Рационально эллиптические пространства и двойные частные групп Ли

^ Содержание
*
Введение 3
1 Оценки чисел Бетти рационально эллиптических
пространств 11
1.1 Минимальные модели................................. 11
т 1.2 Рационально эллиптические пространства............... 17
1.3 Оценки чисел Бетти..................................21
1.4 Рационально эллиптические многообразия
малых размерностей...................................25
2 Пятимерные двойные частные групп Ли 31
2.1 Основные определения................................31
Сф 2.2 Необходимые классификационные результаты .............32
2.3 Случай 55...........................................40
2.4 Случай 52 х53..................................... 41
Введение
В диссертации рассматриваются верхние оценки на числа Ветти рационально эллиптических пространств и при их помощи дается классификация пятимерных двойных частных групп Ли.
Рациональная гомотопическая теория возникла в 1960-х гг., когда Сулливан [7] построил для алгебраической операции локализации модулей в применении к гомотопическим и гомологическим группам топологическую реализацию. Оказалось, что для каждого односвязного (более общо, нилыютентного) пространства X существует определенное однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности пространство Xq, называемое его локализацией, такое, что 7t*(Xq) = 7г(Х) <g>Q, H*(Xq) = H*(X;Q). Пространства Xu Y называются рационально-гомотопически эквивалентными, если их локализации Xq и Vq гомотопически эквивалентны. Аналогичным образом всякому непрерывному отображению / топологических пространств соответствует отображение /q локализаций этих пространств, и два отображения fug называются рационально гомотопными, если гомотопны /q и qq. Рациональная гомотопическая теория есть, таким образом, изучение тех свойств топологических пространств и их отображений, которые зависят только от класса рационально-гомотопической эквивалентности пространства и рационально-гомотопического класса отображения.
Рациональная теория гомотопий жертвует информацией о круче-
нии в пользу вычислимости. Так, например, гомотопические группы сфер 7Г/ь(5п) полностью не известны, но известно, что они нетривиальны для бесконечно многих к, в то время как рациональные гомотопические группы 7Г*(5п) известны и тривиальны во всех размерностях, кроме размерности п и, в случае четного п, размерности 2п — 1.
Квиллен [28] показал, что теория рационального гомотопического типа может быть полностью алгебраизована. Он предложил вариант такой алгсбраизации, построив функтор из категории рационально-гомотопических типов пространств в категорию дифференциальных градуированных алгебр Ли, и доказав, что этот функтор устанавливает эквивалентность категорий.
Другим, более известным, вариантом алгебраизации является теория минимальной модели Сулливана ([17], [30], [3], [24], [22]). Пространство X называется нильпотеитным, если фундаментальная группа п\(Х) нильпотентна, и ее естественное действие на старших гомотопических группах ъп{Х) иильпотеитпо. Каждому нильпотентному С\¥-комплексу X с гомологиями конечного типа в теории Сулливана соответствует свободно порожденная дифференциальная градуированная алгебра Мх над специального вида, которая называется минимальной моделью X. Минимальная модель определяется по пространству однозначно с точностью до изоморфизма. Когомологии алгебры Мх совпадают с сингулярными когомологиями пространства X с рациональными коэффициентами, а образующие в односвязном случае двойственны образующим в пространстве тг,(Х) <8> <0>. Условие минимальности эквивалентно существованию последовательности так называемых элементарных расширений алгебр
О = -М(о) С Л4(1) С ..., \^М{{) = Мх-
«>о
Эта последовательность в точности двойственна рациональной башне Постникова пространства. Таким образом, минимальная модель Мх
содержит в себе всю рационально-гомотопическую информацию о пространстве X, в частности, два пространства имеют изоморфные минимальные модели тогда и только тогда, когда они рационально-гомотопически эквивалентны. Имеется обратный функтор реализации, который ставит в соответствие каждой минимальной алгебре с гомологиями конечного типа CW-комплекс, имеющий ее своей минимальной моделью. Поэтому функтор минимальной модели Сулливана определяет эквивалентность категории рациональных гомотопических типов нильпотентных CW-комплексов конечного типа и категории минимальных алгебр над Q с когомологиями конечного типа. При этом гомотопическим классам непрерывных отображений соответствуют д.г.-гомотопические классы гомоморфизмов минимальных алгебр.
Важным специальным классом пространств в рациональной гомотопической теории является класс рационально эллиптических пространств. Понятие рационально эллиптического пространства появилось в конце 1970-х гг. в работах Сулливана [30] и Гальперина [21]. Пространство X называется рационально эллиптическим, если полные размерности его рациональных гомотопий и когомологий конечны: dim7r*(X) ® Q < оо, dim#*(X;Q) < оо. Это условие влечет полиномиальный по п рост величин
то пространство X называется рационально гиперболическим. Гальперин, Фелис и Тома доказали [16], что всякий конечный односвязный С\У-комплекс является либо рационально эллиптическим, либо рационально гиперболическим.
п
*=0
Если имеет место экспоненциальный рост величин
п
Условие рациональной эллиптичности накладывает сильные ограничения на топологию пространства. Случай рациональной гиперболичности «более общий»: к примеру, связная сумма достаточно большого числа экземпляров любого замкнутого односвязного многообразия, не являющегося рационально-гомологической сферой, рационально гиперболична. Тем не менее класс рационально эллиптических пространств достаточно богат. Так, всякое односвязное однородное пространство (7/# компактной группы Ли <7 рационально эллиптично. Патернайн доказал ([26]), что односвязное риманово многообразие со вполне интернируемым геодезическим потоком, имеющим периодические интегралы, рационально эллиптично. Широко известна приписываемая Ботту гипотеза о том, что все компактные односвязные многообразия неотрицательной секционной кривизны рационально эллиптичны.
Гальперин и Фридландер установили [19], что рациональная эллиптичность пространства эквивалентна некоторому чисто арифметическому условию на степени образующих его минимальной модели. При этом ими была получена следующая оценка на суммарную размерность когомологий рационально эллиптического пространства X когомологической размерности п:
п
^сНтЯ’рС;®) ^ 2П.
1=0
Одним из основных результатов предлагаемой диссертации является получение новых оценок на каждое из чисел Бетти рационально эллиптических пространств. А именно, в первой главе работы доказана следующая
Теорема 1. Пусть X — рационально эллиптическое пространство когомологической размерности п и (2Ь\ — 1,..., 2ЬЯ - 1) и (2аь..., 2аг) — последовательности соответственно четных и печет-