Содержание
1 Введение 4
1.1 Фундаментальная проблема калибровочной теории................... 4
1.2 Цели и структура диссертации.................................... 8
1.3 Научная новизна и практическая ценность полученных результатов 9
2 Моделирование вакуума с помощью инстантонов и дионов с тривиальной голономией 12
2.1 Инстантоны..................................................... 12
2.2 Диоиы.......................................................... 16
2.3 Суперконфайнмент............................................... 19
2.4 Проблема взаимодействия ....................................... 20
2.5 Экранировка..................................................... 21
3 Поиск носителей в квантовых нолях на решётке 24
3.1 Теоретическая прелюдия......................................... 24
3.2 Охлаждение и поиск индивидуальных событий...................... 29
3.3 Коллективный портрет........................................... 37
3.4 Решёточные артефакты........................................... 41
3.5 Группа 5С/(3).................................................. 44
4 Рекомбинация и диссоциация 52
4.1 Нестатичность и разделение на составляющие..................... 52
4.2 Рекомбинация дионов в калороны при уменьшении температуры . . 53
4.3 Калороны на симметричном 4-торе................................ 57
4.4 Эпсилон - охлаждение........................................... 62
5 Корреляция с монополями и реконструкция 69
5.1 Описание метода................................................ 70
5.2 Кластерный анализ сглаженных конфигураций...................... 72
6 Температурные эффекты. Переход от конфайнмента к деконфай-
нменту 79
6.1 Модификация метода............................................. 79
6.2 Поляковская линия, мононоли и асимптотическая голономия .... 81
6.3 Диссоциация калоронов. Асимметрия дионов....................... 83
7 Киральные фермионы 90
7.1 Оверлэп фермионы................................................ 91
7.2 Стабильность спектра оверлэп фермионов......................... 92
7.3 Действие Люшера-Вайзца ........................................ 95
7.4 Поиски дионов и калоронов ...................................... 99
8 Монополії, вихри и топологические объекты 107
8.1 Структура монопольных кластеров с удалёнными вихрями и вихревых кластеров с удалёнными монополями 108
2
8.2 Исчезновение топологических объектов при удалении монополей или
вихрей................................................................114
9 Новое моделирование 121
10 Заключение 125
10.1 Основные результаты, представленные в диссертации ...........125
10.2 Направления дальнейших исследований .........................127
10.3 Благодарности................................................128
11 Приложения 130
11.1 Приложение А.................................................130
11.2 Приложение Б.................................................140
11.3 Приложение В.................................................142
12 Литература 146
3
1 Введение
1.1 Фундаментальная проблема калибровочной теории
Проблема конфайнмента кварков существует уже более 30 лет. Идея о том, что потенциал взаимодействия между статическими кварками линейно растёт с расстоянием 11], была формализована введением вильсоновских петель и корреляторов поляковских линий. Прямое вычисление последних в рамках исходной теории поля до сих пор остаётся неразрешённой задачей. Наибольший прогресс в их вычислении достигнут в решеточной аппрокимации к теории поля, решеточной калибровочной теории[1]. Метод функционального интегрирования, реализованный через монте-карловские симуляции переменных решеточной калибровочной теории, позволил вычислить вильсоновскую петлю и коррелятор поляковских линий, подтвердив идею линейного конфайнмеита[2].
Изучение в решеточных калибровочных теориях коррелятора поляковских линий при конечных температурах показало, что линейный конфайнмент исчезает в процессе фазового перехода при некоторой критической температуре(З). Фазовый переход сопровождается изменением параметра порядка, среднего значения поляковской линии, от нулевого значения до значения, отвечающему одному из элементов центра калибровочной группы. Другим проявлием фазового перехода оказалось изменение кваркового конденсата от ненулевого значения в фазе конфайнмента до пуля в фазе деконфайнмета (восстановление спонтано нарушенной киральной симметрии)[4].
Констатировав сам факт наличия конфайнмента, решеточные калибровочные теории, подняли вопрос о том, какие объекты в вакууме калибровочной теории ответственны за свойство конфайнмента. Этот вопрос существует также уже не один десяток лет. В рамках самой решеточный теории такие объекты были найдены. Это абелевы моно-пол и и центральные вихри[5, 6). Несмотря на то, что само выделение этих объектов не является однозначной математической процедурой,
4
а также, что не понятен механизм, с помощью которого они приводят к конфайнмету, корреляция их со свойством конфайнмента и друг с другом очевидна. Абелевы монополи лежат (большей частью) на центральных вихрях[7], при удалении центральных вихрей исчезают абелевы монополи, при удалении абелевых монополей исчезают центральные вихри[8|, при удалении абелевых мононолей или центральных вихрей не происходит линейный рост статического кваркового потенциала[9, 10], исчезает киральный кварковый кондеисат[11, 12]. В случае с абелевыми монополями проявляются также черты дуального эффекта Мейснера[13].
С другой стороны в калибровочных теориях поля также уже более 30 лет известны квазиклассичекие топологические объекты, с которыми связываются надежды на объяснение свойств вакуума. Это -инстантоны[14]. Довольно быстро было понято, что инстантоны могут приводить к спонтанному нарушению киральной симметрии, но не воспроизводят свойства конфайнмента для мыслимых распределений иистантонов по размерам [16, 17]. Ситуация изменилась с открытием инстантонов (в частном случае периодических или температурных инстантонов - калоронов) с нетривиальной голономией[18, 19, 20]. Нетривиальная голономия позволила выявить наличие у инстантонов внутренней структуры. Именно, оказалось, что при увеличении температуры инстантоны диссоциируют на дионы, самодуальные объекты, проявляющие на расстояниях, превышающих их размеры, свойства электрического и магнитного заряда.
Со времен классической работы Полякова[15] известно, что магнитные монополи, присутствующие в трехмерной компактной абелевой калибровочной теории, если они обладают кулоновским взаимодействием, дают закон площадей для вильсоновских петель, т.е. кон-файнмент. Дионы, входящие в состав калоронов с нетривиальной голономией, на классическом уровне не взаимодействуют, так как действие калороиа не зависит от расстояний между составляющими дионами. Однако, на квантовом уровне, при учете флуктуаций над классиче-
5
ским решением, между дионами появляется взаимодействие[21, 22, 23, 24]. Если представить, что ансамбль дионов достаточно разрежён, т.е. расстояния между дионами намного больше их размеров, взаимодействие оказывается кулоновским[25]. Статистическая сумма ансамбля совпадает при этом со статистической суммой некоторой точно решаемой трехмерной суперсимметричной полевой модели[25]. Модель воспроизводит фундаментальные свойства, наблюдаемые в решеточной калибровочной теории. Именно, при температурах ниже некоторого критического значения (вычисляемого в модели и находящегося в согласии с решёточными результатами) голономия оказывается максимально нетривиальной (все дионы имеют одинаковую массу), параметр порядка - поляковская линия - равен нулю, коррелятор по-ляковских линий и пространственные петли Вильсона проявляют поведение, отвечающее конфайименту, с совпадающим в обоих случаях натяжением струны. Само натяжение струны оказывается близким к "экспериментальному "(решеточному) [25].
Если калорон подвергнуть решёточной аппроксимации и решёточными средствами найти связанные с калороном абелевы монополи и центральные вихри, окажется, что абелевы монополи совпадают с ди-оиами, входящими в состав калорона, и через дионы проходит центральный вихрь. Таким образом, математические объекты, видимые в решёточных исследованиях, тесно связаны с физическими квазиклас-сическими топологическими объектами, которые естественно считать первичными. Возникает вопрос, стабильны ли калороны относительно квантовых флуктуаций поля вокруг них. В аналитических исследованиях квантовые флуктуации считаются малыми, рассматриваются по теории возмущений и приводят лишь к модификации параметров ансамбля топологических объектов. В решеточных исследованиях квантовые поля разыгрываются с помощью метода Монте-Карло и по своим глюонным характеристикам, например профилю плотности действия, не имеют ничего общего с суперпозицией калоронов. Это происходит потому, что вклад нертурбативных флуктуаций в полное дей-
6
ствие для существующих физических размеров решеток на. несколько порядков превосходит вклад в действие топологических объектов. Для подавления пертурбативных флуктуаций используются различные схемы сглаживания, которые в той или иной мере ведут к минимизации действия. При достаточно большом числе шагов сглаживания становятся видны топологические объекты, но остаётся вопрос, не порождаются ли эти объекты самой процедурой сглаживания.
Для идентификации топологических объектов непосредственно в равновесных (квантовых) глюонных конфигурациях полей можно использовать свойства спектра безмассового оператора Дирака в поле инстантона. Именно, безмассовый кварк имеет локализованную ки-ральную нулевую моду на инстантоне. Если взять ансамбль достаточно удалённых друг от друга инстантонов и антиинстантонов, оператор Дирака показал бы левые фермионные нулевые моды в количестве равном числу инстантонов и правые нулевые моды в количестве равном числу антиинстантонов. Если между инстантонами и антиинстан-тонами имеется некоторое перекрытие, часть левых и правых фер-мионных мод становятся околоиулевыми (или низколежащими). Для температурных инстантонов с нетривиальной голоиомией, где составляющие дионы могут быть достаточно далеко удалены друг от друга, локализация нулевой моды происходит на одном из дионов в зависимости от вида граничного условия для фермиониого поля во временном направлении(2б|. Поэтому, изменяя граничные условия, можно лока-лизовывать не только инстантоны, но и составляющие их дионы. Исследования равновесных глюонных полей показало, что такая картина сохраняется и в присутствии (огромного) пертурбатииного фона над топологическими объектами.
Таким образом, идея о том, что причиной конфайнмента и спонтанного нарушения киральной симметрии являются присутствующие в вакууме квазиклассические топологические объекты, получила в последнее время ряд подтверждений как с теоретической так и с экспериментальной (решеточной) точек зрения.
7
1.2 Цели и структура диссертации
В настоящей диссертации представлены работы автора за последние 12 лет, связанные с развитием описанных выше идей о топологической структуре вакуума калибровочной теории. Это 26 работ с полным индексом цитирования 168 [27]-[52].
Целью этих работ было доказательство того, что дионы и калоро-ны с нетривиальной голономией действительно присутствуют в квантовых вакуумных калибровочных полях и определяют все основные свойства этих полей: фазовый переход и конфайнмент, спонтанное нарушение киральной симметрии и магнитный конфайнмент, абелевы монополи и центральные вихри.
Диссертация разделена на двенадцать глав (включая Введение, Заключение, Приложения и Литературу).
Во вторую главу вошли работы, выполненные по исследованию объектов с тривиальной голономией - моделированию корреляторов напряжённостей глюонных полей в инстантонном газе, исследованию свойств дионов с тривиальной голономией - т.е. до открытия кало-ронов с нетривиальной голономией.
Третья глава посвящена поиску калоронов с нетривиальной голономией в квантовых конфигурациях глюонных полей на решетках методами, связанными только с глюонными наблюдаемыми. Для этого глюонные поля подвергались процедуре охлаждения, устраняющей их пертурбативные флуктуации.
Четвёртая глава посвящена исследованию зависимости топологической структуры вакуума от температуры. Для этого изучалась модификация топологических объектов вакуума в зависимости от размеров решётки во временном направлении.
В пятой главе дионы и калороны ищутся в сглаженых конфигурациях глюонных полей, которые ближе к квантовым конфигурациям по сравнению с охлаждёнными. Для реконструкции дионов и калоронов в сглаженных квантовых ансамблях используются монопольные
8
свойства дионов и калоронов.
Шестая глава посвящена исследованию топологической структуры вакуума в фазе деконфайнмента. Для этого в сглаженных ансамблях полей ищутся дионы и антидионы, связанные со статическими монополями. Присутствие таких монополей требуется для объяснения поведения в фазе деконфайнмента пространственноподобных вильсоновских петель.
Седьмая глава опирается на использование кирального оператора Дирака как инструмента для локализации топологических объектов в вакууме. Низколежащие моды такого оператора для разного типа временных граничных условий используются для реконструкции плотности топологического заряда диопов и антидионов с положительной и отрицательной иоляковской линией.
Восьмая глава посвящена взаимосвязям абелевых монополей, центральных вихрей и топологических объектов в вакууме. Основная идея состоит в том, чтобы показать, что топологические объекты являются физическими носителями абелевых мононолей и центральных вихрей.
В девятой главе строится модель топологически нетривиальной части вакуума. Исследуется поведение коррелятора поляковских линий и вильсоновской петли в этой модели с целью показать, что коифайн-мент (линейный рост с расстоянием потенциала между статическими кварками) может быть сю описан.
Далее следуют Заключение, Приложения и Список литературы.
1.3 Научная новизна и практическая ценность полученных результатов
Научная новизна представленой диссертации состоит в следующем:
• По коррелятору тензоров напряженности глюонных полей найдены основные характеристики топологических объектов в вакууме при нулевой температуре: плотность и размер |33, 34). Эти характеристики совпадают с теми их оценками, которые основаны на
9
топологической восприимчивости вакуума и кваркового конденсата [16, 17].
• Высказана гипотеза, что фундаментальными топологическими объектами в вакууме являются дионы [27, 28, 29]. Показано свойство суперконфайнмента для газа дионов, обоснована важность учёта взаимодействия между дионами для превращения свойства суперконфайнмента в конфайнмент [30, 31, 32].
• Проведён анализ топологических объектов, возникающих при охлаждении равновесных монте-карловских конфигураций в фазе кон-файнмента [35, 36, 37, 38, 39]. По поведению плотности действия, плотности топологического заряда, поляковской линии, локализации нулевых фермионных мод и поведению других наблюдаемых установлено, что такими топологическими объектами являются дион-дионные пары, калороны как их предельный случай и дион-антидионные пары.
• Открыта природа специфических решёточных решений - квантованных магнитных потоков [41], ранее отождествляемых с магнитными монополями. Объяснена причина их стабильности и метастабильности [43].
• Установлена рекомбинация дионов в калороны при понижении температуры |42). Изучены качественные и количественные отличия калоронов с нетривиальной голономией при нулевой температуре от инстаитонов [44].
• Произведен поиск и идентификация топологических объектов в сглаженных равновесных монте-карловских конфигурациях. Свойства монопольных кластеров внутри этих объектов и их реконструированный топологический заряд позволил идентифицировать топологические объекты как калороны и составляющие их дионы [46].
Ю
• Найдены топологические объекты, доминирующие в фазе декон-файнмента и объясняющие поведение пространственноподобных вильсоновских петель [49].
• С помощью киральных фермионов калороны и составляющие их дионы локализованы непосредственно в равновесных монте-карловски конфигурациях [52]. Найдена взаимосвязь между фазовым переходом деконфайнмента и спонтанным нарушением киральной инвариантности.
• Установлена взаимосвязь между абелевыми монополями, центральными вихрями и топологическими объектами в вакууме, калоро-нами и дионами [50]. Топологические объекты представлены как физические носители монополей и вихрей.
• Произведено моделирование вакуума с помощью качпоронов с нетривиальной голономией [48, 51]. Показано, что такая модель описывает линейный рост потенциала между статическими кварками
в фазе конфайнмента, казимировский скейлинг и разрыв струны для кварков в присоединённом представлении, потерю линейного роста кваркового потенциала и поведение иространственноподоб-ных вильсоновских петель в фазе деконфайнмента.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что представлена целостная картина топологической структуры вакуума в решёточной 56г(2) калибровочной теории, дающая возможность объяснить все её наблюдаемые свойства: фазовый переход и конфайнмент, спонтанное нарушение киральной симметрии и магнитный конфайнмент, абелевы монополи и центральные вихри. Развитие и детализация указанной картины является важным шагом в изучении фундаментальных свойств материи.
11
2 Моделирование вакуума с помощью инстантонов и дионов с тривиальной голономией
По прошествии 12 лет со времени начала исследований в вопросах изучения структуры и моделирования вакуума становится ясным, что открытие калоронов с нетривиальной голопомией, с их внутренней ди-онной структурой не отменило важность изучения инстантонов И ДИОНОВ с тривиальной голономией, поскольку при нулевой температуре нетривиальная голономия несущественна для разного рода корреляторов, например, корреляторов глюонных полей. Изучение корреляторов глюонных полей, в свою очередь, важно для определения параметров модели вакуума, главным из которых является плотность топологических объектов в вакууме. Задаче вычисления корреляторов глюонных полей в иистаитонном газе в линейном и квадратичном но плотности приближении были посвящены две работы [33, 34], к краткому изложению которых мы и переходим.
2.1 Инстантоны
Калибровочно-инвариантный коррелятор напряженностей неабелевых полей определяется следующим образом
£Др,і/а(яі - х2) = {0|Тг{С?др(а;і)5'(а;і,а:2)6\(7(х2)5І(хі,Х2)}|0> , (1)
является швилгеровской линией, необходимой для поддержания калибровочной инвариантности в корреляторе глюонных полей, Та обозначают генераторы группы 51/(Агс) со структурными константами
где Сцр = ТаСрр есть тензор глюонного поля
с;р = дрл; - дрлир + Гса\а{
аЬс лЬ л с р *
а 5(^1, х2)
XI
12
/аЬс. Наиболее общий вид коррелятора, находящийся в согласии с евклидовой 0(4) ковариантностью при нулевой температуре, имеет следующий вид [53, 54, 55]
Dp,p,vo{x) — {àpvàpo ~~ fipaàpv) ) 4" )) 4" €ppvo ) -f
о (2) Г .dD^x2)
4“ \%рУ'1/0р<7 XpX(jOpi/ ~\~ XpXffdpif XpXj/Ope) « 2 »
где х = xi — Х2, a D(x2) , D\(x2) , Дг(#2) представляют инвариантные функции. Инвариант D2 появляется в случаях, когда полный топологический заряд вакуума ненулевой. Инвариант D\ зануляется для случая (анти-) самодуальных полей. Таким случаем является одиночный инстантон, а значит Di зануляется в линейном по плотности инстаитонов приближении. Вместо корреляторов D(x2) and Di(x2) , входящих в уравнение (2), мы будем рассматривать продольные и по перечные корреляторы
Dl{(x2) = D(x2) + D^x2) + х2^^-,
(3)
D±(x2) = D(x2) + D\ (x2).
В частности, если x = (0,0,0, х) имеет отличную от нуля компоненту только во временном направлении евклидового пространства, то
£>„(**) =
(4)
зд2) = ^£а,«(*2).
i<j
Для потенциала поля ансамбля инстаитонов мы принимаем суперпо-зиционный анзатц с сингулярной калибровкой для нолей индивидуальных инстаитонов. По коллективным координатам индивидуальных инстаитонов, положению в евклидовом пространстве и цветовой ориентации, осуществляется усреднение, в то время как размеры всех ин-стантонов считаются одинаковыми и фиксированными (как в модели
13
- Київ+380960830922