Методы и конструкции в теории ветвления

Оглавление
Введение 5
0.1 Изучаемые объекты................................................... 6
0.2 Постановка общей задачи............................................. 8
0.3 Существующие подходы .............................................. 13
0.4 Основные результаты работы ........................................ 15
Определения, обозначения, классические результаты 23
1 Полные дискретно нормированные поля с несовершенным нолем
вычетов 27
1.1 Циклические расширения степени р................................... 27
1.2 Основные определения и конструкции................................. 30
1.3 Устранение высшего ветвления ...................................... 38
1.4 О выборе подполя констант.......................................... 48
1.5 Вложение полного дискретно нормированного ноля в стандартное ... 50
1.6 Теория ветвления с индексным множеством I.......................... 50
1.7 Пример: абелевы расширения показателя р............................ 57
2 Почти максимально разветвленные расширения 60
2.1 Некоторые вычисления в расширениях степени р....................... 60
*
2.2 Независимо разветвленные расширения ............................... 64
2.3 Общие замечания о ПМР расширениях.................................. 68
2.4 Циклические ПМР расширения......................................... 71
2.5 Абелевы ПМР расширения, р- 1 |е.................................... 74
2.6 Абелевы ПМР расширения, р- \ \е.................................... 77
2.7 Еще о композитах ПМР расширений..................................... 80
3 Высшие локальные поля 84
3.1 Основные определения............................................... 84
3.2 Классификационная теорема.......................................... 87
3.3 Топология на аддитивной группе..................................... 88
*
2
3.4 Строение мультипликативной группы...................................106
4 Строение топологических К-групп для высших локальных полей 112
4.1 Основные определения.................................................112
4.2 Структура УК%РК в равнохарактеристическом случае.....................117
4.3 Разнохарактеристический случай.......................................119
4.4 Други5 определения топологии и свойства отображения нормы на топологических /^-группах................................................126
4.5 Строение УК^К........................................................131
4.6 Построение элементов кручения........................................133
4.7 О 2р-расширениях одномерного поля....................................140
4.8 Основные теоремы.....................................................142
4.9 Пример: <ФР{{£}} и '0Р(СР){{0}.......................................и*>
4.10 Абсолютно неразветвленный случай....................................151
5 Теория ветвления для двумерных локальных полей 154
5.1 Конструкция..........................................................154
5.2 Дополнительные сведения о топологических /Сгруппах двумерных локальных полей..........................................................155
5.3 Подгруппы в и(1)К?рК ................................................157
5.4 Поведение Д* в некоторых типах расширений............................160
5.5 Фильтрация на 1<1°рК и отображение взаимности........................165
6 Метод струй 170
6.1 Терминология и обозначения...........................................170
6.2 Теоремы для расширений Артина-Шрейера................................171
6.3 Доказательства.......................................................173
6.4 Постановка вопросов в общем случае...................................179
6.5 Дуги.................................................................182
6.6 Подъем дуг...........................................................189
6.7 Случай I 7^ р........................................................193
6.8 Случай I = р.........................................................197
7 Метод пучков кривых 202
7.1 Определения, обозначения и предварительные сведения..................202
7.2 Аналитическая формула присоединения..................................204
7.3 Ручная и дикая сингулярность.........................................205
7.4 Расширения двумерных полных регулярных локальных колец...............210
7.5 Формула Севери.......................................................213
7.6 Вычисление второго класса Чженя при помощи пучка кривых..............214
7.7 Морфизмы поверхностей Список литературы
Введение
Любая монография или учебник по локальной теории полей классов содержит главу, посвященную теории ветвления. В ее основе лежит существование некоторой базовой системы инвариантов для заданного конечного расширения локальных полей. В качестве таковой можно взять, в частности, порядки подгрупп ветвления (в нижней нумерации). Все другие классические инварианты ветвления данного расширения (а также любого его подрасширения) могут быть через них выражены. Па этой основе строится элегантная и практически завершенная теория, включающая такие элегантные результаты, как теорема Хассе-Арфа или теорема Серра о существовании представления Артина.
Теория ветвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных нолей. Наличие фильтрации ветвления на группе Галуа позволяет свести изучение заданного конечного расширения к изучению просто устроенных подрасширений. Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширениям делает теорию ветвления применимой также и для изучения бесконечных расширений. Наиболее ярким примером этого служит теория полей норм, развитая Фонтаном и Винтенберже.
Инварианты ветвления, ассоциированные с морфизмом гладких проективных кривых или с конструктивным пучком ^-модулей в этальной топологии на такой кривой, входят в качестве локальных членов в важные формулы алгебраической геометрии — формулу Римана-Гурвица и формулу Гротендика-Огга-Шафаревича соответственно.
С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный случай арифметической геометрии, предметом которой служат схемы конечного типа над Ъ. Многие классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую "тг-мерную ситуацию". В частности, существует высшая теория полей классов, построенная в работах Като, Паршина, Востокова, Фесенко, теория высших аделей Паршина-Бейлинсона и др. Однако, пока не существует приемлемого п-мерного обобщения теории ветвления.
Красота и сила классической теории ветвления сохраняются при переходе от
5
локальных полей (с конечным полем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным полем вычетов. Однако от регулярного поведения инвариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ничего не остается, если мы допускаем возможность несепарабельных расширений полей вычетов. (Расширения такого типа с неизбежностью возникают при работе с 71-мерными задачами, где п > 1.)
В течение последних 30 лет был опубликован ряд научных статей, посвященных теории ветвления дискретно нормированных полой с несовершенным полем вычетов и теории ветвления многомерных схем. В большинстве из них получена в основном негативная информация о различного рода нерегулярностях в поведении инвариантов ветвления.
В данной работе мы развиваем несколько новых подходов к построению теории ветвления в этой общей ситуации.
За полезнее обсуждения, определившие направление исследований, автор выражает благодарность С. В. Востокову, А. Н. Паршину, И. Б. Фесенко, П. Делишо, Г. Ломону, Т. Саито. Я также признателен за сотрудничество А. Аббесу, В. А. Абратнкину, М. В. Бондарко, О. Ванюшиной, О. Габберу, II. Г. Дурову, А. Жеглову, К. Зайнуллину, Л. Иллюзи, К. Като, М. В. Коротееву, В. С. Куликову, X. Курке, Ф. Лоренцу, А. Мадунц, Л. Миллер, Д. Орлову, Д. Осипову, М. Росту, М. Саиди, Л. Слриано, Б. Эрецу, А. В. Яковлеву. Эти математики поддерживали мой интерес к теории ветвления, а некоторые из них помогли найти ошибки в ранних версиях работ.
0.1 Изучаемые объекты Некоторые обозначения
Для целой схемы X обозначим через к(Х) ее ноле функций.
Дія нормирования v на поле К обозначим через Kv пополнение этого поля. к обозначает алгебраически замкнутое пате; р = char А-. (Мы не требуем р > 0, но этот случай представляет основной интерес.)
I — простое ЧИСЛО 7^ р.
Для схемы X и неотрицательного целого і через Xх обозначается множество ее г-мерных точек.
Геометрические данные
Пусть X — нормальное многообразие над к.
б
Инварианты ветвления могут быть приписаны, в частности, каждому из следующих объектов.
1. Конечное сепарабельпое расширение L/K, где К = к(Х).
2. Коиечны,й морфизм f : У —» X, этальный в общий точке.
3. Конструктивный пучок Fi-модулей на Х&.
Существуют просто описываемые взаимосвязи между этими типами объектов. Так, расширение L/K определяет нормализацию / : У —> X многообразия X в Ц эго конечный морфизм, этальный в общей точке. Наоборот, любой такой морфизм определяет конечное расширение Lj К полей функций.
Далее, опишем на грубом уровне связь этих объектов с пучками. Предположим, что пучок Т — локально постоянный над некоторым открытым подмножеством U С X. Тогда существует этальное накрытие U' —> U такое, что F\ul постоянный. Рассматривая меньшее U, можно считать, что U' связно. Соответствующее расширение полей функций (оно не определено однозначно) можно взять в качестве Lj К.
Обратно, пусть LjK — конечное расширение Галуа, и пусть / соответствующий морфизм нормализации. Тогда j этален над некоторым открытым U С X. Различные конечномерные ^-представления Gal (L/K) соответствуют локально постоянным пучкам Ff-модулей конечного ранга на (/&; эти пучки продолжаются нулем на все X6i.
Классические инварианты ветвления
Пусть X — многообразие над к: предположим, что X нормальна. Зафиксируем конечное расширение Галуа L/K поля К = к(Х).
Дифферента; локус ветвления. Пусть / . У —* X — нормализация X в L. Тогда пучок идеалов
X ~ А.ПП Q^/д-
называегся дифферентой У над X. Это инвариант ветвления: для Р € У, {'&у/х)р = Ор, если и только если / неразветвлен в Р.
Подсхема У, определяемая пучком Яу/х имеет своим носителем замкнутое подмножество У, называемое локусом ветвления.
Индекс ветвления и нижние подгруппы ветвления. Пусть Y — простой дивизор на X, и пусть v — соответствующее нормирование поля К. Обозначим через w произвольное продолжение v на L. 1огда индекс ветвления еш = e(Lw jKv) называется индексом ветвления L/К в w; поскольку L/K — расширение Галуа, он в действительности не зависит от выбора w над v. Дапее, подгруппа разложения
7
С Са1(Ь/К) изоморфна локальной группе Галуа Са1 (Ь„/К9), и на ней есть так называемая нижняя фильтрация ветвления:
Напомним, что для любого конечного расширения Галуа Е/Р полных дискретно нормированных полей с группой Галуа С подгруппы ветвления С (в нижней нумерации) определяются формулой
г > — 1, г € где Уе — нормирование на Е, а Ое — соответствующее кольцо нормирования.
Порядок дифференты может быть определен локально:
Говоря коротко, задача заключается в том, чтобы ‘распространить классическую (одномерную) теорию ветвления на двумерный (а затем и многомерный) случай". Здесь мы опишем основные результаты классической теории ветвления, отсутствующие в двумерной ситуации, и природу трудностей, возникающих при попытке их переноса на двумерный случай.
Одномерный случай
Если X — кривая над к, а V — нормирование на к(Х), соответствующее точке на X, то поле вычетов V совпадает с к\ в частности, к(Х)ь представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов. Напомним, что известно о ветвлении в расширениях таких полей. Итак, пусть К представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов.
Теорема Эрбрана. Пусть Ь/К — конечное расширение Галуа с группой Галуа С. Тогда функция Хассе-Эрбрана : (—1,оо) —► [— 1, оо) представляет собой кусочнолинейное возрастающее отображение, заданное формулой
Са\{ЬЮ/Кь) = О Сд.и, Э • • • І) — {б}.
Єі — {а € С'г\{Е / Р)\і0(а) := іггї г>£-(ст(а) — а) > і 4-1},
о
4(®у/*)сг) =
где С) — точка коразмерности 1 на схеме У, соответствующая ю.
0.2 Постановка общей задачи
8
Теорема Эрбрана утверждает, что, если М — подполе в L/К, фиксируемое нормальной подгруппой Я, то для любых v,u таких, что v = <рь/м(и)у выполнено GUH/H = (G/H)v ([73, Ch. IV, Lemma 5]).
Если ввести верхнюю нумерацию подгрупп ветвления = Gu для всех
рациональных и > — 1, мы получим следующий вариант теоремы Эрбрана: (G/II)V = GVH/H. (Это означает, что на самом дане верхняя фильтрация подгрупп ветвления определена на уровне бесконечных групп Галуа.)
С другой стороны, Ни = Gu П Я для любой подгруппы Я непосредственно в силу определения нижних подгрупп ветвления. Таким образом, имеем свойство совместимости:
(*) Фильтрация ветвления на группе G определяет фильтрации ветвления на ее подгруппах и факторгруппах.
Хорошие свойства фильтрации ветвления. Верхняя фильтрация ветвления удовлетворяет также свойству Хассе-Арфа: скачки фильтрации являются
целочисленными, если и только если расширение абелево, [73, Ch. IV, §3]. Кроме того, она совместима с теорией полей классов: в случае конечного поля вычетов образ фильтрации под действием отображения взаимности совпадает со стандартной фильтрацией на К*, [73, Ch. XV).
Свойство Хассе-Арфа можно интерпретировать как ограничение на расположение подгрупп G, в G для абелевой G. Но и для неабелевой G имеются некоторые (бо/ще слабые) ограничения, вытекающие из сравнений Сена: если g € Go и дрП ф 1, то
'с(дрП~') = Ы<?рП) mod Рп (см. [76, Th. 1.1] или обзор в [77, 6.1)).
Существование представлений Артина и Суона, (см. [73, Ch. VI], [75], а также обсуждение в [77, 6.1]). В описанной ситуации введем центральные функции Артина и Суона aG, swe : G —* Z с помощью формул
-f-iG(a), <г#1>
сг=1
-f-sG(o), <уф 1,
где / = [L : К)у ic как в (1), и
sG{<?) := inf vL(l - (т(х)х~1) — ^ € Gq'
x€L [M^). ° £ Go-
9
Тогда ас и siuq представляют собой характеры комплексных представлений группы G, называемых представлениями Артина и Суона. Более того, swe — характер единственного проективного 7ji[G\-модуля SWc, так называемого модуля Суона расширения L/K. Для нормальной подгруппы Н группы G из теоремы Эрбрана следует, что
SWG/H = SWG <g>2,(G) ЧС/И}. (2)
Наконец, для любого FjfGj-модуля М конечного Fi-ранга определен его кондуктор Суона
Sw М := dimF((IIomZf[G)(5H'o, М)).
Аналогичным образом определяются кондукторы Артина и Суона комплексных представления. G. Отметим, что можно восстановить фильтрацию на G, зная кондукторы Артина всех ее неприводимых представлений. (Аналогичное свойство не выполняется для кондукторов Суона, поскольку кондуктор Суона характеризует только дикое ветвление и не содержит какой-либо информации о (Go : Gi).)
Глобальные формулы. Предположим, что кривая X проективная, а 3^ — ее нормализация в L. Формула Римана-Гурвица связывает род той и другой кривой:
%9у — 2 = [L : К](2дх - 2) -f ^ vq{Qy/x)-
Qzy°
Пусть U — плотное открытое подмножество в X, г} — геометрическая общая точка X, Т — локально постоянный пучок F;-модул ей конечного ранга на U&. Тогда геометрический общий слой М ~ представляет собой конечномерное F/-представление группы Gal(fc(A’)); оно пропускается через Gai(L/k(X)), где L/k(X) — конечное расширение Галуа.
Для точки Р е Х° кондуктор Суона SwрТ определяется как кондуктор Суона Му рассматриваемого как G-dl(Lw/k(X)v)-модуjiь, где v соответствует Р, a w — любое продолжение v на L. Независимость от L следует из (2). Тогда формула Гротендика-Огга-Шафаревича для Т имеет следующий вид:
Хс(У Я = Хс(У, F,) rank Т - Y. Sw''Т'
Р€Х\и
(Это утверждение можно получить из варианта формулы Гротендика-Огга-Шафаревича, приведенного в [21], следующим образом. Пусть и : U «-* X, Р0 — постоянный пучок на U ранга, равного rank Т. Применим формулу в [21, Гл. V, теор. 2.12) к и\Т и \?и\?о и вычислим разность.)
10
Полнота. Для данного конечного расширения Галуа полных дискретно нормированные полей Ь/К имеется ряд инвариантов ветвления, которые встречаются в различных формулах: е(Ь/К), Уьфук), и £* для всех г > О, 8\уА7 для различных СгаЦЬ//^-модулей М. Однако имеется достаточная система инвариантов ветвления, а именно, нижняя фильтрация ветвления, которая “описывает ветвление полностью": все инварианты ветвления (включая локальные члены классических глобальных формул) могут быть через нее выражены. (Верхняя фильтрация ветвления также представляет собой достаточную систему инвариантов. То же справедливо для кондукторов Артина всех комплексных представлений (2.) Например,
Двумерный случай
Какая часть классической теории ветвления, обзор которой мы привели выше, сохраняет силу для поверхностей? Ответ таков: практически все утверждения перестают выполняться (при р > 0). Причина состоит в том, что мы не умеем определять набор инвариантов ветвления, который бы эффективно работал во всех ситуациях. Существует лишь различные частичные теории, некоторые из них очень глубокие; однако на настоящий момент ни одна из них не дает полной картины "ветвления в размерности 2". Некоторые из этих теорий будут упомянуты в следующем параграфе; здесь мы обсудим только "негативную информацию".
Первое отличие от классическое случая состоит в следующем. Если X — поверхность, г V — нормирование на К = к(Х), соответствующее простому дивизору V, то представляет собой полное дискретно нормированное паче с несовершенным полем вычетов. В этом случае теорема Эрбрана не выполняется. Вачее того, по нижней фильтрации ветвления на группе вообще нельзя однозначно определить фильтрацию ветвления на факторгруппе. (Таким образом, не имеет смысла пытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления путем присвоения новых номеров подгруппам из нижней фильтрации.) Выполняется, по тривиальным причинам, только совместимость с фильтрациями ветвления на подгруппах.
С другой стороны, можно попытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления, исходя из "фильтрации нормирования" на К2(К) или на группе Брауэра и применяя высшую теорию нолей классов или когомологическую двойственность. Это
е(Ь/К) = |С0|;
со
у^ь/к) = ^)£*| - 1;
И
дает определение фильтрации на Gal(L/K) в случае абелева L/K. Такая фильтрация обладает свойством ''совместимости с факторгруппами". Однако эта фильтрация не сравнима с нижней фильтрацией, и свойство совместимости с подгруппами для нее не выполняете«?.
Ни нижняя, ни верхняя фильтрации ветвления не позволяют определить даже такой простой инвариант ветвления, как геном расширения, т. е. ответ на вопрос, какие из промежуточных расширений будут вполне разветвлены. Более того, ни та, ни другая фильтрация не позволяет вычислить e(L/K) или порядок дифференты.
Отметим, что "таинственное" поведение инвариантов ветвления в случае несовершенного поля вылетов наблюдается уже на простейших примерах; достаточно рассмотреть композит двух расширений Артина-Шрейсра ([55], [77, 6.2], |20|).
Далее, существующие аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича в размерности 2 (см. следующий параграф) указывают на то, что недостаточно приписывать те или иные инварианты простым дивизорам на X, т. е., точкам X коразмерности 1; должны существовать дополнительные инварианты, которые определены на уровне коразмерности 2.
к
Опишем один из таких инвариантов. Для двумерного гензелева локального кольца А над гензелевым кольцом дискретного нормирования О и конструктивного пучка ^-модулей на (Spec Л)^, определено пространство исчезающих циклов V = Я6\(Spec( Д <8>о F), .F|specляо?)' W Р обозначает поле частных О. Это V представляет собой конечномерное ^-представление группы Gal F. Важным инвариантом служит тотальная размерность V, которая определяется как dt V = dim?, V + Sw V. Этот инвариант возникает как локальный член коразмерности 2 в формуле для характеристики Эйлера-Пуанкаре ((44], см. также [65]); однако, вообще говоря, мы не располагаем способом явного вычисления dt V.
Перспективная цель
В качестве такой цели можно было бы рассматривать построение теории ветвления для поверхностей, которая сохраняла бы максимально возможное число черт одномерной теории. В частности, для каждой пары (X,L/K) (или {X,f), или (X, F)) необходимо построить систему инвариантов Л(Х, Ь/КЛ Р) (Р Є X), которая содержала бы полную информацию о ветвлении (Х,Ь/К). Это подразумевает следующие требования.
(1) "Наивные" инварианты ветвления (индекс ветвления, порядок дифференты, геном, подгруппы в нижней нумерации) в Р должны выражаться через £(Л\ Ь/К, Р). (Можно надеяться, однако, что "истинная" теория ветвления позволит вычислять и более сложные инварианты, упоминаемые в следующем параграфе. Также представляется желательным получить интерпретацию этой системы инвариантов
і
12
с томки зрения высшей теории полей классов.)
(2) Ветвление промежуточных расширений (т. е., Е(У, L/MyQ) с Q над Р и Е(X, М/К, Р)у где К С М С L, У — нормализация X в М) должно выражаться через £(Л\ L/К, Р).
(3) Локальные члены глобальных формул (например, тотальная размерность пространства исчезающих циклов) должны выражаться через Е(А\ L/К, Р).
Наконец, требуется, чтобы Е(А’> L/К, Р) представляла собой именно систему инвариантов ветвления, т. о., нетривиальные значения инвариантов должны быть в конечном числе точек Р (размерности 1 или 0), в каждой из которых Ь/К разветвлено.
0.3 Существующие подходы Абелевы расширения: кондуктор Като
Как уже упоминалось, в абелевом случае можно через использование арифметических двойственностей построить фильтрации на группе Галуа, имеющие стандартные свойства верхней фильтрации, см. [26], [55). На языке конструктивных пучков абелевым расширениям соответствуют пучки ранга 1. Соответственно, существует теория обобщенных кондукторов Суона для пучков ранга 1 на арифметических схемах произвольной размерности, построенная Като [62]. Он также определил подходящий кондуктор Суона в коразмерности 2, что позволило ему доказать дня таких пучков аналог формулы Гротендика-Огга-Шафаревича.
Утверждение о том, что некоторый кондуктор (в коразмерности 1) корректно определен, фактически эквивалентно совместимости соответствующей фильтрации ветвления с факторгруппами.
Моногенные расширения
Пусть L/К — конечное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей (р > 0). Если потребовать, чтобы расширение полей вычетов L/К было сепарабельным, то теорема Эрбрана по-прежнему будет выполняться, что позволяет определить кондуктор Суона для пучков, тривиализируемых в расширении Ь/К. Независимо Делинь (см. [65]) и III. Саито ([80]) предложили определения кондуктора Суона в коразмерности 2 и доказали аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича для проективной поверхности X при условии, что на (локально постоянный) лучок Р наложено ограничение "отсутствия свирепого ветвления": это означает, что найдется конечное расширение поля к(Х), которое тривиализирует Т и обладает только сепарабельными расширениями полей вычетов. На самом деле оба
13
определения приводят к одному и тому же кондуктору Суона в коразмерности 2; это было показано в работе [63], см. также [66]. Аббес [32] доказал относительный аналог данной формулы (включая разнохарактеристический случай) при том же ограничении.
Однако теорема Эрбраиа остается справедливой и для более широкого класса моногепных расширений, т. е. таких расширений L/К, для которых кольцо Ol порождено над Ок одним элементом. В частности, L/К моногенно, если выполнены следующие 2 условия:
(1) [К : к‘>] = р (это всегда так, если К представляет собой поле функций на поверхности в характеристике р или двумерное локальное поле с первым полем вычетов характеристики р);
(2) L/К слабо неразветвлено, т. е., [L : К] = [L : К). (Слабо неразветвленные расширения можно представлять себе как башни L/М/К, где М/К неразветвлено, а L/М свирепо разветвлено: L : М] = {L : М\іпаер.)
Это означает, что для таких расширений можно построить нижнюю и верхнюю фильтрации ветвления с обычными свойствами совместимости. Это было проделано Като в [61].
Моногеииые расширения не исчерпываются расширениями только что описанного типа и вполне разветвленными расширениями. Общее их описание дано в работах Л. Слриано [78], [79].
Обобщения кондуктора Като
Было несколько попыток обобщения кондуктора Като на неабелевы расширения.
Волтье. Крам и Снейт (см. [37], |77, 6.3]) определяют кондуктор в общем случае при помощи явной Брауэровой индукции. В результате получается кондуктор, который совместим с кондуктором Суона и с кондуктором Като в случаях, когда они определены.
Боргер (|39), [40]) строит кондуктор при помощи различных надполей данного поля, имеющих совершенные поля вычетов и индекс ветвления 1 над данным полем. Он рассматривает некий универсальный объект по отношению к этим подполям; ему соответствует полное дискретно нормированное кольцо с совершенным нолем вычетов, и для него можно использовать классическую теорию. Это ведет к построению обобщения кондуктора Артина, которое совместимо с "нелогарифмическим" вариантом кондуктора Като (т. е. кондуктором артинова типа).
Аббес и Т. Саито ([33], [34]) при помощи жесткой аналитической геометрии строят два варианта верхней фильтрации в общем случае, "нелогарифмическую" и "логарифмическую". Они выдвигают предположение, что их теория в абелевом
14
случае совпадает с теорией кондуктора Като.
Другие инварианты
Были предложены другие инварианты ветвления, предназначенные для использования в случае несовершенного поля вычетов; в частности, Хиодо ввел в [55] понятие глубины ветвления, мы будем активно пользоваться этим понятием. Барт де Смит ([45], [46]) ввел подгруппы ветвления с двумя индексами. (Определения обоих понятий приведены ниже в разделе "Определения, обозначения, классические результаты".)
Однако ни одна из упоминаемых теорий не дает полного описания ветвления в том смысле, который был описан выше, что сохраняет актуальность задачи выработки новых подходов к построению инвариантов ветвления.
0.4 Основные результаты работы
Первая часть работы (главы 1 и 2) носит алгебраический характер и посвящена изучению инвариантов ветвления произвольных полных дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов. Центральными результатами здесь служат усиленная теорема об устранении высшего ветвления и конструкция фильтрации с индексным множеством С, обладающей полным набором фуикториальных свойств.
Вторая часть диссертации (главы 3-5) посвящена более детальному изучению теории ветвления для многомерных локальных полей. Основные результаты — теорема о строении группы К„РК для п-мерного локального поля К и согласованность отображения взаимности с фильтрациями для равнохарактеристических двумерных локальных полей.
В третьей части (главы б и 7) изучается алгебро-геомстрическая ситуация: ветвление конечного морфизма гладких поверхностей. Основные результаты: описание поведения скачка ветвления на пространстве струй кривых, если морфизм соответствует циклическому расширению полей простой степени; описание поведения инвариантов особенностей кривых при таких морфизмах; аналог формулы Римана-Гурвица для произвольных морфизмов гладких поверхностей.
Опишем более подробно содержание отдельных глав.
Глава 1. Полные дискретно нормированные поля с
;
несовершенным полем вычетов
Пусть Ь/К — произвольное конечное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов характеристики р > О,
15
и пусть к — г. н. подполе констант, то есть максимальное полное подполе К с совершенным полем вычетов. (Если сЬаг К = 0, то такое подполе определено однозначно.) Теорема об устранении высшего ветвления, принадлежащая Эппу [47], утверждает, что найдется конечное расширение к'/к, для которого к'Ь/к'К слабо неразветвлено, т. е. е(к'Ь/к'К) = 1. Мы доказываем ряд уточненных версий этой теоремы.
В §1.1 классифицируются циклические расширения степени р, вычисляются их скачки и глубина ветвления.
В §1.2 вводятся основные для дальнейшего понятия почти константного и инфернального расширения. Под почти константным понимается расширение, которое можно вложить в композит из неразветвленного и константного (т. е. подучаемого присоединением элементов, атгебраичных над К), а под инфернальны^ — расширение, не имеющее собственных почти константных подрасширений. При этом произвольные расширение Ь/К разбивается в башню из почти константного и инфернального подрасширений.
Центральную роль играет доказываемая в §1.3 теорема 1.3.8:
0.4.1 Теорема. Пусть К — полное дискретно нормированное поле, к — его подполе констант, С/к — некоторое глубоко разветвленное расширение. Тогда для любого инфернального расширения Ь/К существует конечное подрасширение к'/к в С/к такое, что к'Ь/к'К свирепо разветвлено.
(Здесь под глубоко разветвленным расширением подразумевается бесконечное расширение, у которого есть конечные иодрасширения либо сколь угодно большой глубины ветвления, либо сколь угодно большой несепарабелыюй степени. К их числу, в частности, относятся круговые р-расширения и вообще любые арифметически проконечные расширения.)
Эта 'теорема интересна сама по себе, так как обеспечивает очень большую свободу выбора расширения к'/к в теореме Эппа.
В качестве следствия мы получаем такое усиление теоремы Эппа:
0.4.2 Теорема. Пусть Ь/К — любое конечное разрешимое расширение полных дискретно нормированных полей, к — подполе констант поля К. Тогда существует конечное разрешимое расширение к'/к такое, что к'Ь/к'К слабо пщшветвлено, т. е. е(к/Ь/к'К) = 1.
Пусть е/, = ри • еь, где (р, еь) = 1. Тогда найдется искомое к'/к, являющееся композитом циклического расширения и некоторого расширения степени, не превосходящей (р - 1)Л+1(Ь : К]ек.
В параграфе 1.4 исследуется вопрос о том, насколько простой вид можно придать расширению к'/к, если мы можем менять подполе констант (это возможно в случае,
16
когда К имеет простую характеристику). Доказано, что при наличии в К достаточно большого числа корней из 1 степеней, взаимно простых с р, к!/к может быть выбрано циклическим (см. следствия 1.4.2.1, 1.4.2.2 и теорему 1.4.3).
В следующем параграфе в качестве еще одного следствия теоремы об устранении высшего ветвления мы получаем два варианта теоремы о вложении произвольного полного дискретно нормированного поля в стандартное, т. е. в неразветвленное над своим подпаяем констант (теоремы 1.5.2, 1.5.2).
В последних двух параграфах мы рассматриваем класс полей К с [К : К1'] = р. (Это условие выполнено в частности, для двумерных локальных нолей и для полных дискретно нормированных полей, у которых папе вычетов является полем функций на кривой над нолем простой характеристики.) В случае char К —р мы предполагаем, что зафиксировано подполе констант к. Дня расширения Галуа L/K в §1.6 мы вводим новую нижнюю фильтрацию на Gal(L/A'), проиндексированную специальным линейно упорядоченным множеством I. В основе конструкции лежит вышеназванное разбиение расширения в башню из двух иодрасширений и применение теоремы об устранении1 высшего ветвления. При этом выполнен аналог теоремы Эрбрана и можно определить функцию Хассе-Эрбрана ^ь/к ■ П —> И со всеми обычными свойствами. Эго, в свою очередь, позволяет построить верхнюю нумерацию подгрупп ветвления и теорию ветвления для бесконечных расширений
Если рассматривать абелевы расширения экспоненты р, то фильтрация ветвления определяет двойственную фильтрацию на аддитивной (соответственно мультипликативной) группе поля К при помощи двойственности Артина-Шрейера (соответственно Куммера). В §1.7 приведено явное описание этой двойственной фильтрации в случае еК/ь = 1.
Результаты этой главы опубликованы в работах [17], [83] и [14].
Глава 2. Почти максимально разветвленные расширения
V.
В данной главе подробно изучается доваяьно специальный класс расширений, у которых скачки ветвления принимают значения, близкие к максимально возможным.
Формальным условием, задающим этот класс расширений, является условие делимости порядка дифференты расширения на степень расширения:
[L : К] | Ъь,к. (3)
В работе С. В. Востокова [7] были полностью описаны такие расширения для обычных локальных папей; здесь изучается тот же вопрос для произвольных полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики. Актуальность условия
(3) определяется тем, что оно возникает при описание структуры аддитивных модулей Галуа, см. [5], [38].
р
17
Результаты этой главы получены совместно с С. В. Востоковым и опубликованы в статье [11].
Глава 3. Высшие локальные поля
Эта глава носит вспомогательный характер. В ней приведены основные определения, относящиеся к многомерным локальным полям, введенным А. Н. Паршиным и К. Като. ([22], [23], [60]) При этом включена также выполненная автором проверка инвариантности определения топологии многомерного локального поля, которая была опубликована в работах [18] и [82]. Результаты о мультипликативном разложении опубликованы в [19].
Глава 4. Строение топологических К-групп для высших локальных нолей
Первая ее часть (§§4.1-4.5) посвящается единообразному изложению известных результатов А'-теории многомерных локатьных полей (с произвольным совершенным полем вычетов) и некоторых несложных следствий этих результатов. Первые четыре параграфа соДержат аккуратные определения и детальное изложение базовых результатов о топологических /^-группах для п-мерного локального поля К с произвольным совершенным полем вычетов характеристики р > 0. В §4.5 мы обсуждаем свойства обобщенного символа Востокова и вычисляем УК1п% К.
В оставшейся части главы изучаются УК£РК и Са1 (К*ь/К) для случая разнохарактеристического гг-мерного полного поля К. Фактически для этого достаточно изучать подгруппу и(1)К^рК, как видно из §§4.1-4.2. Параграфы 4.6 и
4.7 содержат вспомогательные результаты. В §4.8 мы рассматриваем и(1)Кх°р К/Тк > где Тк обозначает замыкание подгруппы кручения. Мы явно вычисляем эту факторгруппу для случая К = /с{{^}}... {{^л-и}} и показываем, что эта группа имеет конечный Ър-ранг в классическом случае (когда последнее поле вычетов конечно). Результат применяется к изучению группы Галуа максимального абелева расширения многомерного локального поля.
В §4.9 и §4.10 показывается, как тем же методом можно получить описание всей и{1)К**К в простых случаях. В частности, в §4.10 мы даем полное описание и(1)К„рК для абсолютно неразветвленного К.
Результаты данной главы опубликованы в статье [13]
Глава 5. Теория ветвления для двумерных локальных полей
В этой главе происходит дальнейшее развитие подхода из главы 2 применительно к двумерным локальным палям.
18
Прежде всего, в §5.1 мы рассматриваем случай, когда поле К снабжено дискретным нормированием ранга 2. В этом случае вводится новое индексное множество П2 Э II и строятся более тонкие нижняя и верхняя фильтрации на группах Галуа расширений К.
В оставшейся части главы изучается случай равнохарактеристического двумерного локального поля К. Мы вводим некоторую фильтрацию на группе отличную от фильтрации, индуцированной нормированием. Наша фильтрация проиндексирована множеством h и ведет себя лучше по отношению к отображению нормы, чем обычная фильтрация. Наконец, мы доказываем, что отображение ветвления двумерной локальной теории нолей классов отождествляет эту фильтрацию с фильтрацией ветвления из §5.1.
Если в "инфернальной" части вводимой здесь фильтрации рассматривать только младшую из двух компонент, то мы получим инварианты ветвления для двумерных полей, введенные Като в [01).
Предложенный здесь подход к теории ветвления в работах В. А. Абрашкина был распространен на n-мерные локальные поля. Это дало возможность сформулировать и доказать для высших локальных полей аналог анабелевой гипотезы Гротендика ([35), |1|, [36]).
Результаты этой главы опубликованы во второй части статьи [14] и в [83].
Глава 6. Метод струй
Эта глава основана на работах [84] и [15].
Пусть L/K — конечное расширение Галуа поля функций связной нормальной гс-мерной схемы X, и пусть / \У —* X представляет собой нормализацию X в L. Мы описываем первые шаги в направлении построения базовой систему инвариантов ветвления (X,L/K)y о чем шла речь выше. Мы предлагаем следующий подход к достижению этой цели.
Обозначим через В С X дискриминантный локус этого морфизма. Пусть С — кривая на X, не лежащая целиком на Я, a D — любая кривая на У, лежащая над С. Тогда у естественного морфизма D —> С имеется обычный набор инвариантов ветвления, а именно фильтрации ветвления во всех точках, в которых С пересекает В. Идея состоит в том, чтобы собрать эти инварианты дгтя всех регулярных кривых С и всю совокупность данных, полученных таким образом, рассматривать как систему инвариантов (X. L/K).
Некоторые свойства этих инвариантов изучались в [44] и [41]. Однако, в отличие от этих работ, мы изучаем не только кривые С, трансверсальныс к локусу ветвления.
В данной главе мы полностью изучаем поведение этих инвариантов в простейшем случае, когда X = Spec А, А — регулярное 2-мерное локальное кольцо
19
характеристики р > 0, LjК — циклическое расширение степени р. (Мы делаем также техническое предположение, что В имеет простые нормальные пересечения.) Тогда вышеупомянутые инварианты сводятся к набору чисел hv(L/K), где р пробегает множество простых идеалов кольца А таких, что Л/р представляет собой 1-мерное регулярное локальное кольцо, a LjK неразветвлено в р. Здесь hp(L/K) обозначает единственный скачок ветвления расширения полей вычетов, соответствующих р, если это расширение нетривиально; в противном случае считаем hv(L/K) = 0.
Теоремы G.2.1-6.2.4 описывают поведение hv(L/K) при изменении р. А именно, мы доказываем, что величина hp(L/K) зависит только от струи определенного порядка, которой принадлежит алгеброидная кривая С, соответствующая идеалу р. Порядок этой струи оценивается линейной функцией от индекса пересечения г кривой С с компонентами В. Далее, для каждого г на пространствах струй соответствующего порядка можно ввести структуру аффинного пространства. Мы доказываем, что величины hp(L/K) ведут себя как полунепрерывные функции на этих пространствах, причем максимальное значение этой функции hr(L/K) достигается на некотором открытом но Зарисскому множестве. Наконец, при дополнительном предположении, что А является G-кольцом (это всегда так в алгеброгеометрической ситуации), мы доказываем, что существует предел (hr(L/K)/r)r.
Далее, начиная с параграфа 6.5, мы изучаем поведение особенностей кривых относительно некоторых ручных и диких циклических накрытий / : У —> X простой степени, где Л? и У - регулярные поверхности над полем к простой характеристики Р-
Мы сопоставляем алгеброидной (формальной) кривой Spec71 на X, где 7Z -полная одномерная область с подполем коэффициентов к, два инварианта: 6(71) = dim.k{7Z/7Z), где 71 - целое замыкание 71, и М(71), который равен наименьшему числу раздутий, разрешающих особенность 7Z. Пусть Spec TV - алгеброидная кривая на У над исходной кривой. Мы покажем, что £(7?.') (соответственно, M(7Z')) можно оценить сверху линейной функцией от 6(71) (соответственно, M(7Z)) и (в диком случае) от кратности пересечения 71 с дивизором ветвления накрытия /. В оценках для М(7V) появляется также другой инвариант особенности, а именно кратность 7Z. (См. предложения 6.7.4, 6.7.5, G.8.2, G.8.3).
Эти результаты можно использовать как ингредиент в доказательстве гипотезы о достаточном порядке струи для широкого класса накрытий Галуа поверхностей S' —> S. Эта гипотеза утверждает, что если даны конечномерное представление группы Галуа накрытия, неприводимые кривые С' и С на S' и S соответственно, такие, что f(Cf) = С, и точка Q 6 С', то кондуктор Артина f\c> в точке Q зависит только от струи С в f(Q) определенного порядка при условии, что С не является компонентой дивизора ветвления В накрытия f. Более того, этот достаточный порядок струи МОЖНО оценить сверху линейной функцией от (B.C)j(Q) (ср. с теоремой 6.2.1).
20