Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. Обобщенные функции в банаховых пространствах и действия над ними 37
1.1. Пространства основных функций 38
1.2. Пространство обобщенных функций Е) 40
1.3. Операции над обобщенными функциями из К\Я \ Е) 43
1.4. Фундаментальные оператор-функции регулярных дифференциальных и интегральных операторов 49
1.5. Фундаментальные оператор-функции регулярных нестационарных дифференциальных операторов 61 ГЛАВА 2. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных и интегральных операторов 65
2.1. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов с фредгольмовым оператором при старшей производной 65
2.2. Фундаментальные оиератор-функции сингулярных дифференциальных операторов с нетеровым оператором при старшей производной 83
2.3. Фундаментальные оператор-фу нкции сингулярных дифференциальных операторов и теория полугрупп операторов е ядрами 96
2.4. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка специального вида и теория ЛГАЛфуикций 113
2.5. Фундаментальные оператор-функции интегральных и интегро-дифференциальных операторов с фредгольмовым оператором при старшей производной 121
1
2.6. Фундаментальная оператор-функция вырожденного оператора теплопроводности 141
2.7. Интегральные преобразования обобщенных функций в банаховых пространствах и теория фундаментальных оператор-функций
152
ГЛАВА 3. Нестационарные дифференциальные уравнения с вырождением 160
3.1. Задача Коши для вырожденного нестационарною линейною уравнения и системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода
160
3.2. Задача Коши для нестационарного линейного дифференциального уравнения с вырождением и системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с особенностью 175
ГЛАВА 4. Приложения теории фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов 181 ЛИТЕРАТУРА 214
2
ВВЕДЕНИЕ
Представляемая работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в классах распределений линейных вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Интерес к отим уравнениям, как самостоятельному объекту исследований, в математической периодике наблюдается с 50-60-х годов прошлого века, когда на семинаре Л.А.Люстерника в МГУ была поставлена проблема построения теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с нетсровым оператором в главной части. Построение такой теории естественным образом пошло по двум направлениям: линейные и нелинейные уравнения с необратимым оператором при старшей производной. Развитие этих двух направлений происходило (и происходит) параллельно, но не изолированно друг от друга. Не ставя перед собой цели дать полный обзор всех полученных на сегодня результатов и сформировавшихся подходов, отметим одно из направлений исследований, напрямую восходящее к основополагающим идеям А.М.Ляпунова (1906) [1], Э.Шмидт (1908) [2],
А.Пуанкаре [3] и связанное с исследованием разветвляющихся решений нелинейных уравнений (и моделей), зависящих от параметров. Этот подход, получивший в настоящее время большое развитие (см. например, [7. 8, 35, 113] и библиографию там же), называется методом Ляпунова-Шмндта, и он нашел свое широкое применение также в теории разрешимости вырожденных линейных дифференциально-операторных уравнений в банаховых просторанствах. Именно к таким уравнениям сводятся моделирующие реальные динамические процессы начально-краевые задачи о фильтрации и влагопереносе, о колебаниях в молекулах ДНК, о выпучивании металлических ба-
з
лок, о поперечных колебаниях пластин, о термо- и вязко-упругих явлениях в пластинах, о двутемпературной плазме во внешнем магнитном поле, о деформации механических систем, в термокоивекцни и электротехнике (модели Варенблатта-Желтова-Кочииой, Осколкова, Хоффа. У.Оо1еиа1-а, Свешникова-Габова-Плетнера-Корпусова [9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 54]).
Исследования разрешимости задач Коши для вырожденных операторно-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах в классе непрерывных функций, проведенные в разное время С.Г.Крейном, В.А.Треногиным, Н.А.Сидоровым, Б.В.Логиповым, Г.А.Свиридюком, А.И.Кожановым, И.В.Мельниковой и их учениками, показали, что такие задачи имеют непрерывные (классические) решения лишь при определенных соотношениях между входными данными задачи, т.е. между начальными условиями и правой частью (свободной функцией) уравнения. Получение этих достаточных условий, равно как и формул для самого решения, обычно и является целью подобных исследований. Отсутствие же в общем случае классического решения естественным образом приводит (в линейном случае) к постановке задач уже в классе распределений (обобщенных функций), поскольку в этом случае нет необходимости в согласовании входных данных задачи. Поэтому целями представляемых исследований для линейных уравнений является, во-первых, выделение классов обобщенных функций в банаховых пространствах, в которых строятся решения, во-вторых, разработка технологии восстановления обобщенного решения и, в-третьих, исследование связи между обобщенным и классическим решениями, если последнее существует. Решается такая триединая задача с иомо-
л
щью конструкции фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференцнальных операторов. Эта конструкция па протяжении последних лет активно разрабатывается автором работы и его учениками [113,112,114,115,121,117,118,106,122.107,108, 109]. В представляемой работе при различных предположениях относительно операторных коэффициентов построены фундаментальные оператор-функции для ряда вырожденных дифференциальных, дифференциально-разностных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах.
Нестационарные вырожденные дифференциальные уравнения сводятся с помощью метода Ляпунова-Шмидта к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода или к системам Воль-терра 1-го рода с особенностью. Поэтому создание основ аналитической теории таких систем также стало целыо представляемых исследований [131, 119, 162, 133, 153, 147, 144, 132, 134, 123].
Ряд результатов, представленных в работе, проиллюстрирован начально-краевыми задачами прикладного характера [120. 159, 160].
Как отмечалось выше, вырожденные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах имеют свою историю исследований, которая довольно четко делится на две составляющие. Первая представляет собой исследования, проводимые в абстрактных банаховых пространствах, и для таких работ различные начально-краевые задачи (в том числе и прикладные) являются иллюстрациями для полученных теорем, имеющих достаточно общий характер. Второе направление предполагает некоторую конкретизацию как в выборе банахова пространства, так и вида самого исследуемого дифференциального уравнения (или систем), получаемые в этом случае резуль-
5
таты существенно используют специфику выбранного пространства (или уравнения) и, к сожалению, не всегда допускают прямые обобщения на иные типы пространств (и уравнений). В приводимом далее кратком обзоре (не претендующем на полноту) упомянуты публикации из обоих направлений.
Ряд авторов (К.Т.Ахмедов [Ю5|, Я.В.Быков, Н.А.Сидоров), проводивших исследования в банаховых пространствах общего вида, показали, что уравнения такого типа в нелинейном случае могут иметь ограниченные и неограниченные (особые) решения с алгебраическими точками ветвления. Для построения таких решений они модифицировали метод неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова, ранее широко использовавшийся в теории ветвления решений нелинейных операторных уравнений [7]. Позднее Н.А.Сидоров в серии своих работ [40, 41, 42, 43, 44) показал, что структура решений задачи Коши для таких уравнений в общем случае существенно сложнее. Решение может содержать логарифмические точки ветвления, существенно особые точки. Более тот, в общем случае даже для линейных уравнений задача Коши разрешима лишь в пространстве обобщенных функций [110, 111, 124]. В нелинейном случае Н.А.Сидоров провел редукцию таких уравнений к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравениям бесконечного порядка и к интегральным уравнениям Вольтерра, дал и способ регуляризации проблемы в смысле А.Н.Тихонова [35). Работая над развитием общей теории дифференциальных уравнений с нетеровым оператором в главной части, Н.А.Сидоров получил ряд важных результатов, а именно: провел редукцию проблемы к уравнениям разветвления, установи;! связь с асимптотической теорией особых точек
с
дифференциальных уравнений, разработал конструктивные асимптотические и регуляризованные итерационные методы, позволяющие строить решения в окрестности особых точек. Н.А.Сидоров предложил достаточно общий подход к исследованию таких задач, использующий теорию возмущений линейных операторов, псевдооб-ращения линейных операторов, аппарат обобщенных жордаиовых цепочек, метод диаграммы Ныотона, асимптотическую теорию особых точек дифференциальных уравнений, групповые методы, теорию полугрупп, концепцию регуляризации в смысле А.Н.Тихонова и М.М.Лаврентьева [45, 46. 47, 48, 49|. Б.В.Логииов, применяя теоретико-групповые методы (см. гл.5 монографии [113)), провел исследование бифуркаций Андронова-Хоффа для таких задач. Полная теория уравнений с нетеровым оператором в главной части весьма далека от завершения, несмотря на усилия многих математиков, результаты которых опубликованы в серии статей и монографий, обширный перечень которых можно найти в библиографических списках к монографиям Sidorov N., Loginov В., Sinitsyn A., Falaleev M. [113], Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. [54], Иванов В.K., Мельникова И.В., Филннков A.И. [85], Favini A., Yagi A. [95], Егоров U.C., Пятков C.T., Попов C.B. [91, 92], Гаевский X., Грегор K., Захарис К. [93], Fattorini И.О. [94].
В более простом конечно-мерном случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений с необратимой матрицей при старшей производной большой цикл работ, включая численные методы, выполнен группой иркутских математиков Ю.Е.Вояринцевым, В.Ф.Чистяковым, М.В.Булатовым, А.А.Щегловой [50, 51, 52, 53]. Здесь ими были получены наиболее закопченные результаты, но эти
7
авторы существенно использовали специфику ал гебро-диффереш опальных уравнений, применяя в основном методы линейной алгебры, и их методы, как правило, не допускают обобщения на бесконечномерный случай.
Последними по времени и наиболее важными для приложений основ общей теории вырожденных дифференциальных уравнений являются, на наш взгляд, результаты, изложенные в монографиях
А.Г.Свешникова. С.А.Габова, М.О.Кориусова, А.Б.Алыпина, Ю.Д.Плетнера [10, 11, 12, 13|. Из более ранних работ прикладного характера укажем на статьи Г.И.Варенблагга, Ю.П.Желтова, И.Н.Кочиной и Е.С.Дзскцера [20,22], а также на цикл статей А.П.Оо-колкова [24,25, 26], посвященных изучению уравнений и систем, описывающих движения разных типов жидкостей: вязких, Кельвина-Фойпа, Олдройта в пространствах Соболева и Гельдера.
Большой цикл оригинальных работ, содержащих результаты по теории полугрупп операторов с ядрами и ее приложениям к вырожденным дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах, в течение последних 10-15 лег опубликован группой челябинских математиков во главе с профессором Г.А.Свпридюком [57. 54, 55, 59]. При различных предположениях относительно операторного пучка (\В — А), N(3) ^ 0 : спектральной ограниченности, сектор нал ьностн, радиальности ими получены теоремы о разрешимости в классе непрерывных функций задачи Коши для дифференциальных уравнений вида Ви^ — А и = /(£). Обобщая результаты И.В.Мельниковой [85] по теории М,Л/*—функций, А.А.Замышляева в [60] распространила идеи из [57, 54, 55| на уравнения вида Вй = А\й-\-Аци+/^). В дальнейшем Е.Ю.Гражданцевой в [115,106] уда-
8
лось решить проблему разрешимости в классе распределений этого же уравнения, объединив основные результаты из [GO] и идеи автора представляемой диссертации. Теоремы, сформулированные в [57, 54, 55] для банаховых пространств, были распространены В.Е.Фсдо-ровым [56, 58] на локально выпуклые пространства. С некоторыми из приложений результатов Г.А.Свиридюка и В.Е.Федорова можно ознакомиться по диссертациям В.В.Шеметовой [61], М.В.Плехановой [62], И.В.Бурлачко [63], М.А.Сагадеевой [64], С.А.ЗагребиноЙ [65].
В работах А.И.Кожанова [66, 67, 68. 69. 70] исследовались на разрешимость начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида Aut + Ви = f{ttx) с вырождающимися эллипгико-иа-раболп чески ми дифференциальными операторами четного порядка по пространственным переменным х. В условиях достаточной гладкости и оценок па функциональные коэффициенты линейных дифференциальных операторов Ли В в этих работах доказывается корректная разрешимость поставленных задач в соответствующим образом выбранных (конкретных) функциональных (банаховых) пространствах.
В объемной монографии Г.В.Демиденко и С.В.Успенского [9] проведена систематизация результатов авторского коллектива по исследованию эволюционных уравнений вида
1-1
BD\u + ^2 Ai-kDfU = /(£, ж), к=О
где B,Ai,...,Ai- линейные дифференциальные операторы по переменным х, причем символ квазиэллиптического оператора Б не удовлетворяет условию невырожденности. Авторами проведена класси-
9
фикация таких уравнений на три типа: просто соболевские, псевдо-параболическис и пссвдогипорболические. Исследования проведены в пространствах Соболева и пространствах Соболева с весом. В этой же книге (и в этих же пространствах) рассмотрены системы уравнений вида
ЛоДй + А\(х, Оф)й = /(£, х)
и
АоБій + А\(х, Р±)й + Л-2 (Ж, Дг) / й(я, х)<2.9 = /(£, ж)
с вырожденной матрицей А0. Авторами выделены два типа таких систем: соболевские и пссвдопараболичеекие. Для этих уравнений и систем изучены смешанные краевые задачи в "нервом октанте"пространства Я”+1, исследованы асимптотические свойства решений.
Различные (в том числе и вырожденные) неклассические уравнения математической физики и начально-краевые задачи для них исследовались так же в монографии В.Н.Врагова 171], работах А.Г.Кос-тюченко и Г.И.Эскина |72, 73|, М.И.Вишика [74|, Я.Е.ЗЬошаІІег-а и ТЖТії^-а [75, 76, 77], И.А.Шишмарева [78].
Разнообразные по условиям на операторные коэффициенты постановки задач Коши для вырожденных дифференциальных уравнений 1-го порядка в банаховых пространствах представлены в исследованиях математиков воронежской школы профессора С.Г.Крейна [29, 30, 32, 34]. В предположении обратимости оператора (А 4-цВ), іУ(В) ф 0 при некотором д в работе С.Г.Крсйна и В.Б.Осипова [33] с помощью функции Ляпунова исследована па однозначную разрешимость задача Коши для однородного уравнения Вй = Аи. Начальная задача для неоднородного уравнения В а = Аи+/ в условиях регулярности того же операторного пучка (т.е. 3 (А 4- д£>)-1 при
ю
УМ > а > 0) рассмотрена в работах С.П.Зубовой и К.И.Чернышева [79, 80). Исследования связи между решениями возмущенного (В + еК)й — Аи и иевозмугценного Вй — Ли уравнений при е —> 0+, начатые в работе С.Г.Крейнаи К.И.Чернышева [81], были продолжены в статье С.П.Зубовой [82]. В случае конечномерных пространств для возмущенных уравнений (В+еК)й = Ли-\-Г)и{1) в работах Г.А. Куриной [83, 84] изучены вопросы управляемости такими системами.
В серии статей И.В.Мельниковой и ее учеников [86, 87, 88, 89, 90] методами теории интегрированных полугрупп специального вида и сведением к дифференциальным включениям исследованы вопросы корректности для вырожденного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка. В коллективной монографии [85] методами теории Л4, АЛфункций (обобщающей понятия косинус- и синус-функций) исследовалось на корректность полное дифференциальное уравнение вида, й + А\й + А0и = /.
Монографии И.Е.Егорова, С.Г.Пяткова, С.В.Попова [91] и С.Г.Пят-кова [92] посвящены исследованию неоднородного линейного вырожденного дифференциального уравнения Вй 4- Аи = / в гильбертовых пространствах с сопряженными или диссипативными операторами В и А. Псевдоиараболическнмоиераторно-дифференциальным уравнениям посвящена монография Х.Гаевского, К.Грегора и К.За-хариса [93]. Этот же тип уравнений редукцией к дифференциальным включениям исследовался в монографии А.ЕауЫ и А.Уад [95]. В работах А.И.Прилеико [96, 97] рассматриваются обратные задачи 11 прогноз-управление"и ипрогноз-наблюдение"для эволюционных дифференциальных уравнений 1-го порядка в банаховых пространствах.
11
Практически во всех упомянутых выше исследованиях для рассматриваемых уравнений или систем строились непрерывные решения. При этом, как уже говорилось, существование таких (непрерывных) решений обеспечивается рядом ограничительных условий, которые естественным образом сужают возможности использования полученных результатов. Поэтому возникает интерес строить обобщенные решения, для существования которых нет необходимости в дополнительных условиях. Достаточно стройная теория построении обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана С.Т.Завалнщиным и его учениками (см. монографию [98] и библиографию в ней), нелинейные уравнения в классе распределений рассматривались в монографии
В.К.Иванова и В.В.Пермшюва [99]. К сожалению, методы профессора С.Т.Завалищина. не допускают прямого обобщения на дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, поэтому возникла проблема построения соответствующей теории именно в банаховых пространствах, чему в целом и посвящена представляемая диссертация.
Краткое содержание работы.
В первой главе работы приведены основные определения и сведения теории обобщенных функций в банаховых пространствах.
В §1.1 определены основные пространства Е*) и 5(ЯДГ; Е*),
сходимость в них, здесь и далее через Е и Е* обозначены соответственно банахово пространство и сопряженное к нему.
В §1.2 введены понятия пространств обобщенных функций К'{Я^\Е) и 5'(7?л ;/£), приведены простейшие примеры регулярных и сингулярных распределений, приведены формулировки тео-
12
рем о полно те пространств обобщенных функций и аналог теоремы Дю-буа-Реймон.
В §1.3 определены операции умножения и дифференцирования обобщенных функций K\RN\ Е). В этом же параграфе введены понятия, которыми в дальнейшем изложении многократно приходится оперировать, это понятия обобщенной оператор-фуикцип и свертки обобщенной оператор-функции с обобщенной функцией. Приведем их здесь.
Пусть Ей #2, — банаховы пространства, /С(х) е С(ЕиЕ2) сильно непрерывная оператор-функция класса С°°(Rv), причем )С¥(х) £ С{Е^Е\) существует при почти всех х £ RN, f(x) е D\RN) ''классическая11 обобщенная функция, тогда выражение вида К(х)/(х) на-зывается обобщенной онератор-фунщней.
Пусть v(x) £ K'(Rx:Ei), тогда сверткой JC(x)f(x) * v(x) обобщенной оператор-функции JC(x)f(x) и обобщенной функции v(x) называется функционал
Щх)/(х) * v{x), s(x)) = (tC{x)f(x) ■ v(y), s(x + у)) =
= (№,Ш,1£*Шх + у))) Vs(.t) G K(RN-,Et).
Определенная таким образом операция свертки существует не всегда, поэтому в §1.3 обсуждаются достаточные условия корректности приведенного определения и оформлено это в виде примеров. В этом же параграфе определены операции прямого произведения }C(x)f(x) • v(y) £ K'(RN+M; Е2) обобщенной оператор-функции с обобщенной функцией и прямого действия )С{х)и{х) оператор-функции на обобщенную функцию.
В §1.4 вводится понятие фундаментальной оператор-функции для дифференциальных и интегральных операторов - главного (цеп-
13
трального) понятия всей работы. Всякому дифференциальному оператору
dn dl~l d
c{dt] = & + An-ldF^ + -' + A'dt + /lo> с замкнутыми линейными операторами Ль действующими из Е в
Е, rfJo D(Ai) = Е ставится в соответствие обобщенная оператор-
функция вида
c(S{t)) = «(■)(<) + + • • • + А№) + Ао *(0.
которую будем также называть дифференциальным оператором.
Фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора на. классе К\.(Е) называется такая обобщенная оператор-функция £(£), что Vu(t) Є К+(Е) на основном пространстве К(Е*) справедливо равенство
£(£(£)) * £(£) * w(t) — £(£)* £(<5(t)) * гс(£) =
Основной смысл введения такого понятия заключен в следующем Утверждение. EcAu£(t)— фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора E(jt) на классе К'+(Е) и существует свертка £(t) с обобщенной функцией g(t) Є К'.г(Е), то обобщенная функция £(£) * g(t) Є К+{Е) на основном пространстве К(Е*) удовлетворяет сверточному уравнению
£(Щ) * «(О = 9(f)-
Функция u(t) — £(t) *g(t) является единственным решением сверточного уравнения £(<5(£)) * u(£) = g(t) в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка с £(£).
В §1.4 приведены фундаментальные оператор-функции для дифференциальных операторов (F6^r\t) — Л<$(£)) и {TÖ"(t) — Л\6r(t) —
/1()5(0)> интегрального оператора (/£(£) —к(і)0(1)), дифференциаль-по-разностиого операгора (І6'(і)5(х) - А6(к)(6(х - ц) — £(ж))), оператора теплопроводности (15'(І) ■ 5(а;) — Л5(С) • Д£(й;)).
Для нестационарного дифференциального оператора (/£'(£)*—А (£)) фундаментальная оператор-функция построена в §1.5.
Бо второй главе при различных предположениях относительно операторных коэффициентов построены фундаментальные оператор-функции для вырожденных дифференциальных, интегральных, дифференциально-разностных, интегро-диффереицпальных операторов.
В §2.1 исследуются вырожденные операторы во фредгольмовском случае. Первой приведена и доказана следующая
Теорема 2.1.1. Если А, В — замкнутые линейные операторы из Е\ в Еч,Е)(В) С Г>(А),П(А) = Е)(В) = В — фредголь-
моб, 11(В) = Н(В), В им.еет полный А—жордапов набор і =
1,71, .7 = 1 ,Рі} (см. /7/ с. 424-126), тогда дифференциальный оператор первого порядка (Во (6) — А6(І)) на классе АД(^2) имеет фундаментальную оператор-функцию вида
8,(1) = ГеАп [/ - Д £(•,#)6(0-
г=1 3=\
п г^-1 АЦ~к ч т
- Ё [Ё{Ё<-* ,
І=1 к=0 .7=1
где {ф^\ і = 1,7г, і = і,Рі} А*—оісорданов набор оператора В\ Г— оператор Шмидта (см. 17/ с. 340).
Приведенная теорема далее применяется при исследовании задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка. Получаемые при этом результаты сформулированы в виде следствий из теоремы 2.1.1.
15
Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 2.1.1, {(!) 'локально интегрируема и принимает значения в Е2, то задача Коши
Вх = Ах + /(*), т(0) = х0 имеет обобщенное решение класса АД (2%) вида ху(б) = * (/(1)9(г) + Вх0б(г)) = хоО{г) + €\(г) * (Лхц + /{1))0(ь).
В развернутой форме, при достаточной гладкости функции /(£)> это обобщенное решение выглядит следующим образом
*1(*) =
1=1 Аг=1 7=1
+(х0+ ЁЁ с^+1~3) + ЕЁ Ш)^+
1=1 1=1 1=1 ;=1
+ / ГехрЛГ(* - 8)[1 - ЕЕ{-’^)>^+1"')]х о *=1 &
х(Аи0 + /(5))^)б»(г), здесь введены обозначения
ш = - Е(/№)(‘) - /(*)(о),^р,"*+1_Л>,
*=о
,б')\ »/.О'-1)'
= -{лх0+/ш>п - {т,ФГ') -■■■
Рг-
Следствие 2. Астш выполнены условия теоремы 2.1.1, /(/-) <?о-статочно гладкая со значениями в Е2 и с,;- = 0, г = 1,..., гг., ) = 1,... ,Р{, то обобщенное решение Х[(Ь) задачи Коши
Вх = Ах + /(£), т(0) = .т0
16
окажется классическим (непрерывным), построенным в (38, 36/.
Утверждение теоремы 2.1.1 допускает обобщение на дифференциальные операторы вида — A5(t)), (B5^M\t) - AS(t)),
(B6'(x)6'(y)-A6{x)6{y)), (B5<M>(x)-5<M%) -А6(х)-6(у)), (BV°5(x)-А<5(т)), для каждого из которых можно ставить и решать начальнокраевые задачи так же, как это было выше проиллюстрировано для теоремы 2.1.1. В работе соответствующие исследования проведены для задачи Коши
Вх = Ах + /(£), т(0) = то, т(0) = Ti
и задачи Гурса
д^и
Bd^=Au+f{x’y)’
и = а(у), .«I =Р(х), а(О) = 0(О).
.г-0 I у=О
Относительно последней приведем полученные результаты.
Следствие (Задача Гурса). Если выполнены условия, теоремы
2.1.1, функция /(т, у) С C(R\) и принимает значения в Е-ч, то задача Гурса имеет обобщенное решение вида
й(х,у) = £,(х,у) * (f{x,y)6(x,y) + Ва'(у)5(х) ■ %)+ +В0'(х)в(х) ■ Sij,) + В0(ОЩх) • 5(з/)),
здесь
£,(х,у) = Ш](.4Г)(1,з/) [/ -
t=l 3=1
- Ё [£{£(•-■ *%)],
t=l к=0 1=1
где
OQ { i
и1(ЛГ)(х,у) = ')Г(ЛГУ~-У=.
г! г!
i=0
17
Дальнейшее детальное исследование полученного обобщенного решения й(х,у) показало, что оно (обобщенное решение) окажется классическим при выполнении условий
Лу(у) = (Аа(Уи<?>+1-») = О,
Вц{х) = (АР(х), ^~Л) + 2(5^- #'-ь+1-л) ее О,
А*—1
г = 1, • • •, 72., 1 = 1, —
Завершается §2.1 исследованием дифференциально-разностного оператора первого порядка (В5'(1) • £(я) — А6(Р) • (5(х — р) — £(£))).
Следующий §2.2 посвящен исследованию тех же самых дифференциальных операторов, что и в §2.1, но с петеровым оператором
В. Начинается §2.2 с основных сведений о пссвдообратных операторах и Л-жордановых наборах нетеровых операторов, далее этот параграф своей структурой дублирует предыдущий. Для каждого из операторов [В6'(1) — Л<5(£)), (В6[М^(Ь) - Л5(£)), (В5^1\х) • 6^м\у) ~А6(х) • %)), (В7У*5(х) - А6(х)), (В6'(1) • 6{х) - А6{!) • {5(х -р) — 5(х))) сформулированы по 2 теоремы, соответствующие положительному и отрицательному значениям индекса истсрового оператора В. В качестве иллюстрации применения этих теорем исследована задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка с нетеровым оператором В при производной.
В §2.3 результаты предыдущих двух параграфов обобщены на случаи, когда размерность ядря оператора В или длины А—жор-дановых цепочек бесконечны. В §2.3 рассмотрены случаи спектральной, секториалыюп и радиальной ограниченности операторного пуч-
18
ка (рВ - Л). Приведем некоторые из результатов этого параграфа.
Пусть Е\) В? — банаховы пространства, В € С{Е\,Е2) - необратим, А — замкнутый линейный из Е\ в Е2. Оператор А называют спектрально ограниченным относительно оператора В, если За > О такое, что вне круга радиуса а оператор (цВ — А) непрерывно обратим. Пусть Г = {р (Е С : \ р |= г > а}, тогда пара операторов [55], 154]
Р = f(?B ~ Ar'Bdp, Q
Г г
являются проекторами в Pi и Е2 соответственно, порождают разложения пространств Е\ и Е2 в прямые суммы Е\ = Р? 0 Е\ = кетР 0 гтР, Е2 = Е% 0 Е\ = kerQ 0 imQ. Действия операторов В и А расщепляются, причем Ло : Р? —» Р?, Pi : Е{ —» Pj непрерывно обратимы, Л1 : Pj —> Р} ограничен, QP = РР, (ЭЛ = ЛР [55], [54].
Теорема 2.3.1. Если оператор А спектрально ограничен относительно Р, то дифференциальный оператор (B6'(t) — Л<5(£)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида
оо
£(t) = W(i)B1-1Q0(t) - VU - e)<5(?)(*).
•7—0
здесь
W(t) = ф /(дБ - A^BePd/i 2m J Г
разрешающая полугруппа (55], [54j.
Если дополнительно предположить, что сю — несущественно особая точка [55], [54] {рВ—Л)”1 (т.е. 3р € {0}иАг такое, что (Л^ 1Ро)р ф 0, но (Ло 1Д0Р+1 = 0), тогда
т = U(t)BilQ9(t) - YXtfBoYtfV - Q)8M(t).
q=0 19
Теорема 2.3.2.Если выполнены условия теоремы 2.3.1 и оо — несущественная особая точка (рВ — Л)“1, то задача Коши
Вх = Ах + /(£), х(0) = Хц, имеет в классе К'+(Е\) единственное решение вида х(Ь) = £(£) * (/(*)0(*) + Вх^8{і)).
В развернутом виде представление для х(і) выглядит следующим образом
х
і
(і) = [u(t)P Xq 4- JU(t — s)Bl {Qf(s)de(t)—
- J2(AolBoY!Aol(T - Q)f®(tj\e(t) - )**u,№(t)9
q=0 <7-0
где
и) = (I - P)X0 4- j2(AolBoYA^(I - Q)fb\0).
9=0
Отметим, ЧТО Б силу условия (Aq1#o)pfl = 0, порядок сингулярности полученного обобщенного решения равен (р — 1).
Следствие. Если выполнены условия теоремы 2.3.2 и to = 0, то обобщенное решение x(t) окао/сется классическим (непрерывным), построенным в работах [55] и /54/.
Как и в §§2.1, 2.2, утверждения теорем 2.3.1 и 2.3.2 распространяются далее на операторы (B5^AI\t) — .4£(i)), (BS('A1^(x) • 6^м\у) —AS(x) • <%)), (BVaS(x) - A8{x))y (BSf(t) • 5(x) - AS(t) • (S(x - p) -5(x))). Bee полученные при этом теоремы в последующих пунктах §2.3 обобщены на секториально и радиально ограниченные операторные пучки (рВ — А).
20