Оглавление
Введение.........................................................................3
Глава 1. Основные соотношения теории наложения конечных деформаций, необходимые для решения задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле................................................11
1.1. Используемые основные термины и обозначения..............................11
1.2. Кинематика деформаций....................................................13
1.2.1. Векториые базисы.....................................................13
1.2.2. Аффиноры деформаций..................................................16
1.2.3. Тензоры деформаций...................................................17
1.2.4. Представление тензоров деформаций через градиенты смещений...........18
1.2.5. Другие тензорные характеристики деформаций...........................19
1.2.6. Изменение элементарного объема и элементарной площадки
при деформации.........................................................20
1.3. Определяющие соотношения.................................................21
1.4. Уравнения равновесия и граничные условия.................................23
1.5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.......................24
Глава 2. Постановка задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле...............................................................26
2.1. Модель образования включения.............................................26
2.2. Общая постановка задачи..................................................27
2.3. О применении метода Синьорин»............................................31
2.4. Постановка задачи в приближениях.........................................33
Глава 3. Алгоритм решения задачи об образовании упругого включения в
предварительно нагруженном теле. Результаты расчетов...................44
3.1. Сжимаемые материалы......................................................44
3.2. Несжимаемые материалы....................................................50
3.3. Анализ результатов расчетов..............................................56
3.3.1. Сравнение методов....................................................73
Заключение......................................................................82
Синеок литерагуры...............................................................83
Приложение 1. Применение системы аналитических вычислений для решения
задачи об образовании включения в предварительно нагруженном
теле.............................................................93
При ложенпе 2. Приближенные аналитические выражения
характеристик НДС рассматриваемой задачи
для различных определяющих соотношений..........................110
3
Введение
В диссертационной работе впервые получено решение плоской задачи об образовании в предварительно нагруженном теле кругового нелинейноупругого включения. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих соотношений. Форма включения задается в момент образования. Учитывается, что возникновение включения приводит (по крайней мере, в его окрестности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется па основе теории многократного наложения больших деформаций [32,33].
В середине 40-х годов XX века, наряду с «классической» линейной теорией упругости, стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были заложены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартеиев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухииа, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, Л.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, JI.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожплов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толокошшков, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats,
A.E.Green, W.L.Ko, iVl.A. Moony, F.D.Mumaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Trcloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zema и др. На сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.
Интерес к построению моделей, учитывающих положения нелинейной теории упругости, обусловлен также и использованием в современных технологиях высокоэластичных маетриалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [63]. Описания подобного рода мо-
4
делен для высокоэластичных материалов можно найти в работах Р.Ривлина [97], М.Муни [95], Л.Трелоара [82,83], В.В.Новожилова [60,61], Л.И.Седова [69], А.И.Лурье [47], А.Грина и Дж.Адкинса [1,14], К.Трусделла [84], Д.И.Кутилина [29]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости внесла и тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [77,78, 79,80]. Задачи, поставленные и решенные тульскими учеными, можно найти в работах Г.С.Тарасьева [71,72,73], Н.М.Матченко [49,50,51], А.А.Маркина [52,53,54], В.А.Левина [32,33] и их учеников.
Зарождение в рамках теории упругости концепции наложения деформаций было обусловлено тем, что при рассмотрении многих практически важных задач исследователи сталкивались с проблемой, когда тело уже имело начальные деформации и напряжения. В случае, если эти начальные деформации и напряжения малы, достаточно использования классической линейной теории упругости. Если же нет, то в качестве упрощения удобно принять, что начальные деформации большие, а вновь приобретенные - малые. Это привело к созданию теории наложения малых деформаций на большие, результаты которой нашли широкое практическое применение. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено, например, в [10]. Однако ко многим задачам такая теория не применима, например, для задач, когда концентраторы напряжений (полости, включения) образуются в теле, уже имеющем большие деформации и напряжения. А это значит, что есть необходимость в развитии и применении теории наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [71,72] и
В.А.Левипым [31,32,44,45,81 ].
Особенностью теории многократного наложения больших деформаций является рассмотрение нескольких состояний тела: начального (ненапряжен-
5
ного), (» -1) -го промежуточного и конечного - состояния тела после деформирования. Считается, что деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия, причем под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних нагрузок, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).
Термин «наложение больших деформаций» не следует ассоциировать с математической суперпозицией деформаций. Это означает, что параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него не есть сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого отдельного воздействия на него, как в случае малых деформаций. Также отметим нелинейность связи между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения; нелинейность представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений. Решение такой задачи приводит к проблеме решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.
Именно поэтому постановка и решение задач о поэтапном нагружении тел крайне сложна, что и обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.
В данной работе для решения исследуемой задачи использовался метод Синьориии, предложенный применительно к механике деформируемого твердого тела в работах Ф.Стопели и А.Синьорнни [98,98]. Применение метода Синьориии к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23,24,31,32,33,36,38,39,37,58,59,73].
Использование данного метода позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Идея использования такого подхода состоит в том, что на каждом шаге метода Синьориии плоская задача линеаризованной упругости для од-
6
породного тела с включением может быть решена методом Колосова-Мусхелишвили [27,28,57]. В данной работе получено два первых приближения метода Синьорини.
Известным недостатком метода Синьорини является вопрос о его сходимости, поэтому в данной работе было проведено сравнение результатов, полученных этим методом, с результатами численных расчетов, полученных методом конечных разностей.
Применение метода Синьорини к решению исследуемой задачи связано с определенными трудностями проведения промежуточных аналитических выкладок для каждого приближения. Однако с развитием компьютерной техники и появлением систем символьных вычислений, таких как Mathematica, Maple и др., становится возможным получить в том числе и приближенные аналитические (в некоторых случаях) выражения характеристик напряженно-деформированного состояния для подобного рода задач. Используемая в данной работе система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы символьных вычислений «Mathematica» к решению задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [66,34,37]. Необходимость создания специализированного программного комплекса на базе системы символьных вычислений «Mathematica» при наложении конечных деформаций обусловлена неспособностью широко распространенных современных промышленных пакетов на базе метода конечных элементов решать задачи подобного рода.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Техническое совершенствование способствует созданию новых материалов, способных испытывать и выдерживать большие деформации. В случае возникновения в телах из таких материалов дефектов (включений) становится важным описать поведение самого предварительно
7
нагруженного тела при перераспределении в нем конечных деформаций, вызванном образованием включения. Например, это важно в задачах мониторинга. Вышеизложенным и определяется актуальность рассмотрения задач теории наложения конечных деформаций для включений.
Применение систем аналитических вычислений, таких как «Mathe-matica», «Maple» др., позволяет в некоторых случаях получить приближенные аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела при образовании в нем включения. Последнее позволяет в формульном виде произвести предварительную оценку прочности конструкций в случае возникновения в них включений в процессе эксплуатации.
Основными целями диссертационной работы являются:
- моделирование образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;
- определение характеристик напряженно-деформированного состояния тела при перераспределении конечных деформаций на основе теории наложения деформаций;
- получение решения поставленной задачи с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».
Научная новизна. Впервые с учетом наложения (перераспределения) конечных деформаций получено решение плоской задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле. Решения найдены для различных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая учета «собственных» деформаций материала включения. Для ряда определяющих соотношений получено приближенное аналитическое решение.
Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения зада-
8
чи метода Синьорини системы символьных вычислений «МаФетайса». Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения задачи, полученными с применением метода конечных разностей, а для малых деформаций с классическими результатами.
Практическая значимость. Решена задача о перераспределении конечных деформаций в предварительно нагруженном теле в случае образования в нем включения. В ряде случаев получены приближенные аналитические представления основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем включения. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№98-01-00458, № 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика.
На защиту выносятся:
- модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;
- математическая формулировка плоской задачи, соответствующая данной постановке;
- алгоритм решения задачи для различных нелинейно-упругих определяющих соотношений;
- решения (в том числе и приближенные аналитические) поставленной задачи, полученные с использованием системы символьных вычислений «МаФетайса».
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 103 наименования, и двух приложений. Общий объем работы - 112 страниц машинописного текста.
В первой главе кратко изложена теория наложения больших деформаций в упругих телах, приведены кинематические соотношения этой теории, рассмотрены определяющие соотношения, используемые далее в работе при решении задачи. В качестве сжимаемых материалов используются материалы
9
Мурнагана и Л.А.Толокошшкова. В качестве несжимаемых материалов применяются материалы Муни, Черныха (их частные случаи - материалы Тре-лоара и Бартепева-Хазаповича соответственно), Л.А.Толокониикова, Валани-са-Ландела, Исихары-Хашицумы-Татибамы, а также неогуковский материал и материал Муни-Ривлина [12]. Записаны уравнения равновесия и граничные условия. Далее сформулированы математические постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Так как рассматриваются только плоские задачи, то обращается внимание на особенности постановки задач для случая плоской деформации и плоского напряженного состояния.
Во второй главе диссертации рассматриваются модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле и математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения. Рассматривается применение метода Спньорини к решению поставленной задачи. Отметим, что, используя этот метод, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала нулевое приближение, затем первое приближение и т.д. Приводится в приближениях запись определяющих и геометрических соотношений, формализуется в общем виде постановка краевой задачи в перемещениях для / -го приближения.
В третьей главе приводится общий и подробный алгоритмы решения поставленной задачи. Рассматривается применение метода Колосова -Мусхелишвили к решению линеаризованных задач на каждом шаге метода Спньорини. Записывается постановка линеаризованной краевой задачи для упругих сжимаемых и несжимаемых материалов в комплексной форме. Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Ко-
- Київ+380960830922