Оглавление
Введение 4
1 Представление Вейерштрасса в группах Nil, SL2 и Sol 14
1.1 Левоинвариантные метрики на группах Ли ...................1G
1.2 Деривационные уравнения.................................. 18
1.3 Оператор Дирака и энергия поверхности^ . ................19
1.4 Геометрии Терстона на группах Ли Nil,5X2 и Sol ...........21
1.4.1 Группа Nil................................! . . . . 22
1.4.2 Группа SL2........................................23
1.4.3 Группа Sol..........................................25
1.5 Тензоры кривизны трехмерных групп Ли .....................2G
1.6 Построение поверхности по ................................27
1.7 Представление поверхностей в группе Nil ................30
1.8 Представление поверхностей в группе SL2.................37
1.9 Представление поверхностей в группе Sol ................40
2 Поверхности вращения в группе Nil и обобщенный функционал Уилл мора 44
2.1 Предварительные сведения..................................46
2.2 Основные тождества для поверхностей на которых обобщенный дифференциал Хопфа А — 0 48
2.3 Сс|>еры вращения постоянной средней кривизны в Nil ... ,50
2.4 Обобщение теоремы Хопфа для Nil...........................53
2.5 Замечание к изопсриметричсской задаче в группе Nil ... 54
2.G Свойства обобщенного функционала Уиллмора.................57
2.7 Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала Е...............G2
2
3 Поверхности постоянной средней кривизны в Nil 65
3.1 Уравнения Всйнгартена и их условия совместности...........66
3.2 Об условии вещественности.................................63
3
Введение
Представление Вейерштрасса (спинорное представление) поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве состоит в следующем. Поверх-иосгь представляется (локально) в виде
Xх = Х1(0) + J $2 + Й) (1г - \ (ф* + V?) ^ »
х2 = *2(о) + J {ф1 - ф\) <1* + \ {ф1 - ф\) ^»
хл - а:3(0) + I (ф1ф2<1г -н ффгЛг) ,
где ^-конформный параметр на поверхности, ф = {фг, фч)' решение уравнения Дирака
Эф = О
и Р-оператор Дирака с некоторым вещественным потенциалом и (г> г)
Р =
О д \ (и О
-д о ) у о и
Хотя в различных видах это представление появлялось и ранее, в форме использующей уравнение Дирака оно, по-видимому, впервые возникло в работе Конопельченко [4], где показано как решение U(z,z, t) мо-
дифшціровашюго урашісния Новикова-Веселова индуцирует деформацию некоторой поверхности, отвечающей потенциалу 11 (х, 5,0). В работе Тайманова |1| введено глобальное представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей рода д ^ 1 и в случае торов доказано, что модифицированное уравнение Новикова-Веселова индуцирует деформацию торов, сохраняя при этом конформную структуру и значение функционала Уиллмора
где А/-'юр, //-средняя кривизна, d\x-элемент площади. При этом Тай-мановым был предложен новый подход к исследованию гипотезы Уиллмора, основанный на установленной в [2) связи функционала Уиллмора и спектральной кривой оператора Дирака.
В [3) подход, основанный на операторе Дирака, был применен к изучению поверхностей в «S3 = SU (2). В данной диссертации эта техника используется для исследования поверхностей в следующих трех однородных пространствах. Это группа Гейзенберга Nil, универсальная накрывающая SLo группы SL(2) и группа Sol, наделенные терстоновскн-мн метриками [5]. Поверхность в произвольной трехмерной группе Ли G, наделенной, левоинвариантной метрикой, представляется (локально) в терминах порождающих спиноров Ф = (ф\, ф2)', удовлетворяющих деривационным уравнениям, записанным в форме уравнения Дирака
где потенциалы V и V выражаются через Ф\, ф2 и среднюю кривизну поверхности Я. При этом поверхность восстанавливается но ф решением
5
следующего уравнения в группе G
где еь 62, Сз некоторый ортонормпрованный базис алгебры Ли группы G. Полагая Н = 0, получаем представление Вейсрштрасса для минималь-ных поверхностей. Например, для группы Nil оно выглядит так
Далее мы представляем систему уравнений Гаусса-ВеГшгаргсна в терминах спиноров 'фі, ф2. И как следствие их совместности, получаем некоторые аналоги уравнений Гаусса-Кодаїщи (1.21), (1.31) и (1.39) для групп Nil, SL2 и Sol соответственно. В результате, для поверхностей в группах Nil и SL2 получаем квадратичный дифференциал, который голоморфен на поверхностях постоянной средней кривизны (1.22), (1.32), иными словами находим обобщение дифференциала Хоифа для этих пространств. В случае Nil мы показываем, что квадратичный дифференциал (1.22) голоморфен только на поверхностях постоянной средней кривизны (предложение 3). Приведем здесь выражение (1.22) для обобщенного дифференциала Хопфа в Nil
где ^-конформный параметр на поверхности, Л «^-обычный дифференциал Хопфа н Д} может быть определен из проекции вертикального вектора с3 на касательную плоскость к поверхности (или см. (1.2) в §1.2). Пока лишь отметим, что как N41 так и ЗЬ2 представляются как линейное расслоение над поверхностью постоянной секционной кривизны и
дфі = jflV'al2 - \Фі\2)Фі, д*І>2 = - j(l02i2 - !Фі\2)Фі
- Київ+380960830922