Ви є тут

Арифметические задачи с числами, все простые делители которых принадлежат специальным множествам

Автор: 
Чанга Марис Евгеньевич
Тип роботи: 
Дис. канд. физ.-мат. наук
Рік: 
2004
Артикул:
2062
179 грн
Додати в кошик

Вміст

Оглавление
Оглавление 2
Обозначения 3
Введение 5
ГЛАВА 1. Вспомогательные утверждения 13
ГЛАВА 2. Оценки тригонометрических сумм
по специальным простым числам 25
ГЛАВА 3. Арифметические задачи со
специальными простыми числами 38
ГЛАВА 4. Суммирование мультипликативных
функций но числам, имеющим только специальные простые делители 56
Литература 71
2
Обозначения
с,Сі,С2,... — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные.
є — положительная сколь угодно малая постоянная.
р — простое число.
logx — натуральный логарифм х.
Л(п) — функция Мапгольдта — равна logp, если п = р*, и равна нулю в противном случае.
гр(х) — функция Чебышева — сумма значений А(п) но п, не превосходящим х.
тг(х) — количество простых чисел, не превосходящих X. тг(х;к,1) — количество простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I по модулю к.
Запись d | п означает, что п кратно d.
Запись а = b (mod m) означает, что m \ b — а. р(п) — функция Мёбиуса — равна единице при п = 1, равна нулю, если р2 | п, и равна (—l)fc, если п есть произведение к различных простых чисел.
Mm(n) равна единице, если п свободно от ш-х степеней, и равна нулю в противном случае.
Запись А В означает, что |Л| ^ сВ.
Запись А х В означает, что с\В ^ А ^ сгВ. ip(n) — функция Эйлера — количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с ним.
т*(га) — число решений уравнения х\... х* = п в натуральных числах xi,... ,хь причём то(1) = 1 и то(п) = 0 при п > 1. т(п) = тДп) — число натуральных делителей п.
(ai,..., о«) — наибольший общий делитель чисел а\)..., ап.
[аь..., а„] — наименьшее общее кратное чисел а\у..., ап. х(п) — характер Дирихле по модулю д, причём случаю q = 1 отвечает тривиальный характер, тождественно равный единице.
[а] — целая часть а — наибольшее целое число, не превосходящее а.
3
{а} = а — [а] — дробная часть а.
||а|| = хшп({а}, 1 - {а}) — расстояние от а до ближайшего целого числа.
5 = <7 4- И — комплексное переменное, но лишь в тех случаях, когда речь идёт о функциях комплексного переменного.
Г(з) — гамма-функция Эйлера.
С(5) — дзета-функция Римана.
(|) — символ Лежандра — равен 4-1, если а есть квадратичный вычет по модулю р, равен -1, если а есть квадратичный невычет по модулю р, и равен нулю, если а делится на р.
4
Введение
Некоторые теоретико-числовые задачи сводятся к изучению натуральных чисел с определёнными ограничениями на простые делители. Например, представимость натурального числа суммой двух квадратов целых чисел эквивалентна тому, что любой нечётный простой делитель этого числа, входящий в его каноническое разложение в нечётной степени, имеет вид 4п + 1. Основываясь на этом факте,
Э.Ландау [1] получил асимптотическую формулу для количества натуральных чисел, не превосходящих х и представимых суммой двух квадратов. Достаточно общим ограничением, налагаемым на простые делители, является требование их принадлежности некоторому специальному множеству. В качестве такого множества можно взять, например, арифметическую прогрессию по некоторому модулю или множество натуральных чисел, не превосходящих некоторой границы у. В любом случае, прежде чем переходить к изучению натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат специальному множеству, необходимо исследовать распределение простых чисел в этом множестве.
Один из первых вариантов выбора специального множества был предложен в работах И.М.Виноградова. В 1940 году Виноградов [2] получил своим методом нетривиальную оценку со степенным понижением тригонометрической суммы ПО простым числам е2,П*рП>
где 0 < а < 1. Это позволило ему найти асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих х, с условием {/Р°} < а- Виноградов дал также другое истолкование этой величины — как количества простых, не превосходящих х и попадающих в промежутки вида (п// 4- сг//)1^) с натуральным п. В
том случае, когда параметры а, а и / равны 1/2, эта задача отвечает простым в промежутках [(2п)2, (2тг 4- I)2), и разобрана отдельно в [3, с.84]. В 1945 году Ю.В.Линник [4] предложил другой подход к подобным задачам, основанный на явной формуле для функции Чебышёва и плотностных теоремах теории дзета-функции Римана, который также давал степенное понижение.
Дальнейшие исследования в этой области велись в двух основ-
ных направлениях. Первое из них состоит в рассмотрении задачи Виноградова с параметром <т, стремящимся к нулю. Интерес к этому случаю обусловлен тем, что справедливость известной гипотезы о бесконечности множества простых чисел вида п2 4* 1 эквивалентна бесконечности множества решений неравенства < р~1^2. Из
результатов самого Виноградова [3, с.86] следует бесконечность множества решений неравенства {у/p} <р~а+£ с а = 1/10. Используя подход Линника, P.M.Кауфман [5] увеличила значение параметра а до \/15/(16 + 2V^15) = 0.1631... Кроме тот, Кауфман показала, что в предположении гипотезы Римана можно взять а = 1/4. Бесконечность множества решений неравенства {у/р) < p~l^i+e была доказана безусловно А.Балогом [6], который также опирался на теорию дзета-функции Римана.
Другое направление разрабатывалось в работах С.А.Гриценко. Пользуясь подходом Линника, Гриценко в 1986 году [7] получил асимптотическую формулу для количества простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках [(2п)1^в, (2п + I)1/") при 1/2 ^ а < 1, с лучшей оценкой остаточного члена, чем у Виноградова. Кроме того, Гриценко удалось выделить главный член асимптотики и в том случае, когда а определённым образом стремилось к единице с возрастанием х. Позднее Гриценко [8] рассмотрел также аддитивные задачи типа тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами из указанных промежутков.
Задача Виноградова может рассматриваться и при значениях параметра а, больших единицы. Этому случаю отвечают очень короткие промежутки, в которые должны попадать простые числа. В каждый из этих промежутков по отдельности может не попадать даже ни одного целого числа, но в совокупности они, по-видимому, распределены достаточно равномерно и можно исследовать распределение простых чисел в этих промежутках. Подход Линника здесь заведомо неприменим, так как длины промежутков оказываются меньше остаточного члена в явной формуле для функции Чебышева. Заметим, что значение параметра а должно быть нецелым, иначе ра будет целым числом, а изучение его дробных долей — бессмыслен-
6