Оглавление
Введение 4
Глава 1. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа 21
§1.1. Поиск частных решений......................................... 21
§1.2. Нелокальная начально - граничная задача....................... 23
§1.3. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода . . 33
§1.4. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . . 40
§1.5. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями . 48
Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа 55
§2.1. Поиск частных решений......................................... 55
§2.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода . . 50
§2.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . . 02
§2.4. Нелокальная задача в полуполосе............................... 08
Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа 74
§3.1. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода . . 74
2
§3.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в
полуполосе............................................... 87
§3.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . . 93
§3.4. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями . . 100
Библиографический список 112
3
Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.
Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе, Т.Д. Джурасва, В.Ф. Волко-давова, С.П. Пулькина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдипова, В.И. Жегалова,
A.М. Нахушсва, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, А.П. Солдатова и других математиков.
Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокалыпле задачи рассматривались A.A. Самарским и A.B. Бицадзе [7], A.B. Бицадзе [8],
B.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [17, 18|, A.A. Дезиным [12], А.М. Нахуше-вым [30, 32], АЛ. Скубачевским [52], O.A. Рениным и М.Е. Лернером [24] -[27], O.A. Репиным [40], А.И. Кожановым [21, 22], Л.С. Пулькиной [35] - [38],
4
Е.И. Моисеевым [28, 29], Н.И. Ионкииым [19, 20] и другими авторами.
В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [67] для уравнения Чаплыгина
К(y^Uzx "f* У'уу — 0,
где К(0) = 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия(искачка уплотнения11) w(0,?/) - н(0, —у) = f(y), 0 < У < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и(х,у).
В работе [24] М.Е. Лернера, O.A. Репина для эллиптического уравнения
утихх + иуу = 0, т > -1,
в полуполосе D — {(я, у)\ 0 < х < 1, у > 0} исследована задача с одним нелокальным условием w(0,?/) — и(1,у) = <£i(?/), у > 0 и локальными граничными
данными: их(0,у) = ц>2(у), у > 0 и и(х, 0) = т(я), 0 < х < 1, lim и(х,у) = 0,
*/-»+«>
О < х < 1. Методом экстремума доказана единственность решения поставленной задачи, а разрешимость установлена с помощью метода разделения переменных, преобразования Фурье и теории специальных функций. Аналогичные результаты получены в работе [25] для уравнения
2 Р
ихх + иуу -1 иу -b2u = 0, р € R, 6 > О,
У
в полуполосе D при (р\(у) = 0, уг{у) = 0.
Е.И.Моисеев в [28] исследовал в полуполосе D аналогичную нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения:
утихх + иуу = 0, т > -2, 0 < х < 1, у > О,
и(0,у) = и(1,г/), их(0,у) = 0, у > 0, г/(х,0) = f(x), 0 < х < 1, в классе функций и 6 C(D)f]C2(D)i в предположении, что и(х,у) ограничена или
5
стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.
М.Е. Лернером, O.A. Репиным в работах [2G, 27) для уравнения смешанного типа
sgn у ■ \у\тихх + иуу = О, тп > 0,
в области, где эллиптическая часть является полуполосой D, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) = (рх{у), их(0,у) — их(1,у) = <Р2{у): У> 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.
Нахушев А.М. [31] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.
В работах Сабитова К.В. [42, 43, 48] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
sgn t • |t\muxx + utt — b2sgn t • \t\mu = 0 , m > 0, b > 0,
в прямоугольной области и в полуиолосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле.
В данной работе предложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен для решения краевых задач с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений различных типов.
Целью работы является доказательство единственности и существования решений краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа
Lu = K(i)uxx + utt ~ b2K(t)u = 0 , (0.1)
б
где K(t) = sgn t • |£|m, m = const > 0, b = cons£ > 0, в прямоугольной области D = {(x,t)| 0 < x < 1, -a <£</?}, a, /3 > 0, с двумя нелокальными условиями
u(0, t) = u( 1, £), ггх(0, £) = wx(l, £), -or < £ < /?,
в сочетании с другими локальными граничными данными.
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.
В главе 1 для вырождающегося уравнения гиперболического типа методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с различными граничными данными.
Для вырождающегося уравнения гиперболического типа
Lu = {-t)muxx - utt - b2(-t)mu = 0 , (0.2)
где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D- = {(я, t)\ 0 < х < 1, —a < t < 0), а - заданное положительное число, поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.
ЗАДАЧА 1.1. Найти в области D_ функцию u{x,t), удовлетворяющую условиям
u{x,t) Е С(ТЦ П C\D_ и {х = 0} и {х = 1}) П C2(Z>-); (0.3)
Lu(x,t) = 0, (x,t) Е £L; (0.4)
u(Q,t) = %(0, t) = ux(l,t), -a<t<0; (0.5)
u(x, 0) = r(x), 0 < x < 1; (0.6)
ut(x,0) = v(x), 0 < x < 1, (0.7)
7
ЗАДАЧА 1.2. Найти в области 7)_ функцию и(х,Ь), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и
где г и у - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1),
ЗАДАЧА 1.3. Найти в области функцию и(х,1), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и
ЗАДАЧА 1.4. Найт,и в области £)_ функцию и{х, б), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и (0.8), где <р ии - заданные достаточно гладкие функции, причем 0) = <р( 1), (р'(0) = ф'( 1).
ЗАДАЧА 1.5. Найти в области функцию и(х,2), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и (0.9), где тиф- заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т( 1), т'(0) = т'( 1).
Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.2), удовлетворяющих нелокальным условиям (0.5). Решения уравнения (0.2) имеют вид:
и(х, —а) = <р(х), 0 < х < 1
(0.8)
г'(0) = т'(1), ^(0) = (р(1), р'(0) = у/(1).
щ(х, —а) = ф(х), 0 < х < 1,
(0.9)
где 1/(х) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции.
ик(х,Ь) = Хк{х)ТкО),
где
Хк(х): 1, \^со5(2тгкх), \/2яп(2я-кх), к = 0,1,2,..., (0.10)
г*(0 = ску/^1д±(рк{-1)я) + 4л/-ЙТ(р*(-*)?), (0.11)
2(7
Ск и (1к - произвольные постоянные, Ти(г) и У^(^) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Используя частные решения уравнения (0.2), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье, например, решение задачи 1.1 построено в виде суммы ряда
4-00 +00
и(х, £) = щ(Ь) + V щ(й) соз(2тгкх) + и*(£) ып(2пкх), (0.12)
к=1 *=1
где функции и&(£), Ук(Ь) и щ(Ь) имеют вид
«*(*) = 0п ?{,\ТкЪ^^-ЛРк^)4) - (0.13)
2Ч55111 (25) м 7* 21
МО - 2(]3^(7)гк1к\ГГ^_^(рк(-1У) - ^у/^Мфк^У), (0.14)
[ ^7мтоТо^-1 (ро(—О9) - — '/-Цд(ро(—0е). ь > 0; Щ(1)= I 2<?5,п(|) * ^
( т0 + "()£, -6 = 0,
(0.15)
гДе 7* = ^ТТТ (^) Рк = \А2 + (2тгАг)2/д, д = (т + 2)/2, т* и ик - коэффи-
1 '2?'
циенты разложения функций г(х) и г/(х) соответственно по системе {\/2соз(27г&г)}£?5, то и щ но системе {1}, а т* [I Р* - коэффициенты ряда Фурье функций т(х) и 1/(х) по системе {у/2зт(21гкх)}^^.
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 0.1. Если существует решение и(х,£) задачи (0.3) - (0.7), то оно единственно.
При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций Хк(х)у к — 0,1,2,..., в пространстве Ь2[0,1].
Утверждение 0.2. Пусть т(х) 6 С3[0,1], т(0) = т(1), т'(0) = т/(1); т"(0) = т"(1); и(х) € С2+6[0,1], \ < 5 < 1, 1/(0) = 1/(1), у'(0) = »'(1)- Тогда существует решение задачи (0.3) - (0.7). Это решение определяется рядом (0.12).
Доказательство основывается на асимптотических оценках поведения функций Бесселя в нуле и на бесконечности и скорости убывания коэффициентов 7*, |/£, ?£, Щ ПО тригонометрической системе Хк{х).
Аналогично построено решение нелокальной задачи 1.2 с граничными условиями первого рода, обоснованы единственность и существование построенного решения. Результаты сформулированы в виде следующих утверждений.
Утверждение 0.3. Если существует решение и(х,£) задачи (0.3) - (0.6) и (0.8), то оно единственно только тогда, когда А^а) — Jl_(pkofl) Ф 0 при
2я
всех к.
Если нарушено условие А^(а) Ф 0 при некоторых к = I £ Л^, то построены нетривиальные решения однородной задачи (0.3) - (0.6) и (0.8) (где г(х) = 1р(х) = 0), которые имеют вид
щ[х,1) = Д,(*)\/^(<?1 + С2Соз(2тг/а:) + Сзмп(2тг1х)),
где Сх - произвольные постоянные, г = 1,3.
Утверждение 0.4. Существуют а и постоянная Со > 0 такие, что при больших к справедлива оценка
тД>/*Д*(а)|>СЬ>0. (0.16)
к
При выполнении условий ДЦа) Ф 0 и (0.16) решение задачи 1.2 определяется в виде суммы ряда (0.12), где
^х(р,Н)") ТГ7А- <Ла(—<,а)
Мч = П ГЛ , .------------+ тк--------т-т-^------------0.17
у'аДЦа) 25 Д*(а)
Ак(-г,а) = - У±{рк(-г)я).11_(ркач),
2? 2? 27
Ч и ц>к - коэффициенты разложения функций т[х) и р(х) по системе {ф2 ст(2ккх)}^{. Функция но(£) в случае 6 > 0 определяется по формуле
ю
- Київ+380960830922