на поверхности экрана........................22
1.3. Численный алгоритм решения системы гиперсингулярных интегральных уравнений......................................23
1.4. Постановка внутренней задачи анализа зеркальной антенны. Интегральное представление поля излучения в произвольной точке пространства.............................29
1.5. Система гиперсингулярных интегральных уравнений для зеркальных антенн...........................................33
1.6. Поле в дальней зоне. Диаграмма направленности..........35
1.7. Эффективная площадь рассеяния зеркальных антенн........36
Глава 2. Электродинамический анализ зеркальной антенны с плоским рефлектором.............................................38
2.1. Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на конечном экране прямоугольной формы.
Интегральное представление поля отраженной волны в произвольной точке пространства.........................38
2.2. Система гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих поверхностной плотности тока на поверхности экрана........................40
2
2.3. Численный алгоритм решения системы гиперсингулярных интегральных уравнений.......................41
2.4. Постановка внутренней задачи анализа зеркальной антенны с плоским рефлектором. Интегральное представление поля излучения в произвольной точке пространства..................................................46
2.5. Система гиперсингулярных интегральных уравнений для зеркальной антенны с плоским рефлектором..............47
2.6. Поле в дальней зоне. Диаграмма направленности...........49
2.7. Численные результаты....................................51
Глава 3. Электродинамический анализ зеркальной антенны с рефлектором в виде параболического цилиндра.......................75
3.1. Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на конечном экране в форме параболического цилиндра. Интегральное представление поля отраженной волны в произвольной точке пространства...............................75
3.2. Система гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих поверхностной плотности тока................................................79
3.3. Численный алгоритм решения системы гиперсингулярных интегральных уравнений........................................80
3.4. Постановка внутренней задачи анализа зеркальной антенны с рефлектором в виде параболического цилиндра. Интегральное представление поля излучения в произвольной точке пространства..................................................87
3.5. Система гиперсингулярных интегральных уравнений для зеркальной антенны с рефлектором в виде параболического цилиндра..............................................89
3.6. Поле в дальней зоне. Диаграмма направленности...........92
3.7. Численные результаты....................................93
Глава 4. Матрица поверхностных импедансов границы раздела диэлектрик-диэлектрик с односторонней металлизацией...............117
4.1. Постановка задачи.....................................117
4.2. Матрица входных импедансов............................118
4.3. Матрица поверхностных адмитансов.......................124
4.4. Матрица поверхностных импедансов.......................125
Глава 5. Электродинамический анализ микрополоскового вибратора произвольной ширины..................................127
5.1. Постановка задачи. Интегральное представление поля 127
5.2. Гиперсингулярное интегральное уравнение относительно
функции распределения плотности тока на поверхности вибратора..............................................129
5.3. Численный алгоритм решения гиперсингулярного
интегрального уравнения................................132
5.4. Численные результаты...................................138
Глава 6. Электродинамический анализ тонких полосковых антенн.........................................................142
6.1. Интегральное уравнение первого рода для конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны..................142
6.2. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью
Гильберта для конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны........................................147
6.3. Алгоритмы решения сингулярного интегрального уравнения: метод ортогонализирующей подстановки и метод обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.....................................149
6.4. Диаграмма направленности конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны.................................155
6.5. Интегральное уравнение первого рода для планарной полосковой рамочной антенны.................................157
6.6. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта для планарной полосковой рамочной антенны......162
6.7. Решение сингулярного интегрального уравнения для планарной полосковой рамочной антенны методом ортогонализирующей подстановки...........................167
6.8. Диаграмма направленности планарной полосковой рамочной антенны..................................................173
6.9. Рамочные антенны. Численные результаты..................174
6.10. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн........185
6.11. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн................189
6.12. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки............190
6.13. Диаграмма направленности системы соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн................191
6.14. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных планарных полосковых рамочных
антенн...................................................192
6.15. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Г ильберта для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн...............................196
6.16. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки...................197
6.17. Диаграмма направленности системы соосных планарных полосковых рамочных антенн...............................197
5
6.18. Система соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн. Численные результаты.......................198
6.19. Интегральное уравнение первого рода для конформного цилиндрического полоскового вибратора.......................204
6.20. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши для конформного цилиндрического полоскового вибратора.. 207
6.21. Решение сингулярного интегрального уравнения с особенностью Коши методом обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение Фредгольма второго
рода....................................................212
6.22. Диаграмма направленности конформного цилиндрического полоскового вибратора.......................................214
6.23. Конформный цилиндрический полосковый вибратор. Численные результаты........................................215
6.24. Система интегральных уравнений первого рода для связанных полосковых вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях.. 227
6.25. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши для связанных конформных цилиндрических полосковых вибраторов........................230
6.26. Решение системы сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши методом ортогонализирующей подстановки.................................................233
6.27. Диаграмма направленности системы связанных конформных цилиндрических полосковых вибраторов........................235
6.28. Система связанных конформных цилиндрических полосковых вибраторов. Численные результаты.................235
Заключение......................................................241
Список использованных источников................................243
Приложения......................................................255
Акт внедрения в ФГУП ФНПЦ «НИИИС им. Ю.Е. Седакова» 255
Акт внедрения в ФГУП НИИ «Экран»............................256
6
Введение
При анализе действующих антенн, а особенно при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности. Помимо характеристик антенн в режиме передачи, немаловажно с заданной точностью рассчитать их характеристики в режиме радиоприема. Особенно важно знать эффективную поверхность рассеяния (ЭПР) антенны, т.к. в настоящее время в связи с разработкой эффективных радиопоглощающих материалов обшивки боевых целей (самолетов, кораблей, танков и т.д.), а также оптимизацией их геометрических форм, особенно самолетов, отражающая способность этих объектов стала определяться в основном рассеивающими свойствами антенн, устанавливаемых на них [1].
Существующие в настоящее время программы расчета антенн для ПЭВМ (в основном зарубежного производства), основанные на общих численных методах решения уравнений Максвелла, продаются как готовый ^ «закрытый» продукт, внутреннее содержание которого, как правило, не раскрывается. Поэтому оценка погрешности расчетов с помощью таких программ, требующих громадных затрат вычислительных ресурсов, ? практически невозможна. Более того, общие алгоритмы, построенные на основе общих вычислительных методов, зачастую могут быть неустойчивыми.
Задача строгого расчета параметров любой антенны обычно решается в два этапа. На первом этапе (внутренняя задача анализа антенны) определяют электрические и магнитные токи на некоторой виртуальной поверхности, которую в дальнейшем будем называть поверхностью излучения. На втором этапе (внешняя задача анализа антенны) по найденным токам на поверхности излучения определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. К настоящему времени решение внешней задачи по известному распределению токов для болыиин-ства известных излучателей особой проблемы не представляет. Почти все проблемы, связанные с построением адекватных физических и математических моделей излучающих систем, относятся к внутренним задачам анализа теории антенн.
Математические модели многих внутренних задач теории антенн сводятся к одномерным, хорошо изученным, сингулярным интегральным уравнениям (СИУ): для вибраторных, рамочных, спиральных и др. [2]. Сложнее обстоит дело с антеннами, краевые задачи для которых сводятся к
7
двумерным СИУ. Наиболее типичным представителем такой излучающей системы является зеркальная антенна.
Обычно анализ зеркальной антенны сводится к решению задачи дифракции электромагнитной волны, возбуждаемой облучателем, на рефлекторе (зеркале). Как известно, существует три основных метода решения подобных задач: метод геометрической оптики, метод физической оптики и метод интегральных уравнений.
Метод геометрической оптики заимствован из классической теории света. В его основе лежат закон Снеллиуса и принцип Ферма, которые применимы лишь для зеркал сверхбольших электрических размеров. Данный метод использован в [3] для анализа зеркальной антенны с диаграммой направленности специальной формы. В [4] этим же методом исследовано поле излучения параболической антенны в случае ее возбуждения импульсным полем. В [5] даже рассчитано поле в ближней зоне антенны таким методом, что в корне неверно. Поле, отраженное зеркалом, в ближней зоне имеет все шесть компонент (три компоненты вектора и три компоненты вектора ), даже если оно облучается поляризованной волной, а метод геометрической оптики не учитывает векторный характер поля, поэтому для его анализа в ближней зоне он неприменим, его можно использовать лишь для дальней зоны, где волна является чисто поперечной. В методе геометрической оптики вообще понятие “поле“ не вводится.
Метод физической оптики состоит в определении электромагнитного поля излучения по известному распределению возбуждающего поля на плоской поверхности раскрыва зеркала (апертуре) в соответствии с теоремой эквивалентности. Пренебрегая влиянием ряда факторов, считают, что излучающей поверхностью является только апертура. Для упрощения задачи излучением относительно малых электрических поверхностных токов на теневой стороне зеркала пренебрегают. Данный подход имеет очень много ограничений. Он неприменим для рефлекторов с малыми электрическими размерами, а также в том случае, если локальный радиус кривизны рефлектора не везде достаточно велик по сравнению с длиной волны. В добавок ко всему этот метод не учитывает краевые эффекты на кромках зеркала. Еще одним ограничением является то, что этот метод не учитывает многократного рассеяния, т.е. он не учитывает обратное воздействие рефлектора на облучатель и им невозможно рассчитать дифракцию на нескольких телах. Данный подход дает неудовлетворительные результаты, если рефлектор относится к группе самозатеняющихся [6]. А самое главное
8
— им невозможно корректно рассчитать электромагнитное поле в ближней зоне антенны. Но все же метод физической оптики точнее метода геометрической оптики. Применение этого метода к расчету ЭПР зеркальных антенн описано в [7].
Большинства из вышеописанных недостатков лишен метод интегральных уравнений. Общий подход к решению задач дифракции таким методом развит в работах Ильинского A.C. В [8,9] последовательно исследуются математические модели теории дифракции, дано математическое обоснование корректности математических задач. Исследованы вопросы существования и единственности решений задач теории дифракции.
Метод интегральных уравнений заключается в определении поля, рассеянного зеркалом, по наведенным на нем токам. Функции распределения токов на поверхности зеркала определяются из решения интегрального уравнения (ИУ), к которому сводится краевая задача на поверхности зеркала. Этот метод намного сложнее методов физической и геометрической оптики. Самой большой трудностью при решении ИУ является наличие сингулярности в его ядре. Этому методу в литературе уделяется очень мало внимания, по-видимому, из-за его сложности. Хорошо описаны методы решения СИУ с традиционными «слабыми» одномерными сингулярностями: логарифмическими, Коши и Гильберта. При анализе зеркальных антенн возникают мало изученные гиперсингулярности [10,11], т.е. сингулярности более сильные, чем указанные выше, кроме того, они являются двумерными. Двумерные особенности также мало изучены. Вторая причина (в литературе она практически не обсуждается) является следствием следующего обстоятельства. Обычно при расчете любой антенны (в том числе и зеркальной) анализируется поле в ее дальней зоне, и, как правило, не обращается внимание на то, что традиционные методы не применимы для анализа электромагнитного поля (ЭМП) в ближней зоне антенны (любой) [2,12]. Более того, отсутствует предельный переход ЭМП к плотности тока на поверхности антенны , т.к. известно, что поверхностная плотность тока связана с напряженностью магнитного поля соотношением , где — вектор нормали к поверхности, на которой находится функция , которая, как правило, определяется из ИУ первого рода, содержащего в неявном виде особенности (сингулярности), когда точка источника совпадает с точкой наблюдения. Типичная ситуация — уход от сингулярностей, например, с помощью разнесения точек наблюдения и источников. В результате
9
возникает ИУ Фредгольма первого рода. Наиболее известные уравнения такого типа — уравнения Поклингтона и Халлена для вибраторной антенны. Таким образом, задача определения поверхностной плотности тока на любой антенне без учета сингулярностей в ИУ первого рода является математически некорректной [2,12,20], поэтому небольшие ошибки в могут привести к огромным (в литературе даже есть термин «катастрофическим») ошибкам для ЭМП. В связи с вышесказанным необходима регуляризация при определении.
В работе [13] предпринята попытка корректно подойти к численному решению задачи дифракции на незамкнутых поверхностях произвольной формы. Однако, эта работа имеет ряд недостатков. Неизвестными функциями в системе СИУ (6) (ссылки на формулу (6) на этой странице относятся к работе [13]) являются проекции плотности тока на единичные орты криволинейной системы координат не в точке источника, как это должно быть, а в точке наблюдения, как будет показано ниже, в криволинейных системах координат они, в отличие от декартовой, не равны друг другу, причем эти функции в [13] являются функциями только координат точки источника, а это неверно, так как проекции вектора плотности тока, протекающего в точке источника, на единичные орты в точке наблюдения должны быть функциями координат как точек источника, так и точек наблюдения. Другими словами, в [13] непонятно, что выступает в качестве неизвестных функций в системе СИУ (6). Численный алгоритм решения системы СИУ, предложенный в этой статье, является ни чем иным, как методом дискретных вихрей, разработанным Лифановым И.К. [14]. Данный алгоритм в том виде, в котором он описан в [13], даже при его реализации на современных ЭВМ, позволяет рассчитывать распределения токов только на зеркалах электрически малых размеров (размер апертуры которых не более ), естественно при условии корректно составленной системы СИУ.
Одной из главных тенденций развития современной радиоэлектроники СВЧ является миниатюризация габаритных размеров конечных устройств. Значительные успехи в этом направлении получены при самом широком использовании в СВЧ-модулях микрополосковых антенн (МПА). Пристальный интерес исследователей и разработчиков связан с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками, возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения таких антенн.
10
Основой МПА является слоистый диэлектрик, который выполняет как определенные «электрические», так и конструктивные функции. Неоднородность поперечной структуры устройства усложняет механизм излучения электромагнитных волн (дополнительные потери в диэлектрике, поляризационные эффекты, появление комплексных волн). Комплексные волны в электродинамических структурах впервые обнаружены Раевским С.Б. В [15,16] рассмотрены вопросы теории и практического применения комплексных волн в направляющих электродинамических структурах. В работах [17,18] внутренняя задача анализа микрополоскового вибратора сведена к ИУ относительно плотности тока на его поверхности. Ядро данного ИУ в неявном виде содержит особенность, которую авторы не учитывают и сводят это уравнение к ИУ Фредгольма первого рода. Кроме этого, предложенное ИУ справедливо лишь для тонких полосок, у которых ширина много меньше их длины и длины волны. Корректный расчет полосково-щелевых линий передачи и базовых элементов на их основе описан в [19].
Поэтому возникает необходимость построения строгих электродинамических и математических моделей, основанных на СИУ, решение которых относится к корректным задачам, а также устойчивых алгоритмов решения внутренних и внешних электродинамических задач для двумерных излучающих структур, таких как зеркальные антенны и микрополосковые излучатели произвольной ширины. Разработка таких моделей и алгоритмов позволит создавать принципиально новые быстродействующие САПР, позволяющие рассчитывать антенны данного типа с точностью существенно превышающей максимально возможную в существующих САПР. Точный расчет позволяет существенно снизить материально-временные затраты на конечную доводку и настройку разрабатываемых антенн. Для излучателей, математические модели которых основаны на одномерных СИУ в [12] разработан метод устранения некорректностей [20], который назван методом физической регуляризации (в литературе иногда он называется самосогласованным методом).
Целью диссертационной работы является разработка строгой электродинамической теории зеркальных и полосковых антенн, основанной на математическом аппарате СИУ.
11
Основные задачи работы:
- разработка строгого самосогласованного метода решения задач дифракции электромагнитных волн на конечных экранах произвольной формы. Под самосогласованным методом понимается вывод сингулярных интегральных представлений (СИП) ЭМП антенны, которые на ее поверхности естественным образом переходят в СИУ относительно тангенциального ЭМП на этой поверхности;
- строгое решение задач дифракции электромагнитных волн на плоском экране и экране в форме параболического цилиндра;
- решение в строгой самосогласованной постановке внутренней и внешней задач анализа зеркальных и полосковых антенн. Рассмотрены следующие антенны:
а) зеркальная антенна с плоским рефлектором;
б) зеркальная антенна с рефлектором в виде параболического цилиндра;
в) микрополосковая вибраторная антенна;
г) полосковая рамочная (кольцевая) антенна.
Методы исследования
Основные результаты диссертационной работы получены с помощью математического аппарата электродинамики, теории СИУ и гиперсингулярных интегральных уравнений (ГСИУ), численных методов решения СИУ и ГСИУ, методов математического моделирования.
Научная новизна работы состоит в разработке теоретических положений, совокупность которых можно классифицировать как новое крупное научное достижение в теории антенн, а именно:
1. Разработан строгий самосогласованный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на конечных экранах произвольной формы. Получены численные результаты для следующих экранов: плоский и в виде параболического цилиндра.
2. Самосогласованным методом строго решены внутренняя и внешняя задачи для зеркальных антенн с плоским рефлектором и рефлектором в виде параболического цилиндра.
3. Учтена отраженная от рефлектора волна, изменяющая распределение плотности тока на поверхности облучателя, что позволяет оценить степень рассогласования входна антенны и искажения диаграммы направленности.
12
4. Самосогласованным методом решена внутренняя задача анализа микрополоскового вибратора произвольной длины и ширины.
5. При анализе микрополоскового вибратора самосогласованным методом установлено наличие в нем резонансов при определенных значениях толщины подложки, что ранее никем не было замечено.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом численные методы решения СИУ и ГСИУ корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением полученных результатов для некоторых излучающих структур с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью иных методов, а также с результатами моделирования в системе CST MicrowaveStudio; анализом физического смысла решений; исследованием внутренней сходимости и устойчивости численных алгоритмов. Достоверность полученных результатов подтверждается также выполнением предельных переходов полученных уравнений для некоторых излучающих структур в известные соотношения.
Научная и практическая значимость
1. Распределения суммарной плотности токов, наводимых падающей электромагнитной волной на обеих сторонах (освещенной и затененной) конечных экранов: плоского и в форме параболического цилиндра.
2. Диаграммы рассеяния вышеуказанными экранами падающей волны.
3. Исследованы распределения плотности токов на поверхности рефлектора и облучателя зеркальной антенны с плоским рефлектором и рефлектором в виде параболического цилиндра, их диаграммы направленности и оценки входного сопротивления.
4. Методика строгого расчета ЭПР зеркальных антенн, основанная на самосогласованном методе.
5. Зависимости входного сопротивления микрополоскового вибратора от его длины и толщины подложки при различных значениях ее диэлектрической приницаемости.
Самой важной ценностью данной работы является то, что разработанный в данной диссертации самосогласованный метод расчета зеркальных и полосковых антенн позволяет рассчитывать поля рассеяния и излучения
13
антенн в любой точке пространства, в том числе и в ближней зоне, включая плотность тока на поверхности антенны.
Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для излучения и приема электромагнитных волн. Кроме того, результаты, полученные в данной работе (в частности, методика строгого расчета ЭПР) крайне полезны для решения задач по снижению радиолокационной заметности боевых целей, т.к. отражающая способность современных боевых самолетов и кораблей определяется в основном рассеивающими свойствами антенн, устанавливаемых на них. Результаты работы внедрены в ФГУП «НИИ «Экран» (г. Самара), ФГУП ФНПЦ «Научно-исследовательский институт измерительных систем им. Ю.Е. Седакова» (г. Н. Новгород).
Основные положения, выносимые на защиту
1. Самосогласованные математические модели задач дифракции электромагнитных волн на конечных экранах произвольных форм: системы ГСИУ относительно неизвестных компонент плотности тока на поверхности экрана.
2. Самосогласованные математические модели зеркальных антенн, учитывающие взаимное влияние рефлектора и облучателя друг на друга: системы ГСИУ относительно неизвестных компонент плотности тока на поверхностях рефлектора и облучателя.
3. Численный алгоритм решения систем ГСИУ, основанный на комбинации метода коллокации и метода дискретных вихрей.
4. Результаты численного электродинамического анализа зеркальных антенн с плоским рефлектором и рефлектором в виде параболического цилиндра: результаты исследований распределений плотности токов на поверхностях рефлектора и облучателя и диаграмм направленности; влияние формы рефлектора на диаграмму направленности; расчеты входного сопротивления.
5. Результаты численного электродинамического анализа микрополоскового вибратора: зависимости входного сопротивления от геометрических
размеров вибратора и параметров подложки, обнаружение ранее никем не выявленых резонансов в микрополосковом вибраторе при определенных толщинах подложки.
6. Самосогласованные математические модели узких полосковых рамочных и вибраторных антенн: СИУ с ядрами Гильберта и Коши относительно
14
производной функции, описывающей продольное распределение плотности тока на поверхности антенны.
7. Результаты численного электродинамического анализа узких полосковых рамочных и вибраторных антенн: распределения токов на их, зависимости входного сопротивления от длины, диаграммы направленности.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на IX, X, XII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII Российских научных конференциях профессорско-
преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики (Самара, 2002-2011); на 1-Х Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001, 2003; Волгоград, 2004; Нижний Новгород, 2005; Самара, 2006; Казань, 2007; Самара, 2008; Санкт-Петербург, 2009; Челябинск, 2010; Самара, 2011); VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2001); IX Международной научно-технической конференции «Оптические,
радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды» (Ульяновск, 2004); Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 50-летию образования ЦСКБ-Прогресс и 90 летию со дня рождения Д.И. Козлова «Актуальные проблемы ракетно-космической техники и ее роль в устойчивом социально-экономическом развитии общества» (Самара, 2009).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 57 работ, в том числе 21 статья в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 128 наименований, содержит 256 страницы текста, в том числе 105 рисунков.
Личный вклад автора
3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, опубликованы соискателем без соавторов. В остальных работах: математические выкладки, численные расчеты, анализ полученных результатов и оформление их для публикации. Все результаты данной диссертационной работы получены автором лично.
15
Глава 1. Общий подход к постановке и решению электродинамических задач анализа зеркальных антенн с произвольной формой рефлектора
1.1. Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на конечном экране произвольной формы. Интегральное представление поля отраженной волны в произвольной точке пространства
Экран представляет собой бесконечно тонкую идеально проводящую криволинейную поверхность 5 (рис. 1.1). Под действием падающей волны на нем наводятся электрические токи, которые в свою очередь возбуждают электромагнитную волну, которую будем называть отраженной.
Запишем выражение, связывающее вектор напряженности электрического поля Е в данной точке пространства с векторным электродинамическим потенциалом А в этой точке [22].
где © — циклическая частота, 80 — электрическая постоянная, к = 2%/Х —
волновое число, \ — длина волны, где А — векторный
электродинамический потенциал равный
Я(р,ц) — расстояние между точкой наблюдения и точкой источника,р, # —
координаты точки наблюдения и точки источника соответственно, 5 — излучающая поверхность.
Известно следующее соотношение [21]:
divp(il(?)G(A9)) = (gradpG(p,?)>ri(9)) + G(p^)div/,ii(?) (1-4)
Индекс р в операторах div и grad означает, что дифференцирование производится по координатам точек наблюдения. Так как &\vpr\(q) = 0, то в рассматриваемом случае
/соєє0£ = к2А + grad div А,
(1.1)
А= \r\{q)G(p,q)dS,
(1.2)
5
где л(<?) — плотность тока на поверхности £, (7(л<7) — функция Грина, равная
e-ikR(p,q)
(1.3)
divp = (gradp G{p,q ),л (?)).
(1.5)
16
Тогда выражение (1.1) с учетом (1.2) и (1.5) можно записать в виде
/соєє0£ = к2 jr\(<])G(p,q)dS + gradp /(grad, G(p,q),r\(qj)dS, (1.6) s s
Или в виде
/соєє0£ = J(Pii(9)G(p)^r) + grad/,(grad;,G(p,^r),'n(^)))6?5', (1.7)
s
Введем систему ортогональных криволинейных координат а, Р, у. Пусть связь криволинейных координат с декартовыми определяется формулами
х = д:(а,р,у), iy = _v(a,p,y), z = z(a,p,y). (1.8)
Для того, чтобы корректно выполнить скалярное произведение в (1.7), необходимо учесть тот факт, что используемая система координат является криволинейной, поэтому проекции вектора л на единичные орты /а, /р, /у в точке источника q, не будут равны проекциям вектора rj на единичные орты /а, /р, /у в точке наблюдения р, поэтому необходимо вектор fj перенести из точки источника д(а',Р',у') параллельно самому себе в точку наблюдения р(а,Р,у) и найти его проекции на орты /а, /р, /у в точке наблюдения [23].
Здесь и далее координаты точки источника будем обозначать со штрихами, координаты точки наблюдения — без штрихов. Проводя несложные математические преобразования получаем:
Ла(Р»ї) Ча'аіРЛ) Ьра(Р’Ч) ^а(Р’Я) Па'(?)
Лр(Р><?) = (Р.?) $т'рЬ>?)
лу(л?) ^■у{Р,я) ЇріІР’Я) \у-у{Р,ч)_
где
Лв, Лр> Лу — проекции вектора л на орты /а, /р, в точке наблюдения р( а,М);
17
Ла'» Лр* Л/ — проекции вектора г\ на орты /а, /р, /у в точке источника ?( а'.Р'.г');
— элементы матрицы переноса (у' = а',Р',у'; и-а,Р,у)равные
4 ■ =——
'vVu і і
К к
ґ дх дх 5у ду dz ôz
t
dv' du dvf du dv'du где hu и hv< — коэффициенты Ламе, равные [21]
(1.10)
h =
ґск'
KÔT;
+
ду\ (д£\
U
дт
, T = V ,и.
(1.11)
Фактически элементы матрицы переноса представляют собой проекции единичного орта в точке источника на единичный орт /и в точке наблюдения.
Запишем выражение для вычисления скалярного произведения векторов в (1.7):
(gvbàpG(p,q),r\(q)) =
где
G(a,p,y,a',p',y') =
1 dG 1 dG 1 dG
ha da T*ct /2p oP ^ hy dy
-ikR( аД,у,а',Р',у')
(1.12)
4яЛ(а,р,у,а',р',у')’ Л(а,Р,у,а',р',у') = [(д:(а,Р,у)-л:(а',Р',у'))2 +
(1.13)
+(^(a.P.Y)-3'(a',P',r'))2 + (z(a’P>Y)--z(«'.P'.Y'))2]2
Подставим ( 1.9) в ( 1.12)
(gradf,G(/>,9),n(?)) = 7]-^(v4a'c1 +Пр'4р'а +Îly4ya) +
(1.14)
JJG \ Ôp
(По’4а'р + Пр'£р'р + Лу4ур ) + + %4p'y + Лу4уу )• ( 1 • 15)
Теперь с учетом (1.9) и (1.15) перейдем от векторного уравнения (1.7) к системе скалярных
/С0ЄЄ0£а = ££2(ЛсАі'а + Лр'^'а +Л^/а)^ +
1 d ( 1 oG
da { h» da
(Ла'4а'а + %4р'а + Лу4уа )
+
18
\__3G_
/^ар
1 дв
\_dG_
ИР
(ЛсАр + Л Ар + Л А* ) + ^ду (^«А* + Л А'У + Л/^/у ) /Ю880£р = ЛУ(п<Л,'р+лР’4р'р + П^/Р)с +
5
+^5р(^Э^Ла^а’“ + Пр'^'° + п^“)+
1 зс
(Па^а'Р + Пр^рр + Лу^у'р ) + —-^(Ла^а'у + Лр-^рт + Лу^у’у ) /(0880Еу = |У (Лс^а-у + Лр^р-у + Лу^у’у)С? +
(/5, (1.16)
«К,(1.17)
1 д( 1 дв( , , , \
_1_ае Ь зр
1 дв
(ЛсДа'Р + Лр'^р'р + Пу^ур ) + —-^-(ПсДа'у + Лр'^р'у + Лу'^у'у )
(/5,(1.18)
Пусть 5 совпадает с частью координатной поверхности а = а0. Будем считать б' бесконечно тонкой и идеально проводящей, тогда плотность полного тока, наведенного на поверхности £ (т.е. сумма плотностей токов, наведенных на обеих ее сторонах) будет иметь лишь две составляющие (касательные к поверхности 5) — и г\у, т.е.
IV =0. (1.19)
Представляя элемент поверхности с1Б в виде
^ = (1-20)
и учитывая (1.19), перейдем в (1.16), (1.17), (1.18) от поверхностных интегралов к кратным. В итоге выражения (1.16), (1.17), (1.18) упростятся и примут вид:
Ра Та
*088*5,- ^(%^с.+ЛЛ'а)С + ^-^^^(л^Р'а+Лу^а) +
Р* Уа
1 дв
1 дв
1 дв
Ар ар
(лр'^р'р + Лу'^у'р) + Т--^“ (лр^р-у + Л/4у'у)
Ьу Зу
У^Р'</у'> (1.21)
Ра Га
г©880£р = ] |
Ре У а
к2 (л Ар+л Ар)^+-^ Тр
\_3G_
Л да
(лАа +ЛАа)
+
19
(лр^р'р + Л/^р ) + ТТ^гК^Р'г + Лу'^/у)
/сове,
ъ ар
РаТа
а-и
$а У а
1 дв
к, ду
*2(%^у+лА'у)С+-“
1 ас
к^к^Н, (1-22)
уЛ 5а
(Лр^р'а+Л^т'а) +
^(^ет»+Т1А1»)+^”а7^р^р'т+Т1г'^,у)
кр/уфау, (1.23)
где (Ра,Р6) и (ул,у*) — границы поверхности 5 по криволинейным координатам Р и у соответственно.
Выражения в (1.21), (1.22), (1.23) справедливы для любой точки пространства, в том числе и для ближней зоны. При Я —> 0 подынтегральные выражения в (1.21), (1.22), (1.23) обращаются в бесконечность. Чтобы вычислять поля в точке /? -» О и в ее окрестности необходимо выполнить следующее.
Разложим функцию г~ш в ряд Тейлора окрестности точки Я = 0. Разложение функции /(2) в окрестности точки 2 = 20 в ряд Тейлора имеет вид [21]:
+ • (1-24)
п=\ П! «
2=Г0
Так как в выражениях (1.21), (1.22), (1.23) порядок производной функции Грина не превышает 2, то в (1.24) ограничимся членами ряда п< 2.
к-2 /?2
е-'“ = 1-ЙЫг~2у-. (1.25)
Функция Грина (1.13) при #-»0 примет вид:
Со=7-
4л
1 *2ДЧ
1К-----------
К 2
(1.26)
В выражениях (1.21), (1.22), (1.23) к функции Грина прибавим и вычтем (1.26)
Ра Та
/шее0£а= | | *2(%^-а+Т1у^Та)ДС + —
1 а
Ро Та
1 ада
аа
\_dAG Л 5а
+ + +11Л'г)
(Лр'§Э'а+Пт4/а) +
20
Рг. У а
+
| \ к* (Лр’^р'а + Лу^у'а ) ^0 + Л
МЛ
+1^0 \ ар
Ра Уь
/соеб0£р = | | Ра То
1 аде?
1 А
да
_1_5Сд
Л 8а
(Лр'^р'а + Лу^/а)
+
1 ас?п
(пр-^рр +Лг^р)+7--т^(ли^г + ЛАу)
\ ду
Нр/ураг, (1.27)
1 д. 3 Г1 аде
ар 1л За
(л^р'а+ЛД'а)
\ 5р
Э*Уа
(лр^ +Т1г.^)+-1^(л^т + Лу'^у)
Лу зу
/_
+ I I 1(2 (лр'^'р + Лу^/Р )^о + —^ —^-(пр'4Р'а+ЛЛ'а) +
Ра УаЬ
1 за
1 ас?
(лр-^рр + лЛ’р)+^--^-(лР'^у+Лу'^уу)
^2Мру + ЛЛу)АС?Ч|
^ ар
РаУа
/СОЕ Ё0£т =|| Ра Уа
1 ада
А Эа
ЬрИ^Р'сУУ, (1.28)
(Лр^р'а+ЛЛ'а) +
1 ЗАО
\ ар
Ра Уа
(Лр^р'р + ЛЛ'Р) + 7 ^г(лр^Р'у + Лу'^уу )
Ау Зу
1 д I I двг
АД.</р'с/у' +
+ П *2(%^'г+ЛЛ'г)С0+^^-^(Лр^а+ЛЛ'а)
+
Ра Уа *-
1 за
^(лр£рр+лЛр)+т-^(прг4ргу+лАу)
Ар.^.с/р’й/у'. (1.29)
^ 5р V -Р-РР 'У -ГР/ ^ ^
В выражениях (1.27), (1.28), (1.29) слагаемые с функцией АС и производными от нее не содержат особенности, а слагаемые с функцией С0 и производными от нее содержат особенности. Выделение особенности в явном виде в дальнейшем упростит разработку алгоритма решения гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестной функции распределения плотности тока на поверхности рефлектора и численного алгоритма вычисления интегралов от слагаемых с особенностями для вычисления поля в ближней зоне.
21
1.2. Система гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих поверхностной плотности тока на поверхности экрана
Напряженность электрического поля Е в точке наблюдения р будет складываться из напряженности электрического поля падающей Е'пс и напряженности электрического поля отраженной £геГ волн.
Ё = Ё™ + £геГ,
или в проекциях
Еи=Е™+Е?,
(1.30)
(1.31) где и = а,р,у.
На поверхности зеркала (а = а0, р є [р„,р*], у є [уа>Уь]) должны выполняться
граничные условия для тангенциальных компонент напряженности электрического поля.
£р = 0,£г = 0, (1.32)
Выражение (1.31) на рефлекторе с учетом граничных условий (1.32) можно записать в виде:
гіпс _ ггеГ ”^Р - £р , гіпс _ птії
Ну -Яу .
(1.33)
Подставив (1.28), (1.29) в (1.33), получим систему гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих поверхностной плотности тока
Ра Уа
-і(0£Є0ЕрС =||
Ра Га
1 ВАС Л да
1 дЛЄ г \ 1 ВАЄ (у е \
(Лр'^р'Р + +7 ^Р'у + ^г'Ь/у )
ар
Ра Уа РаУа
і ас
Ау Эу
(Лр'^р'а + ЛгЧг'а ) +
А^А^'с/уЧ
*2 (Лр-^р'р +т1г'^'р)С!о
_1_Э^
Л да
(%$р'а +ЛЛ'а)
1 ЗС7Я
Ар ЭР
(Лр-^р'р +Лт^р) + Т-^Мр'г +т1А'г)
Ау Эу
Ap.Ay.jpVy', (1.34)
Ра Уа
-/совє0£'пс
Ра Уа
*2(%4ру + +ЛУ^а) +
22
1 ЗА G к \ 1 &AG (г г \
(VU-p + tySypj+T“Т—(Лр'^р'у + )
S аР
Рл Га
JJ
fykfrffidy +
+
*2(%^r+VVr)Go+“-
Ра Та
1 ЭД
1 ад
чЛа 5а
МЛр^р-а +ЛЛ'а) +
(Лр'^р'р +Лт-^'р) + Г^(11р’^г + ЛЛу)
/* Зр 4 Р МР ‘Т"7Р' А, 0у
где £рпс, Е'"с — известные выражения для р и у составляющих напряженности электрического поля падающей волны.
1.3. Численный алгоритм решения системы гипсрсингулярных интегральных уравнений
Систему (1.34), (1.35) будем решать методом коллокаций, причем в качестве точек коллокации будем использовать Гауссовы узлы. Представим неизвестные составляющие функции распределения поверхностной плотности тока в виде:
оо со
(1.36)
(1.37)
%(Р',У> I EC/f( №y(Y)>
т=0 /»=0
(Р'>у')=I Ё<./»р' (putY (г').
m=0»=0
где В^п, Вутп — неизвестные коэффициенты разложения в ряды функций г|р.(Р',у') и rty(p',y') соответственно,
/т Р (Р)> fn f (у) — базисные функции описывающие распределение rty по координате Р и у соответственно,
/1^ (р), /луу (у) — базисные функции описывающие распределение rjy. по
координате р и у соответственно.
При выборе базисных функций /JfP’(P), /яРг(у), //Р (Р), /„rV(y)
необходимо учитывать поведение составляющих г\р и Tty на кромках
зеркала. Т.е. если компонента Tty (tty) направлена перпендикулярно к
кромке, то она на ней должна обращаться в ноль, а если по касательной, то в бесконечность.
Подставим (1.36), (1.37) в (1.34), (1.35)
23