Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...........................................................4
ГЛАВА I. Элементы теории операторов
в рефлексивных пространствах..........................20
§1. Уравнения с монотонными операторами...........................20
§2. Оператор Немыцкого в весовых пространствах Лебега.............24
§3. Сингулярные операторы в пространствах Лебега..................28
§4. Операторы типа потенциала в пространствах Лебега..............30
§5. Преобразование Фурье и оператор свертки.......................34
ГЛАВА II. Нелинейные сингулярные интегральные
уравнения с ядрами Коши и Гильберта.................36
§6. Задачи, приводящие к нелинейным сингулярным интегральным
уравнениям.....................................................36
§7. О положительности сингулярных интегральных операторов ... 38 §8. Глобальные теоремы существования и единственности.
Оценки решений.................................................43
§9. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений в Ьо(ау Ь) без ограничений на абсолютную величину
параметров.....................................................53
§10. О нелинейных сингулярных интегральных уравнениях
с ядром Гильберта............................................58
§11. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения
с ядром Коши на действительной оси...........................64
ГЛАВА III. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в комплексных пространствах Лебега..............................................75
§12. О положительности сингулярных интегральных операторов ... 75
§13. Теоремы существования и единственности в Ьр[р)...............80
§14. Теоремы существования и единственности в Ьо (И1).............87
§15. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши при любых значениях параметров в £2(Я1) . 90
ГЛАВА IV. Уравнения с ядрами типа потенциала
и интегралами дробного порядка......................96
§16. О положительности операторов типа потенциала.................97
§17. Нелинейные уравнения с ядрами типа потенциала
и интегралами дробного порядка..............................102
§18. Приближенные методы решения нелинейных уравнений
с ядрами типа потенциала в Ь2(Г) и их оптимизация...........113
§19. Градиентный метод решения нелинейных интегральных
2
уравнений с ядрами типа потенциала в Ьр{р).................117
§20. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала
в комплексных пространствах Лебега.........................119
ГЛАВА V. Интегральные уравнения типа свертки
с монотонной нелинейностью в Ьр(р).................127
§21. О положительности и потенциальности операторов свертки . . 128
§22. Теоремы существования и единственности решения.............138
§23. Приближенное решение уравнений типа свертки в Lo{Rl) . . . 146
§24. Нелинейные уравнения Вииера-Хопфа в Ьр(0,оо)...............151
§25. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки
в пространствах £р(—тг, тг)................................155
§26. Приближенное решение уравнений типа свертки
с нечетиостепенной нелинейностью в Lp(p)...................160
ГЛАВА VI. Интегральные уравнения типа свертки
со степенной нелинейностью в конусах .... 165
§27. Уравнение с невырожденным в нуле ядром.....................165
§28. Уравнение с вырожденным в нуле ядром.......................169
§29. Уравнение с ядром к(х) = р • хи + о(зґ), р > 0, v > — 1 . . . . 178
§30. Уравнение с суммарным ядром................................186
§31. Уравнение с неоднородностью в линейной части...............190
§32. Уравнение с почти возрастающим ядром и переменными
коэффициентами.............................................196
§33. Уравнения с ядром общего вида и нелинейные интегральные
неравенства................................................201
ГЛАВА VII. Системы интегральных уравнений
с монотонными нелинейностями.....................209
§34. Системы уравнений типа свертки в пространстве С[0, оо) . . . 209 §35. Системы уравнений типа свертки в пространстве ЬРіП(Г) .... 214 §36. Системы уравнений с ядрами типа потенциала в ЬР)П(р) .... 218 §37. Системы нелинейных сингулярных интегральных
уравнений в весовых пространствах Лебега ЬРіП(р)...........222
ГЛАВА VIII. Дискретные уравнения типа свертки
с монотонной нелинейностью......................227
§38. Дискретные уравнения типа свертки со степенной
нелинейностью в конусах....................................227
§39. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки
в вещественных пространствах Лебега Zv.....................240
§40. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки
в комплексных пространствах Лебега Zp......................252
§41. Дискретные неравенства со степенными нелинейностями .... 267
Библиографический список использованной литературы .... 274
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных (интегральных и дискретных) уравнений типа свертки. В случае малых параметров к настоящему времени для таких уравнений получено большое число (локальных) результатов о существовании, единственности и способах нахождения решений. Однако, ввиду жестких ограничений на абсолютную величину параметров и область определения решений, они либо вообще не охватывают линейный случай, либо охватывают его лишь частично. Более того, из-за различных применяемых методов исследования и, как следствие, различных ограничений па нелинейности, эти результаты часто никак не связаны между собой и носят разрозненный характер, несмотря на то, что все указанные уравнения объединяет то, что они имеют ядра, зависящие от разности аргументов. В этой связи представляется весьма актуальной задача установления единым методом для таких уравнений глобальных теорем (т.е. без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений), охватывающих линейный случай, что позволит в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.
Из всех известных методов наиболее подходящими для этой цели оказались метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов и метод весовых метрик (аналог метода Белецкого), позволившие при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности доказать теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных иитеграчьных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при любых (не обязательно малых) значениях числовых параметров и без ограничений на область определения решений. Что касается других, широко применяемых в настоящее время, методов
4
исследования, основанных на применении принципа сжимающих отображений Банаха, принципа Шаудера, теоремы о неявной функции и др., то они оказались менее пригодными для этой цели. Известно, что применение принципов Банаха и Шаудера необходимо приводит к ограничениям на абсолютную величину параметров и область существования решений, а применение классических теорем о неявной функции (из-за имеющегося в них предположения о дифференцируемости нелинейности) в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к весьма жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность.
В дайной работе рассматриваются различные классы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами тина потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки с монотонными нелинейностями в весовых пространствах Лебега Ьр(р) и, соответственно, ^р(р), что позволило при исследовании всех таких уравнений использовать результаты теории монотонных (по Браудеру-Минти) операторов. При этом, в отличие от традиционных методов, основанных на обращении соответствующих этим уравнениям линейных (сингулярных £, типа потенциала 1а и свертки Я) операторов, обращаются нелинейные операторы Я, входящие в эти уравнения. Такой подход позволил минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелинейности, что в свою очередь позволило выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим показано, что теории таких уравнений имеют и свои существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы 5 являются положительными и кососимммет-рическими, операторы типа потенциала 1а являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки II (интегральные и дискретные), вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных
свойств.
Следует отметить, что в настоящее время теории соответствующих линейных уравнений достаточно хорошо разработаны. Имеется целый ряд монографий и обзорных статей, где излагается современное состояние теории таких уравнений (см., например, работы Ф.Д. Гахова [75), Ф.Д. Гахова, Ю.И. Черского [76], ИД. Гохберга, Н.Я. Крупника [78), М.Г. Крейна [107), С.Г. Михлина [121], И.И. Мусхелишвили [123], 3. Пресдорфа [129]. Ф. Три-коми [138], Б.В. Хведелидзе [145], а также [2], [71), [112], [134], [135], [145], [177], [190], [191], [202], [218] и др.). В этих работах указаны приложения теории линейных уравнений с разностными ядрами к решению прикладных задач теории упругости и пластичности, массо- и теплопереноса, аэро-и гидродинамики, электростатики и биомеханики, управления и оптимального прогноза, дифракции на полосе и рассеяния света в атмосфере, а также в теории массового обслуживания, электротехнике, экономике, медицине и во многих важных разделах математики: теория обратных задач, факторизация операторов, теория вероятностей.
Что касается нелинейных уравнений с разностными ядрами, то их теория далека от завершения. В монографической литературе (см., например, книги М.М. Вайпберга, В.А. Треногина |GG], А.И. Гусейнова, Х.Ш. Мухтарова [83], W. Pogorzelski [218], Е. Wegert [225], а также [2], [71], [145], [177], [190], [191]) им посвящены лишь отдельные главы или параграфы и в настоящее время разработка теории таких уравнений продолжается. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, как правило, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, то есть имеются принципиальные различия как но методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. Как известно из курса функционального анализа, локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. Поэтому, например, в случае линейных уравнений основные результаты имеют место (см., например, [95], [129]) сразу для целой серии пространств (Lp, С, Со,
6
М и других). В случае же нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности. Кроме того (см. [120]), в отличие от линейных уравнений, для нелинейных уравнений единственность решений неестественна. Как правило, (однородное) нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории волн па поверхности тяжелой жидкости, разработанной A.PI. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное (нулевое) решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны. Аналогичная ситуация имеет место в задачах А.М. Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости, в которых существование нескольких решений означает, что возможны несколько различных фигур равновесия, и в ряде нелинейных задач теории упругости, в которых различные решения соответствуют различным формам потери устойчивости, возможным при тех или иных нагрузках.
Таким образом, исследование нелинейных (интегральных и дискретных) уравнений с произвольными параметрами имеет не только теоретическое, но и важное прикладное значение.
Приступим теперь к изложению основных результатов диссертации, состоящей из восьми глав.
Первая глава (§§1-5) носит вспомогательный характер. Здесь для удобства ссылок приводятся необходимые сведения из теории функций и функционального анализа, касающиеся линейных и нелинейных операторов, действующих в банаховых пространствах. При этом некоторые утверждения, являющиеся простыми следствиями известных результатов, формулируются в удобном, для применения в последующих главах виде. В §1 приводятся основные сведения из теории монотонных (по Враудеру-Миити) операторов, ставшие уже классическими, и его наличие связано в первую очередь с тем, что оба центральных термина, используемых в диссерта-
7
ции, "положительный оператор" и "монотонный оператор" имеют различный смысл в теории операторов в полуупорядоченных пространствах с конусом и в теории операторов в рефлексивных пространствах. Известно (см. книги М.М. Вайнберга [65), X. Раевского, К. Грсгера, К. Захариаса [73], Ж.Л. Лиоиса [111] и др.), что метод монотонных операторов является в настоящее время одним из наиболее плодотворных методов нелинейного функционального анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ес приложений: в теории нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и Урысоиа, в общей теории краевых задач и математической физике, нелинейной механике и теории игр, и других. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф. Браудера, Ж. Лере, Ж.Л. Лионса и других. Следует отметить также исследования М.И. Вишика [67], который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга [65] и Р.И. Качуровского [100], которые получили основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности рассматриваемых операторов, и многих других (см. монографии [65], [73], [111] и работы [88], [100], где приведена история вопроса и обширная библиография). В результате этих исследований была установлена основная теорема теории монотонных операторов - теорема Браудера-Минти (см. теорема 1.1), которая утверждает, что уравнение Ли — f имеет решение в вещественном рефлексивном банаховом пространстве X, если / Є X* и Л : X — > X* является слабо непрерывным, монотонным и коэрцитивным оператором, где X* есть сопряженное с X пространство. В последние годы предпринимались многочисленные попытки ослабить хотя бы одно из приведенных условий на оператор Л (подробнее см. [110]). Оказалось, что условие монотонности можно заменить во многих случаях на так называемое (М)-свойство, которое по-видимому является предельным в рамках теории монотонных операторов, а условие коэрцитивности, в случае нечетных (по С.И. ІІохожаеву [128]) операторов - на специальное условие возрастания оператора: ЦЛгфх* —> оо, если ||w||x —> оо. В результате, в настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на
8
два соответствующих параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М), и уравнения с нечетными возрастающими операторами. Новыми в §2 являются доказательство коэрцитивности в весовых пространствах Лебега оператора обратного к оператору Немыцкого (лемма 2.1), теорема 4.2, леммы 4.1 и 4.2 о строгой положительности операторов тина потенциала и дробного интегрирования.
Глава 2 (§§6-11) посвящена исследованию нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта в весовых вещественных пространствах Лебега Ьр(р) при любых (не обязательно малых) значениях параметров. Известно [94], [120], что систематическое исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений было начато в середине прошлого столетия академиком АН Аз.ССР А.И. Гусейновым. Так в работе [80] (1947 г.) им было рассмотрено уравнение с ядром Гильберта
Обобщив теорему И.И. Привалова об ограниченности сингулярного оператора с ядром Гильберта в пространстве Гельдера Н$ (0 < 6 < 1), с помощью принципа Шаудера он доказал локальную теорему о существовании решения уравнения (0.1) в случае достаточно малых по модулю значений параметра Л в Н$. Полученные результаты были им использованы при решении задачи конформного отображения единичного круїа на область, близкую к кругу (см., также, книгу В. Коппенфельса, Ф. Штальмана [102, с. 201], где подобная задача решена методом Теодорсена-Гаррика, и статью Б.И. Гехта [77], где изучаются нелинейные сингулярные интегральные уравнения, к которым приводит задача о построении конформного отображения на круговое кольцо области, близкой к этому кольцу). Следующий глубокий результат был получен А.И. Гусейновым в работе |81] (1948 г.), где в специально построенном им классе //ад* доказана разрешимость нелинейного сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши
(0.1)
(0.2)
9
при малых значениях Л. В дальнейшем результаты А.И. Гусейнова были уточнены и развиты им самим, а также в работах Д. Пшеворской-Ролевич,
В. Погожельского, А.А. Бабаева, Х.Ш. Мухтарова и многих других (см. введение в книге |83), где дан обстоятельный обзор работ 1946-1980 гг. по теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений, а также монографию Е. Wegert [225]). Например, в работе В.К. Наталсвича [124] изучено более общее, чем (0.1), уравнение с ядром Гильберта, что позволило выявить существенные особенности нелинейных сингулярных интегральных уравнений, отличающие их от регулярных уравнений. В.К. Наталевич показал, что при малых Л разрешимость и число решений этого нелинейного сингулярного интегрального уравнения зависят от разрешимости и числа решений соответствующего линейного уравнения. Для всех этих работ, посвященных исследованию нелинейных сингулярных интегральных уравнений, характерно то, что существование и единственность решений устанавливается, как правило, лишь в случае малых по модулю значений параметра. Это обусловлено тем, что в них за счет жестких ограничений на параметр Л обеспечивается применимость топологического принципа Шаудера и принципа сжимающих отображений.
Первая попытка доказать теорему существования и единственности решения при произвольном значении параметра Л для одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши вида (0.2) в классе Гельдера Н$ была предпринята в работах Р. Денчева [86] и других (см. [83, с. 21[), в которых исследование основано на теореме о неявной функции. Однако, фактически удалось доказать лишь то, что если нелинейное сингулярное интегральное уравнение имеет решение при Л = Ао, то оно имеет решение и при некотором А > А0 (доказательство в [86, формула (27) и далее], содержит неисправимую ошибку). Это связано с тем, что при применении классических теорем о неявной функции к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям предположение о дифференцируемости нелинейности в случае пространств Лебега Lp приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера Ils это предположение приводит к весьма
10
жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность.
К нелинейным сингулярным интегральным уравнениям применялись и другие методы исследования: метод Ньютона-Канторовича (JI.C. Бабин-чук, В.И. Иваницкий и др.), метод механических квадратур (A.A. Бабаев, В.В. Салаев и др.), метод осреднения функциональных поправок Ю.Д. Соколова (Х.Ш. Мухтаров, Э.И. Эфендиев и др.), квадратурноитерационный метод (Б.Г. Габдулхаев, И.В. Бойков и др.), а также методы коллокаций, редукции, проекционно-итсрациопиый и другие (см. [71|, [83], [94], [218], [225]).
Впервые возможность применения к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям метода монотонных операторов была отмечена в 1968 г. в работе H. Amann [152], посвященной уравнениям Гаммерштейна, в которой приведены два примера уравнений с ядром Гильберта вида:
и(х) + -^ J (l + ctg^y^) ■ f(y,u(y))dy = 0 , -тт<х<п, (0.3) Ф) + 7Г~ / ctg ■ f(y, u(y)) dy = 0 , -7Г < х < тг , е = ±1 , (0.4)
Z7T J I
—л
имеющих единственное решение в гильбертовом пространстве Z/2[—7Г, 7г]. Затем в 1977 г. Г.М. Магомедов [114] применил этот метод в Ьр(-а:а) к нелинейным уравнениям с ядром Коши также частного вида
и(х) 4- — [ - ds = gi(x), и(х) + А • F х, [ —— ds
7Г */_ S — X S — X
—а —а
= 92 (я).
(0.5)
В 1979 г. А.И. Гусейнов и Х.Ш. Мухтаров [82] доказали, что уравнение
и(х) + — [ а—^ + А • Р[х, *х(.т)] = /(ж) (0.6)
7Г ^ 5 — х
имеет решение в пространстве ЬР(р) с весом р[х) = {х—а)^р~1\Ь—х)^р~1\ 0 < а,/3 < где р > 2 • шах В 1980 г. вышла монография
А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова [83], в которой приводится лишь один (из упомянутых) результат, касающийся уравнения (0.6), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана (см. [83, с. 298]) для сведе-
11
ния уравнений вида (0.5) к уравнению вида (0.6) не привела к желаемым результатам (в работе [114] имеются неточности).
В 1979-1980 гг. автор [3]-[7] исследовал уравнения более общего вида:
Ajи{х) + — f ^ix>s) uis) ds + \z. = (0.7)
Ti Ja s — x
в пространстве Lp(p), p > 2. с весом p(x) = (.т - a)Q(b — х)р, где
— I < a,p <~ - 1 при p> 2 и — 1 < a, /? < 0 при p = 2 , (0.8)
Л S *(«,.)-F[.,«(.)] Л =
7Г a S — X
в пространстве LP(p) с тем же весом, но при условии, что 1 < р < 2 и
? — 1 < <х,0 < р — 1 при 1 < р < 2 и 0 < а, /3 < 1 при р = 2 , (0.10) &
и уравнение
в пространстве £Р(р) при предположениях (0.8).
Отметим, что условия (0.8) и (0.10), найденные автором, впоследствии широко использовались в работах Л. Вольфорсдорфа [227]-[232].
В отличие от работы [114] в [3]-[7] была доказана разрешимость уравнений вида (0.9) и (0.11) при принципиально других ограничениях (см. примечание референта С.Г. Самко в РЖ Математика, 1984, N85569, а также статью Л. Вольферсдорфа [227]). При этом, исследование в [114] основано на обращении линейных сингулярных интегральных операторов, а наше - на обращении нелинейных функциональных операторов (используя их строгую монотонность). Кроме того из результатов автора как прямое следствие вытекает, что в книге [83] можно брать не только положительные, но и отрицательные а и /3. Более того автором показано, что условие коэрцитивности при р — 2 является излишним (см. замечание 8.1).
В дальнейшем, как отметил в РЖ Матем, 1983, N125629, Л.Д. Кудрявцев, в нашей совместной работе [54] было доказано, что и в случае уравнения вида (0.9) условие коэрцитивности является излишним. Подобный результат позже независимо опубликовал Л. Вольферсдорф [227].
12
ß 1980 году нами было начато систематическое изучение нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта в пространствах Лебега с общим, не обязательно степенным, весом.
Основные результаты, полученные в главе 2, состоят в следующем:
1) без ограничений на абсолютную величину параметра Л доказаны глобальные теоремы существования и единственности решения в пространствах Lp(p) с общим весом р(х) для уравнения: X-Fu+Su = /, u+X-SFu = / и tt-b A - FSu = /, где F - нелинейный оператор суперпозиции, a S - сингулярный оператор (с ядром Коши или Гильберта) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. При дополнительных ограничениях на нелинейность получены оценки норм этих решений. Из этих оценок, в частности, вытекает, что соответствующие однородные уравнения (/ = 0) имеют в Lp(p) лишь тривиальное решение и = 0. Следует отметить, что случай бесконечного контура интегрирования оказался труднее для исследования, так как сингулярный оператор S положителен В -MR1) лишь при р = 2.
2) при р — 2 впервые, без ограничений на параметры, комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений показано, что решения всех, указанных в п. 1), уравнений можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа, причем в случае, когда роль сингулярного оператора S играет интегральное преобразование Гильберта G, итерационные формулы и оценки скорости сходимости последовательных приближений получены в терминах исходных операторов G и F (в случае уравнений вида (0.9) и (0.11) они получены в терминах операторов S и У'7-1). Следует отметить, что до наших работ приближенные методы применялись к таким уравнениям лишь при малых А.
В основе этих результатов лежит тот факт, что сингулярный оператор обладает свойством 3.1 (см. §3), имеющим не только теоретическое, но и важное прикладное значение (см. работы Е.О. Tuck [224], W. McLean [200], E.R. Love [198] и A.D. Fitt [187], где разобраны задачи гидро- и аэродинамики, в анализе которых существенно используется это свойство).
Все результаты главы 2 принадлежат автору и опубликованы в работах
13
[3] - [13], [29], [54] и [55]. В наших совместных с Х.Ш. Мухтаровым работах [54] и [55], как отмечено в [55, стр. 277], дано обобщение некоторых результатов автора [10], касающихся нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта.
В главе 3 (§§12-15) впервые нелинейные сингулярные интегральные уравнения изучаются методом монотонных операторов в весовых комплексных пространствах Лебега Ьр{р). Здесь получены аналоги основных результатов главы 2 для уравнений вида:
Показано, что числовые параметры могут принимать и комплексные значения. В случае комплексного пространства /^(Я1) найден эффективный метод доказательства основных теорем, сводящий исследование всех классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений к уравнениям вида (0.7).
Интересно отметить, что подобные оператору
сингулярные интегральные операторы (со знаком минус в числителе вместо знака плюс) играют важную роль в теории дифференциальных уравнений и детерминантов Фредгольма [222], случайных матриц [201] и др.
Результаты главы 3 принадлежат автору и опубликованы в [156] и [29].
Глава 4 (§§16-20) посвящена нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала и нелинейным уравнениям с интегралами дробного (в смысле Римана-Лиувилля) порядка. Здесь получены подобные, приведенным в главах 2 и 3, результаты в случае, когда роль сингулярного
А‘2 °г [ Ь(х) 'ш(ь') -Ь Ь(.ч) ги(х) ] и(з)
(1э + А3 Г[х, г*(а;)] = /(.т),
8~х
5 — X
7Г — оо
1 Т [&(ж)и?(5) 6($) Щ(ж) ] ?/($)
- / ------------------------------------ с1в
14
оператора S играет оператор тина потенциала 1а. Важно отметить, что оператор /а, в отличие от оператора S, является потенциальным, то есть градиентом некоторого функционала. Это свойство оператора 1Л позволило не только существенно улучшить оценки скорости сходимости последовательных приближений, но и, в отличие от нелинейных сингулярных интегральных уравнений, применить градиентный метод (метод наискорейшего спуска) при р -ф- 2. Кроме того, рассмотрены три различных класса нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы вида (Pqiu)(x) = S (р(\х — t\)u(t)diy частными случаями которых являются потенциалы Рисса и логарифмические потенциалы. Обобщая результаты
А.М. Нахутпева [126], найдены условия положительности таких операторов. Рассмотренные в этой главе нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала методом монотонных операторов ранее не изучались. Все результаты главы 4 принадлежат автору и опубликованы в работах [15], [22), [29], [32] и [34].
Следует отметить, что положительность различных классов операторов типа потенциала и дробного (непрерывного и дискретного) интегродиф-ференцирования доказана в книге А.М. Нахушева [12G], где, в частности, обобщаются результаты С. Геллерстедта и Ф. Трикоми [137, с. 386] (см., также, [133, с. 235]). В книге D. Porter, D. Stirling [219], используя другой подход, также доказывается положительность различных операторов, в том числе и с ядрами типа потенциала. Нелинейные уравнения с ядрами типа потенциала и интегралами дробного порядка наиболее полно изучены в вольтерровском случае и в случае когда интегрирование проводится по ограниченной области (см. работы П.П. Забрейко, В.Б. Мороз [90], Г.А. Несененко [127], D.D. Ang, R. Gorenflo [153], R. Gorenflo, S. Vesella 1190], A.A. Kilbas, M. Saigo [196], P. Zabrejko, S. Rogosin [235] и указанную в них литературу). Следует отметить работу Д.В. Прохорова, В.Д. Степанова [130], в которой получен критерий существования "в малом" решения уравнения с дробным интегралом Римана-Лиувилля на полуоси и степенной нелинейностью в классе неотрицательных почти всюду конечных функций.
15
В главе 5 (§§21-26) впервые методом монотонных операторов изучаются нелинейные интегральные уравнения типа свертки вида
в вещественных пространствах Лебега ЬР(Г) как в периодическом (при Г — [—тг, тг]), так и не периодическом (при Г = (—ос, оо) и Г = [0, оо)) случаях. Здесь найдены условия вида (21.1) на ядро оператора свертки Я, при которых этот оператор обладает свойствами положительности, строгой положительности и потенциальности. Приведены многочисленные примеры 51 дер, удовлетворяющих этим условиям. Установленные свойства оператора свертки позволили для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки получить аналоги результатов, доказанных в предыдущих главах для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала. Кроме того, в отличие от нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, для уравнений вида (0.12)-(0.14) доказаны глобальные теоремы существования и единственности в Ьр{Г) как при 1 < р < 2, так и при 2 < р < оо. При этом построены приближенные решения не только в случае гильбертовых пространств //о(Г), но и, используя методы теории потенциальных монотонных операторов, в случае весовых пространств Лебега Ьр(д). Следует отметить, что в случае нелинейных интегральных уравнений типа свертки ограничения па показатель р существенно отличаются от соответствующих ограничений в случаях нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, однако условия накладываемые на нелинейность Р имеют тот же вид.
Все результаты главы 5 принадлежат автору и опубликованы в работах [8], [11], [19], [23], [30], [55], [56] и [155], за исключением теорем 22.2
(0.12)
г
(0.13)
г
(0.14)
г
и 22.9, доказанных совместно с Х.Ш. Мухтаровым в работах [55], [56], и обобщающих результаты автора [8] на случай весовых пространств Ьр(д).
Условие вида (21.1) хорошо известно в теории непрерывных положи-тпельпо-определенных на конечном промежутке по Бохнеру функций, играющих центральную роль в гармоническом анализе (см., например, книги Р. Эдвардса [150], [151] и статьи J.A. Nobel, D.F. Shea [207], [208], O.J. Staffans [221]). Положительная определенность функции h(x) G С[—тг,тг] вида (21.24) в случае комплекснозначной 2 7г-периодической функции g(x) G //2(-7г,7г) отмечена в [150, с. 178], а се четность в случае вещественной функции д{х) G Lo(—оо, оо) доказана H.H. Лузиным [113, с. 295]. Другие методы исследования нелинейных интегральных уравнений типа свертки рассмотрены в работах V.E. Benes [162], [163], K.L. Cooke, J.L. Kaplan [175],
О. Diekmaii [179], О. Diekman, H.G. Kaper [180], W.G. El-Sayed [183], M. Fe6kan [185], R. Lui [199] и многих других (см. [191]).
Глава 6 (§§27-33) посвящена нелинейному уравнению типа свертки вида
х
иа(х) = J к(х — t)u(t) dt + /(х), а >1, х G [0, оо), (0.15)
о
решения которого разыскиваются в конусе
Q+ = {u(x) : и(х) G С[0, оо) и и{х) > 0 при х > 0} .
Исследование основывается на некоторой модификации принципа сжимающих отображений Банаха - так называемом методе весовых метрик (аналог метода А. Белецкого), позволяющем при удачном выборе метрики доказывать непосредственно глобальные теоремы существования и единственности без ограничений на область определения решений. В §27 дано уточнение результатов W. Okrasinski [209]-[211]. Часть результатов §§28, 30 и 32 получены совместно с М.А. Бетилгириевым, Н.К. Карапетянцем и А.Я. Якубовым в работах [39]-[46], [50]-[53], [159] и [160] и принадлежат каждому соавтору в равной мере (см. обзор [52, с. 9]). Результаты §§29, 31 и 33 принадлежат автору. В частности, автором до конца изучен случай ядер вида к(х) = р • xv + 1(х)} р > 0, v > — 1, где функция t{x) удовлетворяет условию lim £(х) х~и = 0. Показано, что случаи — 1 < и < 0 и
17
и > 0 требуют своего особого подхода. В случае неубывающих на [0,оо) функций к(х) и /(х) автором доказаны неулучшаемые априорные оценки решений уравнения (0.15):
а — 1
а
<и(ж) <
/V ^
и доказана непрерывная зависимость решения уравнения (0.15) относительно колебаний этих функций в терминах одной и той же, в отличие от [52, 53, 210], метрики. Показана необходимость верхней априорной оценки для корректности результатов предшествующих работ. В случае суммарных ядер при построении метрики в качестве весовой функции берется не нижняя, а верхняя априорная оценка. В §33 рассмотрены уравнения более общего вида и доказаны некоторые новые оценки решений нелинейных интегральных неравенств, путем сведения их к линейным неравенствам.
В связи с результатами главы б отметим работы Н.К. Карапетянца [97], [98], З.Б. Цалюка [148], P.J. Bushell, W. Mydlarczyk, W. Okrasiiiski [168], [1G9]-[173], [205], [212]-[216], N.K. Karapetyants, A.A. Kilbas, M. Saigo, S.G. Samko [192], [193], [143] и L.v. Wolfersdorf [234] (обзор этих работ дан в нашей совместной с М.А. Бетилгириевым монографии [45, §9]).
В главе 7 (§§34-37) результаты предыдущих глав обобщаются на случай соответствующих конечных систем нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки, причем системы нелинейных интегральных уравнений типа свертки рассматриваются как в вещественных пространствах вектор-функций Лебега, так и в конусах пространства непрерывных на положительной полуоси функций. Результаты §34 получены в работах [43], [45], [53], [159] и принадлежат каждому из соавторов в равной мере. Результаты §§35-37 принадлежат автору и опубликованы в [б], [7], [9], [10], [25] и [29]. В этих работах метод монотонных операторов впервые применяется к системам нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки.
18
В главе 8 (§§38-41) изучаются различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки в вещественных и комплексных пространствах числовых последовательностей £р, а также в различных конусах пространства всех числовых последовательностей s. Дано сравнение полученных результатов с их континуальными аналогами, приведенными в главах 5 и 6. Оказывается, что нелинейные дискретные уравнения типа свертки могут иметь континуум решений, в то время как соответствующие нелинейные интегральные уравнения тина свертки имеют лишь тривиальное решение. Кроме того, поскольку в дискретном случае нет принципиальных различий между линейными уравнениями первого и второго родов, то положительная определенность дискретного (в отличие от интегрального) оператора свертки вполне возможна. Результаты §38, касающиеся неубывающих ядер, получены в совместных работах [51] и [52], а результаты, касающиеся более трудного для исследования случая невозрастающих ядер, получены автором в [33]. Результаты §§39-40 получены в совместных работах с Н.К. Карапетяицем [48], [49] и [161] и являются дискретными аналогами результатов автора, изложенных в главе 5. В §41 приводятся оценки решений нелинейных дискретных неравенств, опубликованные в работах автора [31] и [36]. В частности, обобщаются, уточняются и дополняются некоторые результаты, полученные B.G. Pachpatte ]217] и D. Willett, J.S.W. Wong [226].
19
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ В РЕФЛЕКСИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В этой краткой главе для удобства ссылок приводятся, в основном, известные результаты из функционального анализа и некоторые их простые модификации, используемые в последующих главах.
§1. Уравнения с монотонными операторами
Приведем сначала определения, обозначения и основные результаты из теории монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, которые использованы в диссертации. В основном будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в книге Х.Гаевского, К.Грегера, К.Захариаса [73].
Пусть X - вещественное рефлексивное банахово пространство и X* сопряженное с ним пространство. Обозначим через (у,х) значение линейного непрерывного функционала у £ X* на элементе хбХ,а через || ♦ || и || • ||* нормы в X и X* соответственно. В частности, если X есть гильбертово пространство Я, то (у.х) совпадает со скалярным произведением (у, .т).
Определение 1.1. Пусть и, у € X - произвольные элементы. Оператор Л : X —>■ X* (т.е. действующий из X в X*) называется: монотонным, если (Л?/ — Лу, и — у}> 0; строго монотонным, если (Ли — Луу и — у)> 0 при и ф у; сильно монотонным, если (Ли — Ли, и —у) >гп'\\и — у\\2, т > 0; равномерно монотонным, если (Ли — Ау,и — у) > (3(\\и — г;||), где (5 возрастающая па [0,оо) функция такая, что /7(0) = 0;
коэрцитивныхм, если (Ли, и) > 7(1М1) • 1Н|, где 7(5) вещественная функция такая, что 7(5) —> оо при в —> оо;
липшиц-иепрерывным, если ||Ли - Лу\¥ < М • |]ц — г>||, М > 0; ограниченно линшиц-непрерывным, если
\\Ли — Ау||* < /х(г) • ||и — г>||, где р возрастающая на [0,оо) функция, а г = шах(|Н|,||1/||).
20
Определение 1.2. Оператор А : X —» X* называется: радиально непрерывным, если при любых фиксированных и,и X вещественная функция в —> {А(и -\- $ • и), и) непрерывна на [0,1];
хеминепрерывным, если вещественная функция в —> (А(^ + 5-г?), ги) непрерывна на [0,1] при любых фиксированных и, у, и) Е X;
деминепрерывным, если из сильной сходимости ип —> и в X следует слабая сходимость Аип —> Ли в X*.
Основной в теории монотонных операторов является (см. [65], [73])
Теорема 1.1 (Ф.Браудер, Г.Минти). Пусть X есть веществен-ное рефлексивное банахово пространство и хемипепрерывный монотонный оператор А : X —> X* является коэрцитивным или удовлетворяет
условию: (Аи,и) • |М|-1 = оо. Тогда уравнение Аи = / имеет ре-
1МН»
шение и* Е X для любого { Е Xм. Это решение единственно в X, если Л - строго монотонный оператор.
Замечание 1.1 [168]. Если в теореме 1.1 оператор А : X —> X* хемине-прерывный, монотонный и удовлетворяет условию Роте: ЗЯ > 0 такое, что (Аи,и) > 0 при ||и|| = Я, то уравнение Ли = 0 имеет решение в шаре 1К1 < Я. Решение единственно, если А строго монотонный оператор.
При дополнительных ограничениях па оператор А справедливы [73]:
Теорема 1.2. Пусть о теореме 1.1 оператор А является строго монотонным. Тогда существует обратный оператор А~1 : X* —> X и этот обратный оператор строго монотонен, ограничен и хеминепрерывен.
Теорема 1.3. Пусть X есть вехцественное рефлексивное банахово пространство и оператор А : X —» X* липыиц-непрерывен и сильно монотонен. Тогда существует липшиц-непрсрывный и сильно монотонный обратный оператор А~1 : X* —> X, причем. \/(р,ф Е X*
\\А-1ч>-А~111)\\ < ^■\\<р-‘ф\и, (А-V — А~1/ф, <р — ф) >
где тп и М полооюительиые постоянные из определения 1.1.
Из результатов Ф.Браудера и В.Петришина (см. [73, с. 104]) вытекает
21
Теорема 1.4. Пусть Н - вещественное гильбертово пространство и оператор А действует из Н в Н. Если существуют постоянные т > О и М > 0 такие, что для любых u,v G II выполняются неравенства:
||Ли - Av\\h < М • ||u - v\\h, (1.1)
(Ли — Ли,и — v) >т-\\и — v\\2J{, (1.2)
то уравнение Ли = / имеет единственное решение и* € Н при любом / £ II. Это решение можно найти методом последовательных прибли-оюеиий, которые определяются по формуле:
7П
ип = 1 - -^2 ■ (Аип-1 - /), п € N, (1.3)
и для которых имеет место следующая оценка погрешности:
11«, - «*Нн < • ||А* - /||я, (1.4)
где а = л/1 - ш2 • М~2, щ £ # - произвольный элемент.
Известно, что основные теоремы о монотонных операторах были доказаны вначале в предположении, что они являются потенциальньши. В дальнейшем это ограничение во многих случаях было снято, однако имеется ряд результатов, которые не имеют равносильных аналогов без предположения потенциальности. Приведем здесь некоторые из них.
Пусть X есть вещественное банахово пространство и / : X —► R1 есть произвольный (не обязательно линейный) функционал.
Определение 1.3. Функционал / : X —> R1 называется дифференцируемым по Гато, если существует оператор А: X —> X* такой, что для всех u,v Е X выполняется равенство Ыт ЛЦ+*^)~ЛЦ) =(Аи, и). При этом А называют градиентом функционала / и пишут А = grad f.
Пример 1.1 [65]. В вещественном гильбертовом пространстве Н скалярное произведение дифференцируемо по Гато, причем grad (щи) = 2и.
Определение 1.4. Оператор А : X — > X* называется потенциальным, если существует функционал / : X —» R1 такой, что оператор А являегпезе его градиентом. При этом / называют потенциалом А.
22
Пример 1.2 [65]. Пусть X рефлексивное пространство и А : X —> X* линейный ограниченный симметрический оператор. Тогда А является потенциальным оператором и его потенциал /(и) = £ (Аи,и).
Банахово пространство X называется строго выпуклым, если У и, V Е X из того, что и фи, ||г/,|| < 1, |[г;|| < 1 следует, что ||гг 4- и\\ < 2.
Оператор\ X —> X*, где X* строго выпуклое пространство, называется дуализующим отображением, если (]и, и) = ||гг||2 = ||-/л.||;, Уи. Е X.
Для потенциальных операторов справедливы (см. [73, с. 137, 122])
Теорема 1.5. Пусть X - вещественное рефлексивное банахово пространство и А : X —> X* - строго монотонный коэрцитивный потенциальный оператор. Тогда существует обратный оператор А~х : X* —> X и этот оператор А~{ является строго монотонным и потенциалытм.
Теорема 1.6. Пусть X - вещественное рефлексивное банахово пространство и А : X —> X* - хеминепрерывный равномерно монотонный оператор. Тогда уравнение Аи = / имеет единственное решение и* Е X при любом / Е X. Кроме того, если X и X* строго выпуклые пространства, а оператор А является потенциальным ограниченно липшиц-непрерывпым, то последовательность ип+\ = и.п—6п• ./* (Аип.—{), где
6п = тт{1,2/[е + д(||«п|| 4- \\Аип — /||*)]} , п = 0,1,2,3... (1.5)
./* : X* —у X - дуализующее отображение для X*, е > 0 - произвольное число, сходится к и* по норме пространства X.
Теорема 1.7 [73]. Пусть Н - вещественное гильбертово пространство и оператор А : Н —> И является потенциальным. Если выполнены условия (1.1) и (1.2), то уравнение Аи = / имеет единственное решение и* Е И при любом / <Е Н. Это решение можно найти методом последовательных приблиэ/сений, которые определяются по формуле:
2
ип = ип-1-—— (Лип.!-/), п € N, (1.6)
М + 771
и для которых имеет место следующая оценка погрешности:
1К - «*||я < ^ ■ НА* - /Пя . (1.7)
23
где а = (М — тп)/(М + тп), щ Є Н - начальное приблиэ/сение.
Многие из приведенных выше определений и теорем имеют свои аналоги и в случае комплексного пространства X (см., например, [65], [88]).
Определение 1.7. Пусть и,и - произвольные элементы из комплексного сепарабельного рефлексивного банахова пространства X. Оператор А : X —> X* (т.е. действующий из X в X*) называется: монотонным, если Яе{Аи - Ау, и — и) > 0; строго монотонным, если Яе(Аи — Ау, и —и) >0 при и Ф 0; сильно монотонным, если Яе{Аи — Ау, и —у) > т - \\и — у||2, т > 0; коэрцитивным, если Яе{Аи,и) > 7(1М1) * 1М|, где 7(5), 5 > 0, -вещественная функция такая, что 7(5) —+ оо при 5 —» оо или если
Теорема 1.8. Пусть А : X —► Xм есть монотонный, хеминепрерыв-пый, коэрцитивный и ограниченный оператор. Тогда уравнение А и = / имеет решение и* Є X для любого / Є X*. Это решение единственно в X, если А - строго монотонний оператор.
Теорема 1.9. Пусть А : X —► X* есть строго монотонный, хсмипе-прерывпый, коэрцитивный и ограниченный оператор. Тогда оператор А имеет обратный оператор А~1 : X* —> X, причем оператор А~1 является строго монотонным, хемипепрерывным и ограниченным,
§2. Оператор Немыцкого в весовых пространствах Лебега
Пусть Г есть либо вся числовая прямая Я1 = (-оо, оо), либо некоторая ее часть (отрезок [а,Ь] или полуось БД = [0, оо)). Всюду в диссертации, если не оговорено иное, под р(х) понимается произвольная неотрицательная почти всюду конечная и почти всюду отличная от нуля измеримая по Лебегу на Г функция. Обозначим через Ьр(р), р > 1, множество всех измеримых по Лебегу на Г функций и(х) с конечной нормой
,г
24
Известно [145], что Ьр(р) есть рефлексивное банахово пространство и сопряженным с ним является Ljy(pl~p'), где р/ = р/{р — 1). Будем писать и (ж) <Е L+(р), если и{х) Є Lp(p) и и{х) является неотрицательной на Г функцией. Если р(х) = 1, то будем писать Ьр(Т) и || • ||р, соответственно. Норму в LIy(p1~l/) будем обозначать через || • ||^>(Т, где <т(х) = р1~^{х).
Введем теперь в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции (так называемый оператор Немыцкого). Пусть веществеииозначная функция F(x, t) определена при а; Є Г, і Є R1 и удовлетворяет известным [64] условиям Каратеодори: она измерима по х при каждом фиксированном і Є R1 и непрерывна по t почти для всех х Є Г. Обозначим через F оператор суперпозиции, порожденный функцией F(x,t): (Fu)(x) = F[x,u(x)]. Условия Каратеодори обеспечивают измеримость функции (Fu)(x) [64].
Всюду в дальнейшем предполагается, что условия Каратеодори выполнены, а показатели р и р/ связаны соотношением: 1/р 4- 1/р' = 1, р > 1.
Выпишем для удобства ссылок все ограничения, накладываемые ниже на функцию F(x,t), определяющую нелинейность исследуемых в диссертации уравнений. В зависимости от рассматриваемого класса уравнений будем накладывать на нелинейность F(x, t) либо условия 2.1)-2.3) либо условия 2.4)-2.6), где rfi,..., сЦ - положительные постоянные:
2.1) для почти всех я: Є Г и V£ Є R1 выполняется неравенство:
1 F(x, 01 < с(х) + di • р(х) ■ |«|p_1, где с(х) Є Lpip1-*') ;
2.2) для почти всех а; Є Г и 4t\,U Є R1 выполняется неравенство: F(x1t\) < F(x, t2), если ti <t2 ;
2.3) для почти всех х 6 Г и Vt Є R1 выполняется неравенство:
F(x, t) • t > efe • p(x) • \L\P — D(x), где D(x) Є Lf(Г) ;
2.4) для почти всех я; Є Г и V£ Є R1 выполняется неравенство:
№, 01 < 9(х) + <0 • (Ь(ж)]-1 • |i|)I/0>-1), где g(x) Є L+{p) ;
2.5) для почти всех я; Є Г и V£j,$2 Є R1 выполняется неравенство: F(xit1) < F(x.t2), если t\ < І2 ;
25
2.6) для почти всех ж € Г и V£ € R1 выполняется неравенство:
F(x,t) • t > d4 • (И®)]“1 ‘ |^|}1/(р_1) • |*| - D{x)z где D(x) G Lf(Г)
Простейшим примером функции, удовлеггворяющей условиям 2.1)-2.3), является Р{х,1) = р(х) • Ьр~г, где р > 2 - любое четное число.
Оператор суперпозиции выделяется среди других нелинейных операторов тем, что для него многие утверждения могут быть сформулированы в терминах необходимых и достаточных условий [154]. Например, хорошо известны следующие две теоремы (см, также, [64], [65], [83)).
Теорема 2.1. Для того, чтобы оператор Немыцкого Р, порожденный функцией F(ж,£), действовал непрерывно из Ер(р) в Тр-(р1-1/) /из в Ьр{р)] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
2.1) /соответственно: условие 2.4)/
Теорема 2.2. Оператор Немыцкого Р, действующий из Ьр(р) в /.у (р1-^) или из Ьрг (р1-^) в Ьр(р), является монотонным тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.2). Причем, оператор Р будет строго монотонным, если будет выполнено условие 2.5).
Нам понадобится также следующая
Лемма 2.1. Если выполнены условия 2.1), 2.3) и 2.5), то оператор суперпозиции ^ пороо/сденный функцией F(ж.£), имеет обратный оператор F“1 : (р1-*0 —> Рр(р), который является хеминепрерывным,
ограниченным и строго монотонным оператором, причем
£гт -11^11^ = 00. где а = р1^. (2.1)
Если оісе выполнены условия 2.4)-2.6), то оператор суперпозиции Р имеет обратный оператор F"1 : Ьр{р) —> 1^(р1~р), который является хеминепрерывным, ограниченным и строго монотонным оператором, причем
йт <Р_Ч и) ■ ||«||-* = оо. (2.1а)
ІМІР.Р-00 ' "
Доказательство. В силу условий 2.1), 2.3) и 2.5), на основании теорем
2.1 и 2.2, имеем, что оператор F : Ьр(р) —> непрерывен, строго
26
монотонен и коэрцитивен, причем Vu Е Ьр(р):
ll^llp-.^llclk. + ^-IMI^1, (2.2)
(Fu,u) > &>. - ||и||р,р — ll^lli • (2.3)
Следовательно, согласно теореме 1.2, существует обратный оператор F“1 (т.е. F~lFu — и Vw Е Ьр(р)), отображающий Lj/(px~p') на Lp(p), хеминепрерывный, строго монотонный и ограниченный.
Покажем, что F F~xip = <р Vtp Е Ь!/(рх~р>). По теореме 1.1 существует единственное и Е Lp(p) такое, что Fu = (р. Значит, F~lFu = F”V или и — F~lip. Но тогда Fu = F F~lip или F F~lip = (p.
Осталось доказать равенство (2.1). Пусть ip Е Ь1/(р1~р') и F~l(p = и. В силу неравенства (2.2), имеем
IMko = М,,» < МУ: + di • MV- (2-4)
Следовательно, |М|Р(/Э оо, если |М!р> —> ос. Поэтому, используя неравенства (2.3) и (2.4), получаем
(F-W) {u,Fu) ^ d2-\\u\\ptP-\\D\U
МУ.. Wv\y..-My.. + d1.\\uW^00 при |И|р''<т^00’
т.е. справедливо равенство (2.1).
В книге [64] доказано, что если выполнено условие 2.1) при р(х) = 1, то оператор F является потенциальным в Ьр(Г) и его потенциал опреде-
и(х)
f F(x,t)dt
ляется по формуле / (и) — /о + /
г
выполнено условие Липшица'.
dx, где /о = const. А если
2.7) для почти всех х Е Г и всехі\,І2 Є существует константа М > 0 такая, что выполняется неравенство:
\Ffati) - Р(х,І2)\ < М • 1^1 -<2| ,
то оператор ^ действует из Л2(Г) в А2(Г) и является лтшиц-непрерывным: ІІ^ц - і7*^]|2 < АТ • ||и - і;||2 VI*, V Е Ь2(Т) .
Значит, если выполнено условие 2.7), то оператор F действует из Ьо(Т) в Ь2(Г) и является потенциальным липшиц-непрерывным оператором.
27