2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................. 4
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА................................ 8
1.1 .Этапы развития теории устойчивости. Современная концепция устойчивости................................ 8
1.2. Неупругая устойчивость стержневых систем в условиях комбинированного нагружения....................... 16
1.3. Практические методы расчета стержневых систем... 21
1.4. МКЭ в задачах МДТТ.............................. 23
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.......................................... 30
2.1. Постановка задачи и основные уравнения метода конечных элементов..................................... 30
2.2. Решение нелинейных уравнений.................... 39
2.3. Аппроксимация диаграммы деформирования.......... 46
2.4. Описание алгоритма решения...................... 48
2.5. Реализация теории бифуркации процесса нагружения в МКЭ............................................... 53
2.6. Метод разгружающих связей....................... 55
3. ВЫПУЧИВАНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУТОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ.................. 60
3.1. Линейно-упругие геометрически нелинейные задачи 60
3.2. Образование пластического шарнира............... 68
3
3.3. Выпучивание упругопластических стержней с начальными несовершенствами.............................. 70
3.4. Выпучивание стержней с локальными несовершенствами 83
4. СЛОЖНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ........................................ 94
I
4.1. Устойчивость при монотонном комбинированном нафу-жении стержней................................... 94
4.2. Влияние немонотонного изменения возмущения на потерю устойчивости................................. 110
4.3. Процессы нафужения пилона висячего моста..... 120
4.4. Устойчивость пилона при сложнопараметрическом нагружении........................................ 124
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ........................ 137
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................ 139
ПРИЛОЖЕНИЯ.......................................... 155
4
ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие строительства требует повышения эффективности проектируемых сооружений за счет снижения материалоемкости и улучшения строительных качеств конструкций. При этом широкое применение находят облегченные металлические конструкции.
Вопросы снижения материалоёмкости, улучшения технологичности конструкций и сооружений решаются, в частности, на основе использования в инженерной практике тонкостенных стержневых конструкций различного назначения. Несущая способность таких конструкций определяется критическими состояниями, возникающими вследствие потери устойчивости или достижения предельных нагрузок в области пластических деформаций.
Потеря устойчивости большинства металлических конструкций происходит в упругопластической стадии, причем, в целях снижения веса конструкций, пластические деформации осознанно допускаются или в ряде случаев просто неизбежны. Общепринятый метод расчета рамных конструкций состоит из двух этапов. На первом этапе рамы рассчитываются как линейно деформируемые системы, в которых определяют усилия во всех элементах, затем по найденным усилиям проверяют прочность и устойчивость отдельных стержней. В результате длительного применения этого метода выработаны различные уточнения, использование которых обеспечивает высокую эксплуатационную надежность рам.
В постановке задачи об устойчивости упругопластических систем важное место принадлежит учёту начальных несовершенств различного характера. При проектировании конструкций принято принимать её идеальную геометрическую форму за основную, как бы забывая о несовершенствах, и исследуя её на устойчивость иод действием центрально приложенных внешних сил. Наличие в реальных конструкциях начальных не-
5
совершенств геометрического и конструктивного характера, а также действие поперечных нагрузок приводят к тому, что отдельные элементы уже
I
в начальный момент нагружения находятся в сжато-изогну гом состоянии. Учёт наличия несовершенств, историй нагружения, выявление экстремальных условий нагружения, изучение закритической стадии работы позволяет более точно оценить запасы надежности и в конечном счете приводит к созданию сооружения наименьшего веса и экономии материала.
В настоящее время в области теории сооружений проводятся исследования по выявлению действительной работы конструкций. Совершенствование методов расчетов - важная составляющая повышения эффективности строительства. Решение задач устойчивости неупругих систем должно основываться на изучении процессов нагружения при различных историях их осуществления с учётом реальных свойств материала, геометрической нелинейности и начальных несовершенств, что составляет методологию современных исследований. Такой подход был реализован в прудах Тверской научной школы под руководством ВТ’. Зубчанинова. Здесь была построена общая теория упругопластического выпучивания, устойчивости и закритического поведения упругопластических стержней, которая вошла в основу данной работы.
Цель работы - изучение закономерностей упругопластического деформирования стержневых систем в условиях комбинированного сложно-параметрического нагружения с учетом геометрической нелинейности и реальных свойств материала.
В задачи работы входило:
■ анализ современного состояния исследований устойчивости стержней при упругопластических деформациях;
■ разработка алгоритма расчёта плоских стержневых систем с учетом геометрической и физической нелинейности в квази-
6
I
статической постановке;
■ численное исследование на ЭВМ устойчивости и закритиче-ского поведения упругопластических стержней с начальными несовершенствами;
■ изучение влияния истории нагружения на упругопластическое деформирование сжато-изогнутых стержневых систем;
■ разработка методики определения максимальной грузоподъемности плоских стержневых конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей, находящейся в условиях сложнопараметрического нагружения.
Научная новизна диссертационной работы:
■ на основе теории разгружающих и догружающих систем A.A. Ильюшина - В.Г. Зубчанинова предложен метод разгружающих связей для расчета стержневых систем на устойчивость;
■ разработан алгоритм статического расчёта плоских стержневых систем на действие силовых нагрузок и предварительного напряжения при произвольном комбинированном нагружении с учетом геометрической и физической нелинейности;
■ на основе численного исследования на ЭВМ получены новые результаты по устойчивости плоских стержневых систем в условиях сложнопараметричского упругопластического нагружения.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [46, 77, 102-112], в том числе в рецензируемых изданиях [46], доложено и обсуждено на:
■ ежегодном региональном межвузовском семинаре «Тверские научные чтения в области механики деформированного твердого тела» иод руководством д.т.н., профессора В.Г. Зубчанинова (Тверь, 2005 - 2008 гг.);
7
■ VI международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 2006 г.);
■ 7-ой межрегиональной специализированной выставке «Дорожное хозяйство и транспорт» (Тверь, 2006 г.);
■ VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2006 - 2007 гг.);
■ Международной научно-практической интернет-конференции «Современные методы строительства автомобильных дорог и обеспечение безопасности движения» (Белгород, 2007 г.);
■ Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современном строительстве - 2007» (Санкт-Петербург, 2007 г.).
Автор выражает благодарность: своему научному руководителю -д.т.н С.Л. Субботину за формирование научных взглядов, обсуждение полученных результатов, внимание и ценные советы; д.т.н., профессору В.А. Миронову за постоянную поддержку и внимание, а также сотрудникам кафедры СМТУиП и ее заведующему д.т.н., профессору В.Г. Зубчани-нову за внимательное рассмотрение работы и объективную критику. За неоценимый вклад в работу, постановку задачи и плодотворные беседы автор сохраняет признательность своему первому научному руководителю к.т.н. Е.В. Харичеву.
8
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА
1.1.Этапы развития теории устойчивости. Современная
концепция устойчивости
Теория устойчивости сжатых стержней берет свое начало с 1744 г. в трудах Л. Эйлера при рассмотрении задачи об изгибе консольного стержня [129]. В частном случае он получил величину сжимающей силы, действующей на прямой стержень, при которой возможна изогнутая форма равновесия. Ему принадлежит первое определение устойчивости, сформулированное для плавающего тела. Отсюда берет начало метод Эйлера, согласно которому вопрос об устойчивости исходного состояния заменяется вопросом о бифуркации форм равновесия. Критическая нагрузка определяется как наименьшее значение силы, при которой наряду с исходным невозмущенным состоянием равновесия существует смежное возмущенное состояние. В общем случае задача Эйлера сводится к отысканию собственных значений линейных однородных дифференциальных уравнений изгиба.
Дальнейшее различие теория устойчивости получила в трудах Ж. Лагранжа, получившего решение для различных условий закрепления, и установившего, что критической силе соответствует прямолинейная форма равновесия и только при увеличении силы стержень искривляется. Ему принадлежит более общее динамическое понятие устойчивости, связанное с движением системы около невозмущенного состояния равновесия [78]. Динамический метод Лагранжа позволил решать задачи для неконсерва-тивных систем, в которых метод Эйлера приводил к ошибочным результатам [14].
9
Важный итог работ Эйлера и Лагранжа - замена задачи решения дифференциальных уравнений равновесия либо движения рассмотрением свойств этих уравнений, позволяющих судить об устойчивости равновесия или движения системы. Позднее этой задачей занимались А. Пуанкаре [89] и А.М. Ляпунов [71].
С развитием техники теория Эйлера получает широкое применение, однако возникает вопрос о применимости ее для коротких стержней. В 1845 г. Е. Ламарль установил границу применимости формулы Эйлера, предложив для стержней, теряющих устойчивости за пределами упругости, принять критические напряжения равными пределу текучести. Первой попыткой обобщить метод Эйлера на упругопластические системы принадлежит Ф. Энгессеру, который в 1889 г. предложил вместо модуля Юнга в формуле Эйлера использовать касательный модуль, соответствующий критическому напряжению [142]. После критики Ф.С. Ясинского, указавшего на необходимость учета разгрузки на выпуклой стороне стержня [131], касательный модуль был заменен Энгессером на приведенный [143]. Однако широкое признание приведенно-модульная теория получила в результате исследований Т. Кармана, подтвердивших ее экспериментами на коротких стержнях [148]. Заслуга Кармана в том, что он рассмотрел как задачу устойчивости продольного изгиба стержня при эксцентричном приложении силы и за критическую нагрузку принял предельную точку на диаграмме усилие — характерное перемещение [55].
Теория Энгессера-Кармана, являющаяся следствием распространения бифуркационной задачи Эйлера в упругопластическую область, стала на длительный срок основополагающей для исследования устойчивости элементов конструкций.
В условиях необходимости исследования более сложных систем, чем стержень, получают развитие энергетические методы расчета на устойчивость (Брайан Г. [136], Ритц Б. [152], Тимошенко С.П. [121]). Учение о
10
свойствах потенциальной энергии упругих систем приводит к энергетическому критерию устойчивости - в состоянии устойчивого равновесия функция, выражающая потенциальную энергию системы, имеет наименьшее значение по сравнению с положением, несколько отклоненным от этого равновесного состояния. Удачной оказалась форма энергетического критерия Тимошенко, согласно которому наименьшая критическая сила находится из условия равенства работы внешних сил на перемещения вследствие выпучивания и приращения энергии деформаций.
Важным этапом в разработке приближенных методов решения задач явилось появление нового вариационного метода Бубиова-Галеркина в 1915 г. [23,17].
Работы Роша [153], Хвалла [137, 138], Ежска [146], явились важным этапом в развитии теории устойчивости сжатоизогнутых упругопластических стержней. Использование упрощающих предположений позволило получить приближенные решения. Хваллом тщательно исследовалась устойчивость внецентренно сжатых стержней. Он получил результаты для различных видов сечений, значений гибкостей и эксцентриситета. Все вычисления выполнялись на действительной диаграмме сжатия строительной стали, что характеризует точность полученных результатов, по которым можно оценивать точность приближенных методов.
Ежеку в своих работах на модели идеального упругопластического тела удалось получить замкнутое аналитическое решение только для стержней прямоугольного поперечного сечения. Он также разработал приближенный метод расчета, позволяющий установить влияние формы поперечного сечения. Приближенность метода заключена в аппроксимации изогнутой оси стержня синусоидой при соблюдении условий равновесия между внешними и внутренними силами только в среднем по длине сечении.
Новый этап в теории устойчивости начинается с работ Ф. Шенли,
11
опубликованных в 1946 г [154, 155]. Он обнаружил на идеализированной модели стержня что теория приведенного модуля соответствует лишь частному случаю нагружения упругопластической системы. Рассмотрев результаты опытов на продольный изгиб стержня, Шенли пришел к выводу, что касательно-модульная нагрузка есть та максимальная нагрузка, при которой идеальный стержень будет ещё оставаться прямым. При нагрузке, большей касательно-модульной, имеет место изгиб стержня в процессе продолжающегося нагружения с разгрузкой на выпуклой стороне стержня. При приближении нагрузки к приведенно-модульному значению прогиб стержня устремляется в бесконечность. В комментарии к этой работе, Карман указал [147], что его приведеино-модульная нагрузка является лишь оценкой границы устойчивых состояний процесса упругопластического деформирования, и отметил необходимость рассмотрения задач устойчивости за пределами упругости с позиций исследования процессов нагружения.
Концепция Шенли для реальных стержней получила свое развитие в работах А. Пфлюгера, Ю.Н. Работнова, В.Д. Клюшникова, Я.Г. Пановко, Ю.Р. Лепика и других авторов [64, 70, 84, 91, 151]. Под влиянием работ Дуберга и Уайлдера [141], Ю.Н.Работнова [91], В.Д.Клюшникова [64] в 1950-е годы сложилось мнение, что для оценки устойчивости достаточно определить бифуркационную нагрузку. Причем касательно-модульная нагрузка дает нижнюю границу устойчивых состояний, а приведенно-модульная - верхнюю.
Идея Шенли о влиянии истории нагружения на величину критической нагрузки в 60-х гг. XX столетия привела A.A. Илыошина [60] и В.Г. Зубчанинова [44, 55, 58] к созданию теории устойчивости стержней, учитывающей взаимодействие последних с конструкцией при выпучивании.
А.А.Илыошин показал, что выпучивание сжатого стержня, работающего в составе конструкции малой жесткости, может сопровождаться как умень-
12
шением нагрузки на стержень (разгружающая конструкция), так и увеличением (догружающая конструкция). В отличие от работы А.А.Ильюшина, В.Г.Зубчанинов провел анализ процесса послебифуркационного выпучивания стержней в разгружающих и догружающих системах произвольной жесткости и показал, что имеется целый спектр нагрузок бифуркации с устойчивым и неустойчивым послебифуркационным выпучиванием. В догружающей конструкции бифуркационная нагрузка может иметь любое значение между касательно-модульной и приведенно-модульной, а в разгружающей системе - также любое, но между приведенно-модульной и некоторой величиной, больше приведенно-модульной, но меньше нагрузки Эйлера для упругого стержня.
Начало процесса выпучивания для догружающих систем является устойчивым (рост прогибов возможен только при увеличении нагрузки). В разгружающих системах выпучивание сопровождается убыванием нагрузки на сжатый стержень, а нагрузка на конструкцию может как увеличиваться (если нагрузка бифуркации меньше критической), так и убывать (при бифуркационной нагрузке выше критической). В последнем случае послебифуркационное выпучивание стержня является неустойчивым.
Ничем не поддерживаемый от выпучивания стержень в составе разгружающей конструкции начнет изгибаться при касательно-модульной йа-грузке. Процесс выпучивания будет оставаться устойчивым до предельной точки, характеризуемой условием
где р - параметр нагрузки на конструкцию, /- мера выпучивания.
Если же стержень в разгружающей системе удержать от выпучивания с помощью поддерживающих связей и нагрузить выше приведенно-модульной нагрузки, но меньше бифуркационного значения, соответствующего условию (1.1), то после устранения связей стержень останется в
13
устойчивом состоянии. Его выпучивание возможно только при увеличении нагрузки и будет устойчивым до достижения предельной точки, в которой выполняется условие (1.1). Причем предельная нагрузка окажется существенно выше, чем стержня без поддержки[52, 54]. В работе [52]
В.Г.Зубчанинов впервые показал способ практической реализации отмеченного еще Карманом обстоятельства, что для различных историй нагружения одному и тому же уровню нагрузки за пределом упругости могут соответствовать различные деформированные состояния. Автор подходит к исследованию неупругой устойчивости исходя из анализа различных историй нагружения упругопластических систем, приводящих к различным критическим состояниям. В связи с этим возникает вопрос не только о рассмотрении путей нагружения, приводящих к наименьшим значениям критических нагрузок, но и о выборе историй, повышающих несущую способность системы и отодвигающих наступление критического состояния.
В дальнейшем, основываясь на теории бифуркаций А.Пуанкарс [7, 891 и учитывая точку зрения Р.Хилла [125] и М.Хорна [126] па понятие устойчивости упругопластических систем, он пришел к необходимости различать точки бифуркации процесса квазисгатического деформирования и точки бифуркации Пуанкаре. В точке бифуркации процесса деформирования происходит ветвление процесса. Продолжение может идти по различным ветвям. При этом бифуркация еще не означает потери устойчивости. Одна из ветвей может оказаться устойчивой, и процесс деформирования продолжается вплоть до точки бифуркации Пуанкаре [55, 58, 68]. Устойчивым по Пуанкаре считается процесс, бесконечно малое возмущение которого не приводит к катастрофическому росту перемещений. Точкой бифуркации Пуанкаре является такая точка процесса, для которой бесконечно малое возмущение вызывает катастрофический рост перемещений. В этом случае условие (1.1) переписывается в виде
- Київ+380960830922