Содержание
1 Введение 2
2 Ориентированное свойство отслеживания 15
2.1 Гиперболичность замкнутых траекторий и точек покоя 15
2.2 Схема доказательства теоремы 7.................... 22
2.3 Вспомогательные леммы............................. 37
2.4 Конструкции псевдотраекторий...................... 44
2.5 Доказательство теоремы 8.......................... 59
3 Липшицево свойство отслеживания 60
3.1 Двумерный и одномерный потоки..................... 61
3.2 Доказательство основной леммы..................... 66
4 Орбитальное свойство отслеживания 76
4.1 Лемма об отслеживании псевдотраекторий специального вида............................................. 79
4.2 Завершение доказательства теоремы 9............... 84
5 Приложение А 103
1 Введение
Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотрасктории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Ано-совым [1] и Р. Боуэном |7]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [14, 15].
В данной диссертации изучается связь между свойством отслеживания для потоков и структурной устойчивостью. Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметризации отслеживающих траекторий. Основным вопросом для нас будет вопрос о структуре множества векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы будем рассматривать не само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а его С1-внутренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в С1-метрике) возмущение также обладает’ свойством отслеживания.
Пусть М - гладкое п-мерное замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой сИэ!. Обозначим через Т{М) пространство гладких векторных полей на М с топологией, порож-
денной С^-метрикой. Для векторного поля X Є Т{М) и точки х € М будем обозначать через </>(t,x) такую траекторию поля X. что ф{0, х) = х. Пусть
0(х, (56) = {0(t, ж) : t Є R},
0+ (ж, 0) = {$>(£, ж) : £ > 0}, 0~ (ж, 0) = {d)(t: ж) : t < 0}.
Прежде чем определять свойства отслеживания, введем ряд обозначений. Будем обозначать через В(а, ж), где а > 0 и ж - точка некоторого метрического пространства, шар радиуса а с центром в точке х. Если А - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через 13(а,А) объединение всех шаров радиуса а с центрами в точках множества А. Через С1А будем обозначать замыкание множества А.
Для любого множества А С Т{М) будем через Int (Д) обозначать внутренность множества А в топологии, порожденной С^метрикоЙ. Для векторного поля X обозначим через Per (Л”) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р € Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu(p) ее устойчивое и неустойчивое многообразие, соответственно.
Перейдем к определению свойств отслеживания для потоков. Определение 1. Рассмотрим произвольное d > 0. Отображение g(t,) : R —> М будем называть d-ncceдо трае кторией векторного поля X и потока ф, если для любых £ R и t Є [—1,1] выполнено
3
неравенство
dist(g{t0 + t),4>(t,g(to))) < d.
(1.1)
Отметим, что мы не требуем непрерывности отображения д.
Псевдотраектории возникают естественным образом при компьютерном моделировании потоков.
Для определения свойства отслеживания для случая векторных полей нам понадобится понятие репарамстризации. Определение 2. Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм h : R -> R, что h(0) = 0. Для а > 0 обозначим через Rep (а) множество репарам етризаций, удовлетворяющих неравенству
Определение 3. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают (стандартным) свойством отслеживания, если для всякого е > 0 найдется такое с1 > 0, что для любой й-исевдотраек'юрии д(Ь) найдутся такие репараметризация Ь € Яер(е) и точка р € М, что выполнены неравенства
Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh.
Отметим, что понятие репараметризации необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если иеравен-
h(ti) — /^(^2) г-*
—7 - 1 < а для ti, t2 Є 11, Ф t2.
t\ - t2
(1.2)
4
ства (1.2) в определении 3 заменить на неравенства
<?(£)) < е, I € Ш,
то многие “хорошие” векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное иоле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория 115].
Свойство отслеживания играет большую роль при компьютерном моделировании векторных полей. Действительно, если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то приближенные решении, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраскториями) этого поля отражают (с точностью до репараметризаций) поведение точных траекторий векторного ноля на неограниченном промежутке времени.
Кроме того, свойство отслеживания играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если векторные поля Х\ и Х2 близки в С 1-метрике, то точные траектории векторного поля Х2 будут псевдотраекториями векторного поля Х\, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом устойчивости [15]. Также ясно, что если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество пеблуждающих точек [3| и множество цепно-рекуррентных точек [1б| векторного поля X совпадают.
Введем несколько других видов свойства отслеживания.
Определение 4. Будем говорить, что векторное иоле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы Ьо, Д) > 0, обладающие следующим свойством: для любых с1 < #о и с1-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию к е Яер(Д^), что выполнены неравенства
сИв!; р), <?(£)) < Ь(Д £ £ К.
Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через ЫрБЬ.
Определение 5. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому е > 0 найдется такое б > 0, что для любой с£-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию к, что выполнено неравенство (1.2).
Таким образом, в определении 5 мы не требуем близости отображения к к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через ОпегйБЬ.
Определение 6. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслеоюивания, если по любому е > 0 найдется такое б > 0, что для любой с^-псевдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство
<Ш1;я(С10(ж,р),С1{<7(£) : Ь € И}) < е,
где с^я " расстояние по Хаусдорфу. Множество векторных полей,
6
обладающих орбитальным свойством отслеживания, будем обозначать через OrbitSh.
Ясно, что
LipSh С StSh С OrientSh С OrbitSh.
Отмстим, что все четыре свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множествах StSh\LipSh и OrbitSh \ OrientSh достаточно просты, мы приводим их в приложении А. В ходе данного исследования был построен пример векторного поля лежащего в OrientSh \ StSh, однако, ввиду громоздкости данный пример по включен в текст диссертации.
Нас будут интересовать С1-внутренности множеств векторных полей, обладающих стандартным, липшицсвым, ориентированным и орбитальным свойствами отслеживания.
Ранее аналогичная задача изучалась для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Основные результаты были получены в работах [18], [21], [22], [23]. Приведем их краткий обзор.
Пусть, как и ранее, М - гладкое замкнутое многообразие класса С°° с римановой метрикой dist. Рассмотрим пространство диффеоморфизмов многообразия М класса С1 с топологией, порожденной СЯ-метрикой. Пусть / € С1 - некоторый диффеоморфизм многообразия М. Для всякого d > 0 последовательность
{6г € М}, для которой выполнены соотношения <И8Ъ(^+1, /(60) < & для п £ Z,
будем называть (1-псевдотраекторией.
Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает стандартным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое д > 0. что для всякой с£-псевдотраектории {61} найдется траектория {х71} диффеоморфизма fJ удовлетворяющая неравенствам
(^(а^бО < £ для п 6 X.
По аналогии со случаем векторных полей рассматриваются также следующие два свойства отслеживания, играющие важную роль в рассматриваемой задаче.
Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством отслеживания, если найдутся такие Ь, Д) > 0, что для любого (I < Во и всякой с1-псевдотраектории {61} найдется траектория {тп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам
сНз<;(£п, 60 < Ьд для п е X.
Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает орбитальным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое д > 0, что для всякой </-псевдотраектории {61} найдется такая траектория {тп} диффеоморфизма /, что расстояние по Хаусдорфу между замыканиями множеств {жп,п е X} и {6*1 71 £ Щ меньше е.
8
- Київ+380960830922