СОДЕРЖАНИЕ
Введение.....................................................................4
1. Система основных уравнений и соотношения метода конечных элементов для численного решения проблем высокоскоростного удара. Задача Тейлора 12
1.1. Система уравнений для описания нестационарных адиабатических движений упругопластической среды с учетом разрушения
и тепловых эффектов.................................................12
1.2. Конечно-разностные соотношения метода конечных элементов для численного решения пространственных задач высокоскоростного соударения деформируемых твердых тел................................... 17
1.3. Трехмерный расчет взаимодействия цилиндрических тел
с жесткой стенкой...................................................31
2. Имитационная модель разрушения эрозионного типа в задачах высокоскоростного взаимодействия деформируемых твердых тел..............45
2.1. Проникание удлиненных ударников в массивные преграды...............52
2.2. Влияние форм ударника и его прочностных характеристик на проникание в пластину и разрушение......................................55
2.3. Влияние тепловых эффектов на процесс высокоскоростного пробивания пластины из фторполимера.....................................64
2.4. Высокоскоростное ортогональное резание металлов инструментом
из СТМ с учетом разрушения и температурных эффектов.................72
3. Разрушение керамических преград при взаимодействии с ударником и группой тел в диапазоне скоростей встречи 100 - 4000 м/с........................80
3.1. Моделирование поведения керамических преград на основе оксида алюминия в широком диапазоне скоростей нагружения.......................80
3.2. Формирование устойчивых вихревых структур в керамических пластинах на стадии предразрушения......................................88
3.3. Особенности разрушения керамических преград конечной толщины стальными ударниками в диапазоне скоростей удара 600 - 4000 м/с......95
3.4. Разрушение керамической пластины при последовательном нагружении группой из двух идентичных тел...........................................103
4. Удар под углом группы из двух частиц по преграде конечной толщины 119
4.1. Синхронный удар двух частиц по пластине при углах подхода
обеих частиц 15° и 30°.............................................. 120
4.2. Синхронное контактирование с пластиной двух сходящихся частиц
при углах подхода обеих частиц 15° и 30°.............................129
4.3. Синхронное взаимодействие двух частиц с пластиной при движении обеих частиц под углом 60° в одном направлении.....................133
4.4. Разновременный удар двух частиц, движущихся под углом 60° в
одном направлении.................................................... 139
4.5. Разновременный удар двух сходящихся частиц........................ 151
5. Численное моделирование в трехмерной постановке удара группы высокоскоростных частиц по преграде.....................................159
5.1. Моделирование процессов соударения высокоскоростных частиц
с преградами различных типов......................................... 160
5.2. Синхронный удар [руппы высокоскоростных частиц по нормали
к преграде.......................................................... 181
5.3. Взаимодействие группы частиц с преградой при ударе под углом.......194
Заключение.................................................................204
Список использованных источников...........................................208
Приложение................................................................231
ВВЕДЕНИЕ
Широкомасштабные исследования процессов высокоскоростного взаимодействия деформируемых твердых тел экспериментального, аналитического, численного характера в подавляющем большинстве ограничены изучением соударения одиночных тел с преградами различных, в том числе достаточно сложных, типов [1 - 30]. Как в экспериментальном, так и в теоретическом плане проблемам удара группы тел по преграде и изучению особенностей их коллективного воздействия до сих пор уделялось крайне мало внимания [31 - 36].
Такое положение объективно объясняется сложностью процесса группового удара для моделирования и изучения. В экспериментах трудно реализовать управляемое метание группы тел с требуемым распределением скоростей тел по величине и направлению, расстояний между ними по фронту и глубине группы, обеспечить регистрацию параметров тел при подлете к преграде и в ходе взаимодействия с ней [34, 37 - 40]. Для адекватного численного моделирования требуется проведение расчетов в трехмерной постановке, что сдерживается сложностью численных моделей, методик и недостаточной для данного случая производительностью вычислительной техники [41 - 44].
Вместе с тем коллективное воздействие на преграду группы частиц различного размера и формы на практике реализуется в большинстве процессов высокоскоростного удара. Это может быть вторичный удар группы осколков, образовавшихся в запреградном пространстве после первичного удара. Групповым может быть и первичный удар. К последнему можно отнести случай сверхглубокого проникания при воздействии на преграду потока высокоскоростных микрочастиц [45 - 47].
Ряд исследований, проведенных в последние годы [35, 36, 48 - 51], продемонстрировал существенное влияние коллективного действия группы частиц
на конечный результат соударения. В [35] показано, что для скорости удара, заведомо меньшей величины, необходимой для пробития преграды одиночным телом, при ударе группы тел возможно пробитие преграды за счет интерференции волн разгрузки. В [36] исходный стержень разделялся на идентичные сегменты (до 8 сегментов) и было установлено, что если разнесение сегментов достаточно для интерференции волн и взаимовлияния, то уровень разрушений в преграде существенно возрастает. В [48, 49] коллективное действие группы частиц инициирует детонацию взрывчатых веществ в условиях, когда каждая одиночная частица детонацию не вызывает. В [50, 51] продемонстрировано формирование в пластине при групповом ударе областей лицевых и тыльных откольных повреждений эллиптического вида, обусловленною взаимным влиянием ударников. Приведенные примеры однозначно показывают существенное влияние коллективного фактора при групповом ударе и вместе с тем демонстрируют, что подобные процессы и явления мало изучены.
Таким образом, актуальность исследований поведения материалов при воздействии группы высокоскоростных тел обусловлена потребностью в знаниях о деформировании и разрушении материалов в подобных условиях, о неисследованных ранее эффектах и явлениях при ударно-волновом нагружении группой тел.
Цель работы - исследование деформирования и разрушения преград конечной толщины при высокоскоростном взаимодействии с ними ударника и группы тел методами численного моделирования; создание численных методик для исследования и прогнозирования разрушения преград с учетом взаимного влияния группы тел при ударе.
Научная новизна работы.
1. Предложена модель разрушения эрозионного типа, имитирующая на макроуровне разрушение межзеренных структур контактных слоев
взаимодействующих тел при высокоскоростном ударе. Обоснован выбор критерия разрушения, предложена зависимость данного критерия от условий взаимодействия.
2. Создана численная методика исследования процессов деформирования и разрушения элементов конструкций при высокоскоростном взаимодействии с ними ударника и потока (группы) тел, включающая предложенную имитационную модель разрушения.
3. Численно в пространственной постановке исследованы процессы синхронного и разновременного соударения группы частиц с пластиной при варьировании начального расстояния между частицами, углов подхода, направления движения, временных интервалов; оценена степень коллективного влияния частиц на характер разрушения преграды в зависимости от начальных параметров удара группы тел.
4. Показано влияние формы носовой части ударника (конической и плоскоторцевой) и его прочностных характеристик на возможность формирования в пластине областей откольных повреждений.
5. Выявлены распределения тепловых и механических параметров, реализующиеся в процессе соударения стального ударника с полимерной пластиной, изучены механизмы ее пробивания и разрушения.
6. Предложена методика численного расчета процессов ортогонального резания металлов инструментом из сверхтвердо! X) материала в диапазоне высоких и сверхвысоких скоростей резания, включающая кинетическую модель разрушения активного типа. Определено, что в качестве критерия отделения стружки предпочтительно использовать предельное значение удельного объема микроповреждений.
7. Предложена методика описания поведения высокопрочных керамических материалов в диапазоне скоростей нагружения 100 - 4000 м/с. Исследована динамика образования устойчивых вихревых структур в керамических пластинах
на стадии предразрушения при ударе. Установлено, что основной причиной вихреобразования является волновой фактор.
8. Установлено, что при последовательном нагружении керамической пластины группой из двух ударников с относительно низкой скоростью в условиях, когда после первого удара керамическая преграда сохраняет целостность, повторное нагружение при тех же условиях приводит к ее разрушению аналогично удару со значительно более высокой скоростью.
9. В трехмерной постановке проведен анализ и выявлены особенности деформирования и разрушения ударника при взаимодействии с недеформируемой и деформируемой прс1радой при варьировании скорости удара, угла подхода, при наличии полости в ударнике с наполнителем и без него.
Достоверность полученных результатов обеспечивается физической и математической корректностью постановок задач, апробированностью выбранного метода их решения, контролем в процессе численного счета выполнения законов сохранения, многократным сравнением с экспериментальными и теоретическими результатами, полученными другими авторами.
Практическая и теоретическая значимость работы. Получены новые представления о физике и механике процессов взаимодействия группы тел с преградами, об особенностях деформирования и разрушения преград при этом и взаимном влиянии тел. На основе созданных численных методик можно исследовать и прогнозировать поведение материалов при высокоскоростном воздействии потока (группы) частиц. Результаты и методики внедрены и используются в ОАО НИИ стали (г. Москва), Кыргызско-Российском славянском университете (г. Бишкек, Кыргызская Республика). Работа получила поддержку' Российского фонда фундаментальных исследований (1994-1995 гг., проект 94-03-08006, 1996-1998 гг., проект 96-03-33659, 1997-1999 гг., проект 97-01-00218, 2000-2002 гг., проекты 00-01-00550 и 00-01-00766, 2002 г., проект 02-01-10573, 2003 г.,
проекты 03-01-00122 и 03-01-10653), Правительства США (1996-1998 гг., грант ОААЬ01-96-Р-2255), Министерства образования РФ (2001-2002 гг., проект Е00-4.0-2), Президиума РАН (2003 г., проект 18.6 в рамках комплексной Программы фундаментальных исследований по направлению «Теплофизика и механика интенсивных энергетических воздействий»).
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Имитационная модель разрушения эрозионного типа для численного описания поведения контактных слоев материала взаимодействующих тел при высокоскоростном ударе.
2. Численная методика исследования процессов деформирования и разрушения элементов конструкций при высокоскоростном взаимодействии с ними ударника и группы тел.
3. Комплекс результатов исследований деформирования и разрушения преград конечной толщины при высокоскоростном ударе по ним группы тел.
4. Группа результатов, полученных с использованием имитационной модели разрушения эрозионного типа (влияние формы и прочностных характеристик ударника на разрушение преграды, пробитие полимерной пластины, высокоскоростное резание металлов).
5. Методика описания поведения высокопрочных керамических материалов и полученные результаты, в том числе по нагружению керамической преграды группой тел.
6. Результаты численного исследования взаимодействия одиночного ударника с преградами различных типов при вариации скорости удара, угла подхода, профиля ударника.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на III, IV Всес. совещаниях по детонации (ОИХФ АН, Таллинн, 1985, Телави, 1988), X - XV Научных чтениях по космонавтике
(Москва, 1986 - 1991), Всес. конференциях «Современные проблемы физики и ее приложений» (Москва, ВДНХ, 1987, 1990), X Всес. конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Красноярск, ИТПМ СО АН, 1987), II координационном совещании «Вопросы физики и газодинамики ударных волн» (Одесса, ИХФ АН, 1987), Республиканском семинаре «Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии физико-механических полей» (Киев, ИПП, 1990), I Всес. совещании "Диэлектрические материалы в экстремальных условиях" (Суздаль, ОИФХ АН, 1990), расширенном заседании Научного совета АН «Электрофизические свойства диэлектриков при воздействии электромагнитных и акустических полей» (Иваново, 1991), Мсжд. школе-семинаре «Физика и газодинамика ударных волн» (Минск, ИХФ РАН, 1992), IX конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (пос. Красновидово Московской обл., ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1992), II - VI Мсжд. научных конференциях CAD AMT. Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies (ИФПМ СО РАН, Томск, 1992, 1993, 1995, Байкальск Иркутской обл., 1997, д/о Синий Утес Томской обл., 2001), II Всерос. семинаре по динамике пространственных и неравновесных течений жидкости и газа (Миасс Челябинской обл., ГРЦ «КБ им. акад. В.П. Макеева», 1993), XII, XIII Межд. школах MODCOM. Модели механики сплошной среды (ИТПМ СО РАН, Казань, 1993, Санкт-Петербург, 1995), IV, V Межд. конференциях «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Казань, 1995, Новосибирск, 2000), Int. Conference MESOFRACTURE’96. Mathematical methods in physics, mechanics and mesomechanics of fracture (Томск, ИФПМ СО РАН, 1996), Межд. конференциях «Сопряженные задачи механики, информатики и экологии» (Томск, ТГУ, 1996, 1998, 2000, 2002), Межд. конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, ТГУ, 1997), I - III Всерос. научных конференциях
«Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, НИИГ1ММ при TIT, 1998, 2000, 2002), Int. Conferences SWCM. Shock Waves in Condensed Matter (Санкт-Петербург, 1998, 2000, 2002), III Сибирской школе-семинаре "Математические модели механики сплошных сред" (Новосибирск, ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 1999), VI - VIII Всерос. научно-технических конференциях "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, ТГУ, 1999, 2000, 2002), IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск), XII Симпозиуму по горению и взрыву (Черноголовка, ИПХФ РАН, 2000), Межд. конференции III Харитоновские тематические научные чтения «Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны» (Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2001), Int. Workshop “Mesomechanics: Foundations and Applications” (MESO’2001, ИФПМ СО РАН, д/о Синий Утес Томской обл.), Межд. научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию акад. H.H. Яненко (Новосибирск, 2001), VIII Всерос. съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), Межд. конференции VI Забабахинские научные чтения (Снежинск Челябинской обл., РФЯЦ-ВНИИТФ, 2001), Всерос. конференции "Процессы горения и взрыва в физикохимии и технологии неорганических материалов" (Москва, ИСМАН, 2002), Int. Workshop “New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter” (Edinburgh, Scotland, 2002), Межд. конференции V Харитоновские тематические научные чтения «Вещества, материалы и конструкции при интенсивных динамических воздействиях» (Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003), а также на семинарах кафедры теории прочности и проектирования Томского государственного университета, НИИ прикладной математики и механики при ТГУ, отдела структурной макрокинстики ТНЦ СО
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 40 статьях [50 - 89], из них 24 работы в журналах, 16 - в научных сборниках, материалах Всероссийских и Международных конференций. Хорев И.Е. [50 - 58, 68, 85, 87, 89], являясь вместе с Платовой Т.М. руководителем кандидатской диссертации автора (1989 г.), принимал участие в постановке задач и обсуждении результатов указанных работ. Горсльский В.А. принимал участие в постановке задач, обсуждении методов решения и полученных результатов совместных работ [52 -61, 63 - 78, 82]. Сидоров В.Н. [50, 51, 64, 69, 77, 79, 85, 88, 89], Никуличев В.Б. [81], Смолин А.Ю. [74] проводили численные расчеты, Видищсва Е.Б. [80, 83, 88], Ссмснцова М.А. [80, 86], Вишняков С.Н. [63] принимали участие в проведении численных расчетов. Богомолов А.Н. [53], Толкачев В.Ф. [70, 78], Коняев А.А. [50], Радченко А.В. [82], Якушев В.К. [89] в указанные работы комплексного характера внесли собственные экспериме1гтальные или численные результаты.
Автор выражает глубокую благодарность профессорам Платовой Татьяне Миновне и Хореву Ивану Ефимовичу за постоянное внимание и поддержку. Искренне признателен многочисленным коллегам, чья помощь, критические замечания и дискуссии с которыми принесли несомненную пользу. Среди них хотелось бы персонально выделить Горельского Василия Алексеевича, многолетнее сотрудничество с которым было плодотворным.
12
1. СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И СООТНОШЕНИЯ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО УДАРА. ЗАДАЧА ТЕЙЛОРА
1.1. Система уравнений для описания нестационарных адиабатических движений упругопластической среды с учетом разрушения и тепловых эффектов
В работе используется модель повреждаемой среды, характеризующаяся наличием микрополостей (пор, трещин). Общий объем среды \У составляют неповрежденная часть, занимающая объем Wc и характеризующаяся плотностью рс, и микрололосги (пустоты), занимающие объем в которых плотность материала полагается равной нулю. Средняя плотность повреждаемой среды связана с введенными параметрами соотношением р = рс (\Vc7W). Степень
поврежденности среды характеризуется согласно [90] удельным объемом микроповреждений Уг = '\УГ / (\Ур). Система уравнений, описывающая
нестационарные адиабатические (как при упругом, так и при пластическом деформировании) движения прочной сжимаемой среды с учетом зарождения и эволюции микроповреждений состоит из уравнений неразрывности, движения, энергии, скорости изменения удельного объема микроповреждений [1,6, 13, 81, 91,
92]:
^ + СІІУ ( ри) = 0 ,
(1-1.1)
(1.1.2)
<\ 1 -3\
13
Л
О, если |РС < Р* или (Рс > Р*и = 0) -^п(Рс)Кг(!Рс1-Р*)(У2 + Уг), . (Ы.4)
если Рс < -Р* или (Рс > Р*и Уf > 0)
где р - плотность, о, - компоненты вектора скорости V, Е - удельная внутренняя энергия, - компоненты тензора скоростей деформаций, ач = -(Р-К})5у+8у -компоненты тензора напряжений, ву - компоненты девиатора напряжений, Р = рс(р/рс) - среднее давление, Рс - давление в сплошной компоненте вещества, О - искусственная вязкость, Р* = РкУ|/(У1+У|); V,, У2, Р*, - экспериментально
определяемые константы материала.
Моделирование разрушений проводится с помощью кинетической модели разрушения активного типа [5, 7, 93, 94], определяющей рост микроповреждений, непрерывно изменяющих свойства материала и вызывающих релаксацию напряжений. Вид условия (1.1.4) был выбран на основе экспериментальных данных. Предполагалось, что в материале имеются потенциальные очаги разрушения одинаковых начальных размеров с эффективным удельным объемом VI, на которых образуются и растут трещины или поры при превышении растягивающим давлением некоторой критической величины Р*, которая уменьшается по мере роста образовавшихся микроповреждений. Константы в (1.1.4) подбирались путем сопоставления результатов расчетов и экспериментов по регистрации скорости свободной поверхности при нагружении образца плоскими импульсами сжатия. Один и тот же набор констант материала используется при расчете как роста, так и схлопывания трещин или пор в зависимости от знака Р.
Давление в неповрежденном веществе является функцией удельного объема, удельной внутренней энергии, удельного объема микроповреждений и во всем диапазоне условий ншружения определяется с помощью уравнения состояния типа Ми-Грюнайзена [13, 92, 95,96]:
14
Рс = р0а2ц + р0а2[1-у0/2 + 2(Ь-1)] р2 + р0а2 [2(1 - у0/2)(Ь -1) + 3(Ь -1)2 ] р3 + у0Р0Е ’
где р = \У(У-Уг)-1, у0 - коэффициент Грюнайзена, У0 и У — начальный и текущий удельные объемы, а и Ь - константы адиабаты Гюгонио, описываемой линейным соотношением [1]:
где и* - скорость ударной волны, ир - массовая скорость вещества за фронтом ударной волны.
В соответствии с подходом [97], примененным для расчета как компактирования, так и порообразования в условиях ударно-волнового нагружения, были использованы представления, согласно которым на изменение пористости влияет только шаровая компонента напряжений или давление, а компоненты девиатора напряжений ограничены независимой девиаторной функцией текучести [13,23, 98]:
причем = до,/сЦ - 5и/5х[. Параметр X тождественно равен 0 при упругой деформации, а при наличии пластической - определяется с помощью условия текучесги Мизеса [13]:
и5 = а+Ьир ,
где с!8у /А - производная поЯуманну, определяемая формулой:
<15$ Я<?--
15
В приведенных выше формулах в - модуль сдвига, а - динамический предел теку чести, которые определяются согласно соотношениям [81, 93, 96]:
С = С() Кт
1+—
(1+ц)
1/3
(Ч + У3)’
а =
а0 Кт
1 +
сР
(1 + Ц) О,если Ур > У4
1/3
1-
Ур
^4
, если Ур < У4
(1.1.5)
кт =
1 , если То ^ Т < Т}
1жгХ, если Т!<Т<Тт
Тт-Т1
О , если Т>Т,
т
Здесь Тт - температура плавления вещества, с, V*, У4, Т( - константы материала. Выбор функции Ку(Т) осуществлялся с целью моделировать в расчетах атермический характер пластического деформирования и динамической прочности твердых тел при высоких скоростях деформирования (104 с'1 и выше) [99,100].
Для вычисления температуры использовались соотношения (81]:
спг =
если Т < X
а(Е-Е0х)/Ср,
О ,
а(Е-Е0х-ДНт)/ср> если Т>Тт
если Т = Т,
ш *
16
где удельная теплоемкость Ср возрастает линейно с ростом температуры до температуры плавления вещества [81, 101]:
ср=<
0, сЬ-с° Ср Ср
р + 1
(Т-Т0), если То^ТсТ,
т
[Ср , ч^дгж ж жт
а холодная составляющая удельной внуфенней энергии б* определяется выражением [96]:
Е0х =
Ео , если £ < 0
Ео + Е^+Е2^2 + Ез^3 + Е4^4 , если ^ > О
где , дНт - удельная теплота плавления, с2 и Ср - константы
/ Рс
0 2 2 материала, Ео = -То Ср , Е1 = У0Е0* Е2 = (а + УОЕо)/2>
Е3=(4Ьа2+у^Ео)/6, Е4 =(-2у0Ьа2 + 18а2Ь2 + У^Е0)/24, Т0 -
начальная температура.
Для приведенных выше уравнений ставится краевая задача с начальными (г = 0) и граничными условиями. Конкретизация краевых условий для исследуемого класса задач проводится в соответствующих разделах работы. В целом данные условия характеризуются отсутствием в исходном состоянии внутренних напряжений и внешних нагрузок на свободных поверхностях, а на возникающих в процессе взаимодействия контактных поверхностях реализуются условия скольжения. Энергетическим источником взаимодействия служит кинетическая энергия группы ударников (или в зависимости от условий задачи одиночно! о ударним), которые движутся с заданной скоростью под определенным углом к поверхности преграды.
17
1.2. Конечно-разностные соотношения метода конечных элементов для численного решения пространственных задач высокоскоростного соударения деформируемых твердых тел
Для решения пространственных задач высокоскоростного соударения используется метод конечных элементов [12, 95, 102 - 105]. На основе этого метода строится дискретная модель тела, состоящая из набора конечных элементов, соответствующим образом связанных между собой в узловых точках. Уравнение движения для типичного конечного элемент сплошной среды выводится исходя из принципа возможных скоростей [91, 92], который формулируется следующим образом. Пусть на части поверхности Я тела, занимающего объем V, в процессе движения частиц задано распределение их скоростей
и;(К) = и1К
Тогда для кинематически возможных вариаций скоростей 6и„ используя уравнение движения (1.1.2) и с учетом компонент вектора массовых сил И,, можно записать
Это выражение интегрируется по объему V тела
КГ;-р^)5и^У = 0 V V ах
Первый интеграл запишется в виде следующих двух интшралов
\ V| стц5\>1<1У = {У^сТуби^сГУ- \ щр) 5о,сГУ .
V V V
Для преобразования первого из них используется теорема Гаусса-Остроградского, а для преобразования второго - очевидное тождество
= - ( Vj8uj + У|5и р + -(Vj бід - У*5и j) = бЄу + бсо^ (1.2.1)
Получится
Ісгуї^би^ІІ- {аубКуёУ- / сту бсОуСГУЧ |(^-р^1 )би^У = 0 , Я V V V ^
причем третий интеграл равен нулю в силу антисимметрии и симметрии бу .
Окончательно получится соотношение
|стубЄу(іУ = -ра^и, (1У + | сту і^бі^сШ (1.2.2)
V V Я
которым характеризуется принцип возможных скоростей.
Используя (1.2.2), получим уравнение движения отдельно взятого конечного элемента ге сплошной среды [102], опираясь на фундаментальное свойство конечно-элементарных моделей: для описания локальных аппроксимаций на каждом элементе различные элементы гс можно считать несвязанными между собой, выбранный элемент можно рассматривать изолировано от всей остальной системы.
Применим симплексную модель конечного элемента в дискретизации тела, широко используемую в задачах высокоскоростного удара [20, 74, 95, 106, 107]. В двумерном евклидовом пространстве такой элемент будет треугольником (рис. 1.1а), в трехмерном - тетраэдром (рис. 1.16). При симплексных представлениях локальные поля скоростей и* и ускорений а, в конечном элементе гс аппроксимируются линейными относительно координат функциями называемыми функциями формы
а(е) = а^)^>(х),
(1.2.3)
Ы(е) _Же)
где 1)| ? значения компонент скоростей и ускорении в узлах элемента
гс . Здесь рассматривается локальная прямоугольная система координат х„с), оси которой параллельны осям глобальной системы координат.
а б
Рис. 1.1. Форма конечного элемента в двумерном (а) и трехмерном (б) пространстве.
Уравнение (1.2.2) для конечного элемента гс с учетом (1.2.1), (1.2.3) принимает вид
= /^би^ау- /Ра[Чмч'мби1ыау+
V V V
+ {ауп^цбо^ал,
Я
где с целью упрощения опущена идентификационная метка элемента (е).
20
Полученное уравнение можно записать в следующей форме
= 0 ,
V
где р№ = ^¥м<1У+ | ст^пjvf/|sJdR - 1-я компонента полной обобщенной V Я
силы ри в узловой точке обусловленной объемными и поверхностными силами,
и ГП]^]у[ = тмы = ^Ч'^Чг'эдёУ - симметричная матрица размера х Ые,
V
называемая согласованной матрицей масс элемента.
Или
тыма^1 + /<*уЧЧ^У=Р№ • (1-2.4)
V
Уравнение (1.2.4) представляет собой общее уравнение движения конечного элемента ге сплошной среды. Переход к рассмотрению всего ансамбля элементов, составляющего конечно-элементную модель тела, позволяет получить глобальную форму уравнения движения:
мГДа,А + °п = рп>
Л* £г»И(е) (е) 0М(е) где Мрд = 2Л2Г км А - согласованная матрица масс всего
е=1
ансамбля конечных элементов,
оп = Х«г(е) К<еУу -е=1 V
£.„N1^1 Ге)
т= 2-^г' ,
е=1
1, если узел N элемента Ге совпадает с узлом I
связанной конечно-элементной модели, . (1.2.5)
О в противном случае
Уравнение движения для всего ансамбля элементов в предположении, «гго масса элементов равномерно распределена в узлах используемых в трехмерных расчетах тетраэдальных элементов, а массовые силы отсутствуют, имеет вид [12, 25, 74, 102]:
определяются согласно (1.2.5). Входящие в (1.2.6) индексы принимают следующие значения: Г = 1, 2, ... , М, где М - число узлов в конечно-элементной модели тела; I = 1,2,3; N = 1,2,3,4; ге = 1,2,..., Ь, где Ь - полное число элементов.
Входящие в уравнение (1.2.6) компоненты эквивалентных узловых сил находятся по формулам [12]:
mrair=SO^,
(1.2.6)
е=1
(е)
где шг - масса Г-го узла; air - i-я компонента ускорения Г-го узла; - i-я компонента эквиватентной силы N-ro узла элемента гс. Элементы массива Q ^ ^
Уравнение сохранения массы для элемента имеет вид: