- 2 -
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в связи с прогрессом вычислительной техники все более широко используется и получает новые применения в вычислительной математике метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Первостепенное значение этот метод имеет для задач теории переноса, а также для численного интегрирования,решения краевых задач и многих других вычислительных задач [1-б] . Большие успехи в разработке статистических алгоритмов решения таких задач были достигнуты советской научной школой, возглавляемой академиком Г.И.Марчуком.
Алгоритмы метода Монте-Карло предназначены для численного оценивания функции и её моментов (интегралов) по результатам хМ наблюдений этой функции, полученным с некоторой вероятностной точностью при помощи моделирования случайных величин. Среди других способов метод Монте-Карло выделяется рядом преимуществ: возможностью его использования для широкого класса интегрируемых функций р>1 , определенных на сложных многомер-
ных областях; возможностью апостериорного оценивания погрешностей вычислений и последовательного увеличения числа Л/ значений функции; простотой алгоритмов решения задач,допускающих вероятностное описание. В отличие от математической статистики, где также рассматриваются задачи оценивания характеристик случайных функций, в методе Монте-Карло имеется возможность выбора закона распределения случайных величин для получения более точных оценок. Использование метода Монте-Карло для решения задач, описывающих реальные процессы,зачастую приводит к необходимости получения значений сложных, трудоемких функций. Это стимулирует разработку новых более точных алгоритмов оценивания,т.к. сходимость простейших монтекарловских оценок с ростом Я медленная,а воз-
- 3 -
можности современных ЭВМ позволяют использовать сложные алгоритмы обработки полученных значений функции.
Проблема увеличения точности оценивания интегралов ^М|М(с1х), •ре[2(|а) по значениям | в А случайных узлах занимает центральное место в теории метода Монте-Карло [з,5-7] . Известные способы уменьшения вероятностных ошибок основаны на использовании апри -орной информации об интегрируемой функции, которую может иметь вычислитель. Медленная сходимость таких алгоритмов, имеющая место для функций изк2(^) * может быть существенно повышена на более узких функциональных классах. Так, для гладких функций показана возможность построения оптимальных по порядку сходимости
.,1/г
статистических алгоритмов, по вероятности вл раз более точ -
ных, чем любой детерминированный способ интегрирования [8,9] . Значимость этого свойства возрастает с ростом размерности задачи, когда точность детерминированных способов интегрирования резко падает. Поэтому существует необходимость в удобных для реализации асимптотически оптимальных на классах функций алгоритмах интегрирования, учитывающих априорную информацию об интегрируемой функции и позволяющих контролировать точность вычислений.
Часто встречающейся в вычислительной математике является задача восстановления неизвестной функциональной зависимости по результатам её наблюдений в отдельных точках. Ситуация, когда эти точки представляют собой случайные величины, возникает при использовании методов статистического моделирования для решения целого ряда задач [1-5] . При этом бывает необходимо оценивать функцию не только в отдельных точках, а на поле её значений [10-1^ Использование статистических алгоритмов позволяет получать по наблюдениям в случайных узлах состоятельные оценки всех -р 6 .
- 4 -
В диссертации рассматривается задача численного оценивания функции векторного аргумента из 12(р0 и её моментов
значениям этой функции, полученным в случайных узлах. При этом значения функции могут быть получены со случайными ошибками, а вероятностный закон распределения случайных узлов может быть неизвестен. Целью работы является построение новых алгоритмов решения поставленной задачи, эффективных для функций повышенной вычислительной сложности из и позволяю-
щих численно оценивать погрешность вычислений, исследование свойств и особенностей применения этих алгоритмов, их сравнение с известными способами оценивания на классах функций Ф с , а также использование этих алгоритмов для решения задачи численного моделирования прохождения сильноточного пучка релятивистских электронов через нейтральный газ. Для функций |(гл) проводится сравнение с известными способами вероятностных ошибок оценивания интегралов, выделение допустимых на Ьг(|И) и эффективных оценок. Для функций р с известным порядком убывания с ростом ГП ошибок их линейных т -мерных аппроксимаций исследуются порядки вероятных погрешностей оценивания при Л~*"00 , в частности, на классах гладких функций [12-14] . В зависимости от точности линейной аппроксимации исследуемой функции определяется, какой из рассматриваемых способов обеспечивает лучший порядок вероятных погрешностей оценивания функции и её моментов.
Увеличение точности построенных в работе аппроксимационных алгоритмов по сравнению со стандартными алгоритмами Монте-Карло зависит от точности аппроксимации функции р линейным разложением, которая ухудшается с ростом размерности задачи. Поэтому применение новых алгоритмов для функций большой размерности может оказаться неэффективным. Эти алгоритмы предназначаются для функций векторного аргумента повышенной вычислительной сложности,
- 5 -
получение значений которых настолько трудоёмко, что увеличение затрат на реализацию по сравнению со стандартным алгоритмом Монте-Карло оправдывается сокращением числаМ значений функции, которое необходимо для обеспечения заданной точности оценивания. Применение новых алгоритмов не всегда целесообразно, однако есть задачи, которые традиционными методами решить не удается.
Одна такая задача возникает при численном моделировании динамики сильноточного пучка релятивистских электронов, транспортируемого в газе. Построенные в работе алгоритмы используются для расчета плотности распределения частиц по результатам статистического моделирования движения Я электронов пучка. В последнее время сильноточные электронные пучки получают широкое распространение для решения многих научных и технических проб -лем, таких как нагрев плазмы до термоядерных температур, возбуждение мощных электромагнитных колебаний СВЧ диапазона и других [і5,Іб] . Процессы, имеющие место при прохождении сильно -точных пучков, описываются системами уравнений в частных производных и аналитические исследования большинства таких существенно нелинейных систем оказываются недостаточными. Полное экспериментальное исследование таких физических процессов представляет собой сложную техническую проблему. Поэтому во многих случаях наиболее рациональным методом исследования оказывается числен -ное моделирование [і7-2і] , хотя оно и требует значительных затрат ресурсов ЭВМ.
Научная новизна работы состоит в создании алгоритмов повышенной точности для оценивания функции векторного аргумента и моментов по наблюдениям этой функции в ЛІ
случайных узлах, основанных на новом способе приближенного оце -нивания Н1 коэффициентов разложения | по заданной базисной
- 6 -
системе. Способ требует обращения (КУ\*т)-матрицьг, сходящейся при к единичной. Такое свойство матрицы позволяет полу-
чить явные выражения для ошибок оценивания, исследовать их на широком классе законов распределения узлов, а также использо -вать итерационные методы обращения, для которых получены условия и скорости сходимости.
Построенные алгоритмы обобщают стандартный метод Монте-Карло и дают апостериорную оценку вероятной погрешности. Ошибка новых алгоритмов определяется остатком разложения -р(х) , они допустимы на и2(и) по сравнению с известными способами интегрирования и эффективны для функций повышенной сложности.
Получены процедуры проекционного оценивания функций состоятельные на широком классе известных и неизвестных вычислителю вероятностных законов распределения узлов. Проведено сравнение порядков точности рассматриваемых оценок функций и их моментов на классах Ф £ . Новые алгоритмы дают с точностью
до логарифмического множителя оптимальные порядки вероятных погрешностей для функций классов С.Л.Соболева 1^2 .
Алгоритмы сохраняют свойства состоятельности, допустимости, эффективности и асимптотической оптимальности на при нали-
чии случайных ошибок наблюдений. Для некоторых задач оценивания параметрически заданных функций построены оптимальные непрерывные планы распределения узлов наблюдений.
С использованием построенных алгоритмов реализована методика статистического моделирования на основе новой самосогласованной физической модели процесса прохождения пучка электронов (с током ~10 -100 кА и энергией ^1 НэВ) в нейтральном газе (давлением 1-100 торр). Результаты расчетов позволили объяснить процессы формирования плазменного канала и динамики пучка в зависимости от плотности тока п давления газа.
Практическая ценность работы определяется большим числом вычислительных задач восстановления функциональной зависимости и расчета интегралов, для которых рекомендуются новые алгоритмы. Имеется возможность численной адаптации алгоритмов к конкретной оцениваемой функции и контроля точности расчетов. Развитая методика численного моделирования может быть использована и используется при расчетах движения сильноточных пучков заряженных частиц под действием собственных и внешних электромагнитных полей в вакуумных и плазменных системах.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе излагается новый способ аппроксимационного оценивания интегралов ^-рф^(о1х) по Л значениям -рф е ,
полученным в случайных узлах, закон распределения которых известен вычислителю и может быть выбран из широкого класса вероят -ностных законов распределения. Способ основан на вычислении по методу наименьших взвешенных квадратов коэффициентов разложения |(х) по некоторой ^-ортонормированной системе функций Ф;(х), . Получены выражения для вероятностной ошибки
оценки интегралов (с точностью до членов малого порядка по Л ) и закон распределения, минимизирующий главную часть ошибки данного интеграла. Проводится сравнение с известными статистическими способами интегрирования, выделение допустимых (см..например, [22] ) для функций ИЗ 1лг(|Ч) и эффективных (см. [II] )оценок. Рассматриваются возможности применения в качестве узлов новой оценки расслоенной выборки (см. [з,5,б] ), специальных вырожден-
следовательностей [_23,6] . Исследуются вероятностные условия и скорости сходимости приближенных итерационных способов вычисления аппроксимационной оценки. Некоторые полученные результаты проиллюстрированы расчетами тестовых интегралов.
ных распределений
9
глава 4) и неслучайных равномерных по-
- 8 -
Во второй главе исследуется статистическая корректность в норме Ц(^) (см. [24,25] ) задачи оценивания функции |00 по Л/ её значениям в случайных узлах. Проводится сравнение порядков точности трех способов оценивания функции и её моментов, использующих стандартные монтекарловские оценки, интерполяционно-квадратурные формулы С.М.Ермакова - В.Г.Золотухина [26,27,з] и оценки, приведенные в первой главе. Кроме того, при неизвестном вероятностном законе распределения узлов используется проекционная оценка плотности распределения р(Х) , предложенная Н.Н.Чен-цовым [28,29] . Для таких оценок функции и её моментов порядки убывания с ростом Л/ вероятных погрешностей исследуются в предположении, что известны порядки убывания остатков разложения неизвестных -р и р по некоторой системе базисных функций. В зависимости от точности конечномерной аппроксимации функции и плотности распределения узлов р определяется, какие из рассматриваемых способов дают лучшие порядки точности оценивания.
В третьей главе сформулированная выше задача оценивания рассматривается при наличии случайных ошибок в полученных наблюдениях функции. Обосновывается применение изложенных в первой главе оценок интегралов для а также для функций -р , из-
вестных с точностью до конечного числа параметров. Для некоторых классов задач оценивания строятся оптимальные непрерывные планы распределения узлов наблюдений (см. [30,31] ). Получены сходящиеся по вероятности при Л/-*-00 процедуры оценивания всех по Л/ наблюдениям со случайными ошибками на широком классе известных и неизвестных вероятностных законов распределения узлов. Проводится сравнение порядков вероятных погрешностей рассматриваемых способов оценивания на классах функций -р(х) и плотностей распределения р(Х) случайных узлов. Здесь же предлагаются алгоритмы получения приближенных значений ошибок оценивания по ме-
- 9 -
году наименьших взвешенных квадратов. Они позволяют при доста -точно большом^ контролировать точность расчетов и численно подбирать для конкретной функции Ц(|М) базисную систему.
В четвертой главе предложена новая методика численного моделирования процесса транспортировки сильноточного пучка релятивистских электронов в нейтральном газе. Приведена система уравнений, описывающая такой процесс и схема ее расчета с использованием разностных аппроксимаций [зй] . Полученные в работе ап-проксимационные алгоритмы оценивания используются для расчета плотностей распределения электронов пучка по результатам статистического моделирования траекторий движения Я частиц. Исследуются порядки сходимости с ростом Я таких оценок для функций плотности распределения и законов движения частиц, принадлежащих классам С.Л.Соболева. Параметры пучка и газа в задаче таковы,что движение частиц может быть описано гладкими, хорошо аппроксимируемыми законами, что позволяет получать достаточно точные проекционные оценки плотностей уже при сравнительно небольшом Я . Приводятся результаты расчетов и проводится их сравнение с имеющимися экспериментальными данными |33,34] .
В заключении даны краткие рекомендации по применению рассмотренных в работе алгоритмов.
Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [35-47] , доложены и обсуждены на У и У1 Всесоюзных совещаниях "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике" (Новосибирск, 1976, 1979); на симпозиуме и конференции "Вероятностные методы и средства" (Москва, 1978, Новгород, 1983); на У1 Всесоюзном совещании по ускорителям заряженных частиц (Дубна, 1978); на Всесоюзном совещании "Применение случайного поиска" (Кемерово, 1979); на конференциях по физике плазмы (Звенигород, 1980, 1984); на Всесоюзном семинаре "Вычис-
- 10 -
лительные методы математической статистики" (Москва, МГУ, 1980); на УП Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям (Харьков,1981); на УП Региональной конференции по математике и механике ( Томск, 1981); на У Всесоюзном симпозиуме по сильноточной электронике (Томск, 1984); на научных семинарах в НШ ЯФ при ТЛИ, ВЦ СО АН СССР, ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР.
На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации:
Предложен новый способ вычисления ГО коэффициентов разложения функции по ^ значениям этой функции на широ-
ком классе законов распределения узлов Х1*, ]) = !.,■-', Л . Способ требует обращения (ГО * Ш )-матрицы, сходящейся при Л -*■ 00 к единичной, что позволяет применять итерационные методы обращения, его ошибка определяется остатка! разложения.
Построены алгоритмы повышенной точности для оценивания ^ о1^ допустимые на по сравнению с известными способами
и эффективные для функций, получение значений которых требует значительных затрат.
Получены состоятельные процедуры проекционного оценивания е 1лг(|А) по наблюдениям функции со случайными ошибками на широком классе известных и неизвестных законов распределения узлов х^ . При этом выделены способы с наиболее точными порядками вероятных ошибок оценивания функции и её моментов в зависимости от точности разложения функции. Новые алгоритмы дают с точностью до логарифмического множителя оптимальные порядки вероятных ошибок для функций классов С.Л.Соболева.
Предложены способы численного контроля вероятных погрешностей новых алгоритмов, что позволяет подбирать достаточно точные разложения исследуемой функции, последовательно увеличивая ГО и
Л .
- II -
Реализована новая методика численного моделирования процесса прохождения сильноточного пучка релятивистских электронов в нейтральном газе. Это позволило за приемлемые времена работы БЭСМ-6 исследовать процесс формирования плазменного канала и влияние токовой нейтрализации на динамику пучка, объяснить экспериментально наблюдаемые потери части тока пучка.
- Київ+380960830922