Деформирование упругих тел с учётом микроструктуры материала

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................5
Глава 1. Построение математической модели деформирования упругого материала, учитывающей микроструктуру.
1.1. Математическая модель деформирования упругого материала с учётом микроструктуры.........................................28
1.2. Исследование существования волн сильного разрыва в упругой среде с микроструктурой.......................................36
1.3. Исследование поведения больших градиентов деформации и вихря вблизи стационарных поверхностей..............................38
1.4. Построение граничных условий для деформирования упругой среды с учётом микроструктуры.................................40
Основные выводы по первой главе....................................43
*
Глава 2. Деформирование пространственных слоев упругой среды с учетом ее микроструктуры.
2.1. Элементы теории поверхностей применительно к срединной поверхности слоя..............................................44
2.2. Кинематика деформирования элемента слоя с учётом его микроструктуры................................................46
2.3. Уравнения в перемещениях для продольного сжатия криволинейных слоев...........................................48
2.4. Приближённое решение системы уравнений для перемещений слоя..........................................................53
2.4.1. Нулевое приближение................................53
2.4.2. Первое приближение.................................55
2.5. Решение системы уравнений для средних по слою
3
перемещений..................................................56
Основные выводы по второй главе.......................................58
Глава 3. Примеры влишнш микроструктуры на деформирование упругого материала.
3.1. Сдвиг криволинейной полосы с учётом микроструктуры материала, при условии полного прилипания представительного элемента к жёсткой границе..................................................59
3.2. Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала, при условии полного прилипания представительного элемента к жёсткой границе.......................................69
3.3. Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента *
на жёсткой границе...........................................76
3.4. Сдвиг криволинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента
на жёсткой границе...........................................80
Основные выводы по третьей главе......................................84
Глава 4. Численное решение задач статического деформнровашш
плоских упругих тел с учётом микроструктуры материала.
4.1. Цилиндрический сдвиг кольца.................................85
4.1.1. Постановка задачи.....................................85
4.1.2. Конечно-разностная схема расчета......................87
4.1.3. Метод прогонки решения граничной задачи...............90
4.1.4. Анализ задачи без учёта микроструктуры................92
4.1.5. Примеры численных расчётов............................95
4.2. Сжатие (растяжение) цилиндрического упругого слоя...........96
4.2.1. Постановка задачи.....................................96
4
4.2.2. Конечно-разностная схема расчета.....................98
4.2.3. Анализ задачи без учета микроструктуры...............99
4.2.4. Примеры численных расчетов..........................101
Основные выводы по четвёртой главе...................................102
Глава 5. Влияние микроструктуры материала на устойчивость закреплённых стержней.
5.1. Математическая модель устойчивости упругих стержней с учётом микроструктуры материала.......................................103
5.2. Исследование устойчивости стержня с шарнирно опёртыми концами........................................................105
5.3. Исследование устойчивости стержня, один конец которого заделан, а второй шарнирно опёрт...............................107
5.4. Исследование устойчивости стержня, один конец которого заделан, второй свободен................................................109
5.5. Исследование устойчивости стержня, один конец которого жёстко закреплён, второй имеет подвижную заделку......................113
5.6. Исследование устойчивости стержня, оба конца которого заделаны.......................................................114
5.7. Формулировка численной задачи по расчёту безразмерной критической силы при сжатии стержня с учётом микроструктуры материала......................................................116
Основные выводы по пятой главе.............................................117
Заключение...........................................................118
Литература............................................................120
5
ВВЕДЕНИЕ
В технологиях сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой (горные породы, бетон, наноструктуры, «суспензии», «микроморфные» жидкости и др.), что ведёт к необходимости их научного изучения. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой И по сравнению* с характерным линейным размером ь области изучаемой среды так и материалы- с малым /», но конечным отношением (и/Ь<\) характерного размера и микроструктуры к характерному размеру I области материала.
Глобальные методы построения моделей механики сплошных сред, основанные на обобщённом вариационном принципе, развиты в известных работах Л. И. Седова* и его школы [78, 79]. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию модели упругой среды с микроструктурой.
Исторически одной из первых моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является континуум Коссера (1909г.) [37]. Однако долгое время мемуар Е. и Ф. Коссера оставался незамеченным, и лишь начиная примерно с 1958-60 гг. стали усиленно развиваться обобщенные модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т. п. теории упругости (для краткости назовём их моментными теориями) [32, 33, 73, 74, 84, 118, 137, 161, 171]. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли Аэро Э. Л., Вожняк Ц., Германн Г., Грин А. Е., Гриоли Г., Гюнтер В., Койтер В. Т., Кувшинский Е. В., Ломакин В. Д., Миндлин Р. Д., Нахди П. М., Новацкий В., Пальмов В. Д., Ривлин Р. С., Савин Г. Н., Стернберг Е., Трусделл К., Тупин Р. Д., Эринген А. К. и многие другие авторы.
Характерной чертой моделей сред с микроструктурой является их явная.или неявная нелокальность. Последняя, в свою очередь, проявляется в том, что теории содержат параметры, имеющие размерность длины. Эти масштабные параметры могут иметь различный; физический смысл: расстояние между частицами в дискретных структурах, размер зерна или ячейки, характерный радиус корреляции или сил дальнодействия и т. д. При этом всегда предполагается,, что масштабные параметры малы по сравнению с характерным размером тела..
Следует различать случаи сильной или слабой нелокальности.. Если-«разрешающая способность» модели имеет порядок масштабного параметра, то есть в рамках соответствующей теории физически допустимо рассмотрение толщины слоя, соизмеримой с масштабным параметром, то. теория называется нелокальной, или сильно нелокальной. В'таких моделях можно рассматривать элементы среды порядка масштабного параметра, но, как правило,.расстояния; много:меньшие масштабного параметра, не имеют физического смысла.. • ' -
Если масштабный' параметр мал по сравнению с рассматриваемой) длиной тела, но полностью пренебречь эффектами нелокальности нельзя, то возможен переход к приближённым моделям, для которых интегральные и разностные операторы заменяются дифференциальными операторами с малым параметром при старших производных. Такие модели называются слабо нелокальными.
При рассмотрении достаточно больших областей материала (нулевое приближение) должен осуществляться предельный^ переход к локальной^ теории, уже не содержащей никаких масштабных параметров. Этим свойством локальности, то есть возможностью рассматривать «бесконечно малые» элементы среды^ обладают все классические', модели, механики сплошных сред.
7
Различают также среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, полностью определяющий состояние среды. Соответствующей силовой переменной являются объёмные и поверхностные силы. Для описания среды, сложной структуры дополнительно вводится набор« микровращений и микродеформаций разных порядков, характеризующих внутренние степени свободы, и соответствующие им силовые микромоменты. Интегральными характере™ками микровращений и микромоментов является поле вращений и поле моментов.
Потребность в написании предлагаемой работы возникла в связи с необходимостью изложения кинематического подхода для более точного расчёта кинематики деформирования и напряжённого состояния современных технологических материалов, обладающих однородной микроструктурой. Представляет интерес также оценка погрешности расчётов с использованием классических математических моделей механики сплошных сред, обусловленная приближённым характером описания кинематики однородных материалов с микроструктурой.
Основным пунктом несоответствия между классическими моделями сплошной среды - идеально упругий материал, пластический материал, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и целый ряд других моделей - и реальными материалами с однородной микроструктурой, является отсутствие в классических математических моделях сплошной среды безразмерного характерного параметра микроструктуры (И/Ь) [49, 51].
Под представительным элементом АV будем понимать такой объём материала, содержащего достаточно большое количество микроструктурных элементов, что механические свойства этого объёма ЛУ и механические свойства материала в целом - совпадают. Характерный линейный размер И микроструктуры может иметь размеры порядка от линейных размеров
8
кристаллов и мельче, до линейных размеров блоков горных пород в разных задачах.
Как уже отмечено ранее, одним из основных подходов для описания материалов с учётом их однородной микроструктуры является рассмотрение свойств микроструктуры путём введения микроповоротов (скоростей поворотов) в- точке пространства и связь этой классической кинематики — перемещение частицы и её поворот, деформация (скорость перемещения и собственная угловая скорость частицы, скорость деформаций) с силовыми характеристиками элемента - тензором напряжений и тензором моментиых напряжений [46, 47, 48, 174]. Характерный размер микроструктуры в таком подходе связывают с моментом инерции характерного объема микроструктуры, который входит в динамическое уравнение моментов. Этот подход великолепно развит в работах Эрингена Л. К., Булыгина А. II., Коссера Е., Аэро Э. Л, Николаевского В. Н. и др.
Другой подход в теории упругости связан с учётом- влияния на деформацию в точке пространства не только близлежащих элементов, но и более отдалённых, чго математически отражается введением в упругий потенциал IV не только градиентов перемещений первого порядка, но и градиентов второго порядка. Это направление учёта микроструктуры материала в кинематике связывают с работами Кунина И. А.
В предлагаемой диссертационной работе для учёта микроструктуры материала вводится представительный объём АУ = Л3 и кинематическая характеристика деформирования - тензор деформаций - вводится с учётом величин о(/т2), которые автоматически ведут к учёту градиентов второго порядка от классического тензора деформаций и, следовательно, учёта градиентов третьего порядка от вектора перемещений. Введение* в рассмотрение тензора деформаций с учётом характерного размера (Л/£) микроструктуры ведёт к учёту повышенного порядка градиентов перемещений в реологических уравнениях упругого материала. Построенная
9
таким образом математическая модель материалов с учётом в кинематике среды параметров микроструктуриости материала будет представлять систему уравнений в частных производных с порядком градиентов в них на два порядка выше, чем в классических математических моделях, при этом построенные уравнения будут, содержать малый параметр S2=(h/L)2 при старших градиентах, то есть« полученные уравнения- будут сингулярно возмущёнными и их возможно именовать “квазиупругими”, “квазивязкими”, “квазигазодинамическими” уравнениями [87, 88].
“Квазиклассические” уравнения упругого-материала за счёт учёта в них производных более’, высокого порядка но сравнению' с классическими допускают гладкие'решения в пограничном слое на границе, что седёт к построению однородных' конечно-разностных. вычислительных алгоритмов-сквозного счёта без выделения пограничных слоев: , •
В-России и за рубежом проведено множество исследований-в-средах, имеющих микроструктуру [3, 7, 8, 9; 27, 28; 29) 30; 31, 38, 39, 45, 83, 86;. 1491 140, 138; .167,. 170]; Так, в [140]* исследуется влияние-микроструктуры-на прочность, образцов доломита. С этой целью проведены петрографические и механические испытания^ 18 образцов- доломита. Изучено влияние на прочность среднего размера зерна, объемной пористости, а также модуля упругости и бокового давления. В результате получено выражение для определения прочности хрупких неоднородных пород через измеряемые микроструктурные и механические параметры. Авторы . [138] также утверждают, что петрофизические свойства горных пород преобладающе определяются их микроструктурой. Важнейшей-характеристикой .последней является- критическая (пороговая) пористость. Ее математическая формулировка-дается в рамках теории эффективной среды.и,в.рамках теории перколяции.. Порог пер коля ции для случайной или регулярной^ решетки зависит от плотности и среднего размера пор и трещин. Вообще, при расчете
материалов и конструктивных элементов при воздействии внешних нагрузок может возникать слишком большое отклонение от реальных соотношений, если не учитывается влияние микроструктуры. В связи с этим, в работе [149] исследуется применение моделей механики сплошных сред для сред с микроструктурой. При этом особое внимание обращается на вариационную формулировку механики разрушения, проблему гомогенизации для неоднородных сред и теорию перемещения. Представлены некоторые примеры, иллюстрирующие данную теорию.
В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вращения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [104, 105], Николаевского В.Н. [60], Ревуженко В.Ф. [70], Вервейко Н.Д. [20, 19]. Отметим, что*в монографии [70]' приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория^ структурно-неоднородных и микрополярных сред находит в механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов: В. [53, 54] предложена1 модель деформации микроструктуры грунта, связывающая условия* на границах пробы с изменением состояния контактов на поверхности наибольших касательных напряжений. Рассчитано изменение числа упругих и пластических контактов в процессе одноосного сжатия пробы и энергетическая кривая взаимодействия глинистых частиц. Выявлено циклическое изменение реакции пробы при постоянной скорости деформации. В работе [131] предлагается некоторое развитие теории предельного состояния грунтов с целью учета влияния их структуры, при этом пористость грунта характеризуется с помощью функционала; параметры которого могут быть определены экспериментально. Авторы [123] анализируют связь между микроструктурой и изменением объема зернистых мягких глин. Грунт моделируется! как двумерная пористая матрица, содержащая круглые поры. Показано, что объем уменьшается за счет
11
коллапса пор: Разрушение пор начинается, как только напряженное состояние, вычисляемое методом граничных элементов, приближается к критерию разрушения Треска.
Исследование горных пород и фунтов приводит к рассмотрению многокомпонентных пористых сред [146; 156, 116, 11]. В [116J представлена теория- композитных материалов, состоящих из двух изотропных составных частей, упругие характеристики которых определяются соотношениями Гассмана. Контакт между пористыми насыщенными материалами может быть "спаянным", т. е. сплошным, без каких-либо нарушений в виде трещин и пор, "неспаянным" или "частично спаянным". Эффективные напряжения* зависят не только от изменений характеристик всего выделенного объема, среды (объема пор, процентного-содержания жидкости), но определяются и изменениями в каждой отдельной компоненте: Получены выражения, для*-объемных модулей упругости композитного материала с перечисленными1 типами контактов. В работе [146] изложены теоретические предпосылки» уточненного учета влияния кластерной природы микроструктуры и множества случайно распределенных микропор. Выявлена потребность учета-ячеистой мелкопористой структуры металлической пены и конструкционных материалов в задачах анализа показателей деформируемости и прочности. Проведен анализ соотношения, микро- и макропоказателей в программных испытаниях на растяжение.
В работах [59, 112, 147, 158, 169]-используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов* конструируются модели из микроплоскостных элементов [159]. В/ [78, 124, 134] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разнот диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия.