Коллективные эффекты в ансамбле дислокаций и формирование субграниц при деформации металлов

Оглавление
Введение ................................................................. 6
I. Основные модели и уравнения динамики дислокационного ансамбля ............................................................ 16
1.1. Динамика деформируемого кристалла с дислокациями................. 22
1.1.1. Уравнения континуальной теории дислокаций................. 22
1.1.2. Теоретико-полевые модели.................................. 24
1.2. Уравнения динамики дислокаций в самосогласованном приближении . 31
1.2.1. Особенности эволюции системы винтовых и краевых дислокаций 35
1.2.2. Эффективная диффузия дислокаций........................... 42
1.3. Теоретические модели волн пластической деформации................ 47
1.3.1. Волны плотности дислокаций................................ 48
1.3.2. Волны разупрочнения пластической деформации............... 60
1.4. Рекомбинационная неустойчивость однородного состояния в ансамбле дислокаций ........................................................... 77
1.5. Выводы к главе .................................................. 83
II. Экранирование упругого поля в ансамбле дислокаций 86
2.1. Кинетическая теория экранирования упругого поля дислокаций ...... 87
2.1.1. Экранирование поля в системе винтовых дислокаций. Эффективный потенциал взаимодействия 90
2.1.2. Экранирование ноля в системе краевых дислокаций. Эффективная функция напряжений Эйри 93
2.2. Эффект притяжения дислокаций..................................... 98
2
2.3. Выводы к главе
100
III. Корреляционные эффекты в ансамбле дислокаций . 102
3.1. Пространственная корреляция флуктуаций плотности дислокаций .... 103
3.2. Эволюционные уравнения при учете корреляционного взаимодействия дислокаций................................................... 108
3.3. Корреляционная неустойчивость.................................... 110
3.3.1. Неустойчивость в ансамбле винтовых дислокаций.............. 110
3.3.2. Неустойчивость в ансамбле краевых дислокаций............... 112
3.4. Флуктуационное ноле внутренних напряжений........................ 117
3.5. Выводы к главе .................................................. 118
IV. Формирование неразориентированных дислокационных структур ячеистого типа ........................................... 120
4.1. Закономерности эволюции дислокационных структур при пластической деформации и теоретические подходы к описанию структур ячеистого типа........................................................ 120
4.2. Кинетическая теория формирования ячеистых структур в монокристаллах ........................................................... 154
4.2.1. Определяющие уравнения и неустойчивость однородного состояния в ансамбле дислокаций.................................. 155
4.2.2. Нелинейная динамика дислокационного ансамбля и формирование ячеистых структур ....................................... 160
4.2.3. Обсуждение результатов..................................... 169
4.3. Выводы к главе .................................................. 178
V. Формирование разориентированных дислокационных структур в поликристаллах ......................................... 181
5.1. Структурно-кинетические аспекты явления фрагментации ............ 183
5.1.1. Разориентированные структуры на стадии развитой пластической деформации................................................ 184
3
5.1.2. Дисклинационные механизмы фрагментации..................... 194
5.2. Кинетический подход к описанию формирования разориентирован-
ных областей кристалла вблизи дисклинаций .........................212
5.2.1. Самосогласованная динамика дислокационного ансамбля в упругом поле дисклинаций .........................................213
5.2.2. Экранирование упругого поля дисклинации распределенным дислокационным ансамблем..........................................216
5.2.3. Экранирование упругого поля дисклинационного диполя 220
5.2.4. Формирование разориентированных областей и упругая энергия экранированных дисклинаций ...................................223
5.3. Анализ влияния свободной поверхности и размера пластической зоны на эффект экранирования упругою поля дисклинации. Численные результаты ............................................................. 228
5.4. Выводы к главе .................................................. 235
VI. Моделирование процессов формирования оборванных субграниц ............................................................... 239
6.1. Компьютерная модель динамики дислокационного ансамбля............ 241
6.2. Моделирование кинетики дислокационного ансамбля и процессов образования субграниц в упругом поле дисклинации.........................244
6.2.1. Формирование субграницы в процессе пластическою течения, заданного внешним полем...........................................244
6.2.2. Формирование субграницы в процессе аккомодационного пластического течения............................................... 251
6.2.3. Эффект экранирования упругого ноля дисклинации дискретно распределенным дислокационным ансамблем ..........................259
6.3. Моделирование процесса образования полосы переориентации..........262
6.3.1. Формирование дипольной системы субграниц в упругом поле
дисклинационного диполя.................................... 262
4
6.3.2. Формирование дипольной системы субграниц в упругом поле
планарного мезодефекта.................................. 266
6.4. Моделирование процессов образования субграниц в упругих полях наведенных мезодефектов .............................................270
6.4.1. Формирование субграниц в бикристалле................... 270
6.4.2. Фрагментация в трикристалле.............................274
6.5. Выводы к главе .............................................. 277
Заключение ......................................................... 285
Список литературы .................................................. 289
5
Введение
Построение теории эволюции микроструктуры металлов и сплавов в процессе пластического течения является одной ив фундаментальных задач физики прочности и пластичности. Одним из ключевых вопросов теории является описание наблюдающихся на опыте закономерностей возникновения и развития неоднородных дислокационных структур, формирующихся при пластической деформации материала. Несмотря на успехи, достигрутые в области экспериментальных исследований эволюции структуры и реологии пластического течения деформируемых твердых тел, до настоящего времени нет строгой количественной теории, достоверно описывающей эти закономерности. За последние десятилетия наметился отход от традиционных представлений теории дислокаций, введены новые понятия о структурных уровнях деформации, дисклинациях, мезодефектах, структурно-неустойчивых состояниях, диссипативных структурах [1-12).
Развитие новых представлений инициировалось исследованиями по изучению закономерностей эволюции дефектной структуры при пластической деформации моно-и поликристаллов, а также влияния структурных изменений на механические свойства материалов (14-24].
Было отмечено, что реакция материала на внешние воздействия определяются не столько индивидуальными свойствами дефектов, сколько коллективными свойствами ансамбля дефектов в целом. При этом деформируемый кристалл следует рассматривать как открытую неравновесную систему, а пластическое течение — как диссипативный процесс |9, 12]. Такое поведение дефектов, и прежде всего дислокаций, обусловлено их дальнодействующим упругим взаимодействием и кинетическими особенностями динамики [25]. При этом наличие у дислокаций "заряда" (вектора
6
Бюргерса) вызывает развитие в дислокационном ансамбле явлений, характерных для плазмоподобных сред [26].
На стадии развитой пластической деформации развитие коллективных мод движения в ансамбле сильно взаимодействующих дислокаций приводит к возникновению специфических неоднородных распределений плотности дислокаций. Они получили название мезодефектов |1, 4, 5]. Именно эволюция мезодефектов при пластической деформации контролирует процессы фрагментации, т.е. процессы образования структурных дефектов ротационного типа, приводящих к измельчению зеренной структуры материапа. Наиболее типичными дефектами такого рода оказались оборванные дислокационные границы, которые возникают и развиваются в неравновесных условиях непосредственно в ходе пластической деформации материала |5). Их кристаллографический анализ позволил показать, что субграницы обладают свойствами частичных дисклииаций, а образование субграниц в поликристаллах происходит со стыков и изломов границ зерен, где формируются при пластической деформации особые мезодефекты — стыковые дисклинации [5, 7]. Таким образом, проблема описания процессов зарождения и роста оборванных границ оказалась тесно связанной с задачей возникновения и распространения частичных дисклинаций в деформируемом кристалле. В соответствии с этим были предложены дисклинационные модели оборванных субграниц, которые в целом хорошо отражали характер экспериментальных данных [3|. Вместе с тем, эти модели имеют существенный недостаток. Будучи сугубо статическими они оставляли открытым вопрос об эволюционных механизмах зарождения субграниц и их устойчивости. Дело в том, что в равновесных, статических условиях оборванные дислокационные границы не наблюдаются. Они формируются в резко неравновесных условиях, в открытых термодинамических системах, каковыми являются кристаллы на стадии развитой пластической деформации. Еще 20 лет назад в своем классическом труде В.В.Рыбин показал |1), что при больших пластических деформациях разориентированные структуры деформационного происхождения (включая оборванные субграницы) являются существенно
7
кинетическими образованиями и при последовательном рассмотрении должны описываться в рамках кинетического подхода.
Отмоченные особенности деформации твердых тел указывают на необходимость изучения проблемы в рамках представлений неравновесной статистической физики открытых систем (27, 28). В последние годы ее развитие шло двумя путями: во-первых, развивался и совершенствовался математический аппарат для описания нелинейных неравновесных систем [29, 30]. Во-вторых, был достигнут определенный прогресс в областях приложения этого научного направления. Причем, если в первом случае исследования проводились на основе некоторого класса базовых моделей, то во втором случае основная проблема заключалась в формулировании исходных уравнений, позволяющих описывать сложные процессы самоорганизации и кооперативной динамики элементов исследуемой системы. Именно такая постановка проблемы является актуальной при изучении процессов пластической деформации в деформируемых кристаллических материалах [31, 32, 25, 33].
В самосогласованной постановке система эволюционных уравнений динамики дефектов является интегро-дифференциальной [34], а с учетом кинетики дислокационных реакций и существенно нелинейной, что не позволяет провести ее аналитическое исследование ввиду очевидных математических сложностей. Поэтому самосогласованное описание либо не используется, либо учитывается в форме, допускающей только численное исследование системы. В этой ситуации для выявления эффектов самосогласованной динамики представляется целесообразным рассмотреть эволюцию дислокационной системы на модельном уровне для определенного класса физически обоснованных и решаемых задач. Одним из таких модельных объектов является ансамбль прямолинейных дислокаций. Как показано в настоящей работе для объекта с таким взаимодействием исходные эволюционные уравнения могут быть достаточно строго записаны в локальной дифференциальной форме, что позволяет, во-нервых, использовать известные методы нелинейного анализа в нахождении возможных неоднородных решений, и, во-вторых, решить ряд новых актуальных задач,
8
связанных с выходом за рамки приближения сплошной среды, а именно, на строгом уровне учесть эффекты флуктуационной динамики дислокаций.
Цель работы заключалась в том, чтобы, во-первых, на уровне континуального описания сформулировать строгую самосогласованную систему эволюционных уравнений динамики дислокаций и на основе этих уравнений исследовать коллективные кинетические эффекты зарождения и эволюции неоднородных разориелтированных и нсразориснтированных дислокационных структур; во-вторых, на уровне дискретного описания — развить методы компьютерного моделирования кинетики дислокационного ансамбля и процессов формирования оборванных субграниц.
В соответствие с поставленной целью комплекс основных задач заключался в следующем:
1. Построение базовой системы уравнений самосогласованного поля эволюции дислокационного ансамбля в деформируемых кристаллах и нахождение пространственно - волновых решений для конкретных моделей, описываемых этой системой уравнений.
2. В рамках представлений о системе дислокаций как о плазмоподобной среде — теоретическое исследование явления экранирования упругого поля дислокаций, эффектов их корреляционного взаимодействия, связанных с динамикой флуктуаций, и построение уравнений эволюционной динамики с учетом выявленных эффектов.
3. Исследование закономерностей формирования неразориентированных дислокационных структур ячеистого типа на основе сформулированных базовых уравнений динамики дислокационного ансамбля.
4. В рамках кинетического континуального подхода теоретическое исследование закономерностей гетерогенного зарождения и формирования разориеитированных дислокационных структур — оборванных субграниц.
5. Исследование процессов фрагментации и формирования оборванных субграниц на основе метода компьютерного моделирования.
9
Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения:
- на основе континуальной теории дислокаций, включающей уравнения динамики твердого тела с дислокациями, сформулированы эволюционные уравнения динамики дислокаций в приближении самосогласованного поля; предложены уравнения самосогласованной динамики для модельных объектов — ансамбля винтовых и краевых дислокаций, для которых развиты нелинейные методы анализа эволюции дислокационной системы в деформируемом кристалле;
- впервые систематически исследован эффект экранирования упругого поля дислокаций. Получены выражения для радиуса экранирования, эффективных полей напряжений и потенциалов взаимодействия в ансамбле винтовых и краевых дислокаций;
- изучены эффекты, связанные с корреляционным взаимодействием в ансамбле дислокаций. Впервые на строгом уровне определены радиус корреляции, энергия корреляционного взаимодействия, двухчастичная корреляционная функция, корреляционный поток дислокаций. Построены эволюционные уравнения динамики дислокаций при учете корреляционного взаимодействия;
- на основе развитых оригинальных моделей динамики дислокационного ансамбля обнаружены и исследованы диссипативные неустойчивости, приводящие к формированию неоднородных дислокационных структур как стационарных (диссипативные структуры ячеистого тина), так и бегущих автоволновых структур;
- впервые описаны эффекты коллективного поведения краевых дислокаций и их пространственного упорядочивания в упругом поле дисклинации, приводящие к эффекту экранирования поля дисклинации и существенному понижению упругой энергии дислокационно - дисклинационной системы;
- на основе компьютерного моделирования впервые исследованы эффекты самосогласованного зарождения мезодефектов и роста субграниц в процессе пластической деформации. Проведено исследование механизмов фрагментации в бикристалле
10
и трикристалле.
Научное и практическое значение. Диссертационная работа имеет фундаментальный характер, поскольку связана с разработкой новых кинетических подходов к описанию эволюции дефектной структуры металлов. Сформулированные самосогласованные уравнения динамики дислокационного ансамбля, отражающие особенности упругого взаимодействия дислокаций и их кинетику, позволяют адекватно описать коллективные эффекты пластической деформации в деформируемых кристаллах. Разработанная кинетическая теория экранирования упругого ноля в ансамбле дислокаций может как метод теоретического исследования быть полезной при описании эффектов экранирования дальнодействующего ноля в неравновесных плазмоподобных конденсированных средах. Основанная на установленном эффекте корреляционного взаимодействия дислокаций теория формирования неразориентированных ячеистых структур представляет интерес для построения моделей субструктурно-го упрочнения на II и III стадиях пластической деформации, а обобщение этой теории на класс разориеитированных структур — для построения теории фрагментации в монокристаллах. Предложенный в работе кинетический подход к описанию возникновения разориентрованных областей кристалла вблизи дискцинаций важен для для понимания физической природы зарождения оборвшшых субграниц в поликристаллах. Результаты компьютерного моделирования формирования оборванных субграниц в упругих полях мезодефектов, сопоставленные с результатами континуальной теории, особенно важны для объяснения явлений, связанных с деформационным измельчением зеренной структуры металлов при пластической деформации. При практическом использовании результаты диссертационной работы могут быть использованы: при разработке новых технологий получения микро- и субмикрокри-сталлических материалов с заданными свойствами; при разработке новых упрочняющих технологий; при прогнозировании изменения дислокационной структуры и, следовательно, механических свойств деформируемых твердых тел при внешних воздействиях; при анализе неустойчивых режимов пластической деформации.
И
Достоверность и обоснованность положений и выводов диссертации обусловлена соответствием теоретических результатов диссертационной работы результатам экспериментальных работ, соответствием результатов континуальной теории результатам компьютерного моделирования, использованием корректных математических преобразований и предельными переходами к известным решениям, использованием современных вычислительных средств.
Диссертация состоит из шести глав, введения и заключения.
Во введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируется цель работы и кратко излагается ее содержание. Обсуждаются методы решения поставленных задач, описывается новизна и практическая значимость полученных результатов.
1-я глава посвящена анализу проблемы описания нелинейной эволюции динамики дислокаций в деформируемом кристалле. Рассмотрены уравнения континуальной теории динамики кристалла с движущимися дислокациями. В самосогласованном приближении сформулированы уравнения эволюционной динамики дислокационного ансамбля, включающие в себя уравнения материального баланса доя плотности дислокаций и уравнения движения для средней скорости дислокаций. Исследованы особенности эволюции системы винтовых и краевых дислокаций. В рамках сформулированных уравнений исследована возможность возникновения волн пластической деформации и пространственно - периодических дислокационных структур.
Во 2-й главе проводятся исследования, посвященные явлению экранирования упругого ноля в ансамбле дислокаций и связанным с этим явлением эффектом корреляционного взаимодействия дислокаций. Развита теория экранирования упругого поля дислокаций для ансамбля винтовых и краевых дислокаций. Показано, что эффект экранирования имеет место при условии квазинейтральности дислокационного ансамбля, которое обеспечивается законом сохранения вектора Бюргсрса системы дислокаций. Это позволяет рассматривать дислокационный ансамбль как плазмоподобную среду, обладающую некоторым эффективным взаимодействием дислокаций.
12
Как известно из физики плазмоподобных сред экранирование дальнодействующего поля приводит к эффективному (корреляционному) взаимодействию порождающих это поле частиц, что обуславливает расслоение однородного состояния системы и возникновение структур.
В 3-й главе развивается теория корреляционного взаимодействия дислокаций в рамках флуктуационной теории. При последовательном анализе корреляционных эффектов возникает проблема строгого описания эволюции дислокационного ансамбля с учетом динамики флуктуаций плотности дислокаций, влияние которых проявляется на масштабах порядка среднего расстояния между дислокациями и связано с дискретным характером распределения дефектов. Проведенное исследование позволило построить уравнения эволюции дислокационного ансамбля с учетом корреляционного взаимодействия дислокаций и выявить эффекты неустойчивости однородного распределения дефектов.
4-я глава диссертации посвящена проблеме формирования ячеистых дислокационных структур. В начале главы приводятся экспериментальные данные но эволюции неоднородных дислокационных структур в металлах и теоретические подходы к описанию структур ячеистого типа. Развивается теория формирования ячеистых структур (для случая монокристалла), возникающих в результате развития корреляционной неустойчивости в ансамбле дислокаций. Теория базируется на сформулированных уравнениях самосогласованного поля с учетом корреляционного взаимодействия дислокаций. На основе полученных результатов рассмотрены закономерности формирования структуры ячеек и возможные этапы их эволюции.
В 5-й главе рассмотрены вопросы, связанные с проблемой фрагментации материалов при больших пластических деформациях. На основе кинетического подхода проведено рассмотрение самосогласованной динамики дислокационного ансамбля в поле дисклинации и дисклинационного диполя. Развита теория эффекта экранирования дисклинаций распределенным дислокационным ансамблем. Показано, что данный эффект приводит существенному понижению упругой энергии в пластической
13
зоне и создает предпосылки дня возникновения субграниц.
В 6-й главе на основе компьютерного моделирования систематически исследованы закономерности зарождения и формирования оборванных субграниц в упругом поле мезодефектов (дисклинаций, дисклинациоиного диполя, мезодефекта типа плоского скопления). В самосогласованной постановке в процессе пластической деформации исследованы аффекты зарождения мезодефектов на межкристаллитных границах в бикристалле и трикристалле. Показало, что мезодефекты инициируют формирование субграниц в акккомодационых плоскостях скольжения и тем самым запускают процессы фрагментации поликристалла.
В Заключении приведены основные результаты диссертации.
Диссертация выполнена в Нижегородском филиале Института машиноведения им. A.A.Благонравова РАН. Ее основные результаты опубликованы в работах (35-85|.
Материалы диссертации докладывались на IV Республиканской конференции "Субструктурное упрочнение металлов"(Киев, 1990), II Всесоюзном симпозиуме по перспективным материалам "Новые технологии получения и свойства металлических материалов"(Москва,1991), XIV международной конференции по пластичности (Самара, 1995), Генеральной Ассамблеи URSI (Lille, France, 1996), III и IV Всеазиаг-ских международных симпозиумах но передовым достижениям в области пластичности (AERA’96, Hiroshima, 1996, AERA’98, Seoul, Korea,1998), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(Саранск, 1996), Международном симпозиуме "Структура и свойства материалов. Самоорганизующиеся технологии."(Москва, 1996), XX Международной конференции по статистической физике во Франции (Paris. 1998), Международной конференции по пластичности в Мексике (Plasticity599, Mexico, 1999). Научной конференции "Структура и свойства твердых тел" (Н.Новгород, 1999). Международного междисциплинарного семинара "Фракталы и прикладная синергетика"(Москва, 18-21 октября. 1999, Москва, 26-30 ноября, 2001), Международной конференции "Progress in Nonlinear Science"(Nizhny Novgorod, 2001), Международной конференции во Франции (International Conference
14
on theoretical physics, Paris, July 22-27, 2002), Международного симпозиума "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах"(Сочи, 4-7 сентября,2002, Сочи, 2-5 сентября,2003), Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсировааных средах"(Махачкала, 11-14 сентября, 2002, Махачкала, 21-24 сентября, 2004), Всероссийской научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы "(Нижний Новгород, 24-26 октябрь, 2006), XVII Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 10-12 апреля, 2007), II Международном симпозиуме "Physics and Mechanics of Large Plastic Strains", (June 4-9, 2007, St-Peterburg), а также на семинарах НГПУ, ИПФ РАН, ИНГУ, ИПМ РАН, НФ ИМАШ РАН.
Основные результаты диссертации опубликованы в 32 статьях в отечественных и зарубежных научных журналах, 7 статьях научных сборников, а также в более 20 трудах международных, всесоюзных и всероссийских конференций, симпозиумов и семинаров.
15
Глава 1
Основные модели и уравнения динамики дислокационного ансамбля
Физическая природа различных процессов, протекающих в макроскопических телах, может быть самой различной. Поэтому разные области физических явлений требуют развития разных теорий. Однако, несмотря на различие этих теорий, их объединяет общий метод исследования. Этим методом является метод статистической механики, основывающийся на рассмотрении макроскопических тел как систем, состоящих из огромного числа частиц (30, 86|. Поскольку точные значения координат и импульсов, относящихся к отдельным частицам, несущественны при макроскопическом описании (не говоря уже о том, что фактически мы не знаем всех этих величин), то по ним должно быть произведено усреднение, для чего должно быть введено понятие вероятности состояния [86, 87].
Такая ситуация является типичной и в деформируемом твердом теле, где пластическое течение является результатом движения элементарных носителей пластической деформации — прежде всего дислокаций [11]. В общем случае перемещение дефектов происходит стохастично. Вследствие различного рода барьеров его можно характеризовать некоторым распределением по скоростям, причем функция распределения определяется как взаимодействием дефектов друг с другом, так и их само-действием и взаимодействием со средой. Это накладывает определенный отпечаток на многие процессы пластического деформирования. Поскольку процессы массопере-носа носят статистический характер, то и их описание в общем случае, должно базироваться на математическом аппарате, включающем понятие функции распределения
16
не только по координатам, как в классической континуальной теории дислокаций, но и по скоростям. Представляется очевидным, что переход на макроскопический уровень описания поведения среды возможен путем соответствующего усреднения по координатам и скоростям эволюционных уравнений для функции распределения.
Чрезвычайно существенным является то обстоятельство, что в ходе эволюции, которую претерпевает с течением времени каждая физическая система, меняется и характер вероятностного описания. Более точно можно сказать, что на разных этапах эволюции физической системы выражение для вероятности состояния имеет различную структуру, причем эта структура упрощается с течением времени. Эго означает, что вероятность состояния системы по прошествии достаточно большого времени фактически определяется ограниченным числом функций, т. е. вероятность представляет собой функционал от некоторых функций, которые и могут быть использованы для макроскопического описания физических систем. Эти функции удовлетворяют определенным уравнениям, которыми на разных этапах эволюции физической системы являются кинетические уравнения для функции распределения частиц, уравнения гидродинамики, уравнения материального баланса, в частности, диффузионные уравнения (87, 88].
Таким образом, при описании процессов эволюции дислокационного ансамбля необходимо прежде всего определить уровень описания, который бы позволил достаточно строго и точно проследить основные этапы эволюции системы дислокаций. При этом основные требования, которым должен удовлетворять подобный подход в произвольной формулировке, состоят в следующем:
Во-первых, необходимо учитывать дальнодействующий характер взаимодействия дислокаций друг с другом. Это предполагает, что теория должна быть в состоянии описывать такие процессы деформирования, в которых проявляются коллективные свойства дислокационной структуры.
Во-вторых, теория должна учитывать диссипативный характер движения дислокаций. Поэтому при описании ансамбля дислокаций и его эволюции при различных
17
силовых воздействиях необходимо учитывать зависимость скорости дислокаций от демпфирующих свойств среды, в которой они перемещаются.
В-третьих, необходимо учитывать поляризационные свойства дислокационного ансамбля. Существование "зарядовой "характеристики дислокаций (вектора Бюр-герса) обуславливает развитие в дислокационном ансамбле явлений, характерных для плазмоподобных сред. Прежде всего это относится к явлению экранирования упругого поля дислокаций и эффектам корреляционного взаимодействия дислокаций.
В-четвертых, существенным является решение вопроса о характерном масштабе усреднения, принимая во внимание коллективный характер динамики дислокаций и особенности упругого взаимодействия носителей пластической деформации. Это важно при описании флуктуационных процессов.
Наконец, в-пятых, необходимо учитывать, что дислокационный ансамбль в условиях деформирования материала представляет собой сильно неравновесную открытую систему, которая обладает выраженной активной генерационно - рекобинацион-ной кинетикой.
Учитывая сказанное, наиболее гибким представляется кинетическое описание 1, когда плотности и потоки дислокаций определяют как некоторые усредненные величины от функции распределения дислокаций по скоростям. Три этом кинетическое уравнение для функций распределения должно быть самосогласованно связанным с полями напряжений и деформаций через динамические уравнения континуальной теории. Однако на. этом уровне описания возникают две существенные трудности. Первая трудность математического плана - практически невозможно построить такое кинетическое уравнение, которое бы удовлетворительно в рамках своей матема-
1 Подчеркнем, что здесь под термином "кинетическое описание"подразумевается описание (понимаемое как уровень описания) на основе функции распределения физических величин по координатам и импульсам. Такая терминология принята для теории газов [305, когда число частиц в системе неизменно. Существует и другое понимание термина "кинетическое описание", принятое, например, для химических сред [28], когда при описании учитываются кинетические процессы превращения вещества. В дальнейшем в диссертационной работе применительно к дислокационному ансамблю мы будем использовать именно это понимание.
18
тической структуры, описывало элементарные процессы дислокационной динамики. Именно поэтому работы, посвященные кинетической теории дислокаций, затрагивают при этом лишь общие вопросы (11, 89, 90, 91 (. Вторая трудность более принципиального плана. Известно (92), что в системах, где взаимодействие между частицами не мало и плотность их велика, кинетический этап эволюции системы практически отсутствует, и сразу возникает гидродинамический этап. Это, например, имеет место в случае жидкостей, для которых в отсутствие пространственных неоднородностей не возникает иерархии времен релаксации, так как время хаотизации тд сравнимо с временем релаксации ту |92). Действительно ~ го/и , а ту ~ 1/у, где го - радиус действия сил, I - длина свободного пробега частиц и V - их тепловая скорость. Так как I ~ (па)-1 (п -плотность частиц, а ~ г* -сечение рассеяния частиц), то ( = Тн/Тг ~ (го/а)3 , где а - среднее расстояние между частицами. Поэтому величина €, имеющая смысл параметра плотности (87, 88], значительно меньше единицы для газов, когда го < а и порядка единицы для жидкостей, когда го ~ а. По этой причине для жидкости выпадает кинетический этап эволюции и остается лишь гидродинамический этап, который характеризуется тем, что в каждой точке пространства быстро, за время г,- устанавливается локальное распределение Гиббса с медленно изменяющимися от точки к точке термодинамическими параметрами. Как будет показано в данной работе, аналогичная ситуация имеет место для дислокационного ансамбля (см. глава 2), поскольку характерный радиус взаимодействия дислокаций оказывается порядка среднего расстояния между дислокациями г, т.е. дислокационный ансамбль относится к плотным средам. Сложность исследования плотных сред в рамках кинетического описания заключается прежде всего в том, что поскольку в системе отсутствует малый параметр плотности, невозможно корректным образом оборвать цепочку зацепляющихся кинетических уравнений для соответствующих моментов или корреляционных функций (30).
В этой ситуации построение теории дислокационной динамики целесообразно проводить в рамках уравнений переноса для плотности и скорости дислокаций, усред-
19
ненных на некотором масштабе. Эволюцонные уравнения для плотности дислокаций непосредственно могут быть получены из фундаментального закона сохранения вектора Бюргерса системы дислокаций. В дифференциальной форме они формулируются в рамках континуальной теории (11, 93, 94). Уравнение движения дислокаций в соответствии с общими физическими принципами должно следовать, вообще говоря, из закона сохранения импульса, который, однако, для системы дислокаций трудно сформулировать корректным образом. В частности, это является следствием того, что эффективная масса дислокаций т* имеет полевую природу и определена с точностью до некоторого радиуса обрезания ( т* ~ (Сгт62/4тг) 1п [Ь/Ь), С -модуль сдвига, Ь - модуль вектора Бюргерса дислокации, Ь ~ Яс - радиус обрезания) [21, 34). Поэтому используют другие способы определения уравнения движения дислокации. В работе (95) подробно изложен вывод этот уравнения, эквивалентный выводу уравнения движения электрона по методу Лоренца. Уравнение выводится в предположении, что сумма всех сил, действующих на дислокацию, в том числе сила самовоздействия, равна нулю.
Полученное уравнение, однако, имеет ограниченную область применения и относится к динамическому вязкому скольжению дислокаций. Более характерным является случай термоактивационного скольжения дислокаций, которое может быть описано различными феноменологически заданными зависимостями скорости дислокаций от внешних но отношению к рассматриваемой дислокации напряжений |96]. В ряде работ показано [97, 98), что в области низких температур возможно атер-мическое квантовое движение дислокаций. Квантовая перенормировка классической энергии активации для большинства металлов обычно мала, однако, при напряжениях, близких к напряжению Пайерлса, квантовый вклад может приводить к заметным отклонениям от классических закономерностей пластического течения |98).
Необходимо заметить, что инерционный член в уравнении движения при динамическом скольжении дислокаций также в ряде случаев может быть опущен, так как он имеет существенное значение только при резко нестационарных процессах.
20
Если ускорение дислокации невелико, то определяющим является действие диссипативных сил торможения [99, 100). Фактически это означает, что система находится на следующем этапе эволюции — промежуточном между гидродинамическим и диффузионным. Отметим, что этот промежуточный этап является характерным именно для рассматриваемой системы, т.е. для дислокационного ансамбля. Дня большинства других физических систем многих частиц гидродинамический этап эволюции сменяется сразу диффузионным, аналогично тому, как это происходит в случае сла-боионизированной газовой плазмы, когда на временах £ > те* (- характерное время столкновений электронов и ионов с атомами нейтрального газа) силы трения существенно превышают инерционные слагаемые. В этом случае дрейфовые скорости заряженных частиц становятся пропорциональными градиенту плотности носителей тока, т.е. для плотности потока этих частиц становится справедливым диффузионный закон Фика. Наличие промежуточного этапа для дислокационного ансамбля объясняется тем, что его динамика является сильно неравновесной, в условиях которой может иметь место, строго говоря, только эффективная диффузия дислокаций и которая проявляется только на заключительном этапе релаксации системы.
Таким образом, большинство задач коллективной динамики дислокаций допустимо и целесообразно исследовать на уровне описания, соответствующем описанию в рамках системы уравнений материального баланса или, где это необходимо, на уровне гидродинамического этапа эволюции системы с учетом инерционных свойств дислокаций (разд. 1.3).
Соответствующие эволюционные уравнения динамики дислокаций совместно с уравнениями континуальной теории дислокаций для упругих полей и смещений составляют полную систему уравнений, которая описывает динамику кристалла в целом (разд. 1.1).
Отметим, что для решения большинства задач дислокационной динамики, связанных с закономерностями формирования и эволюции дислокационных структур, однако, не!' необходимости учитывать динамику волновых упругих полей в кристал-
21
ле. Для анализа этого класса задач целесообразно использовать самосогласованное приближение, учитывая в динамике системы дислокаций лишь упругие поля, создаваемые носителями пластической деформации (разд. 1.2).
1.1. Динамика деформируемого кристалла с дислокациями
1.1.1. Уравнения континуальной теории дислокаций
Полная система уравнений динамики дислокаций должна содержать уравнения, описывающие поведение упругой среды с учетом влияния на нее дефектов, а также уравнения самих дефектов под действием сил. Уравнения упругой среды при наличии дислокаций имеют следующий вид [34]:
Здесь р ~ ПЛОТНОСТЬ среды, V - скорость перемещения ее точек, \klrn симметричный тензор упругих модулей, связывающий согласно закону Гука тензор упругой деформации Elm (или тензор lL'tm ДИСТОрСИИ ) С ТвНЗОрОМ напряжений Oik . Тензоры Qik и jik - соответственно тензоры плотности дислокаций и плотности потока дислокаций, ецт - единичный антисимметричный тензор. Соотношение (1.2) вытекает в соответствии с теоремой Стокса из определения тензора плотности дислокаций
которое требует, чтобы интеграл но поверхности, опирающийся на любой контур в , был равен сумме векторов Бюргерса 6* всех дислокационных линий охватываемых этим контуром. При этом тензор а,* описывает непрерывное распределение дислокаций в кристалле.
do,k дук Фу Р > агк ~
(l.i)
(1.2)
dvk dwik
dxi ~ 01 ш
(1.3)
(101]:
(1.4)
s
22
Уравнение (1.3) учитывает реальное смещение элемента среды при наличии потока дислокаций и устанавливает связь с тензором упругой дисторсии . Из уравнений (1.2) и (1.3) вытекают ограничения, накладываемое на тензора од и jiki . Условия совместности этих уравнений имеют вид
daik _ п dOCik djmk _ А л к\
— О, —+ ввж—-О, (1.5)
Последнее уравнение является дифференциальной формой закона сохранения вектора Бюргерса в среде (34, 101]. При заданных од и jtk система уравнений (1.1)-(1.3) является полной. Она дает возможность найти гицк и v но любому заданному распределению дислокаций и их потоков.
Наиболее распространенны методом решения системы (1.1)-(1.3) при заданных од и jik является метод функций Грина |34).
Продифференцируем (1.1) по времени и воспользуемся уравнением (1.3). Получим динамическое волновое уравнение теории упругости относительно вектора скорости v (34)
д\ х (9vm х djlm /л
р Ы2 дхкдх{ - Шт дхк ’ ( 6)
Роль ПЛОТНОСТИ СИЛЫ В (1.6) играет вектор /г = Лiklmdjlm/dXk • Решение уравнения (1.6) можно представить в виде
t
Vi = J j Giki r - r \t- t')fk{r\ t) dt, (1.7)
-oo
где Gik(r, t) - тензор Грина динамического уравнения теории упругости (34). Формула (1.7) полностью решает задачу о нахождении скорости смещений и определяет временную зависимость смещений.
Аналогично можно получить динамические волновые уравнения и доя других переменных, например, для тензора упругою поля од (г, t). Учитывая (1.1)-(1.3), имеем
а2ОД ч д2СГзт _ ^ djlm (i
Р dt2 XM<»dXsdxi д{ . (1.8)
23
Интересен случай, когда дислокации в кристалле распределены так, что их суммарный вектор Бюргерса равен нулю и распределение дислокаций описывается тензором дислокационной поляризации Р& . При атом плотность потока дислокаций выражается через тензор следующим образом |34, 102]
дРік
№ = -Qf. (1.9)
В этом случае волновое уравнение (1.8) преобразуется к виду’
д2аік _ cPPlm
р dt2 Штдх»дх, ~ Р Шт dl* (U0)
Возможные варианты применения этого уравнения при исследовании кооперативных процессов динамики дислокаций будут обсуждены в следующем разделе.
Волновые уравнения (1.6),(1.8) позволяют решать задачу в общем виде, однако реально это удается только для некоторых частных случаев из-за крайне сложной математической структуры тензора Грина. Поэтому выглядит естественным процедуру упрощения произвести уже на уровне исходных уравнений, используя векторную запись исходных переменных [103].
1.1.2. Теоретико-полевые модели
Последовательной выглядит модель, предложенная А.М.Косевичем (103], в рамках которой принимается, что смещение является скаляром, а тензор модулей упругости сводится к модулю сдвига G. При этом все тензоры второго порядка переходят в векторы, скорость среды в скаляр и система (1.1)-(1.3) принимает вид, характерный для теории электромагнитного поля
Величины v , w объединяются в 4-вектор, для которого вводятся два векторных потенциала А , Ф согласно определению:
... т 1 дА 1Р.
v = div A, w = — rot Ф + -п -тгг > (1.15)
с* at
где с = \/G/p - скорость упругих волн. Вид соотношений (1.15) подобран таким образом, чтобы автоматически удовлетворить первым двум уравнениям (1.1) для скалярной модели. Поскольку, как обычно, связь между полевыми величинами v, w и потенциалами А , Ф инвариантна относительно преобразований
1 (}д
Ф —> Ф + Vip—«тт» А—> A—rota (1-16)
с2 at
с произвольными величинами <р, а то на потенциалы накладываем калибровочные условия
<9Ф
div Ф = 0: — + rot А = 0, (1-17)
Сyl‘
После подстановки (1.15) в уравнения (1.12) (1.13) получаем два независимых уравнения для потенциалов
1 <92Ф
*■ (1Л8)
1 />2 А
АА-?ж = ^’ (1Л9>
известные в теории поля |104].
Легко проверить, что приведенные уравнения могут быть получены стандартным способом из функции Лагранжа, плотность которой складывается из нолевой составляющей
Ч-¥-$
и вклада
Lint — —Go Ф + pj А, (Н21)
обусловленного взаимодействием поля с дефектами. При этом плотность энергии поля имеет обычный вид
Отметим, что данная полевая модель, строго говоря, не совпадает со стандартной теорией электромагнитного поля |і04]. Так, если в последней используется 4-потенциал, то в изложенной теории - два векторных потенциала Фи Л.
В связи с этим в работе [105) предложена модель, свободная от этого "недостатка". В предложенной схеме, основанной на лагранжевом формализме, все величины выражаются в базисе, построенном на ортах е]/1' , являющихся собственными векторами матрицы Ад- = \зк\П]Щ , где Хфі ~ тензор модулей упругости, щ = кі/к -направляющий косинус волнового вектора к относительно г -й оси, по повторяющимся декартовым индексам проводится суммирование. При фиксированном индексе ц базис е)11' , і =1,2,3 определяет- одну из трех возможных упругих волн. В данном базисе проекция вектора смещения точек упругой среды на г -ю ось представляется в виде
3
Ч = ]£ (1.23)
д=1
Аналогичным образом записываются и другие векторные величины, а тензоры представляются как их прямые произведения. В результате рассмотрение проводится для независимых величин типа , относящихся к различным волнам ц =1,2,3. Такой подход позволяет перейти от обычной тензорной записи уравнений упругой среды к более удобной векторной (поскольку каждому тензору второго ранга соответствуют три вектора, различающиеся индексом ц, но эти представления, как отмечается в [105], эквивалентны).
В рамках этого подхода смещение и играет роль векторного потенциала упругого поля, а нуль-компонента р 4-вектора смещения (р, и), подчиняющаяся условию калибровки
Луи + ?¥“0, вга^ + ?1Г = 0’ (1-24)
является скалярным потенциалом ( с - скорость соответствующей звуковой волны, и/ - продольная составляющая смещения).
В результате уравнения движения упругой среды принимают вид [105)
сПуР-р, (1.25)
26
1 д'2п
с2 ~
(1.26)
Уравнения (1.25), (1.26) имеют вид, аналогичный теории электромагнитного поля. При этом правые части этих уравнений содержат в качестве источников поля, по утверждению |105), как одиночные линейные дефекты, характеризуемые величинами р и з , так и непрерывно распределенные бесконечно малые петли дефектов, приводящие к упругой поляризации среды, задаваемой векторами Р, М .
При всей изящности данной теории, заметим однако, что величины р и .), фигурирующие в уравнениях (1.25), (1.26) на самом деле довольно сложным образом (интегро-дифференциальным) связаны с плотностью и потоком дислокаций. Это нетрудно увидеть, продифференцировав (1.26) по времени и сравнив полученное выражение с динамическим уравнением теории упругости (1.6). Отметим, что в модели Косевича (1Л1)—(1.14) аналогичные величины а , 3 имеют ясный физический смысл и выражаются в явном виде (для одиночных дислокаций а,- = ЦЬ5(£), ji = еит1$ЬУт6(0 , где £ - двумерный радиус-вектор, перпендикулярный дислокационной линии).
Далее будет рассмотрена модель, которая позволяет с одной стороны, записать систему (1.1)-(1.3) в векторном виде, характерном для полевой теории электромагнетизма, с другой — имеющей ясный смысл входящих в эту систему величин. Оказывается , что это удается сделать для ансамбля прямолинейных винтовых дислокаций, обладающих кулоновским потенциалом взаимодействия.
Полевая модель для ансамбля винтовых дислокаций
Будем полагать, что ансамбль винтовых дислокаций (Ь||1) представляет собой систему прямолинейных дислокационных линий, упруго взаимодействующих между собой и с внешним упругим полем. Запишем систему (1.11)-(1.14) в новых переменных, полагая
Е = рхл*] = 1[1х(7-), Н = -Ь,
О
а = (1а), 3 = [1хз],
(1.27)
(1.28)
27
где 1 - единичный вектор, касательный к линии дислокации. В результате, учитывая цилиндрическую симметрию задачи (оператор IV переводит все переменные системы тождественно в нуль), имеем систему уравнений полностью аналогичную уравнениям Максвелла
1 ЯН
rotE=-?^-, (1.29)
е)Е
rot Н = 4- J, (1.30)
divE = <r, (1.31)
div H = 0, (1.32)
где с = у/С ~/р - скорость распространения упругих волн. Условия совместности при этом принимают вид
(lV)a = 0, ^ + divj=0. (1.33)
Первое уравнение (1.33) накладывает ограничение, обусловленное выбором симметрии задачи, второе - выражает закон сохранения дислокационного заряда (суммарного вектора Бюргерса).
Далее, выражая стандартным образом [104], переменные Е ,Н через скалярный ■ф и векторный А потенциалы
Н = rot А (1.34)
E = -v*-?t’ (U5)
и учитывая калибровку Лоренца
div А 4- = 0, (1.36)
получим два независимых уравнения для введенных потенциалов
А^-Ш=-а' (1-з7)
ЛА - hw = -J- (U8)
28