Введение 4
Глава 1. О строгой вещественности конечных простых групп 14
§1. Спорадические группы....................................... 15
§2. Основные леммы для групп лиева типа........................ 17
§3. Доказательство основной теоремы для групп лиева типа . . 20
Глава 2. О рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп 29
§1. Критерий рациональности сплетения конечных групп ... 30 §2. Критерий строгой вещественности сплетения конечных
групп..................................................... 34
§3. Приложения к силовским 2-подгруппам групп Вейля и знакопеременных групп........................................ 36
§4. Приложения к силовским 2—подгруппам в классических линейных группах............................................ 43
Глава 3. Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле ранга больше 2 над кольцом 47
§1. Обозначения ............................................... 48
§2. Порождающие элементы и элементарные автоморфизмы . 50
§3. Характеристичность конгруэнц-подгрупп...................... 58
§4. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(К, I . 63
§5. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(ЙГ,/т“1), II . 68
§6. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(А, с/771“1), III 82
§7. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(К, IV 87
Глава 4. Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле ранга 1 и 2 над кольцом Ърп 93
§1. Вспомогательные леммы...................................... 93
§2. Автоморфизмы группы ЗА\(Т^)............................... 95
§3. Автоморфизмы группы вА^^рт)............................... 98
§4. Автоморфизмы группы £#2(2^)...............................106
§5. Автоморфизмы группы £(?2(2рт).............................114
Глава 5. О регулярности и мощности силовских р-подгрупп групп <7£п(2рт) и £?Ф(2рт) 116
§1. Условия регулярности и нерегулярности группы Рп(Хрт) . 117
2
§2. Условия регулярности группы 5Ф(2рт)....................124
§3. Условия мощности групп Рп(Хрт) и 5Ф(2рт)...............127
Библиография 129
3
Введение
В диссертации исследуются вопросы теории групп Шевалле над полем и конечными кольцами и смежные вопросы.
Группы Шевалле являются наиболее естественным обобщением классических линейных групп. Интерес к группам Шевалле произвольного типа над конечным полем вызывается тем, что они составляют основной массив конечных простых неабелевых групп, как показывает анонсированная классификация последних, и исчерпывают их вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами.
В теории конечных групп и при перенесении её результатов на периодические группы естественно возникают вопросы специальной порождаемое™ конечных групп, вопросы о различных свойствах силовских подгрупп и так далее, см. известные обзоры С.А. Чунихина и Л .А. Ше-меткова, А.И. Кострикина, В.Д. Мазурова, A.C. Кондратьева и др. В диссертации рассматривается следующий, записанный А.И. Созутовым в Коуровской тетради, как известный, вопрос:
(А) Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [10, вопрос Ц.82].
Группу, в которой любой элемент представим в виде произведения не более чем двух инволюций (это равносильно сопряженности элемента посредством инволюции со своим обратным), называют строго вещественной. Известно, что в конечной простой неабелевой группе любая инволюция лежит в четверной подгруппе. Поэтому вопрос (А) эквивалентен вопросу описания строго вещественных конечных простых групп.
Группу, в которой взаимно обратные элементы всегда сопряжены, называют вещественной, поскольку вещественны все значения её комплексных неприводимых характеров, согласно [3, стр. 54]. С другой стороны, конечную группу называют рациональной, если все значения её комплексных неприводимых характеров рациональны. Названным группам посвящена монография [43]. Их исследования в различных конкретных ситуациях, в частности, для групп Вейля (см. также вопрос о рациональности силовских 2-подгрупп симметрических групп 52", [10, вопрос 15.25]) приводят к следующей задаче.
(Б) Найти необходгшые и достаточные условия свойств строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп.
Традиционно важное направление в теории классических групп и
4
групп Шевалле — изучение автоморфизмов, гомоморфизмов и коммутаторного строения. Здесь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций (О’Мира, Ю.И. Мерзляков, A.B. Михалёв, В.М. Петечук, И.З. Голубчик, Е.И. Зельманов, Л.Н. Васерштейн, Е. Абэ и др.).
В группе Шевалле Ф (#), ассоциированной с системой корней Ф и полем или кольцом К) через иФ(К) обозначают унипотентную подгруппу, которую порождают корневые подгруппы, соответствующие всевозможным положительным корням; аналогично определяют унипотентную подгруппу UG(K) скрученного типа G. Унипотентная подгруппа является силовской р-подгруппой, когда основное поле конечно или характеристики р. Гиббс [36] описал автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле нормальных и скрученных типов над любым полем характеристики ф 2,3. Группы Шевалле над полем или кольцом К с необратимым элементом 2 или 3, как правило, оказываются исключительными и по свойствам, и по методам исследований.
Описание автоморфизмов унипотентных подгрупп групп Шевалле над полем завершил В.М. Левчук. В [11], [13], [14] установлено описание автоморфизмов унитреугольных групп [/Т(гг, К) над (ассоциативным) кольцом К с единицей, а также унипотентных подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами, с ограничениями для малых рангов. В разложении произвольного автоморфизма группы 11Ф(К) использовались графовые, кольцевые, внутренние и диагональные автоморфизмы, выделявшиеся Стейнбергом [52], центральные автоморфизмы, действующие тождественно по модулю центра, а также введенные, как обобщение центральных, гиперцентральные автоморфизмы. Автоморфизм нильпотент-ной группы ступени п называют гиперцентральным, если для некоторого к < п он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю &-го гиперцентра действует тождественно.
Как выявилось в [И], группа Aut [УТ(п,2), пф 4, является 2-группой. Поэтому всякая конечная 2-группа изоморфно вложима в конечную 2-группу, у которой группа автоморфизмов также является 2-группой. Аналогичный результат для конечных р-групп с нечетным простым р вытекает, как следствие, из работы [23] М.В. Хорошевского. Используя группы матриц над кольцом Zpm классов вычетов целых чисел по модулю рт, он дал положительный ответ на вопрос о существовании конечных р-групп с группой автоморфизмов, также являющейся р-группой.
В 1992 году В.М. Левчук поставил следующий вопрос.
5
(В) Описать автоморфизмы силовской р-подгруппы группы Шевалле нормального типа над кольцом 2рт, га > 1, где р — простое число, [10, вопрос 12.42].
Заметим, что при переходе к кольцу коэффициентов К = Хрт силов-скую р-подгруппу группы Шевалле даёт произведение 11Ф(К) на конгру-энц-подгруппу уровня 3 — (р). При т = 1 силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(2рт) совпадает с унипотентной подгруппой. Известно также, что силовская р-подгруппа группы Ст£п(2рт) изоморфна присоединенной группе кольца
^{К, 3) = ИТп{К) + Мп{У), К = У = (р),
где через Мп(3) обозначается множество квадратных п х п матриц с элементами из идеала У кольца К.
В описании автоморфизмов групп 1/Ф(К) ключевым явился случай Ф = Ап или случай унитреугольных групп. Здесь существенно использовалось найденное структурное соответствие между лиевыми идеалами кольца нильтреугольных матриц NТп(К) и нормальными подгруппами его присоединенной группы; последняя изоморфна унитреугольной группе иТп(К). А именно, выявленно, что идеалы ассоциированного кольца Ли и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы.
Вопрос 10.19 из Коуровской тетради о характеризации радикальных колец с указанным структурным соответствием в общем случае остается открытым. В то же время Г.С. Сулейманова [16] показала, что радикальное кольцо У) (то есть с квазирегулярным идеалом 3) обладает
названным структурным соответствием только, когда 3 = (0) (и, следовательно, Яп(К, 3) = НТп(К)). Именно, отсутствие названных структурных связей, как отмечалось в [48], создает дополнительные трудности в решении открытого вопроса об автоморфизмах силовских р-подгрупп групп Шевалле над кольцом Zpгп. В [48] была найдена группа автоморфизмов кольца Яп(К, 3) или, что то же самое, пересечение группы автоморфизмов присоединённой группы кольца Яп(К,3) и группы автоморфизмов ассоциированного кольца Ли.
С линейными группами над кольцом связан и следующий открытый вопрос Б. Верфрица:
(Г) Найти все пары пит, при которых силовская р-подгруппа группы СЬп(Ърп) регулярна ([10, вопрос 8.3].
6
Регулярная р-группа введена Ф. Холлом. По определению, для любых двух её элементов а и 6 в коммутанте подгруппы (а, Ь) всегда найдётся элемент с с условием (аЬ)р = арЬрср. Регулярные р-группы дают классический пример зависимости свойств конечной р-группы от соотношений между р-ми степенями её элементов и коммутаторами.
С другой стороны, важную роль в последние годы, в частности, в теории про-р-групп стало играть введенное А. Манном в 1982 году понятие мощной р-группы. Конечную р-группу называют мощной, если для любых двух её элементов а и Ь коммутатор [а, Ь] разложим в произведение р-х степеней элементов группы при р > 2, а при р = 2 — четвёртых степеней. Как выявляется в [51], [49], [56], различные вопросы теории про-р-групп тесно связаны с соответствующими свойствами мощных р-групп.
Поэтому, наряду с вопросом (Г) в диссертации исследуется и более общая задача:
(Д) Выявить, какие силовские р-подгруппы групп Шевалле нормального типа над кольцом 2рт являются 1) регулярными и 2) мощными.
Цель работы. Основные результаты работы связаны, главным образом, с решением вопросов (А) — (Д):
1) найти основные элементарные автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Шевалле нормального типа над кольцом Хрт и, доказав разложимость через них произвольного автоморфизма, получить решение вопроса
(В);
2) выявить для различных классов групп Шевалле нормального типа над кольцом а) условия регулярности и б) условия мощности силовских р-подгрупп;
3) завершить решение вопроса о строгой вещественности в классах простых конечных симплектических, унитарных, специальных линейных и спорадических групп;
4) найти эффективный критерий рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп и разработать его приложения к си-ловским 2-подгруппам групп Вейля и классических линейных групп.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В диссертации получены следующие основные результаты:
7
— доказана разложимость произвольного автоморфизма силовской р-подгруппы группы Шевалле над кольцом Zрт в произведение внутреннего, диагонального, графового автоморфизмов и гиперцентрального автоморфизма (решение вопроса 12.42 из Коуровской тетради и задачи (В));
— доказано, что силовская р-подгруппа группы GLn(Zpm) регулярна при п2 < р и не является регулярной, если п)(р + 1)/2ит)2 (частичное решение вопроса Верфрица и задачи (Г));
— доказано, что силовская р-подгруппа группы Шевалле $(Zpm) является мощной тогда и только тогда, когда га = 1 и Ф типа А\ (решение задачи (Д2)); установлена регулярность силовской р-подгруппы при условии |Ф| + |П(Ф)| < р (частичное решение задачи (Д1));
— выявлены все, за исключением некоторых ортогональных, простые классические конечные группы, которые являются строго вещественными (частичное решение вопроса 14.82 и задачи (А));
— найдены критерии строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп и приложения критериев к силовским 2-подгруппам знакопеременных групп, групп Вейля и классических линейных групп над конечным полем нечетной характеристики.
Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.
В первой главе исследуется свойство строгой вещественности в конечных простых группах. Напомним, что конечную группу называют вещественной, если все значения характеров её комплексных неприводимых представлений вещественны. Как отмечалось выше, вещественность группы равносильна тому, что любой её элемент сопряжен со своим обратным. Группу называют строго вещественной, если каждый её элемент инвертируется инволюцией. Последнее условие равносильно тому, что каждый элемент группы представим в виде произведения не более чем двух инволюций. Группы с таким свойством ещё называют 2-рефлексивными (биинволютивными, если каждый элемент есть произведение ровно двух инволюций).
Багински доказал, что знакопеременная группа Ап (п ^ 5) строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5,6,10,14. В работах [39], [34], [41], [25] установлена строгая вещественность симплектической группы при q = 2т и q = 1 (mod 4), и доказано, что группа F±(q) не является строго вещественной. Изучению перечисленных свойств в некоторых
8
ортогональных группах посвящены работы Воненбургер [57], Фейт и Цу-керманн [35].
Следующая, основная в первой главе, теорема закрывает вопрос (А) для специальных линейных, симплектических, унитарных, знакопеременных и спорадических групп, а также для групп Судзуки и Ри.
Теорема 1. (а) Среди 26 спорадических групп только две группы Янко и 3<1 являются строго вещественными.
(б) Следующие простые группы лиева типа не являются строго вещественными.
(61) При любом д группы типа А/ (I ^ 2), 2 А/ (/ ^ 2), 27?2, 2<?2-
(62) При = 3 (тод 4) и I ^ 1 группы типа С/, В4/+1, Д«+2, -04/+2,
Е7.
(63) При нечетном д > 3 и I ^ 3 группы типа
(64) При 4 > 3 группы типа Е$.
Отметим, что в недавней работе [54] были перечислены все конечные квазипростые вещественные группы. Из неё, в частности, следует, что все группы исключительного лиева типа над конечным полем не являются вещественными, а значит, и строго вещественными.
Для групп лиева типа теорема доказывается в параграфах 2, 3. В доказательстве для спорадических групп, приведенном в §1, используется информация о характерах и максимальных подгруппах этих групп из атласа конечных простых групп.
Результаты первой главы получены совместно с Я.Н. Нужиным и опубликованы в [63], [64], [70].
Во второй главе выявляются, прежде всего, условия рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп.
Известно, что группы Вейля являются строго вещественными, а значения всех их неприводимых комплексных характеров рациональны, см. [7] и ссылки там же. В монографии [43] исследуются вопросы рациональности силовских 2-подгрупп в группах Вейля. В то же время, силовские 2-подгруппы групп Вейля и классических линейных групп над конечными полями нечетной характеристики строятся с помощью операции сплетения групп из специальных конечных групп. Это естественно приводит к необходимости поиска критериев рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп. Такие критерии устанавливают в §§ 1,2 следующие две теоремы, опубликованные в [72].
9
Теорема 2. Сплетение Н \ К двух конечных неединичных групп Н и К является рациональной группой тогда и только тогда, когда Н — рациональная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.
Теорема 3. Сплетение Н I К двух конечных неединичных групп Н и К является строго вещественной группой тогда и только тогда, когда Н — строго вещественная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.
Как приложения теорем 2 и 3, в теореме 4 из § 3 доказана строгая вещественность силовских 2-подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп, а также передоказана их рациональность, установленная в [43]. Отметим, что в связи с вопросом 15.25 Я.Г. Берковича рациональность силовских 2-подгрупп симметрических групп передоказывалась другим способом автором [65] и Д.О. Ревиным [19].
В теоремах 5 и б из §4 устанавливается описание классических линейных групп с рациональными и строго вещественными силовскими 2-подгруппами. Пусть С — одна из классических линейных групп (?£„(<?), 8р2п{я)> ип{Я), 02п(?) над полем нечётной характеристики.
Теорема 5. Силовская 2-подгруппа группы (2 является рациональной тогда и только тогда, когда О = 5р2п(<7)> 0*п+1 (<7) или О^я) и НОД{Я2- 1,16) = 8.
Теорема 6. Силовская 2-подгруппа группы (2 является строго вещественной тогда и только тогда, когда <2 ортогональная группа
°2п+г(я) или °2п(я)-
Результаты второй главы опубликованы в [65], [67], [68], [69], [72].
Центральным результатом диссертации является описание автоморфизмов силовской р-подгруппы 5Ф(%рт) группы Шевалле нормального типа Ф над кольцом вычетов целых чисел. Описание получено в третьей и четвёртой главах.
Автоморфизм нильпотентной группы ступени п называем гиперцен-тральным, если для некоторого к < п, называемого высотой, он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно. Гиперцентральные автоморфизмы обобщают центральные, то есть действующие тождественно по модулю центра. Если все константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, ступень нильпотентности группы 5Ф(2рш) равна тк — 1. Как
10
правило, в других случаях ступень ниже, но всегда ^ (m — l)h.
Центральным результатом главы 3 является следующая
Теорема 7. Всякий автоморфизм группы 5Ф(2рт), когда Ф ранга больше 2, является произведением внутреннего, диагонального, графового и (явного) гиперцентрального высоты ^ h автоморфизма (h - число Кокстера Ф).
Описание автоморфизмов групп 5Ф(2рт) ранга 1 и 2 указывают теоремы 8-11 в главе 4.
Ключевым для описания автоморфизмов является доказательство предложения 3 (в § 3 главы 3) и леммы 2 (в § 1 главы 4) о характеристичности в группе 5Ф(2^) конгруэнц-подгруппы уровня J1 = (р*), 1 ^ i ^ т, т.е. ядер естественных гомоморфизмов Ф(Хрш) -> Ф(2р»). Факторгруппа группы 8Ф^рт) по конгруэнц-подгруппе изоморфна 8Ф{Ъ^) и поэтому описание автоморфизмов оказалось возможным вести индукцией по показателю т. При доказательстве характеристичности конгруэнц-подгрупп используется известное описание нижнего центрального ряда группы 5Ф(2рт) из работы В.М. Левчука [15], когда константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, и работы автора [60] для исключительных случаев.
Теоремы 7-11 решают задачу (В) и дают ответ на вопрос 12.42 из Коуровской тетради.
В связи с вопросом, изучавшимся М.В. Хорошевским (см. также [11, следствие 2]), отметим, что доказанные теоремы дают новые примеры 2-групп, у которых группа автоморфизмов также является 2-группой. А именно, из теорем 7-11 вытекает
Следствие 1. Группа автоморфизмов 2-группы SФ(Х^) при т > 1, Ф ф £>4, является 2-группой.
Результаты третьей и четвёртой глав опубликованы автором в рабо-тах [59], [60], [66], [73], [74].
Последняя глава диссертации посвящена исследованию задач (Г) и (Д) о регулярных и мощных силовских р-подгруппах групп GLn(Zpm) и групп Шевалле над тем же кольцом.
Конечная р-группа Р называется регулярной, если для любых двух её элементов а и b и любого п = ра имеет место равенство
(ab)n = anbnSÏ...S?y
и
- Київ+380960830922