Оглавление
1 Введение 4
1.1 История вопроса............................................ 4
1.1.1 Рациональные и уннрациопалысые многообразия ... 4
1.1.2 Многообразии Фано.................................... 8
1.2 Основные результаты диссертации............................ 9
2 Основные понятия 13
2.1 Обозначения и соглашения.................................. 13
2.2 к-Формы алгебраических многообразий....................... 14
2.3 Трехмерные рациональные многообразия Фано................. 17
2.3.1 Классификация трехмерных гладких многообразий Фано, рациональность которых известна .................... 17
2.3.2 Программа минимальных моделей....................... 22
2.3.3 Элементарные рациональные отображения............... 23
3 Формы многообразий Сегре 25
3.1 Бирациональная проекция на проективное пространство . . 25
3.2 Построение инвариантного центра проекции . .............. 27
3.3 Квазитрнвиальность форм гинернлоскнх сечений некоторых
многообразий Сегре........................................ 28
2
4 к-Унирациональные квартики, не содержащие прямых 32
4.1 к-унирациональные полные пересечения квадрики и кубики 33
4.2 к-унирадиональные четырехмерные квартики ............... 37
4.3 к-унирациональные многомерные квартики............ 40
4.4 Примеры неособых к-унирацнональных квартик, не оодер-
жащих прямых....................................... 42
5 Трехмерные многообразия Фано 44
5.1 Многообразия первого рода......................... 44
5.2 Расслоения на коники.............................. 50
5.3 Произведения...................................... 52
5.4 Раздутия ............................................... 52
А Публикации по теме диссертации 65
3
Глава 1
Введение
1.1 История вопроса
1.1.1 Рациональные и уиирациональные многообразия
Простейшими алгебраическими многообразиями являются проективные пространства Р1", а их ближайшими родственниками — рациональные и уиирациональные многообразия. Многообразие униряцьоналъно над нолем, если оно содержит открытое плотное подмножество, параметризуемое открытым подмножеством проективного пространства над этим полем, и рационально, если существует взаимно однозначная параметризация такого вида. Ввиду простоты определения и богатства внутренней геометрии, рациональные и уиирациональные многообразия всегда были в центре внимания алгебраических геометров и доставляли интересные примеры во многих областях математики В то же время, вопрос определения рациональности и унирациональности данного апгебраического многообразия, которому посвящена настоящая диссертация, все еще остается мало изученным.
Уже в 19 веке было известно, что всякое бирациональиое отображение
4
между (полными) неособыми кривьшн продолжается до изоморфизма, поэтому алгебраическая кривая является рациональной (унирациональной) над алгебраически замкнутым нолем тогда и только тогда, когда ее нормализация изоморфна проективной прямой Р1. 1£слн же основное ноле1 к не является алгебраически замкнутым, то гладкая кривая рациональна (уни-рацнональна) над этим полем тогда и только тогда, когда она рациональна над его алгебраическим замыканием и на ней есть к-точка. Действительно, антиканоннческое вложение отображает такую кривую на плоскую конику с точкой, проекция из которой обеспечивает искомую параметризацию.
Из критерия рациональности Кастельнуово следует, что над алгебраически замкнутым полем классы рациональных и унирацнональных поверхностей совпадают между собой. Классификация гладких рациональных поверхностей над алгебраически замкнутым нолем получена в классических работах итальянских геометров начала 20 века: все они изоморфны раздутиям проективной плоскости 1Р2 или рациональных линейчатых поверхностей ¥„ = Рр1(0 ф О(л)), л > 0, п Ф 1.
С современной точки зрения, согласно программе минимальных моделей, всякое гладкое алгебраическое многообразие бираиионалыю изоморфно либо минимальной модели (определения минимальной модели и изложение программы Мори см., например, в [39|), либо расслоению Мори, слоем которого является многообразие Фапо, то есть .многообразие с обильным антиканон и чески.м дивизором —Кх- Проективная плоскость и поверхности являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные мно!хх)бразия Фано, соответственно. Минимальные модели
1 Здесь и далее мы предполагаем харамсрисгику поля нулевой.
о
рациональных поверхностей над совершенными полями были классифн цировалы В. Л Псковских в работе (19}. В отличие от случая кривых, до сих пор не известно, является ли условие наличия к-точки достаточным для к-унирациональности унир&цноналыюй поверхности. Гипотетическим контрпримером считается поверхность Дель Пеццо степени один, имеющая точку над полем Ф рациональных чисел. Рациональность над к форм проективной плоскости, имеющих к-точку, равно как и форм произвольных проективных пространств Р*\ имеющих к-точку, хорошо известна.
Бирациональная геометрия трехмерных многообразий гораздо богаче бирациональной геометрии поверхностей. В частности, для них перестает выполняться утверждение теоремы Люрота. В работе Псковских и Манила [23] методом максимальных особенностей доказывается, что гладкая трехмерная гиперповерхность четвертой степени не является рациональной, в то время как еще Б. Сегре в работе |10| привел примеры гладких упирацнональных трехмерных квартик. Практически в то же время Клеменс и Гриффитс в работе (30) методом промежуточного якобиана доказали нерациональность гладкой трехмерной кубики (унирациональность кубик над произвольными полями при условии наличия точки хорошо известна, см. [22[). Другие примеры унир&циональных, но не рациональных трехмерных многообразий приводятся в работе [28|.
С развитием метола максимальных особенностей были получены многочисленные примеры нерациональных мно1Хюбразий Фано (см. |20| и [24|) и, в частности, гиперповерхностей степени Дг в Р-У, N > 3 (см., например, [41] и [37]), а также различных многомерных полных пересечений (см. [41]). Тем не менее, до сих пор не известно, является ли рациональной
б
- Київ+380960830922