Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................5
1. Исторический обзор...................................5
2. Общаи характеристика диссертации....................10
1. Постановка вопроса и актуальность темы..............10
2. Цель работы.........................................11
3. Методы исследования.................................11
4. Научная новизна.....................................12
5. Теоретическая и практическая значимость.............13
6. Апробация...........................................13
7. Публикации..........................................14
8. Вклад автора в разработку избранных проблем.........14
9. Структура и объём работы............................14
10. Некоторые замечания................................14
3. Содержание диссертации..............................15
*
Глава I АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ М
ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С„ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ 27
§1. Конформное пространство Сп..........................27
§2. Распределение 9А гинерплоскостных элементов в конформном пространстве Сп..................................35
1. Взаимно ортогональные распределения 5М гиперплоскостных
и 7/одномерных линейных элементов в С„.............35
2. Частичные и полные оснащения распределений (М и в
С„.................................................39
3. Сферическое распределение гиперплоскостных элементов в
с„.................................................45
4. Гиперполосное распределение Ы в р„+|. ассоциированное с распределением гиперплоскостных элементов в Сп 48
§3. Пространства аффинной связности на вполне оснащён-
ных распределениях М и 7/“ в конформном пространстве С,.....................................■'..........50
1. Теорема Картана - Лаптева...........................50
2. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением распределения М гиперплоскостных элементов в С„ 51
§4. Приложение аффинной связности к изучению внутренней
геометрии тканей на распределении !М гиперплоскостных элементов вС(|.....................................57
2
1. Дифференциальные уравнения ткани £ на распределении Ж гиперплоскостных элементов в Сп........................57
2. Гиперсопряжённая система конформного пространства Сп .61
3. Ткань линий кривизны на голономном распределении Ж гиперплоскостных элементов в Сп..........................66
4. Чебышевские и геодезические ткани на распределении Ж гиперплоскостных элементов в Сп..........................68
5. Чебышевская ткань линий кривизны на распределении Ж гиперплоскостных элементов в Сп..........................71
Глава II: НОРМАЛЬНЫЕ И КОНФОРМНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА
РАСПРЕДЕЛЕНИИ Ж ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С„ 79
: §К. Нормальные связности на вполне оснащённом распреде-
лении Ж гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп....................................79
0 !
* 1. Нормальная связность V , индуцируемая полным оснащением распределения Ж в Сп......................................................79
I ,
2. Нормальная связность V , индуцируемая полным оснащением распределения Ж в Сп................................86
3. Нормальная связность У-1, индуцируемая полным оснащением распределения Жъ Сп.................................89
§2. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальных связностях на распределении Ж « гиперплоскостных элементов в конформном пространст-
ве С„..............................................92
1. Инвариантные прямые на регулярном гиперполосном распределении Н в Ря+1....................................92
2. Поля одномерных направлений на распределении Ж в Сп, ' параллельно переносимые в нормальных связностях 93
§3. Конформные связности на вполне оснащённом распределении Ж гиперплоскостных элементов в конформном у пространстве Сп................................... 98
1. Пространство конформной связности Сп п_{у индуцируемое г касательным оснащением распределения Ж в Сп.........98
2. Нормализованное пространство конформной связности
Ся^х..............................................102
г
I
3. Пространство конформной связности Сп,п-1, индуцируемое полным оснащением распределения Мъ Сп................104
Глава Ш ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЁННОЙ НЕГО-
ЛОНОМНОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сп.....................................108
§1...Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения в Сп............................................108
§2. Внутренние оснащения гиперполосного распределения в
С................................................112
§3. Аффинные связности на вполне оснащённом гиперполос-
ном распределении в Сп...........................118
§4. Нормальные связности на вполне оснащённом гиперпо-
лосном распределении в Сп........................132
§5. Приложение теории гиперполосного распределения в
С................................................135
ЛИТЕРАТУРА..................................................137
4
ВВЕДЕНИЕ
1, Исторический обзор-
1. Конформным л-мерным пространством Си называется л-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа С конформных преобразований является фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности,, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты, и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства.. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда Г100]'в математической энциклопедии (1927 г.).
В отличие от аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.
В 1924 г. появляется работа Томсена [118], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пента-сферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [119]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [101], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению'исследований относятся также работы Т. Такасу; свои результаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [117], посвящен конформной геометрии.
В работе [Ю4] Э. Картан вводит понятие и-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств кон-
формной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [114], [115] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Однако в большинстве перечисленных работ конформнодифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.
Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [76], [77], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [62]—[66], третье - с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [29], [30].
Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [99] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, /«-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.
В работах [63]—[66], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [9] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформнодифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Л. Ф. Филоненко в своих работах [89], [90], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве Р„, рассматривает распределение ш-мерных линейных элементов в («-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию.
Исследования А. М. Михайловой [60], [61] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.
Т. Н. Глухова (Андреева) [17]—[21], [87] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.
А. В. Столяров [82]-[85] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве Сп. В работах [86], [87] он строит пространство конформной связности Сп п на базе пространства проективной связности Р„ „+| и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности.
6
В работе В. Б. Лазаревой и А. М. Шелехова [28] при изучении тканей, порождаемых пучками сфер, широко используется отображение Дарбу многообразия сфер трехмерного пространства в четырехмерное проективное пространство Р4. Аналогичным образом в работе [97] А. М. Шелехов решает конформную задачу, поставленную Бляшке [102]: перечислить все регулярные (параллелизусмые) три-ткани, образованные пучками окружностей.
2. Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии го-лономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения /л-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства.
Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В. В. Вагнера [11], [13], А. В. Гохмана [23], П. К. Рашевского [74], С. А. Чаплыгина [96]).
Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле ш-мерных пучков направлений не задает семейства т-мерных подпространств (см. работы
В. В. Вагнера [10], [12], Д. М. Синцова [78], Схоутена [116], монографии Врэнчану [ 120] и Михэйлеску [112]).
В 70-х годах XX века теория распределений га-мерных касательных элементов (неголономных поверхностей) в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределения /л-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Р„ ;| (в частности, в
проективном пространстве Р„) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [32],
[33], [70], [71]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В. И. Близникаса [6], [7]. Ю. Г. Лумисте [37] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А. П. Норден [67], [68] устанавливает связь теории многочисленных композиций с теорией распределений. А. В. Столяров [81] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения л7-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности Рл п и
находит некоторые пути приложения этой теории. В монографии Ю. И. Попова [73] построена инвариантная теория трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство Р/;.
7
3. В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.
История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [111] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г. Вейль [121] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [110], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.
Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда
В. В. Вагнер [14], [15] и Ш. Эресман [108] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте
[34].
Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [63]—[66]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [98].
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [29]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциальногеометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [29], следуя идеям Э. Картана [27], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана - Лаптева).
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел
Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно
8
Д. И. Перепелкин [72] и Фабрициус-Бьерре [109], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие; чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [36], [38].
Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [66] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [94]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [95]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия- в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.
В отечественной и зарубежной математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [106] и Ю. Г. Лумисте [36]. В работах [35], [38] дается сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных ^-направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [107] изучают подмногообразия Ут риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [3], [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.
П. А. Фисунов [92] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной гиперполосах л-мерного проективного пространства.
В работах С. Ю. Волковой [16], Н. А. Елисеевой [25], Т. Ю. Максаковой [39] исследуются нормальные связности на распределениях специальных классов в проективном пространстве Ря.
1
✓
2, Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Известно, что геометрия распределений /я-мерных линейных элементов (геометрия неголоном-ных поверхностей) тесно связана с проблемой Пфаффа [113], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа
ва =0, а = 1,и-/и, (*)
задаваемой набором п-т форм Пфаффа ва в некоторой области В однородного пространства Мп9.линейно независимых в каждой точке л:е£>; с геометрической точки зрения система (*) определяет распределение т-мерных линейных элементов Ах [33], [37]:
Лх={^<=Т,(Мл), 6“ {цг) = 0}.
Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность, изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений с частными производными всегда можно трактовать как пфаффову систему [26], [74], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [29], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ^ (поле оснащающего объекта многообразия):
= <Рк, (ё)^Кг + <Рк®К'.
I/ !/■
где со 1 - главные (первичные) формы, со 2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций (рк2 (&), определяющих оснащающий
объект ; в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия. Заметим, что задание оснащения многообразия определяет на нем соответствующую дифференциально-геометрическую структуру.
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных распределений, в зависимости от типа оснащения и характера объемлющего пространства оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных распределений неисчерпаемой.
Предметом исследования настоящей-работы являются распределение гиперплоскостиых элементов и гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство Сп (псев-
10
доконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных распределений.
Теория конформного пространства Сп и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно (см., например, работы [1], [2], [9], [17]-[22], [59]-[61], [63], [65], [66]). Однако, вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных неголономных поверхностей (распределений) и линейных связностей, индуцируемых при этом, до настоящего времени оставались слабо изученными; исключение составляют работы [8], [82], [84], [85], [90]. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению оснащенных распределений (в особенности, различных линейных связностей, индуцируемых оснащениями рассматриваемых распределений) в конформном пространстве представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.
2: Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка инвариантными аналитическими методами ключевых вопросов по изучению оснащенных распределений, погруженных в. «-мерное конформное пространство Сп, а именно:
1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений распределения гииерплоскостных элементов и гиперполосного распределения /«-мерных линейных элементов в конформном пространст-вс С„;
2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых распределений;
3) приложение аффинной связности, индуцируемой полным оснащением распределения гиперплоскостных элементов вСп,к изучению геометрии тканей на подмногообразии
4) приложение теории гиперполосного распределения /«-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений /«-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„.
3. Методы исследования. Теория указанных оснащенных распределений развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [29] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [91].
И
Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [29]—[31].
Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.
4. Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что вопросы конформнодифференциальной геометрии оснащенных распределений и линейных связностей, индуцируемых при этом, геометрами раннее почти не изучались. Исключение составляют работы [8], [82], [84], [85], [90].
Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных распределений гиперплоскостных элементов и гиперполосных распределений, погруженных в конформное пространство Сп, а именно:
1) в разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения распределения гиперплоскостных элементов (глава I) и гиперполосного распределения /л-мерных линейных элементов (глава III) в Сп;
2) найдено необходимое и достаточное условия, при выполнении которых распределение гиперплоскостных элементов является сферическим распределением гиперплоскостных элементов в С„ (глава 1);
3) рассмотрена аффинная связность, индуцируемая полным оснащением распределения СМ гиперплоскостных элементов в Сп, найдено ее приложение к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии СМ (глава I);
4) получен ряд результатов по исследованию нормальных связностей на вполне оснащенном распределении СМ гиперплоскостных элементов в Сп, а таюке на регулярном гиперполосном распределении Н в проективном пространстве Рл+|, ассоциированном с распределением СМ гиперплоскостных элементов в Сп (глава И);
5) рассмотрены конформные связности на вполне оснащенном распределении СМ. гиперплоскостных элементов в Сп (глава И);
12