Развитие теории электродинамических процессов при движении заряженных частиц во внешних электромагнитных полях

2
Введение
Актуальность темы.
Радиационные процессы при движении заряженных частиц в электромагнитных полях, равно как и явления связанные с ними, постоянно находятся в центре внимания исследователей, как теоретиков так и экспериментаторов. Это обусловлено не только чисто академическим интересом, но и потребностями практики.
Среди всех видов таких процессов особое место, вследствие сочетания фундаментальности свойств и важности научно-технических приложений, занимает синхротронное излучение (СИ), открытое в середине прошлого века, а также 11 генетически" связанные с ним ондуляторнос излучение. возникающее при движении по периодической траектории, излучение в поле электромагнитной волны, излучение с дуги окружности в коротком магните.
Синхротронное излучение как самостоятельный объект изучения., благодаря своим уникальным свойствам, возникло в процессе разработки машин для ускорения заряженных частиц и рассматривалось первоначально в качестве паразитного явления, устанавливающего верхний предел ускорению пучков заряженных частиц. Несмотря на дороговизну таких машин, за последние 10 лет в работу введены более 20 (всего синхротронов и накопительных колец работает в мире около 50). При этом основное их предназначение не для ускорения заряженных частиц, а исключительно для получения СИ и его последующего использования. Число индивидуальных пользователей, имеющих доступ к СИ, в мире уже превысило 20000.
Поэтому любые продвижения на пути обнаружения новых свойств и приложений СИ весьма важны, а исследования свойств СИ несомненно находятся среди актуальных задач физической науки.
Важной особенностью исследований по теории движения и излучения в нолях синхротронного типа является то, что они относятся к классу
з
немногочисленных, так называемых точно-решаемых моделей в теоретической физике. Для них удается получить ис только точные решения уравнении движения, но и r аналити чески-зам к нутом виде выражения основных характеристик излучен и я.
Существенный вклад в построение и развитие теории СИ внесли российские ученые Л.А. Арцимович, В.Г. Багров. В.Л. Гинзбург. Д.Д. Иваненко. И.Я. Помсранчук. A.A. Соколов, И.М. Тернов и др.
В настоящее время теория излучений синхротронного типа представляется вполне завершенной и, тем не менее, в данной области имеются определенные проблемы. В частности, все основные выражения, описывающие излучение, анализировались для предельных скоростей частиц нерелятивистской и ул ьтрарел ят и в и етско й. в результате поведение угловых и спектральных характеристик СИ оказалось не изученным в широком диапазоне энергий. Более того, при рассмотрении влияния сингулярностей электромагнитного поля (эф<|>екта Ааронова-Бома) на характеристики СИ были обнаружены новые свойства угловых распределений отдельных спектральных компонент СИ, ч то вызвало более глубокое исследование свойств СИ.
Важной стороной физики радиационных процессоз является изучение и анализ явлений которые их сопровождают и которые могут представлять отдельный самостоятельный интерес. Так в СИ - это эффекты квантовой раскачки и радиационной самополяризации релятивистских электронов.
В связи с тем. что излучение электрона в поле электромагнитной волны носит синхротронный характер, то было бы логичным ожидать поляризационных эффектов и в этом случае. Такое исследование было проведено в работе В.Г. Багрова и В.Р. Халилова1, где был сделан пессимистический вывод об отсутствии преимущественной ориентации спинов па
: Вягров В.Г.. Халилов В. Р. Излучение заряда, движущегося в поле плоской рх)лны и магнитном поле // Из». Вузов. Физика. - 1908. - No 2. - О. 37-41.
4
направление распространения волны. Поэтому потребовалось новое исследование. связанное с правильным выбором спинового оператора.
Получение релятивистских частице преимущественной ориентацией спина важно при проведении экспериментов Е5 физике высоких энергий, в исследованиях в области физики твердого тела.
Несмотря на то, что радиационная самополяризация релятивистских электронов частью решает проблему получения релятивистских пучков поляризованных по спину частиц, тем не менее, дальнейший прогресс в физике поляризованных электронов в первую очередь зависит от новых методов их получения и изучения механизмов их поляризации- К таким методам относится и ионизация атома фотонами круговой поляризации, открытая в середине прошлого века, но не получившая должного изучения. В частности, остались не исследованными влияние начального и конечного спиновых состояний на сечение фотоэффекта и угловое распределение рол яти вистски х фотоэлсктрс.шов.
Одной из важнейших проблем современной математической физики является проблема получения точных решений, их анализ и возможности применения при построении различных теорий и моделей.
Количество точно решаемых моделей в квантовой теории не так уж многочисленно2. Болес того, даже если точное решение найдено, это еще не означает, что на его основе точно может быть решена какая-либо физическая задача. Важность точного решения несомненна в силу более широкого анализа, уменьшения числа параметров и т.д. Поэтому получение новых точно-решаемых моделей в теоретической физике представляется весьма актуальным.
Особенно актуально получение точных решений в (3+1) и (2+1) размерности моделей КЭД, что связано с дальнейшим прогрессом в теории
“ Bagrov V.G., Gitrnan D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Dordrecht/Boston/London: Kluver Academic Publishers, 1990. - 323 p. См. также: Багров В.Г. Точные решения релятивистских волновых уравнений/ Багров В.Г., Гитман Д.М.. Тернов И.М., Халилов В.Р.. Шаповапив В.Н. - Новосибирск: Наука. 1982. - 143 с.
элементарных частиц, в теории сверхпроводимости и теории элементарных частиц.
СИ может выступать в качестве индикатора или фона, при котором наиболее ярко проявляются другие физические явления и эффекты.
К таким явлениям относится эффект Ааронова-Бома (А-Б), претендующий на некоторую выделенную роль в квантовой теории, гак как он наиболее ярко демонстрирует принципиальную нелокальность, присущую квантовым объектам и их взаимодействиям. Он впервые поднял принципиальные вопросы о роли потенциалов, концепции локальности, калибровочной инвариантности в квантовой теории.
В большинстве работ' по теории этого эффекта, как правило, рассматривались нерелятивистские приближения, определялся интрефороЕI-ционный сдвиг в поле бесконечЕЮ тонкого и бесконечной длины соленоида или же рассеяние на нем и др.. но практически не затрагивался вопрос о влиянии поля А-Б па процессы в других электромагнитных полях. Поэтому правомерна постановка вопроса о новом подходе, заключающемся в определении влияния поля А-Б на процессы движения и излучения в электромагнитных полях в суперпозиции с полем А-Б. Такой подход позволил бы улучшить состояние экспериментов и точность при определении характера влияния и проявлений эффекта А-Б. В частности, например, присутствие поля Ааронова-Бома должно изменить свойства синхротрон-ного излучения.
Исследования эффекта Ааронова-Бома в настоящее время представляют уже интерес и с практической точки зрения в новых; так называемых нанотехнологиях. Система колец Ааронова-Бома. связанных в цепочку, рассматривается в качестве квантового транспорта в мезоскопических системах (система мезоскопических колец в магнитном поле). Эффект позволяет измерять очень маленькие магнитные поля в квантовых единицах измерения. Он тесно связан со многими эффектами, имеющими даже технические приложения (например, квантование магнитного потока в
6
сверхпроводнике). Начальный период развития новой интересной области технической физики - электронной голографии непосредственно связан с эффектом А-Б. Уже рассматриваются технологии построения транзистора А-Б, к достоинствам которого относят сверхвысокое быстродействие, достигающее терагернового диапазона. Одна из самых последних перспективных идей квантовый компьютер на кольцах Ааронова-Бома. Поэтому исследования в этом направлении являются наиболее интересными и перспективными.
Прогресс в изучении эффекта А-Б может быть связан с выявлением нов],IX ситуаций, где эффект имеет место. Например, можно рассматривать более сложные конфигурации электромагнитных полей различные режимы движения частиц, различных размерностей и т.д. Исследование этих новых возможностей связано е нахождением точных решений соответствующих квантовых уравнений движения в таких полях.
С ростом приложений результатов работы А-Ь возникают другие задачи, имеющие важное значение, связанные с определенными ограничениями, которые вызывают расчеты оригинального А-Б эффек та. В частности, практически не были рассмотрены в эффекте А-Б процессы с участием спина. Хотя одна работа существует 3, в которой авторы применили свои расчеты для дираковских частиц при взаимодействии космических струи с материей.
Таким образом, актуальность проблем, рассматриваемых в данной диссертации, определяется, с одной стороны, фундаментальным аспектом анализа процессов излучения частиц во внешних полях и явлений, связанных с ними, и, с другой стороны, практической необходимостью изучения свойств радиационных процессов.
Цель диссертационной работы.
В теоретическом плане основной целью диссертационной работы является дальнейшее развитие теории электродинамических процессов, свя-
3Alford and Wilczek Phys.Rev. Lett. l!)89 v. 62. 1071
занных с движением и излучением заряженных частиц в различных электромагнитных полях. Конкретные решаемые задачи, естественным образом, варьировались в зависимости от получаемых точных решений соответствующих уравнений движения, исследуемых механизмов взаимодействия и уровня развития теории. В частности, для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи: исследование угловых и спектральных распределений синхротронного излучения во всем диапазоне скоростей (энергии) заряженной частицы;
- изучение углового распределения спектральных компонент излучения релятивистского электрона в неоднородном магнитном поле и поле плоского магнитного ондулятора специального вида;
- исследование механизма поляризации и самополяризации электронов в связанном и свободном состояниях под воздействием ноля электромагнитной волны, а также изучение влияния спина на угловое распределение электронов и излучения;
определение всех внешних электромагнитных полей, которые в комбинации с полем Ааронова-Бом а допускают точные решения волновых уравнений Дирака и Кляйна-Гордона в (3+1) и (24 1) КЭД;
исследование влияния поля Ааронова-Вома на свойства синхротронного и циклотронного излучения бесспиновых и дираковскнх частиц.
Научная новизна работы определяется тем, что впервые
1. Подробно исследованы угловые и спектральные распределения компонент поляризации синхротронного излучения (СИ) в широком диапазоне энергий частицы. Введены новые точные количественные характеристики качественных особенностей спектрально-углового распределения СИ.
2. Показано наличие коренных отличий в поведении угловой зависимости спектральной и интегральной мощности СИ. Установлено новое свойство деконцентрации в угловом распределении мощности СИ.
3. Рассмотрено излучение ультрарелятивистских электронов в плос-
8
ком магнитном ондуляторе и неоднородном магнитном поле. Установлены отличия в угловом распределении каждой спектральной компоненты (отдельной гармоники) и интегральной мощности излучения, что подтверждает общий характер эффекта деконцентрации СИ в теории излучения.
4. Изучено энергетическое взаимодействие поливинтового пучка электронов с полем электромагнитной волны произвольной поляризации, распространяющейся вдоль магнитного поля в условиях резонанса и без него.
5. Проведено исследование механизма поляризации фотоэлектронов при фотоионизации атома в п5]/2 и пР\/2-состоя11иях. Определено влияние ориентации спина на динамику их углового распределения.
6. Показана возможность получения поляризованных электронов при движении в поле плоской электромагнитной волны круговой поляризации. Дан анализ углового распределения излучения в зависимости от состояния спина.
7. Рассмотрен новый класс точно-решаемых задач о движении заряженных частиц во внешних электромагнитных полях специальной конфигурации. представляющих собой комбинации поля соленоида Ааронова* Бома, электрических и магнитных полей.
8. Найдены функциональные преобразования, переводящие соответствующие уравнения Кляйна-Гордона и Дирака для указанных полей в дифференциальные уравнения с меньшим числом переменных.
9. Получены и проанализированы точные решения релятивистских волновых уравнений в суперпозиции полей с полем Ааронова-Бома, выражаемых через специальные функции.
10. На основе полученных точных решений построена теория излучения скалярных и слииорных частиц.
11. Проведен детальный анализ влияния поля Ааронова-Бома на свойства синхротронного и циклотронного излучения.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Теория численного анализа угловых и спектральных расиределе-
9
ний синхротронного излучения на всем интервале возможных энергий частицы. Новые количественные характеристики степени угловой концентрации излучения (угловой интервал, в котором излучается половина мощности) и направления, в окрестности которого эта концентрация происходит эффективный угол излучения и угол отклонения.
2. В угловом распределении интегральных компонент поляризации И ПОЛНОЙ МОЩНОСТИ СИ. Кроме ПОСТОЯННЫХ экстремумов В точках 0.7г/2.7Г, наблюдаются максимумы, положение которых обусловливается скоростью частицы. При этом существуют граничные скорости, определяющие области. где присутствует зависимость угла, на который приходится максимум излучения от скорости. Для правой круговой поляризации и тг-компоненты СИ такая точка одна, для полной мощности излучения -две.
3. Существенное отличие в эволюции углового распределения спектральных и интегральных характеристик СИ заключается в наличии эффекта дсконцентрации, когда максимум в угловом распределении излучения отдельно взятой гармоники с ростом энергии частицы удаляется от плоскости орбиты, стремясь к конечному значению при неограниченном увеличении энергии, в то время как интегральная стремится к концентрации. Утверждение верно для любой компоненты поляризации излучения и любой гармоники СИ.
4. Теоретический анализ спектрального распределения синхротрон-ного излучения, степени линейной и круговой поляризации СИ в зависимости от энергии частицы.
5. Теория излучения электрона при его движении в неоднородном магнитном поле и поле плоского магнитного ондулятора, траектория которого представляют собой параметрически заданную кривую, результаты численного анализа углового распределения излучения.
6. Методы получения поляризованных по спину электронов при фотоионизации атома и в процессе излучения электрона, движущегося в поле электромагнитной волны круговой поляризации.
10
7. Классическое рассмотрение движения частицы в нолях с присутствием поля Ларонова-Бома. позволяющее дать наглядную интерпретацию квантовым числам.
8. Теория нахождения точных решений релятивистских волновых уравнений (Кляйна-Гордона и Дирака) в (34 1) и (241) КЭД для заряда. движущегося в сложном электромагнитном поле - суперпозиции ноля Ааронова-Бома и комбинации электрических и магнитных нолей определенной конфигурации.
9. Существует простое унитарное преобразование, убирающее целую часть магнитного потока поля Ааронова-Бома. в результате действия которого (преобразованные) волновые функции зависят только от мантиссы (неотрицательной дробной части) магнитного потока моля А-Б. Во всех решаемых случаях при ненулевой мантиссе существуют значения параметров, когда нарушается самосопряженность исходных уравнений. Эффект Ааронова-Бома в общем случае связан с перестройкой волновых функций и поэтому может проявляться во всех физических явлениях.
10. Теоретический анализ влияния поля Ааронова.-Бом а, на радиа.-ционные процессы (па свойства синхротрон него и циклотронного излучения) с участием бесспиновых и дираковских частиц. Проявления эффекта Ааронова-Бома в синхротронном излучении зависят только от мантиссы магнитного потока соленоидального поля, но не от его абсолютной величины и они имеют место только при ненулевой мантиссе. Наиболее яркими проявлениями эффекта Ааронова-Бома являются:
возможность излучения сверхнизких частот, не излучаемых при нулевой мантиссе;
квантовая деформация спектра излучения, выражающаяся в равновероятном излучении группы частот даже в слабом однородном поле и при нерелятивистском движении частиц;
изменение углового распределения излучения при ненулевой мантиссе, заключающееся в возникновении поляризованного но кругу излучения в
и
направлении оси соленоида с равномерно распределенной но гармоникам мощностью;
- сложная зависимость поляризации излучения от мантиссы магнитного потока и от типов переходов;
возможность деполяризующего влияния ненулевой мантиссы в известном явлении спиновой радиационной самополяризации электронного пучка;
- полное снятие вырождения излучаемой мощности по орбитальному кван-тозому числу /|. ослабление влияния ненулевой мантиссы магнитного потока с увеличением |/|.
11. Асимптотический переход к классическому пределу в квантовых выражениях для мощности излучения частицы в однородном магнитном поле и поле Ааронова-Бома показывает, что квантовые числа никаким образом не могут быть устранены из классических, по-существу, выражений.
12
Глава 1. Движение и излучение классического заряда в периодических структурах и новые результаты в теории синхротронного излучения
1.1. Новые свойства в поведении углового распределения синхротронного излучения
Современная теория синхротронного излучения разработана весьма подробно, хорошо согласуется с экспериментами и достаточно широко изложена в монографиях и обзорах |14б. 147. 161. 164. 165. 168. 174. 258]. Важной особенностью этой теории является то обстоятельство, что основные теоретические результаты удалось представить в замкнутой аналитической форме, практически не требующей численных расчетов. Возможно эта особенность теории привела к тому, что численный анализ в синхротроні юм излучении применялся в ограниченных масштабах. В данной главе мы подробно проведем численный анализ угловых и спектральных характеристик СИ. Мы будем исходить из того, что СИ создастся зарядом (электроном), который движется по окружности радиуса II. лежащей в плоскости г = 0, с постоянной по величине скоростью V = ф. где с скорость света (0 < р < 1). Если такое движение реализуется с помощью внешнего магнитного поля , то имеем связь р7ЩС2 (ЗЕ 7Щ(?
К = —^== = ^ = 7 = (1 - 02)~1/2 = -=~2, 7 > 1-
еН еН 1ЩС2
Здесь то - масса покоя электрона, Е - его полная энергия, 7 - релятивистский фактор. Частота вращения заряда по орбите связана с его радиусом или магнитным полем соотношениями
св ее Л еН
Я Е 7Пц(Г)'
Спектральная мощность СИ (мощность СИ для фиксированной частоты излучения) имеет максимум, приходящийся на гармоники порядка V ^ 73. Как правило, в теории СИ рассматривалось два предельных
13
случая: нерелятивистский (j3 <С 1, Е ~ тщс?) и ультрарелятивистский пределы ~ 1, Е тос2;. имеющих особый практический интерес. В нерелятивистском случае излучение происходит наиболее интенсивно только на первой гармонике ы\ = од при этом мощность СИ имеет максимум в направлении магнитного поля. В ультрарелятивистском случае полная (интегральная) мощность СИ (спектральная мощность СИ. просуммированная по спектру) концентрируется в плоскости орбиты в растворе малого угла АО ~ I/7 <С 1- Таким образом, когда энергия электрона возрастает, интегральная мощность СИ имеет тенденцию к концентрации в плоскости орбиты. Все поляризационные компоненты интегральной мощности СИ обладают такими же сходными свойствами. Это явление, подтвержденное экспериментально, называется "прожекторным эффектом'', так как оно наблюдается вперед по направлению движения частицы. Несмотря на то. что эти результаты были получены впервые в рамках классической электродинамики. рассмотрение в рамках квантовой теории существенно не изменило результатов классического анализа, были введены лишь малые квантовые поправки, не изменяющие основные выводы [153-162].
До последнего времени отмеченные свойства СИ приписывались и спектральному составу излучения, главное из них - это свойство концентрации полной мощности без существенных изменений переносились на угловое распределение отдельных гармоник. Однако это ниоткуда не следует. то есть, что сумма ведет себя так же. как отдельный член (слагаемое этой суммы) и наоборот. Это, тем более, не может иметь места в ьтрареляти вистском случае (J3 —>■ 1). так как в этом случае сумма расходится, а каждый отдельный член ряда остается конечным, и. следовательно, такой ряд заведомо сходится неравномерно.
Таким образом, возникающие вопросы с необходимостью потребовали провести детальный анализ углового и спектрального распределения мощности СИ. В данной главе мы приводим результаты этого анализа.
14
1.1.1. Основные характеристики спектрального-углового распределения мощности СИ
Выражения для спектрально-углового распределения синхротрон-ного излучения, полученные в рамках классической электродинамики, были известны еще G.A. Schott [292] и с тех пор неоднократно воспроизводилось в специальных монографиях (см. например, [146]. [161]. §10: [301], с. 31) и учебниках (например [96|, глава 14, [120], [174]. §74).
Полную излучаемую мощность W. с учетом поляризации излучения. можно представить в виде
jxr Ur л Ce2ßA e*H*ß2{ 1 - ß2) /t ,
Wi = W0$i(ß), W0 = ^-----L, (1.1.1)
Ф.(/3)= f Fi(ß,0)sm6d», Fi{ß,6)=J2fi(v,ß;0), о
/0(1/, ß; в) = /_t(v, ß; *) + ЛМ; 0) = /2(t/, ß; Ö) + /3(к ß: 0),
Fo(ß, 0) = F.i(ß, 0) + F,(ß, 0) - F2(ß, 0) + F3(ß, в)..
ФоСЗ) = Ф-iO?) + ФД/З) = Ф2(/?) + Фа(0).
Здесь целочисленное - номер излучаемой гармоники при наблюдении отдельной частоты излучения ы — l/lüq: 0-угол между осью z и направлением распространения излучения, то есть, орбита частицы лежит в плоскости z = 0, что соответствует в — 7г/2. В некоторых работах применяют другую систему углов, выбирая в качестве оси г направление мгновенной скорости. Связь такой системы углов с использованной в данной работе хорошо известна (см., например, |161];. Индексом i будем нумеровать отдельные компоненты поляризации излучения. Примем следующую нумерацию: i = —1 соответствует левой круговой поляризации излучения; г = 1 - правой круговой поляризации; г = 2 - <т- компоненте линейной поляризации; г = 3 7г-компоненте линейной поляризации; г — 0 - полной (просуммированной) по поляризациям излучаемой мощности.
15
Определение и подробное описание компонент поляризация дано в [146. 161, 165, 3011. Функции /х(к/3;0) полностью описывают спсктральпо-угловос распределение излучаемой мощности и имеют вид:
= у№(*) Т -^Мг)}2, * = ^пв,
Ы»-.т = и2 Г2 [г), /з{и,№) = (1.1.2)
где Jl/(x) функции Бесселя целого индекса. Имеют место следующие очевидные свойства:
1к(и,/3;0) =/к(1/,!3-,л-0), к = 0,2,3; = Ь{и,/3\л-в), (1.1.3)
позволяющие ограничиться изучением поведения функций /Дгл ,3: в) только на отрезке 0 < в < я/2 (к = 0,2,3). а из пары функций достаточно изучить лишь одну, например, Д).
Точные аналитические выражения для функций Рк(0. в) (к = 0,2,3) также были известны [146. 161, 165, 301], они имеют вид:
(3 - 4д2)е2 -1- 6(272 - 1)ег — 5
Fo(ß,0) =
16(72 - 1)е7/2
F (в - 7 ~ 3S F (3 Й\ - (Т2^ ~ 1)(5 - е) .
^ ^ mW 3(* * ) 16(72 - 1)е?/2 ’
е = 1 - ß2 sin2 0.—z<e< 1.
I
Для функций F±i имеем
F±i(ß,6) = ±F0(ß,9)±ip(ß sinÖ)lctg0, (1.1.5)
OO - 00
= XI v<2Mvx)^Uvx) = 000 = XI
V=l 13=1
Замкнутое аналитическое выражение для функции 4/(т) до настоящего времени не получено.
10
Выражения (1.1.1). (1.1.4) и (1.1.5) можно упростить в ультрареля-тивистском случае, когда 7 1. Для этого, вместо угла в, введем новую
переменную £ соотношением
£ — —7 соб 0, ьтвйв = 7 —7 < £ < 7. (1.1.6)
Тогда в терминах переменной £ при 7 —у ос функции Ф»(£) можно представить в виде
ш = ^ ят- (1.1.7)
Функции Тх{£,) известны, они имеют вид [146, 161. 165, 3011:
7 5£2 7+12£2
= (1 + £2)5/2 > -^*(0 = (1 + £2)7/2’ ^«(^ = (1 + £2)7/2’
7 4- 12£2 32£
•ЫО = 2(1 + ?2)5/2 Т ,г^з(1 + С2)3’ * ^ ("°°= +°°)- О-1-8)
Рассматривая Р;(р.О) при каждом фиксированном р как функции в, найдем, что точка 0 = 0 всегда есть экстремум для каждой из функций Р{, причем значения этих функций при <9 = 0
л^.о) = о, адо) = Л09.О) = р2(в,0) = р3(А0) = \ (1.1.9)
не зависят от р. то ость, от энергии частицы. Точные аналитические выражения известны также для функций Ф<(/3)
Фо(/5) = 274/3, Ф±,(/3) = 74/3,Ф2(Д) - (772-1) 72/12, Ф*0) = (72+1)72/12.
Точка в= 7г/2 является экстремумом для функций Рк (к = 0,2,3), их значения в этой точке равны
г0(АП = га(АП = ^73(772-3). Рз(Л.П = 0. (1.1.10)
Для функций /Тц значения в точке в = тг/2 равны = ^73(?72 -
3). Причем для Рц точка в = тг/2 является абсолютным минимумом. Легко видеть, что р2(ру0) на отрезке 0 < 0 < тг/2 является монотонно возрастающей функцией 0 при всех Р и, тем самым, 0 = 0 есть точка абсолютного
17
минимума, а в = тг/2 - абсолютного максимума этой функции. С ростом энергии частицы Е максимальное значение функции р2 растет ^ Еъ. В тоже время, из вышеназванной литературы известно, что для иереляти-вистской частицы (в -С 1) точка в = 0 является точкой, где достигается максимум функций Еи, Р* и Рд. В ультрарелятивистском случае максимумы этих функций смещаются к 9 тг/2. Однако характер смещения мак-
симумов с изменением энергии частицы детально не был проанализирован.
Для того, чтобы более точно провести такой анализ, необходимо ввести новые количественные характеристики. Это также связано с тем фактом, что большинство утверждений в теории СИ носит качественный характер. Например, такое утверждение, что в ультрарелятивистском случае полное излучение происходит в узком угловом конусе с раствором АО ~ 7-1 вблизи плоскости орбиты.
1.1.2. Количественные характеристики в угловом распределении СИ - эффективный угол излучения и угол отклонения
Рассмотрим введение новых характеристик на примере углового распределения функции (/?,$), так как она не обладает осевой симметрией относительно 0 = тг/2. График этой функции при 3 = 0,6 изображен на рис. 1.1.1. Выберем точки таким образом, чтобы 0 < о[Х) < 0^ < тг и
выполнялось соотношение
1 Г
/ ^1(0:0) 8ІП0Й0 = - / Е{{р:в)ятвЗО. (1.1.11)
Je\l) 2 Jo
которое означает, что в угловой интервал Аі = 0^ - 9'\' излучается половина мощности правополяризованной компоненты. Очевидно, что это соотношение не определяет однозначно величины 9[У) и 92 (следовате ЛЫ10 и Ді). но устанавливает связь между ними или устанавливает, например, функциональную зависимость Ді = Д(0|^). Выберем теперь в\]" так, чтобы Ді было минимальным, то есть, найдем минимум функции А\(9\[>).
18
Рис. 1.1. 1: Определение эффективного угла Д[ и угла отклонения о* для функции Р\(р;0) при ,3 = 0,6.
Легко установить, что если не совпадает с правым концом интервала (0р] ф д), то условие минимума Д1 записывается в виде
/д(р;в[1)) вшб[1) = F1{!3:в^)) зт4°. (1.1.12)
Из системы двух уравнений (1.1.11) и (1.1.12) однозначно находим 0\]! и во'
и. тем самым, наименьшее Д'/'4 = Дь Будем называть Дт эффективным углом излучения правополяризованной компоненты. Расположение на оси 0 отрезка 0\]',0^]\ будем характеризовать углом
<*, = (*- 0™ - в$)/2, (1.1.13)
который назовем углом отклонения (точка 03 делит отрезок Д] на две равные части). Введенные величины показаны на рис. 1.1.1.
Рассматривая функции Ffc(/5. в) для к = 0,2,3, мы видим, что их графики зеркально симметричны относительно вертикали в = я/2 (см. рис.1.1.2-1.1.4). В качестве примера на рис. 1.1.2. представлен график Го(Р\ 0) при р = 0.55. В этом случае уместно применить данное выше определение к интервалу 0 < в < я/2 и несколько иначе определить угол отклонения
<4к) 1 г!2
/ ^(/3;0) лпв<Ю=- / Рк(р;9)зт0с16, (1.1.14)
2 3 о
19
Рис. 1.1. 2: Определение эффективного угла До и угла отклонения <*о для функции Ро№ 0) при ,3 = 0,55
О < 9[к) < 9^ < тг/2:
ДС9;^‘))яп^‘) = Л(^;^*))яп^*), к = 0,2,3; (1.1.15)
Ак/2 = в(к) - 9{к], а* = тг/2 - в[к). (1.1.16)
При схк > 0 эффективный угол разбивается на две равные симметрично расположенные относительно прямой 0 = тг/2 части, разделенные интервалом 2 а к. как показано на рис. 1.1.2. В некоторых случаях (например, для функции /^(/З;#) при всех /3 и /*о(/3; в) при ,в. близких к 1 ), величина $2^ = тг/2 (совпадает с правым концом интегрирования) и для определения Д& достаточно только уравнения (1.1.14), в котором следует положить 6^ = (п — Д/ь)/2, = тг/2. Уравнение (1.1.15) не имеет
места, а угол отклонения в этом случае = 0; две части эффективного угла сливаются и эффективный угол расположен так, что прямая 0 = тг/2 делит его на равные части. Очевидно, что введенные эффективные углы и углы отклонения А/ = ДД/З), ог* = о$(0) являются функциями энергии частицы (или величины /3). Рассматривая спектрально-угловое распределение компонент поляризации излучения, мы аналогичным образом можем для каждой гармоники и ввести эффективный угол и угол отклонения А* = А= сх{(у\Р). Таким образом, мы получили, что эффектно-
20
ный угол излучения количественно характеризует степень угловой концентрации излучения, а угол отклонения - направление, в окрестности которого эта концентрация происходит. Введенные величины являются точными теоретическими и наглядными геометрическими характеристиками степени концентрации и геометрии излучения.
1.1.3. Структура углового распределения линейной поляризации СИ
Наиболее просто с изменением энергии частицы эволюционирует угловое распределение ^-компоненты СИ. просуммированной но гармоникам. Из (1.1.4) при фиксированном в следует
dF<i{0,0) _ /32(35 - 9е) sin 0 cos 9 , _
М “ ' (11.17)
Отсюда следует, что Fo(p, в) имеет экстремумы только в точках в — 0, тг/2. тг. причем 0 — О.тг являются точками минимума, а при 0 = тг/2 достигается максимум этой функции при всех р. Минимальные значения, согласно (1.1.9), F2 (ДО) = F>(P, тг) = 1/4 не зависят от /3; максимальное значение, в соответствии с (1.1.10), /'Д/!, тг/2) = 73(772 — 3)/1С с ростом энергии растет как 7°. Па интервале 0 < в < 7г/2 функция 9) монотонно возрастает, а при тг/2 < 9 < 7г монотонно убывает сростом 9. На рис. 1.1.3 представлен характер эволюции функции F-^p.9) с изменением энергии частицы.
Для того, чтобы определить характерные точки в угловом распределении тг-компоненты СИ. находим из (1.1.4) для фиксированного р
dF$(P, в) ,4+.4_ sin 9 cos 9
d0 192г9/2
(1.1.18)
A± = 6P2 sin'2 9 + 24 - 5p2 ± V 5(5.04 + 24p'2 + 96).
Откуда следуе т, что точки 9 = 0, тг/2. тг есть точки экстремумов при всех в, причем в точке 9 = тг/2 функция имеет абсолютный минимум, поскольку
21
в этой точке = 0. Если величина А+ положительна для любых р и в, то элементарные исследования показывают, что Л_ > 0 для всех в, если Р<Рз (7<7з):1'де
Рз = 2/ у'ГЗ« 0,5164, 73 = х/15/11 « 1,1678. (1.1.19)
Если же р > рз, то А- = 0 при в — 9з(0), 9 = тг — 93{р). где 9з(Р)
определяется соотношением
6р2вт2 вз{р) = 5Р'2 - 24 + л/5(5/94 + 24р2 + 96), (1.1.20)
0 < ег{р) < тг/2, р>р3.
Рис. 1.1. 3: Угловые профили а— ком- Рис. 1.1. 4: Угловые профили 7г-
поненты излучения для различных ;3: 1 компоненты излучения для различных
- 0.0; 2 - 0.3; 3 - 0.4; 4 - 0.5; 5 - 0.6. /3: 1 - 0.0; 2 - 0.3; 3 - 0.5; 4 - 0.6; 5 - 0.7; б
- Ü.8.
Следовательно, на интервале 0 < в < тг/2 функция F3(/9,9) для всех Р < рз, (у < 73) имеет максимум в точке в = 0 и монотонно убывает с ростом в; если же р > Рз, (7 > 73), то F3{Р,9) имеет минимум в точке 9 = 0, монотонно возрастает с ростом 9 до точки 9 = 9з(р), где достигает максимума, При 03(/9) < в < п/2 функция F3(/9.9) монотонно убывает с ростом 9. Поэтому, если обозначить через 9™(р) точку, где функция F3(/3.9)
22
на отрезке 0 < 0 < тг/2 достигает своего максимума, то получим, что
°’ Р-Р*' (1.1.21)
Ш, Р > А-
D частности, при /3 —> 1 (7 —> ос) из (1.1.20) имеем известную [146] асимптотическую формулу
tfifi) * тг/2 - - Л II, 7 » 1. (1.1.22)
7 V о
График функции приведен на рис. 1.1.7. Семейство графиков функции F^(p, 9) при различных Р приведено на рис. 1.1.4. Таким образом, имеем два типа графиков: первый тип (при р < Д) - кривые 1.2.3, когда максимумы находятся в точках 9 = 0, к: второй тип (при р > ,#з) - когда максимумы с ростом ,8 удаляются от точек в = 0.7:. приближаясь к точке в = тг/2. Асимптотика (1.1.22) может быть получена также из вида функции ^з(0; если Учесть, что максимум этой функции достигается в точке Ç2 = 2/5 (что приводит к (1.1.22)). Для максимального значения имеем
К = ~ 0- 6160. T^jT^ = « 11.3636. (1.1.23)
3 2401 .о/з 1250 . v ;
1.1.4. Угловое распределение полной излучаемой мощности синхротронного излучения
Для полной излучаемой мощности из (1.1.4) найдем dFo('3^9) B+B-smOcosO
(1.1.24)
dd 48(1 4- 3/52)s9/2 ’
B± = 3(1 + 3,02).й2 sin2 в + 6(2 + 01) ± 2^15(2 + 4/?2 + 9^4).
Легко видеть, что 5_ > 0 при всех р и в. Элементарное исследование показывает, что если р [Pq1\ Pq2/] (7 & Ьо^-.О'о^]) еде
^ = l/\/7fe 0,3379, 7^° = у/7/6 « 1,0801; (1.1.25)
23
42) = y/(V6 - 2)2/3 « 0,5474, y^ = (+ Зл/2)/5 « 1,1949,
то величина /?_ ^ 0 при всех 0. Таким образом для таких значений энергии
частицы функция Fo(ß.6) имеет экстремум в точках в = 0,7г/2. тг. причем
при в < 41} в точках 0, тг достигается максимум Fq, а в точке 9 = тг/2 - ми-
12)
нимум ЭТОЙ функции. Если же ß > Д) . то при в = 0. тг имеем минимумы, а при # = тг/2 - максимум функции i*o(/3.0).
Если /3q^ < ß < Pq' (7q^ < 7 < 7q2^), то в точках # = 0, т/2,7г функция ,Ро(Д #) имеет минимумы, а максимум достигается в точках 0 = W), 0 = 7г - ^о(/3). где Д)(/3) определяется условием /?_ = 0. откуда следует уравнение для вычисления значений Oo(ß) при заданных в
3(1 + 3ß2)ß2 sin2 Oo(ß) = 2^15(2 + 4/32+ 9^) - 6(2 + ß2), (1.1.26)
0 < eH(ß) < n/2, ßV <ß< /f >.
Легко также установить, что если 7 < 7, где 7 есть корень алгебраического уравнения
73(772-3)-8 = 0, 7 «1,1172; Д« 0,4459; То’’ < 7 < \ (1-1-27)
то Fq(13,0) = Fo(ß. л) > F0(ß, 7г/2). Если же 7 < 7. то F^(ß, 0) = Fo(ß, тг) < Fo(ß, тг/2). Следовательно, если через 9™(ß) обозначить точку абсолютного максимума функции Fo(ß.O) в области 0 < 9 < тт/2, то имеем
[ 0, 0 <
W)=|W), ßli]<ß<ß^-, (1.1.28)
[ n/2, ßf* < ß.
График функции 0™{ß) приведен на рис. 1.1.7. Семейство функций F()(ß. 9) при различных в приведено на рис. 1.1.5. Таким образом, здесь мы имеем четыре типа графиков. Первый тип (ß < ß^) - кривые 1.2 на рис. 1.1.5, когда максимумы достигаются в точках 9 = 0,7г и поведение функции Fo(ß,0) аналогично поведению ^(ß, 9) (см. рис. 1.1.3). Второй (ßo’ < ß < ft) и третий (ß < в < 3'^) типы кривые 3.4,5 на рис. 1.1.5
Рис. 1.1. 5: Угловые профили полного Рис. 1.1. Су Угловые профили право-
излучения дня различных /3: 1 - 0.0; 2 поляризованной компоненты излучения
- 0.3: 3 - 0.4; 4 - 0.4458; 5 - 0.5; б - 0.6. для различных 1 - 0.0; 2 - 0.3; 3 - 0.4;
4 - 0.5; 5 - 0.6.
характерны тем, что максимумы с ростом р удаляются от точек в — 0,7г и приближаются к точке 0 = п/2. графики второго (кривая 3) и третьего (кривые 4,5) типа отличаются взаимным расположением значений Ро в точках в — 0, тг и 0 — п/2, согласно данному выше описанию. Четвертый тип
/<у\
(Р > р0 ) - кривая б на рис. 1.1.5, характерна тем, что точкой максимума является в = п/2 и форма графика функции Р^р, в) снова становится аналогичной графику Р-2(Р,в) на рис. 1.1.3.
Рис. 1.1. 7: Графики функций $?($): 1 - $?(в), 2 - 9\п{0), 3 - 0™{$)
25
1.1.5. Структура углового распределения круговой поляризации синхротрониого излучения
Трудности исследования углового распределения круговой поляризации СИ связаны с отсутствием в иаетящее в{к;мя аналитических выражений для функции 'ф(х). играющей основную роль в формулах (1.1.5). Численный анализ также затрудняется наличием бесконечного суммирования. что приводит при компьютерном моделировании к большим ошибкам. Поэтому возникает необходимость в решении задачи по улучшению вычисления функций 'ф(х) и ф(х). которую сведем к процедуре упрощения путем аппроксимации трансцендентных функций в (1.1.5) элементарными функциями - функциями-полиномами Xl(x): Х2(-Т) И Хз(.т) [36].
При численном анализе у нас часто будет фигурировать функция R(x). выражающаяся через ф(х) и ее производную, которая записывается в виде
гу( \ [зУрР; - _
• х2
= фè+ (1 - x2)Jî(yx)\ - Щт- О-1-5- В
1У= 1
Очевидно, что ряды в (1.1.5) и (1.1.5-1)1 сходятся при |æ| < 1.
Учитывая представление квадрата функции Бесселя в виде ряда (см. [80]. формулу (8.442.1)). получим следующее разложение функции ф(х) в ряд по х, который сходится для всех |ж| < 1:
,_^Г(2д + 1К/*\* А (-1
r2(s + !) 2' ’ а" ^r(s + fc + l)r(s-ik+T)' ^(1.1.5-2)
•Нумерацию формул, касающихся процедуры аппроксимации формул (1.1.5) в дальнейшем будем нумеровать с дефисом -.
26
Подставляя (1.1.5-2) в (1.1.5) и (1.1.5-1) получаем следующие разложения
мх\ _ I у- Г('2а-г /жу2'-1 . , _ 1 лр 1 (2я + 2)аа„+1 р\^-1
2 Г2[я+1) \2/ ’ 2 2-^ Г2(« + 1) Ы
Г2(«+1) \-2; ’ 2^ Г-(в +1)
(1.1.5-3)
Теперь мы легко можем выписать в явном виде первые члены разложения функций ф(х). ф{х) и Щх):
^ п(х\2 239 /х\* 7435 /х\* 292223/х\* л
*■>=(2) [ (2) +1К2) +^(2)+ 28^Ы +4
., V х г (х\1 239 /х\А 7435(х\Ъ 1461115/аг\» 1
*М = г[1 + иу + -(-) + _(-) + ~ (-) +...],
(1.1.5-4)
ч 7х г 239 (х\2 7435/#\4 1461115/а;\6 14849671 /х\8 1
ад-тР-йЫ +ТГШ +-Щг(?) +~ш« (2) +4
Так как при анализе предельных выражений мощности излучения аргумент функций Бесселя х может принимать значения близкие к 1 (для предельных скоростей 0 ~ 1). а и может быть большим (высокие гармоники), то очевидна необходимость получения асимптотических выражений функций ф{х). ф{х). Я(х) при х —у 1. Если в данном случае воспользоваться известными аппроксимациями функций Бесселя функциями Макдональда
2
Ju{ их)« * ^—^-1<уз(у), у = ^(1 - ж2)3/2,
(1.1.5-5)
то заменяя в формулах (1.1.5) и (1.1.5-1) суммирование по и интегрированием, получим следующие асимптотические (при о: —^ 1) выражения:
Ф ~ И ^ Ф « 1) « —7-гг .V; й(г»1)
тгч/3(1 - .^2)2’ *>/5(1 -**)*’ 7Г(1 - а;2)4-
(1.1.5 -6)
Введем функции Хл(ж)(& = 1,2,3) связанные с ф(.т). Я(.г)
соотношениями
XI
г2(1 — ж2)]2 , . , ч 4(1 — х2)* 4(1-я2)*
(*) = [—-—] Ф), Х2(х) = —-—ф), хФ) = —р:—Д(®).
(1.1.5-7)