5
20
20
28
28
31
33
34
34
39
44
50
56
58
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.........................................................
Глава 1. Сложная динамика неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами.....................................
1.1 Классификация неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами по схеме теории катастроф Тома.............
1.2 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов с убегающими на бесконечность решениями........................
1.2.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “складка”....................................
1.2.2 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “двойственная сборка”........................
1.2.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “ласточкин хвост”............................
1.3 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов только с ограниченными решениями......................................
1.3.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “сборка”.....................................
1.3.2 Сравнение динамики неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциальными функциями, соответствующими катастрофам “сборка”, “бабочка” и “звезда”.....
1.3.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “бабочка”....................................
1.3.4 Динамика неавтономного осциллятора непосредственно в точках катастроф.........................................
1.4 Выводы...................................................
Глава 2. Сложная динамика специальных отображений с полиномиальной нелинейностью.....................................
2.1 Критические явления в отображениях с удвоениями периода
2
(обзор основных свойств)........................................ 58
2.2 Классификация отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф...................... 61
2.3 Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф “складка”, “сборка”, “ласточкин хвост”............................................... 63
2.4 Динамика двумерных отображений с полиномиальной нелинейностью................................................ 66
2.4.1 Отображение катастрофы “эллиптическая омбилика”, феномены комплексной динамики................................ 66
2.4.2 Отображение катастрофы “гиперболическая омбилика”, приведение к связанным логистическим отображениям............ 70
2.5 Выводы...................................................... 76
Глава 3. Сложная динамика универсального модельного отображения .. 77
3.1 Конструирование отображения, обладающего всеми известными бифуркациями двумерных отображений и двумя сценариями перехода к хаосу..................................... 77
3.2 Трансформации языков синхронизации.......................... 83
3.3 Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода........... 90
3.4 Критическое поведение типа Н при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада 99
3.5 Критическое поведение типа С при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада 100
3.6 Качественное подобие бифуркационной структуры областей удвоенного периода п=8, 16... языка синхронизации периода 4. 104
3.6.1 Конфигурация бифуркационных линий типа “бабочка” в окрестности точек резонанса 1:2 К.................. 104
3.6.2 Качественное подобие разбиения на области по типу мультипликаторов языков синхронизации периода 3, 4 и их
областей удвоенного периода................................ 112
3.7 Иллюстрация структуры языка синхронизации периода 4........ 114
3.7.1 Фазовые портреты, бассейны притяжения и локальные бифуркации................................................. 114
3.7.2 Трансформации инвариантных многообразий точек цикла
и механизм разрушения инвариантной окружности.............. 122
3.7.3. Взаиморасположение точек цикла и критических кривых ^ на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной
окружности................................................. 131
^ 3.7.4. Трансформации бассейнов притяжения аттракторов и
критические кривые......................................... 139
3.8 Выводы..................................................... 143
Заключение......................................................... 147
Литература......................................................... 151
Список публикаций по теме диссертации............................. 172
4
ВВЕДЕНИЕ
Одной из характерных черт современной науки вообще и радиофизики в частности остается выделение и всестороннее исследование нелинейных колебательных феноменов [1-3]. Развитие вычислительной техники обеспечило для этого инструментальную базу, а формирование таких фундаментальных положений, как теория динамического хаоса, составило плодотворную идеологическую основу [4-6]. В настоящее время создано множество нелинейных колебательных моделей — эталонов того или иного типа поведения во времени и пространстве. Особое - исторически и методологически первое - место среди них занимают уравнения неавтономных диссипативных осцилляторов, описывающие колебания в окрестности положений равновесия [7, 8]. Неавтономные осцилляторы стали классическими моделями движений различных маятников под действием внешней силы [9], неустановившегося режима работы синхронного мотора в электротехнике [10], устойчивости кораблей [11], резонансных явлений в структурах различной природы [12, 5], осцилляторных явлений в биологии [13].
Системы нелинейных дифференциальных уравнений со многими параметрами достаточно сложны даже для численного анализа. Бессистемное численное исследование даже такого достаточно узкого класса нелинейных систем, какой составляют рассмотренные в работе осцилляторы с полиномиальной нелинейностью, находящиеся под внешним гармоническим воздействием, наталкивается на трудности выделения общего, универсального из необозримого разнообразия демонстрируемых колебательных режимов. Сложные нелинейные ситуации обычно не поддаются описанию под одним углом зрения. Не являются исчерпывающими и известные принципы систематизации осцилляторов, в частности, по виду симметрии потенциальной ямы, форме ее дна, количеству минимумов, форме воздействия [4, 14, 15]. Поэтому развитие подходов к системати-
зации осцилляторных феноменов остается актуальным, тем более что результаты последних компьютерных исследований этих систем выявляют все большее число деталей и особенностей.
В представленной работе предложено и реализовано упорядоченное рассмотрение осцилляторов с потенциальной функцией, аппроксимируемой степенным полиномом степени п<8 с позиций теории катастроф Тома [16-23]. Как известно, предметом теории катастроф является исследование качественного изменения состояний равновесия Ч',(с,) градиентной системы Ч' = -Уч,У с потенциальной функцией У(%;сг) при вариации управляющих параметров с,, 1 <гйт. Катастрофой называют внезапное резкое изменение в поведении системы при плавном изменении её параметров [18]. В нашем рассмотрении катастрофа означает внезапный переход от одного состояния равновесия к другому
[20]. Катастрофы могут быть интерпретированы и как жесткие бифуркации, в которых постбифуркационное состояние системы существенно отличается от предыдущего [24].
Согласно классификационной теореме Тома, в типичном случае г-параметрическое семейство гладких функций/?" ->/? для всякого п и всех г <5 структурно устойчиво и эквивалентно (в смысле существования замены переменных) вблизи любой точки одной из тринадцати классификационных форм [17, 21, 22], некоторые из которых приведены в таблице 1. Другими словами, из всего огромного семейства полиномов, аппроксимирующих потенциальную функцию осциллятора, можно остановиться на последовательном рассмотрении нескольких разложений теории катастроф, начиная с кубического полинома (катастрофа “складка”) и заканчивая полиномом 8 степени (катастрофа “звезда”
[21]). Таким образом, результаты исследования динамической системы с потенциалом, соответствующим катастрофе Тома, должны обладать общностью для всех систем с потенциалами, приводимыми к нему. Более того, эти результаты будут верны и для систем с более сложными потенциалами, поскольку каждая
катастрофа высшего порядка, т.е. описываемая полиномом высшей степени, всегда имеет в своих сечениях катастрофы низшего порядка [21].
Табл. 1 Катастрофы Тома.
Тип катастрофы1 и коразмерность сос1: Потенциальная функция 1)(х):
А, “складка" 1 х2, + ах
4а “сборка” 2 ±{хА +ах2 + Ьх)
Л “ласточкин хвост ” 3 х5 + ах3 + Ьх2 + сх
4*5 “бабочка” 4 ±(х6 + ах4 + Ьх3 + сх2 + ск)
4 “вигвам” 5 х1 + алг5 + Ьх4 + сх3 + (1х2 + ех
А±7 “звезда” 6 ± (х5 + ах6 + Ьх5 + сх4 + сЗх3 + ех2 + /.х)
Д-4 “эллиптическая омбилика ”2 3 х2у - у3 + ау2 + Ьх + су
Д-4 “гиперболическая омбилика ”2 3 х2у + у3 +ау2 + Ьх + су
Осциллятор, потенциальная функция которого позволяет аппроксимацию степенным полиномом в виде одной из каспоидных катастроф Тома, мы называем “осциллятором с катастрофой”, и его пространство параметров содержит бифуркационное множество соответствующей катастрофы. Например, в пространстве параметров осциллятора Дуффинга была найдена катастрофа “сборка” [25], и было предположено, что добавление четных степеней переменной х к восстанавливающей силе приведет к наблюдению катастроф высшего порядка
[19]. Бифуркационное множество [18] - это проекция на плоскость параметров сг многообразия катастрофы [18], которое есть множество точек (х, сг), удовлетворяющих уравнению 1Лх)'= 0. Коразмерность катастрофы сос1 (число параметров) повышается последовательно на каждой стадии нашего исследования. Поскольку при пересечении бифуркационного множества происходит трансформация потенциальной функции, то вблизи этих множеств осциллятор может демонстрировать богатое бифуркационное поведение или странный аттрактор.
1 Символы Л-Ц по классификации Арнольда, которая слишком сложна, чтобы приводить ей здесь [17, 18].
2 В качестве квадрашчного члена можно взять также а(у2 + X2) [18].
Сравнительная сложность и громоздкость исследования систем с непрерывным временем при необходимости описания нелинейных систем в широкой области пространства параметров заставляет обращаться к дискретным моделям в виде отображений последования. Отображения не только имеют непосредственную связь с дифференциальными уравнениями через сечения Пуанкаре [5, 26, 27], что позволяет уменьшить размерность системы, но имеют и самостоятельное значение. Типичными основаниями для использования отображений в радиофизической практике являются дискретизация данных наблюдения с помощью аналого-цифрового преобразователя и использование стробирования. Существует оригинальный метод получения одномерных отображений из временных рядов [28]. Также двумерные отображения естественно выводятся при моделировании лазера с кольцевым резонатором [29], при переходе от разностных схем, описывающих генераторы специального вида [30], и при описании искусственных нейронных сетей, воспроизводящих сложные временные ряды потоковой системы [31]. При этом если даже данные получены из системы, однозначно обратимой во времени, дискретная модель может оказаться необратимой [31], а такие системы способны, например, демонстрировать хаос даже при размерности 1. Много систем в электронике и теории управления приводят к моделям в форме необратимых отображений [32-34]. Несмотря на относительную простоту нелинейных отображений, их анализ важен для описания разнообразных феноменов, наблюдаемых в более сложных системах [5]. Однако историческая практика формирования колебательных моделей сложилась в пользу дифференциальных уравнений, и арсенал модельных отображений значительно беднее, чем аналогичные наборы эталонных потоковых систем.
Конструирование новых модельных отображений, отражающих определенный путь эволюции нелинейной системы [35], отвечает современным фундаментальным и прикладным задачам радиофизики, поскольку возникающие в экспериментах ситуации на границе хаоса порою слишком сложны для анализа
с использованием потоковых моделей [6, 36]. Как и в осцилляторных системах, здесь перспективны подходы теории катастроф и различные полиномиальные аппроксимации. Были предложены разные методы построения отображений с новыми свойствами. Так, при повышении степени функции правой части были найдены различные наборы универсальных констант, характеризующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода [37-40]. Затем в отображениях, полученных из семейства кубических и квинтичных полиномов методом Беирстоу [41], состоящем в подборе таких переменных, чтобы квадратичный полином являлся делителем исходного полинома, были найдены новые бифуркации и вскрыта роль сингулярности [42]. Далее в отображениях с нелинейностью, соответствующей особенностям типа “складка” или “зонтика Уитни”, было прослежено возникновение разных типов универсального поведения [43]. Так было сконструировано двумерное отображение, являющееся гибридом одномерных отображений, демонстрирующих по отдельности каскад бифуркаций удвоения периода и касательную бифуркацию, где при встрече линий обеих бифуркаций возникла новая критическая ситуация, так называемый С тип [43, 44], найденная впоследствии в одной из базовых систем - осцилляторе Ресслера [45]. Ситуация, характерная для С типа критичности наблюдается также на экспериментальных бифуркационных диаграммах, полученных для различных радиофизических систем [6, 46-48].
Для проведения многопараметрического анализа и наблюдения различных типов критичности при “восхождении по коразмерности” [44] полезным инструментом оказывается теория катастроф. Через дискретизацию градиентной системы с потенциальной функцией в виде катастрофы Тома можно сконструировать новый класс отображений (“отображений катастроф”3) с интересными свойствами. Также возможно сконструировать двумерное отображение, демон-
3 Вводимый нами термин “отображение катастрофы” следует отличать от предлагаемого в книге Постона л Сттоатра, означающего проекцию многообразия катастроф на плоскость параметров полинома [18].
стрирующее реализацию двух сценариев перехода к хаосу - через бифуркации удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - и обладающее всеми известными бифуркациями для двумерных отображений. В такой достаточно универсальной модели, демонстрирующей к тому же замечательное сходство с исследованной эмпирически радиофизической системой с запаздыванием [30], интересно пронаблюдать, как наличие бифуркации Неймарка - Са-кера (бифуркации рождения инвариантной окружности) влияет на тип критического поведения на пороге хаоса и структуру пространства параметров. Тем более что о важности этой бифуркации свидетельствует огромный класс приложений в биологии, технике (электрические цепи, ядерные установки) и в изучении колебаний в атмосфере и осцилляций магнитного поля Земли [49].
Цель работы состоит в систематическом численном исследовании осцилляторов под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией и специальных отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф для выявления универсальных черт их динамики, структуры фазового пространства и пространства параметров, типов критического поведения на границе хаоса.
В работе решены следующие задачи:
• систематизации осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией под внешним гармоническим воздействием на основе схемы теории катастроф;
• систематизации отображений с полиномиальной нелинейностью на основе схемы теории катастроф по типу демонстрируемых феноменов;
• конструирования и исследования универсального модельного отображения для реализации двух сценариев перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и разрушение квазипериодического решения.
Научная новизна работы
• Предложена классификация нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием по схеме теории катастроф Тома. Выявлен единый универсальный сценарий эволюции конфигураций crossroad area и spring area на плоскости параметров нелинейности. Проведен сравнительный анализ динамики специальных отображений катастроф при восхождении по коразмерности.
• Сконструировано и исследовано универсальное модельное отображение, где реализуются два сценария перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипсриодического решения. Обнаружено, что такая ситуация ассоциируется с реализацией С и Н типов критического поведения [44], а пространство параметров в этом случае характеризуется наличием последовательности так называемых точек FF и точек резонанса 1:2 R [50]. Указано на возможность встречи пределов последовательностей точек FF и точек резонанса 1:2 R, т.е. на пересечение критических линий типа С и Н в точке так называемого типа FQ [44].
• В универсальном модельном отображении, описывающем системы с двумя сценариями перехода к хаосу, продемонстрирована возможность нового устройства языков синхронизации, которое отличается от известного расположением областей удвоенного периода. Это сказывается на характере разрушения инвариантной окружности при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического решения. Вскрыты особенности взаимодействия критических кривых [51] с аттракторами и их бассейнами притяжений.
• В универсальном модельном отображении найдена новая конфигурация бифуркационных линий типа “бабочка”, соответствующая сечению катастрофы “бабочка” и отличная от известных конфигураций “сборка” и “ласточкин хвост”. Для областей удвоенного периода внутри языка син-
хронизации обнаружено качественное подобие бифуркационного устройства в окрестности точек резонанса 1:2 R, а также разбиения на области по типу мультипликаторов.
Достоверность научных выводов работы основывается на воспроизводимости всех численных экспериментов, использовании отработанных численных методов, непротиворечивости с известными в литературе результатами, совпадении результатов аналитического рассмотрения и численного эксперимента.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Для неавтономных осцилляторов со всеми полиномиальными разложениями в виде катастроф Тома существуют конфигурации бифуркационных линий типа crossroad area и spring area во всех сечениях пространства параметров. Эволюция этих конфигураций при изменении амплитуды воздействия подчиняется единому универсальному сценарию. С повышением степени полинома этот сценарий неоднократно повторяется, приводя к увеличению числа конфигураций.
2. Отображения, соответствующие различным катастрофам с ростом коразмерности, демонстрируют усложнение структуры пространства параметров, появление конфигураций crossroad area и spring area, добавление новых типов критического поведения на пороге хаоса, реализацию феноменов комплексной динамики (множество Мандельброта) и свойств систем двух связанных отображений.
3. Ситуация реализации двух типов перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения - ассоциируется с критическим поведением С типа. Дополнительно благодаря наличию бифуркации Неймарка-Сакера возникает последовательность точек резо-
нанса 1:2 Я. Последовательности точек резонанса 1:2 К сходятся к критическим точкам типа Н.
4. В универсальном модельном отображении, описывающем ситуацию реализации двух сценариев перехода к хаосу, возникает новая структура языков синхронизации, отличающаяся от известной расположением областей удвоенного периода. Это влияет на структуру разбиения языка синхронизации на области по типу мультипликаторов, характер гстероклинических пересечений инвариантных многообразий седлового периодического решения, сценарий взаимодействия критических кривых с аттракторами и их бассейнами притяжения, особенности разрушения инвариантной окружности. Бифуркационное устройство в окрестности точек резонанса 1:2 Я и разбиение на области по типу мультипликаторов качественно подобны в различных областях удвоенного периода. В этих областях складывается новая конфигурация бифуркационных линий типа “бабочка”.
Научно-практическая значимость работы н рекомендации по использованию
Результаты работы развивают теорию динамики осцилляторов с различного вида полиномиальной нелинейностью. Полученные результаты о наличии универсальных черт в динамике осцилляторов с полиномиальными потенциалами различного вида могут быть полезны в следующих прикладных задачах. Выбор аппроксимирующего полинома играет важную роль в задачах моделирования по временным рядам, а также при определении адекватности эквивалентных параметров нелинейного элемента электрической схемы и расчета их характеристик.
Предложенная классификация неавтономных осцилляторов и отображений по схеме теории катастроф полезна в методологическом плане для последовательного изучения феноменов нелинейной динамики. Путем сравнения рас-
сматривасмого осциллятора или отображения с введенными эталонными моделями возможно качественно оценить структуру пространства параметров и типы критического поведения без проведения трудоемкого исследования. Результаты используются в учебном процессе в СГУ.
Результаты работы, полученные для универсального модельного отображения, могут быть перенесены на широкий класс систем с двумя сценариями перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - в силу универсальности, присущей критической динамике и степени общности рассуждений при выводе модельного отображения. Поскольку наблюдение критической динамики высокой коразмерности возможно в электронных экспериментах, например, в системе двух нелинейных осцилляторов под периодическим воздействием [43, 44], рекомендуется постановка эксперимента с целью выявления возможной ситуации встречи критических линий типа СиНв критической точке типа РС?. В качестве модели могут быть использованы, например, связанные осцилляторы Ван-дер-Поля или Ресслера под внешним периодическим воздействием.
Результаты работы, касающиеся системы связанных логистических отображений, могут быть по аналогии перенесены на систему связанных Ы^С-контуров с полупроводниковыми диодами под внешним периодическим воздействием [36, 48].
Апробация работы н публикации
Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской школе-конференции “Нелинейные дни в Саратове для молодых” (Саратов, 1997-2000 и 2003), VI Международном семинаре “Математика. Компьютер. Образование” (Москва, 1999), XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999), V Международной конференции “Нелинейные колебания механических систем” (Н. Новгород, 1999), Международной
школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Саратов, 1999), VII Всероссийской школе-ссминаре “Волновые явления в неоднородных средах” (Красновидово, 2000), Международной межвузовской конференции “Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ” (Саратов, 2001), Международной конференции “Dynamic Days Europe” (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе “Nonlinear Science Festival III” (Люнг-би, Дания, 2001), VI Международной школе-конференции “Chaotic oscillations and pattern formation” (Саратов, 2001), Международном семинаре “Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems” (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе “Summer Institute of Mathematical Study in Bioinformatics” (Бостон, США, 2003), Международной школе “Complex Physical, Biological, and Social Systems” (Бостон, США, 2004), на научных семинарах математических факультетов Бостонского университета и Северо-восточного университета США, факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.
По теме диссертации имеется 17 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 6 статей в сборниках трудов научных конференций, 8 тезисов докладов).
Результаты работы получены при поддержке грантов РФФИ №97-02-16414, 00-02-17509, персонального гранта РФФИ для молодых исследователей №01-02-06390, АФГИР REC-006, Минобразования РФ №97-0-8.3-8.8, ФЦП “Интеграция” №696.2, 696.3, персонального гранта ФЦП “Интеграция” для молодых исследователей 2001, Danish Graduate School in Nonlinear Science 2000, 2001, Max-PIank Institute of Physical Complex Systems 2001, President of Northeaster University excellence grant 2003.
Личный вклад автора
Соискатель самостоятельно обеспечивал программирование задач и все численные исследования. Постановка задач, выбор моделей и методов, а также
- Київ+380960830922