Оглавление
0 Введение 5
0.1 Исторические сведения и краткое описание работы .............. 5
0.2 Результаты главы 1 7
0.3 Результаты главы 2 ...........................................11
1 Классификация в комплексном случае 17
1.1 Предварительные сведения......................................17
1.1.1 Эквивалентность и линейная эквивалентность..............17
1.1.2 Описание регулярных подалгебр...........................21
1.1.3 Полные регулярные подалгебры............................23
1.1.4 Я- и 8-подалгебры.......................................24
1.1.5 Одно свойство линейно сопряжённых подалгебр.............26
1.2 Классификация простых вложений.............-...................27
1.2.1 Идентификация простых подалгебр.........................27
1/2.2 Результат Дынкина ......................................28
1/2.3 Описание таблиц 1.6-1.8.................................28
1.2.4 Несколько замечаний ....................................29
1.2.5 Случай д = Ее...........................................30
1.2.6 Случай 0 = Е7...........................................31
1.2.7 Случай 0 = Е$...........................................33
1.3 Инварианты особых алгебр Ли..................................36
2
1.4 Классификация полупростых вложений............................39
1.4.1 Характеристики Дынкина 3-мерных подалгебр..............39
1.4.2 Основная идея..........................................39
1.4.3 Случай D *..............................................41
1.4.4 Случай Е...............................................43
1.4.5 Основной результат.....................................44
1.5 Нормализаторы простых подалгебр...............................45
1.5.1 Результаты Алекееевского...............................45
1.5.2 Нахождение групп N = Г А Z.............................47
1.5.3 Описание таблиц 1.10-1.14..............................48
1.5.4 Примеры нахождения группы Z = Zc(b)....................49
1.5.5 Примеры нахождения группы N = Г А Zcr(b)...............51
1.6 Таблицы.......................................................52
2 Классификация в вещественном случае 62
2.1 Предварительные замечания.....................................62
2.2 Классификация инволюций.......................................64
2.2.1 Редукция к классификации внутренних инволюций ... 65
2.2.2 Классификация внутренних инволюций.....................67
2.2.3 Случай ш ф Id..........................................71
2.3 Частичный порядок на множестве подалгебр......................71
2.3.1 Задание частичного порядка.............................71
2.3.2 Определение [i для классических алгебр Ли..............72
2.3.3 Определение ц для особых алгебр Ли.....................74
2.4 Отображение v и его слои .....................................75
2.4.1 Теорема о редукции.....................................75
2.4.2 Сведение к случаю: г — простая алгебра Ли, R = Aut г,
G=R{C)..................................................76
3
2.4.3 Классификация вещественных форм //[д] -примитивных
подалгебр...............................................77
2.5 Группа автоморфизмов полупростой вещественной алгебры Ли 90
2.6 Вложения между особыми вещественными алгебрами Ли .... 93
2.7 Таблицы......................................................94
4
Глава О
Введение
0.1 Исторические сведения и краткое описание работы
В диссертации решается проблема классификации с точностью до сопряженности полупростых подалгебр полупростых алгебр Ли над полями С и Е. Этот вопрос актуален со времени возникновения теории С. Ли о группах преобразований и тесно связан с классификацией однородных пространств групп Ли [11]. Проблемой описания подалгебр алгебр Ли занимались многие математики.
Первый значимый прогресс в этом направлении был сделан Э. Картаном [14], [15] и Г. Вейлем [22], развившим теорию представлений полупростых комплексных алгебр Ли. Тем самым была получена классификация полупростых подалгебр в Лп} Описание полупростых подалгебр других классических алгебр Ли Вп, Сп и Пп было дано А. И. Мальцевым [10], им же частично были исследованы подалгебры особых алгебр Ли Оо и Ра •
Идея Мальцева использовать теорию представлений для классификации подалгебр, была реализована Е. Б. Дынкиным в работе |4] для классификации полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли. А именно, Дын-кин рассматривал классификацию с точностью до линейной сопряоюеиности. (Подалгебры (в и 1)2 алгебры Ли д называются линейно сопряженными, если для любого линейного представления алгебры д образы подалгебр и сопряжены в алгебре матриц.) Сопряженные подалгебры линейно сопряжены, и в подавляющем большинстве случаев верно обратное, как было
1 Поскольку группа внутренних автоморфизмов полугтросгой алгебры Ли раскладывается в прямое произведение соответствующих групп ее простых идеалов, для решения поставленной задачи достаточно классифицировать иолупростые подалгебры простых алгебр Ли.
отмечено в [4]. (Дынкин классифицирован с точностью до сопряженности обширное и важное семейство подалгебр, о чем пойдет речь ниже.) Однако полный список линейно сопряженных несопряженных полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли получен не был (в классическом случае ответ дается в работе [10]). В настоящей работе этот список найден, что в некотором смысле завершает классификацию полупростых подалгебр полупростых комплексных алгебр Ли.
Случай произвольного алгебраически замкнутого поля (с небольшими ограничениями на характеристику) был рассмотрен в [17]. А именно, были классифицированы простые подалгебры особых алгебр Ли с точностью до сопряженности, а также найдены их централизаторы.
Имея классификацию в комплексном случае, естественно попытаться получить таковую и для поля вещественных чисел. В предположении, что известна классификация с точностью до сопряженности полупростых подалгебр комплексной полупростой алгебры g, а также известны их нормализаторы в Intg, Ф. И. Карпелевич [6] предложил метод получения классификации с точностью до квазисопряо/сенности полупростых подалгебр вещественных форм алгебры д. (Если г — вещественная форма д, то Si,S2 С г квази-сопряжены, если существует автоморфизм (р € Intg такой, что ip(t) = г и <p(si) = 52). Таким, образом им была получена классификация с точностью до квазисопряженности полупростых подалгебр классических вещественных алгебр Ли.2
Некоторые результаты в вопросе описания подалгебр особых вещественных алгебр Ли получены в работах [13], [23], [16], [8]. А именно, были найдены вещественные формы комплексных nap (д, Ь) в некоторых специальных случаях. (Комплексная (вещественная) пара — это набор из полупростой комплексной (вещественной) алгебры Ли д и ее полупростой подалгебры б. Вещественная форма комплексной пары — это набор из вещественной формы с алгебры g и вещественной формы s алгебры fj такой, что 5 С с. Всякая вещественная пара является вещественной формой комплексной пары.) Кроме того, Комраковым был предложен метод получения вещественных форм произвольных пар, зная вышеуказанные. Это дает некий способ описания всех полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли, но тем не менее, вопрос о нахождении классов сопряженности остается открытым.
В настоящей диссертации излагается несколько отличное от предыдущего описание вещественных форм произвольных комплексных пар, а также дается классификация с точностью до сопряженности (и квазисопряженности)
2Формалыю Карпелевич классифицировал простые подалгебры, однако из его результатов, как мы увидим, легко вытекает и классификация полупростых подалгебр.
G
полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли. В частности, мы получаем усиление классификации Карпелевича.
Отметим также работу [20|, где классифицированы с точностью до сопряженности картановские подалгебры вещественных полупростых алгебр Ли. (Как известно, в комплексных полупростых алгебрах Ли все картановские подалгебры сопряжены.)
Автор выражает благодарность своим научным руководителям Э. Б. Винбер-гу и И. В. Аржаицеву за внимание к данной работе.
«
0.‘2 Результаты главы 1
Особые комплексные алгебры Ли представлены пятыо типами (т. е. классами изоморфности) Со > Рл г #6» Рі и Е& .3 В отличие от классических алгебр Ли, о которых удобно говорить на языке теории представлений, особые алгебры Ли, с точки зрения классификации их полупростых подалгебр, представляют собой довольно сложный объект в смысле какого бы то ни было матричного описания. Дынкин нашел выход из этой ситуации при помощи введения понятий регулярной подалгебры и Б-подалгебры.
Полупростая подалгебра в д называется регулярной, если она порождена некоторым множеством корневых векторов относительно некоторой карта-новской подалгебры д. Описание множества регулярных подалгебр сводится к описанию подсистем системы корней алгебры д. Дынкин классифицировал все регз'лярные подалгебры с точностью до сопряженности. Оказывается, что как правило регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Это позволяет обозначать их классы сопряженности при помощи их типов, с некоторыми уточнениями в исключительных случаях, например, Ло, Л2 при д = Р.\\ или [ЗАі]', [ЗАі]" при о = Е7.
Подалгебра, не содержащаяся ни в одной регулярной подалгебре, называется в-подалгеброй. Например, неприводимые подалгебры классических алгебр Ли являются Э-подалгебрам и, и как правило верно обратное (вес исключения известны). В работе [4] классифицированы, с точностью до сопряженности, все Б-подалгебры особых алгебр Ли. А именно, указаны их канонические образующие, выраженные через канонические образующие ачгебры д.
Поскольку отношение регулярности транзитивно (регулярная подалгебра регулярной подалгебры д регулярна в д), всякая полупростая подалгебра д является Б-подалгеброй некоторой регулярной подалгебры д (называе-
3Иногда нам будет удобно к этому списку относить и , что будет специально оговариваться.
мой минимальной объемлющей регулярной подалгеброй). В силу того, что S-подалгебры gi ф 02 характеризуются тем, что их проекции на gi, 02 являются S-подалгебрами, из описания регулярных подалгебр и S-подалгебр простых алгебр Ли выводится описание множества <S[g] всех полупростых подалгебр g (как множества S-подалгебр регулярных подалгебр). Отметим, что несопряженные регулярные подалгебры могут содержать сопряженные S-подалгебры.
На множестве 5[д] действует группа (7 = Intg внутренних автоморфизмов д с конечным множеством <5(д]/С орбит (классов сопряженности). Под классификацией естественно было бы понимать перечисление представителей классов 5И/6?. а также решение вопроса о сопряженности произвольных двух подалгебр из S[g]. Первое выглядит проблематичным, если размерность G достаточно велика: классов сопряженности слишком много. Поэтому мы ограничимся только решением вопроса о сопряженности.
Программа Мальцева решения обозначенной проблемы состоит в следующем: классифицировать полупростые подалгебры с точностью до линейной сопряженности, а затем в каждом классе линейной сопряженности описать классы сопряженности, на которые он разбивается. Например, в смысле этой программы имеется следующая классификация в классическом случае. Пусть V — комплексное конечномерное векторное пространство д = x>[(Vr), so(l^) или sp(P)> \)2 С д — полупростые подалгебры, являющиеся образами вложений (fi: Г; —> ö, г = 1,2. Продолжение до вложения в gl{V) (представление t)i в V) обозначим через ф{, г = 1,2. Рассмотрим три условия:
(CI) f)i и [)2 линейно сопряжены;
(С2) ф\т ~ фо для некоторого автоморфизма т € Aut I);
(СЗ) f)i и fjo сопряжены;
Из результатов работ [10], [4] непосредственно выводится
Теорема 1. Если д Ф so(V), то все умовия эквивалентны. D любом случае верпы импликации (С3) => ((71) =4> (С2). Пуст ь д = so (К). Тогда хусловие (2) равносильно
(02') 1)о = tf(f)i), где а £ Autg — автоморфизм, ипдуцирова;пный ортогональным, преобразованием V.
Импликахщя [С2') =4- (С1) (соотв. (С2') => ((73)) неверна тогда и только тогда, когда представление ф\ не содержит пулевого веса и [detai = —1 (соотв. нельзя выбрать г и а так, чтобы <piг =
8
Теорема 1 дает ответы на все вопросы из программы Мальцева в классическом случае. Сформулируем известные результаты (см. (4]) относительно
взаимосвязи условий ((71)----((73) для особых алгебр д. Определение фі при
этом обобщается следующим образом: ф\ — р<р\, г = 1,2, где р: д —> дС(У) — представление минимальной размерности.
Теорема 2. Пусть д — особая комплексная алгебра Ли. Тогда верны импликации (СЗ) =>• ((71) Ф» (С2) верпы для всех особых алгебр Ли д. Если 1)1 и 1)2 регулярны или типа А\, то (С1) ~ (СЗ). Если ї)і и § о являются £-подалгебрами д, то импликация ((71) => ((73) неверна только в случаях д = Еа, Ь ~ А% гит Є2 • При этом 1)2 = &(Ьі), еде а Є АиіЕ& — внешний автоморфизм.
Теорема 2 дает классификацию существенного (но не всего) множества по-лупростых подалгебр особых алгебр Ли. Для классификации подалгебр 1) Є 5[ді с точностью до линейной сопряженности достаточно (по той же теореме) уметь находить ограничения на \) минимального представления р алгебры д. В силу определения I) как Э-подалгебры регулярной подалгебры, это сводится к нахождению ограничения р на регулярную подалгебру и, затем, ограничения полученного представления на 8-подалгебру. Как правило, определение представления р|^ не вызывает труда; при этом во многих случаях ответ дан в таблицах из [4], [19(.
В работе [4] был получен следующий критерий линейной сопряженности.
Теорема 3. Две полупрос.тые подалгебры полупростой алгебры Ли линейно сопряясены тогда и только тогда, когда их системы простых корней сопряо/сены.л
Дынкин классифицировал с точностью до линейной сопряженности простые подалгебры особых алгебр Ли. При этом для классификации трехмерных подалгебр была использована теорема 3, а для других подалгебр — равносильность условий ((71) и (6Т2). А именно, были рассмотрены все пары (Й())5 где регулярная подалгебра Г С д и 8-подалгебра I) С I взяты с точностью до сопряженности (в частности, число таких пар конечно). В случае I) ^5В(С), было найдено вложение в д нолупростого элемента (характеристики) її Є -$В(С) с квадратом длины 2 в терминах скалярных произведений Н с простыми корнями относительно некоторой картановской подалгебры д. В ;іругих случаях было вычислено представление (его класс эквивалентности) р|г,. Таким образом, для каждого класса линейной сопряженности были указаны все пары (І, I)), в него входящие.
’’Система простых корней полупростой алгебры Ли вкладывается в ее картино векую подалгебру при помощи формы Каргана-Киллннга.
9
- Київ+380960830922