Метод направляющих функций в задаче о периодических и ограниченных решениях

-2-
Содержание
Введение .................................................... 4
Глава!. Стационарные системы .................................. 7
1. Степень отображения .................................... 7
2. Направляющие функции .................................. 13
3. Поведение решений стационарной системы, обладающей
направляющей функцией .................................. 17
4. Условие Барбашина - Красовского ....................... 27
Глава 2. Периодические системы .............................. 31
5. Метод Пуанкаре ........................................ 31
6. Основная топологическая лемма ......................... 33
7. Основная топологическая теорема теории периодических
решений ................................................ 41
8. Направляющие функции .................................. 51
9. Поведение решений периодической системы, обладающей
направляющей функцией .................................. 58
10. Признаки диссипативности периодических систем ......... 73
Глава 3. Ограниченные системы ............................... 78
11. Основная топологическая теорема теории ограниченных решений .................................................... 78
12. Рекуррентные системы .................................. 86
13. Поведение решений ограниченной или рекуррентной системы, обладающей направляющей функцией .................. 90
14. Рекуррентные диссипативные системы .................... 98
15. Векторные функции Ляпунова ........................... 111
16. Сведение к одной направляющей функции................................ 115
Глава 4. Разное ............................................ 120
17. Топологический метод Важевского ...................... 120
18. Обзор работ по методу направляющих функций Список литературы ............................
- 4 -
Введение
Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.
С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных. периодических, иочти-периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей веще(ггвенной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.
Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов. Первую группу методов, будем ее называть методы пространства состояний, составляют: метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метода Важевского. Вторую группу, будем ее называть функционально-аналитические методы, образуют метод интегральных уравнений, вариационный метод и другие подобные им методы. Если первая группа методов имеет дело с множествами и отображениями в конечномерных пространствах, то вторая группа методов уже имеет дело с множествами и отображениями в бесконечномерных
-5-
функциональных пространствах (пространствах Чебышева, Лебега или Соболева) или в абстрактных пространствах - гильбертовых или банаховых.
Метод направляющих функций служит для доказательства существования периодических или ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Этот метод в своей топологической части существенно опирается на классическое понятие степени отображения, введенное и изученное в ряде работ Кронекера Л., Брауэра Л. и Хопфа X., и связанных с нею понятиями (гомотопные отображения, индекс Пуанкаре особой точки т.п.). Этим он отличается от применяемого в указанном круге вопросов топологического метода Важевского, предложенного в 1947 г. и опирающегося на теорию ретрактов К. Борсука. Сами направляющие функции по свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются в задачах, не связанных с устойчивостью, и во многих случаях важную роль играет степень соответствующего градиентного отображения. Идея метода была высказана А.И. Перовым в 1956 году, а сам метод был опубликован М.А. Красносельским и А.И. Перовым в совместном сообщении в 1958 году.
Результаты, полученные методом направляющих функций, нашли приложения в теории дифференциальных уравнения с запаздывающим аргументом, при изучении некоторых задач автоматического регулирования и уравнений с нелинейностями гистерезисного типа. Они нашли развитие и обобщение при изучении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью.
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию топологических методов в теории нелинейных колебаний в рамках развития и уточнения метода направляющих функций.
В работе последовательно изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: стационарные, периодические, ограниченные, рекуррентные. В каждом из указанных выше случаев ак-
-6-
цент делается на изучение решений определенного типа: стационарных, периодических, ограниченных, рекуррентных.
Первая глава посвящена изучению стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также условий существования стационарных решений у таких системы. Кроме того, приведена полная картина поведения решений стационарной системы, обладающей направляющей функцией.
Во второй главе исследуются периодические системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводится понятие неубывающей и возрастающей направляющей функции, а также неубывающей направляющей функции, удовлетворяющей условию Барбашина-Красовского. Дается полная картина поведения в целом решений системы указанного выше вида, обладающей направляющей функцией. Приводятся признаки диссипативности периодической системы.
В третьей главе исследуются ограниченные и рекуррентные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Описывается поведение решений таких систем, обладающих направляющей функцией. Указываются условия существования ограниченных и рекуррентных решений, признаки диссипативности рекуррентной системы.
Исследования, включенные в настоящую диссертацию, выполнены в рамках проекта \^-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах11 Минобразования РФ и СБОР (США).
- 7-
Глава 1 Стационарные системы
§ 1 Степень отображения
Прежде всего мы рассмотрим стационарную систему нелинейных дифференциальных уравнений
г = 1,...,п; x=f(x), (1.1)
где t е R - время; производная по времени обозначается точкой; х\> • • •, хп компоненты вектора х Е Rn; /1(^1,..., xn),..., /п(®ь..., xn) - компоненты отображения f(x) : Rn —> Rn, которые мы считаем непрерывными по совокупности переменных. Система (1.1), как не содержащая явно времени t, как известно, называется также автономной.
По теореме Пеано (см., например, [55]) в силу непрерывности правых частей любая начальная задача для системы (1.1) имеет по крайней мере одно решение; однако, это решение может не быть единственным и может не допускать продолжения на всю числовую прямую [11], [31], [63].
При изучении системы (1.1) важную роль играют стационарные решения; так мы называем решения вида
Xi(t) = с*, i — 1,..., n; x(t) = с, — oo < t < +00, (1.2)
где ci,...,Cn - некоторые постоянные (компоненты вектора с Е Rn). Ясно, что эти постоянные определяются решениями системы п нелинейных уравнений с тг неизвестными
fi[xu...,x„) = О, г = f(x) = 0. (1.3)
Как известно, точка, в которой вектор фазовой скорости обращается в нуль, т.е. координаты которой удовлетворяют системе уравнений (1.3), называется особой (а также точкой покоя или положением равновесия)] мы называем такую точку стационарной. Разнообразные методы численного
-8-
отыскания решений системы (1.3) можно найти в [49]. Отметим, что в книге [61, с. 49] стационарные решения названы константными (в переводе), нам этот термин показался не вполне удачным.
Пусть С - некоторое ограниченное открытое множество пространства Ши и дС - его граница. Нас интересуют решения системы (1.3), лежащие в множестве С. Предположим, что на границе множества С нет решений системы (1.3), т.е. отображение f(x) на границе дС является невырожденным,
f(x) ф 0, хб дС. (1.4)
Согласно теореме Кронекера [49, с. 162), если выполнено условие
deg(f(x)ydC) Ф 0, (1.5)
то система (1.3) имеет по крайней мере одно решение, лежащее внутри С, т.е. система (1.1) имеет по крайней мере одну стационарную точку, лежащую внутри С, т.е. система (1.1) имеет по крайней мере одно стационарное решение (1.2), лежащее внутри С. Если это стационарное решение обозначить через х(£), то сказанное выше означает, что
x(t) = с £ С, —ос < t < -Ьоо. (1.6)
Здесь deg(f(x),dC) есть степень отображения f(x) относительно ограниченного открытого множества С С М", Эта числовая характеристика отображения принимает' только целочисленные значения и вполне определяется поведением отображения f(x) на границе рассматриваемого множества дС. Более подробно об этом можно прочитать в цитированной книге [49], а также в учебном пособии [12] и в учебнике по топологии [9]; много интересного на эту тему можно найти в [55. § 57]. Элементарное введение в теорию степени отображения можно найти в [38]; краткое изложение необходимых сведений по теории степени отображения, а также связи этого понятия с вращением векторного ноля дано в [43, § 5];
- 9 -
наконец, сошлемся на книгу по комбинаторной топологии [1]. Отметим, что для степени отображения используется также обозначение deg(f, С).
Пусть особая точка хо является изолированной, т.е. некоторая ее окрестность не содержит других особых точек. Тогда, обозначая через S£ открытый шар с центром в точке Хо и радиуса є > 0, получаем, что при всех достаточно малых є определена степень deg(f(x),dS€) и она не зависит от є-; это постоянное число называется индексом Пуанкаре особой точки Хо и обозначается
md(f(x),Xo) = Q\\mGdeg(f(x),dSe). (1.7)
Если выполнено условие (1.4) и в С лежит лишь конечное число особых точек Хь . . . , Хт, ТО
deg(f(x),dC) = md(f(x),xi) -1 h md(f(x), xm). (1.8)
Это утверждение известно под названием теоремы об алгебраическом числе особых точек.
В определенном смысле весь дальнейший материал - это развитие этой простой идеи: если выполнено условие (1.5), то в н у три С лежит по крайней мере одно стационар ное решение системы (1.1).
На практике проверка условия (1.5) представляет значительные трудности. Тем важнее те случаи, когда вычисление степени отображения совершается относительно просто. Пусть начало координат содержится в множестве С: 0 € С. Тогда нетрудно показать, что
deg(А, дС) = sign det А, (1.9)
где А есть линейное отображение, задаваемое невырожденной пх п-матрицей А (мы используем ту же самую букв}'), a det А есть определитель матрицы А. Из общей формулы (1.9) получаем в частности
dtg(I,dC) = 1, deg(-I,dC) = (-l)n, (1.10)
- 10-
где I есть единичное отображение и одновременно единичная пхп-матрица. Отправляясь от этих простых формул и пользуясь инвариантностью степени отображения при гомотопных переходах, можно получать практически важные признаки отличия от нуля степени отображения. Иногда вместо формулы (1.9) удобно пользоваться другой формулой
с1ед(А,дС) = (-1)к, (1.11)
где к есть сумма кратностей всех вещественных отрицательных значений матрицы А. Для улучшения внешнего вида формул (1.9)-(1.11) мы несколько отступим от наших обозначений; мы и впредь будем поступать так же, если это идет на пользу дела.
Пусть а и Ь - точки из Еп с координатами а\,..., ап и 61,..., Ьп соответственно. Предполагая, что а, < 6,- при г = 1,...,п, рассмотрим п-мерный параллелепипед
£) = {х Е Мп : а,- < < 6,, г = 1,... ,п}. (1-12)
Пусть отображение Г(х) с компонентами /Дх),..., /п(х) непрерывно на П. Предположим, что функции
<*Дх) = /г(Х[, . . . , Х{-1,0», Ь • • • > Хп),
Д(Х) = /*(#1, .. . , £»-1, #{+1, • • • > %п)
не меняют знака (например, аДх) > 0 или аДх) < 0) и что
аДх)/ЗДх) < 0, хб Д г = 1,..., п. (1-13)
ТеоремаМ (сравни с /63, с. 491)). При выполнении перечисленных выше требований система (1.1) имеет по крайней мере одно решение, лежащее в параллелепипеде И.
□ Без ограничения общности можно считать, что а, < 0 < 6,- при г =
1,..., п. Рассмотрим линейное отображение Ах, где А = сИад{еь ... ,£п}>
-11 -
а числа Є{ = ±1 выберем так, чтобы = sign Д(х) (х Є D), і = 1,... ,п; (мы считаем, что в (1.13) стоит знак строгого неравенства). Проверим, что отображения Ах и f(x) линейно гомотопны на границе 3D,
(1 - А)Ах + Af(x) ф 0, х є 3D, 0 < А < 1.
Фиксируем произвольное і = 1,... ,7i и рассмотрим (п - 1)-мерную грань а?1,. • •, ®і-і, Ог, я*+ь • • • > х Є D. На ней для г-той компоненты получаем (1 - А)єіОі + АаДх) Ф 0, 0 < А < 1, так как числа £{(ц и аДх) одного знака. Аналогично на (п — 1)-мерной грани х\,..., Х{-1, 6г-, ж*+і,..., х Є Dy для г-той компоненты получаем (1 - А)бтД 4- АД(х) Ф 0, 0 < А < 1, так как числа и Д (х) одного знака. Поэтому
deg(A,3D) = deg(f(x)y3D). (1-14)
По формуле (1.9) получаем
deg(Ay 3D) = Є\ •... • єп. (115)
Мы видим, что в силу (1.14) и (1.15) степень отображения deg(f(x)y3D) не равна нулю. По теореме Кронекера система (1.3) имеет по крайней мере одно решение, лежащее в параллелепипеде D. ■
Рассмотрим еще один пример [21]. Пусть выполнено одностороннее ограничение
(f(x),x) < -а(х,х) + 6, х Є Rn, (1-16)
где f(x) : Rn -> Rn - непрерывное отображение, а а и b - некоторые положительные числа. Если при этих предположениях система (1.3) имеет решение х0, то согласно (1.16) получаем а(хо,хо) < 6, откуда вытекает, что ||х0|| < г = y/bja. Обозначим через К замкнутый шар ||х|| < г.
Т е о р е м а 1.2 Если выполнено условие (1.16), то система (1.3) имеет по крайней мере одно решение; более того, любое решение этой систе-
мы лежит в шаре К:
||х||<г = У|. (1.17)