1
Оглавление
Page
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. Конвекция вблизи критических чисел Релея при слабом нарушении условий механического равновесия 17
1.1. Естественная конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры....................... 17
1.1.1. Полость произвольной формы.................................... 18
1.1.2. Результаты численного эксперимента для случая горизонтального цилиндра круглого сечения............................... 25
1.1.3. Конвекция в шаровой полости вблизи критических чисел Ре-
лея при почти вертикальном градиенте температуры............. 27
1.1.4. Конвекция вблизи критических чисел Релея в вертикальной щели......................................................... 33
1.1.5. Тонкий цилиндрический слой................................... 35
1.1.6. Результаты численного эксперимента для тонкого слоя жид- . кости между горизонтальными коаксиальными цилиндрами . 41
1.2. Конвекция вблизи критических чисел Релея в зазоре между вращающимися коаксиальными вертикальными цилиндрами .... 48
1.3. Вибрационная конвекция в зазоре между коаксиальными цилиндрами ......................................................... 54
Глава 2. Численное исследование естественной конвекции в цилиндрических областях. 65
2.1. Конвекция в горизонтальном круговом цилиндре.................... 65
2.1.1. Подогрев снизу................................................ 72
2.2. Боковой нагрев.................................................. 92
2
2.2.1. Нагрев строго сбоку.......................................... 92
2.2.2. Произвольные направления нагрева............................. 98
2.3. Конвективное движение в слое между горизонтальными коакси-
} альными цилиндрами............................................ 103
Глава 3. Импульсные воздействия на неоднородно нагретую жидкость. 110
3.1. Тепловой импульс.............................................. 110
3.2. Гравитационный удар........................................... 119
3.2.1. Формулировка проблемы....................................... 121
3.2.2. Численное решение........................................... 124
3.2.3. Численные результаты ....................................... 125
3.3. Вибрационный удар............................................. 136
3.3.1. Постановка задачи........................................... 136
3.3.2. Численное решение........................................... 143
9
Глава 4. Некоторые термокапиллярные течения 163
4.1. Термокапиллярная конвекция в тороидальной области..............163
4.1.1. Численные результаты ....................................... 166
4.2. Термокапиллярные течения в длинной жидкой зоне в невесомости 170
4.2.1. Постановка задачи........................................... 171
4.2.2. Обсуждение результатов...................................... 173
4.3. Термокапиллярная конвекция в области мениска вблизи холодной стенки ........................................................ 176
4.3.1. Постановка задачи........................................... 177
4.3.2. Обсуждение результатов...................................... 180
^ Глава 5. Конвекция, вызванная комбинированными воздействиями 188
5.1. Влияние вибраций на режимы надкритической естественной
конвекции в горизонтальном плоском слое....................... 188
3
5.2. Марангоии-неустойчивость равновесия плоского слоя жидкости, совершающего высокочастотные вибрации...................... 194
5.3. Термокапиллярная конвекция в плоском слое с твердыми эле-
11 ментами на свободной поверхности..............................200
5.3.1. Постановка задачи......................................... 201
5.3.2. Численные результаты ..................................... 204
5.4. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне при наличии твердых элементов на свободной поверхности.............................218
5.4.1. Постановка задачи......................................... 219
5.4.2. Результаты расчетов. Структура течения.....................221
5.4.3. Результаты расчетов. Интенсивность течения.................223
5.4.4. Влияние различий тепловых свойств решетки и жидкости на
структуру и интенсивность конвекции.........................225
ы 5.5. Устойчивость механического равновесия и надкритические тече-
ния во вращающемся цилиндрическом жидком слое со свободной поверхностью................................................. 227
5.5.1. Формулировка проблемы..................................... 228
5.5.2. Постановка задачи. Основные уравнения......................228
5.5.3. Устойчивость механического равновесия..................... 230
5.5.4. Обсуждение результатов.....................................231
5.5.5. Надкритические режимы конвекции............................236
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 243
ЛИТЕРАТУРА 245
ВВЕДЕНИЕ
Исследование конвекции - движения ждкости, вызванного ее неравномерной нагретостью, - представляет большой интерес в связи с проблемой теплопереноса. Задачи, которые при этом ставятся, весьма разнообразны и находят широкое практическое применение. Приведем ряд примеров. В некоторых технологических устройствах (отстойники, ректификационные колонны и т.д.) используется расслоение жидкости на различные фракции. Конвективное движение противодействует расслоению, поэтому важно определить условия возникновения конвекции и возможности ее подавления. В связи с этим представляет интерес изучение влияния на конвекцию различных факторов, таких как периодическое и непериодическое изменение внешних условий, взаимодействия различных механизмов конвекции и т.д.
В других ситуациях расслоение жидкости может быть нежелательным, например, при транспортировке нефтепродуктов. Здесь конвекция может играть положительную роль, так что представляет интерес выяснение вопроса о том, как интенсифицировать конвекцию при ограничеснных возможностях изменения характерной разности температур.
Конвективное движение приводит к перераспределению температуры внутри области. Изменения температуры каждой точки среды важно знать, если в объеме находятся химически реагирующие вещества, скорость реакции которых зависит от температуры. Перераспределение температуры может оказаться существенным в различных оптических устройствах, т.к. вследствие зависимости показателя преломления от температуры могут возникнуть дополнительные аберррации. Значительную роль конвективные явления играют в металлургии и процессах направленной кристаллизации, поскольку качество результата зависит от распределения примесей,
5
которое в свою очередь зависит от структуры конвективного движения.
Масштабы конвективных движений могут быть весьма различны. В том случае, когда характерный масштаб движения того же порядка, что и ха-| рактерный размер области, в которой происходит конвекция, будем гово-
рить о конвекции в ограниченных областях. Под конвекцией в замкнутых областях будем понимать случаи, когда область, заполненная жидкостью, имеет во всех измерениях размеры одного порядка.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Перейдем к обзору некоторых работ по конвекции в ограниченных и замкнутых областях. Остановимся вначале на исследовании движений при подогреве снизу. Известно, что в этом случае возможно механическое равновесие жидкости, которое устойчиво лишь до некоторого критического значения температурного градиента (в безразмерной форме - числа Релея ^ II). Если число Релея превосходит критическое значение До, равновесие
становится неустойчивым и сменяется стационарным конвективным движением. Математически задача определения До может быть сформулирована как задача на собственные функции и собственные значения линейного дифференциального оператора. В случае замкнутой области решение этой задачи дает дискретный спектр значений До и пространственную структуру критических возмущений. Обширная библиография по этому вопросу, а также результаты, полученные теоретически и экспериментально для областей разных конфигураций, содержатся в монографии Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого [1]. Там же обсуждается влияние на устойчивость равновесия таких факторов как просачивание жидкости через границу, моду-№ ляция параметров, наличие внутренних источноков тепла и т.д. Поэтому
мы лишь кратко остановимся на некоторых работах.
Критические числа Релея, соответствующие нижним уровням неустойчивости для длинного горизонтального цилиндра круглого сечения относи-
тапыю плоских возмущений, определены в [2]. Пространственные возмущения в этой полости рассмотрены в работе [3]. Там же исследовано влияние конечной теплопроводности массива, окружающего полость с жидкостью, на критические числа Релея для плоских и пространственных возмущений. Показано, что с уменьшением теплопроводности массива более опасными становятся пространственные возмущения. Этот вывод подтверждается результатами работы [4], посвященной исследованию устойчивости равновесия жидкости в паралелепипеде, подогреваемом снизу, при произвольном отношении теплопроводности стенок к теплопроводности жидкости. Устойчивость равновесия жидкости в шаровой и кубической полостях, вертикальном цилиндре конечной высоты, шаровом слое рассмотрена в работах [5-8]. Отметим, что основными методами решения задач устойчивости в замкнутых и ограниченных областях являются методы Галеркина и Канторовича.
Для определения структуры вторичного движения, возникающего при Д > До, решение можем быть построено в виде ряда по степеням "надкри-тичпости (Я - До)1//2 [9]; при этом с точностью до членов второго порядка решение имеет структуру первого критического возмущения с амплитудой, определенной с точностью до знака, что соответствует двум противоположных направлениям циркуляции жидкости. В работе [10] стационарное решение вблизи До получено методом разложения по амплитуде. Этот метод использован также в [11] для рассмотрения в общей постановке задачи возникновения конвекции в жидкости с внутренними источниками тепла при наличии температурной зависимости вязкости. Полученное уравнение для амплитуды показывает, что, в отличие от случае обычной жидкости, когда обе ветви решения возбуждаются 11 мягко", возможно "жесткое "возбуждение одной из ветвей. Возникновение конвекции как ветвление решений нелинейных дифференциальных уравнений рассмотрено в рабо-
7
тах В.И.Юдовича [12,13]. Исследование устойчивости полученных решений проведено в работах [9,10]. Показано, что ответвляющиеся от равновесия решения устойчивы вблизи До как в линейной, так и в нелинейной теории » [9].
При числах Релея К, значительно больших До, аналитические методы становятся неэффективными. Поэтому для исследования конвекции в широком диапазоне значений числа Релея используются численные методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, в частности, метод конечных разностей (метод сеток). В работе Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкого и Е.Л.Тарунина [14] этим методом исследовано плоское конвективное течение в бесконечном горизонтальном цилиндре квадратного сечения при подогреве снизу. Особое внимание было уделено определению первого критического значения числа Релея. Сопоставление резуль-|г татов, полученных методом сеток и методом Галеркина показало хорошее
соответствие. Это позволило для других областей, имеющих более сложную конфигурацию, при определении первого критического числа Релея ограничиться результатами численных расчетов методом сеток. В этой работе была также дана оценка области применимости первого приближения аналитического решения нелинейных уравнений конвекции по интервалу значений числа Релея, в котором амплитуда конвективного течения растет с ростом надкритичности по корневому закону (закон Ландау, полученный в феноменологической теории фазовых переходов второго рода для параметра порядка). Оказалось, что корневой закон возрастания интенсивности конвективного движения имеет место пока Л < 1.5Ло-ф При возрастании II до значения ~ 10 * Ло в области формируется почти
изотермическое ядро течения и пограничный слой. При Л > 12 * Ло стационарные решения сеточных уравнений не были получены. В этой работе с помощью навязывания соответствующих начальных условий было исследо-
вано решение, имеющее структуру второго критического движения. Расчеты показали, что движение такой структуры метастабильно. Исследование влияния температурной зависимости вязкости на характер возникновения вторичных течений в квадратной области с твердыми границами проведено в [16]. Расчеты, проведенные методом сеток, показали, что неоднородность вязкости приводит к асимметрии второго критического движения относительно изменения направления циркуляции, причем, движение с восходящим осевым потоком возбуждается "жестко". Интересные результаты получены методом сеток в работе [17], посвященной численному расчету конвективных движений неныотоновской жидкости (степенная модель) в квадратной полости при подогреве снизу. Оказалось, что для дилатант-ных жидкостей равновесие абсолютно неустойчиво - конвекция начинается при сколь угодно малых числах Релея. Для псевдопластических жидкостей равновесие оказалось абсолютно устойчивым относительно малых возмущений; для получения стационарного движения, начиная с некоторого значения требовались возмущения конечной амплитуды. Изучение влияния сжимаемости на устойчивость и надкритические режимы конвекции проведено в [18,19].
Перейдем теперь к работам, посвященным задаче конвекции при нагреве сбоку. В этом случае равновесие невозможно, движение начинается при сколь угодно малой разности температур. Если разность температур мала, решение можно искать в виде рядов по степеням малого параметра - числа Грасгофа в. Для полости произвольной формы при сторого боковом нагреве такое решение построено И.Г.Шапошниковым в [20]. Конкретный вид нескольких членов рядов для функции тока и температуры определен для случая горизонтального цилиндра круглого сечения в работе [21]. Произвольные направления нагрева для этой же полости рассмотрены в работе [22]. Решение плоской задачи конвекции при малых значениях числа Релея
также ищется в виде рядов по Я. Определяются первые члены разложения для функции тока и температуры. В случае строго бокового нагрева решение согласуется с приведенным в [21]. Отдельно рассмотрен подогрев снизу. Полученное значение До оказалось завышенным по сравнению с результатами работы [2]. В работе [23] для рассмотрения медленной конвекции в прямоугольной полости со свободной верхней границей и плоском слое конечной высоты, подогреваемом сбоку, применен метод Канторовича.
С возрастанием характерной разности температур интенсивность конвективного движения увеличивается , усложняется структура течения и распределение температуры, поэтому для аналитического решения задачи требуются упрощающие предположения. В работе Бетчелора [24] применительно к задаче плоской высокоинтенсивной конвекции в прямоугольной области, вертикальные стенки которой поддерживаются при различных температурах, были сформулированы следующие упрощения. Течение в замкнутой полости разбивается на две зоны: пограничный слой около стенок и ядро течения. В первой зоне записываются обычные уравнения пограничного слоя, во второй - уравнения для первых членов асимптотических разложений функции тока и температуры при Д —> оо. На основании анализа этих уравнений и симметрии решения относительно центральной точки области сделан вывод о постоянстве температуры и завихренности в ядре. Температура в ядре находится также из соображений симметрии, а величина завихренности входит в качестве параметра в граничные условия для пограничного слоя и должна определяться из условия его замкнутости (модель Бетчелора). В работе [25] эта модель использована для решения задачи конвекции в горизонтальном круговом цилиндре, нагреваемом сбоку. Интегральным методом с учетом условий периодичности получена зависимость завихренности в ядре от числа Релея. Найден тепловой поток через полость как функция Б.. Интегральный метод в тех же предположениях о
структуре течения использован также в работе [26].
Экспериментальные исследования конвекции в различных полостях при боковом нагреве [27-29] не подтвердили модель Бетчелора. Ядро течения оказалось практически неподвижным, а распределение температуры - близким к линейному по вертикали с градиентом, направленным вверх.
Результаты численного, методом сеток, решения полных нелинейных уравнений плоской конвекции в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом сбоку, приведенные в [30], показывают, как и эксперимент, что с увеличением числа Грасгофа формируется пограничный слой и практически неподвижное ядро течения. Величина градиента температуры в ядре с ростом С стремится к постоянному значению, которое удовлетворительно согласуется с экспериментальным [31]. Аналогичным образом происходит развитие течения в вертикальной прямоугольной области, нагреваемой сбоку [32].
Существует ряд работ, содержащих попытки аналитического решения задачи конвекции в замкнутой области при наличии пограничного слоя и изоградиентного ядра течения. Так в работах [29,33] для полости прямоугольного сечения задача сводится к рассмотрению пограничного слоя у нагретой стенки при наличии постоянного градиента температуры на внешней границе пограислоя. Решение уравнений пограничного слоя стоится методом Кармана-Польгаузена. Величина градиента температуры в ядре определяется из условий подсоса жидкости в пограничный слой. Определен теплопоток в зависимости от отношения сторон полости. Сравнение с экспериментом, проведенное по этой зависимости и профилям температуры, показывает, что соответствие результатов вполне удовлетворительное. В работе [34] рассмотрен замкнутый пограничный слой в полости произвольной формы, при произвольной ориентации нагрева. Так же как в работе [22], решение нелинейных уравнений конвекции ищется в виде сум-
мы двух функций, одна из которых существенно отлична, от нуля лишь в пристеночной области. Сшивание решений производится на границе области. Из условия замкнутости пограничного слоя получается уравнение для распределения температуры в ядре. Конкретное решение этого уравнения проведено в случае горизонтального кругового цилиндра. Распределение температуры в ядре оказывается линейным с градиентом, направленным вверх. Найдена зависимость градиента от ориентации нагрева. Следует отметить, что использованное в работе предположение малости погранслой-ной температуры по сравнению с температурой в ядре соответствует почти вертикальному нагреву сверху.
Поскольку модель Бетчелора следует из определенным образом упрощенных уравнений конвекции, возникает вопрос об условиях ее применимости. По-видимому, существует несколько ситуаций, приводящих к изотермическому ядру течения. Как указывалось выше, в работе [14] методом конечных разностей исследовалась плоская конвекция в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу. Расчеты показали, что при больших надкритичностях формируется пограничный слой и изотермическое ядро течения. Численные исследования, проведенные для квадратной области при нагреве сбоку [35] для чисел Релея ~ Ю10, также указывают на образование изотермического ядра и стационарного по-гранслойного течения. Однако, использование другой конечно-разностной схемы в работе [36] привело, при числах Релея того же порядка, к нестационарным режимам течения. Отметим, что при гораздо меньших значениях числа Релея была обнаружена [30] колебательная неустойчивость пограничного слоя при нагреве сбоку, подтвержденная в эксперименте [37]. В работе [38], посвященной численному исследованию конвекции в длинной вертикальной прямоугольной области, при числах Релея ~ 1011 получающиеся нестационарные режимы рассматриваются как модель турбулентной
12
конвекции в вертикальном слое, подогреваемом сбоку.
В работах [39,41] проведено экспериментальное исследование конвекции дистиллированной воды в горизонтальном цилиндре круглого сечения. Из-| мерения теплопереноса показали, что при различных ориентациях нагре-
ва тепловой поток увеличивается с ростом числа Релея пропорционально Я0-25, что указывает на погранслойный характер течения. В работе [40] особое внимание уделено измерению температуры в ядре течения. Оказалось, что при переходе от нагрева сверху к нагреву снизу вертикальный градиент температуры в ядре .существенно уменьшается и течение становится нестационарным. Отмечено, что в стационарных реи мах течение жидкости практически плоское. Аналогичное экспериментальное исследование проведено для высоковязких жидкостей [41]. Отметим, что приведенные картины течения не имеют инверсионной симметрии, что указывает на существенную щ зависимость вязкости от температуры.
В работе [18] приведены результаты численного исследования теплопереноса при конвекции сжимаемого газа в горизонтальном цилиндре квадратного сечения для различных ориентаций полости относительно направления силы тяжести. Отмечается, что теплопоток максимален при комбинированном нагреве сбоку - снизу. Аналогичные результаты получены в работе [42], где численно и экспериментально исследовалась конвекция дистиллированной воды. Сравнение результатов по теплопереиосу показывает хорошее соответствие при всех углах нагрева, кроме близких к подогреву снизу.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Щ В первой главе "Конвекция вблизи критических чисел Релея при нару-
шении условий механического равновесия"рассмотрены задачи о ветвлении решений системы уравнений тепло- и массопереноса в следующих ситуациях: 1) произвольная замкнутая область при почти вертикальном градиенте
температуры, 2) шаровая полость при аналогичных условиях нагрева, 3) искривленный слой жидкости, 4) слой жидкости между вращающимися вокруг оси коаксиальными вертикальными цилиндрами, 5) слой жидкости между коаксиальными цилиндрами, совершающими высокочастотные вибрации в направлении, перпендикулярном оси, в невесомости. Показано, что в зависимости от структуры движения, вызванного нарушениями равновесия, имеет место либо несовершенная бифуркация, либо неустойчивость этого движения.
Во второй главе "Численное исследование конвекции в цилиндрических областях "приведены результаты численного исследования структуры конвективного движения в горизонтальном круговом цилиндре при произвольных направлениях нагрева и в полости между горизонтальными коаксиальными цилиндрами. Установлено, что в случае подогрева снизу с ростом разности температур стационарный режим течения сменяется колебательным. Для доказательства того, что этот переход обусловлен неустойчивостью течения, рассмотрена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу. Для течения в зазоре между коаксиальными цилиндрами проведен расчет формирования конвективного факела. Результаты численных исследований сравниваются с экспериментом.
В третьей главе "Импульсные воздействия на неоднородно нагретую жидкость "рассмотрены три задачи нестационарной конвекции в прямоугольной области, моделирующие процессы установления теплового и механического равновесия в условиях ограниченного но времени силового или теплового воздействия. Постановка этих задач связана с проектированием экспериментальных исследований на околоземных космических станциях и самолетах, движущихся по баллистической траектории. В качестве силовых воздействий рассмотрены гравитационное и вибрационное. Тепловое воздействие представляет собой тепловую накачку. Во всех случаях опре-
делены характерные времена установления равновесия в зависимости от определяющих параметров. Показано, что особенности установления равновесия связаны со структурами стационарных конвективных движений, которые существуют в рассмотренных областях, если воздействия стационарны.
В четвертой главе "Некоторые задачи термокапиллярной конвекции11 проведено исследование перехода к нестационарным режимам термокапиллярного течения в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне, а также в области мениска около холодной стенки. Показано, что во всех случаях возникновение колебательных движений предваряется эволюционным появлением ячеистой структуры течения. В случае тороидальной кюветы проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментом по определению областей существования стационарных и нестационарных режимов. Результаты расчетов конвекции в длинной жидкой зоне использовались для проектирования эксперимента по проекту ,,MAXUS-4nЕвропейского космического агентства (ESA). Расчеты конвекции в области мениска проведены с использованием оригинальной модели и качественно сопоставлены с экспериментом.
В пятой главе "Конвективные движения при комбинированных воздействиях "рассмотрены задачи: 1) влияние высокочастотных вибраций на устойчивость равновесия и надкритические стационарные течения в горизонтальном плоском слое (модифицированная модель Лоренца) и термокапиллярную неустойчивость плоского слоя, 2) влияние твердых эле-меитов, расположенных на свободной поверхности плоского слоя и жидкой зоны, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения 3) влияние центробежных сил на устойчи-вость механического равновесия и надкритические режимы термокапиллярной конвекции в жидком слое на внутренней поверхности вращающегося вокруг своей оси цилиндра. Показано, что
как вибрации, так и наличие твердых элементов на свободной поверхности могут привести к абсолютной стабилизации механического равновесия. Вращение жидкого цилиндри-чсского слоя оказывает дестабилизирующее воздействие на термокапиллярную устойчивость равновесия. В нелинейной области обнаружена неединственность стационарных решений.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассмотрено ветвление решений уравнений конвекции при слабых нарушениях условий механического равновесия. Показано, что если возникающее медленное движение имеет структуру, близкую к критическому возмущению, реализуется несовершенная бифуркация. В случае, когда медленное движение имеет структуру, отличающуюся от структуры критического возмущения, наблюдается неустойчивость медленного движения. Полученные результаты использованы для интерпретации некоторых экспериментов.
Изучена структура конвективного движения в замкнутой полости при различных направлениях нагрева. Установлено, что при всех направлениях нагрева при достаточно высоких значениях числа Грасгофа формируется замкнутый конвективный пограничный слой и ядро течения, которое при подогреве сбоку-снизу оказывается изовихревым и изотермическим, а при нагреве сбоку-сверху - неподвижным и устойчиво стратифицированным. Полученная зависимость коэффициента конвекции от угла нагрева сопоставлена с экспериментальными данными.
Построена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу для изучения колебательных режимов течения при подогреве снизу. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.
Изучено установление механического равновесия в неравномерно нагретой жидкости после импульсного воздействия массовой силы гравитационного или вибрационного происхождения, а также импульсного нагрева.
Получены зависимости времени установления равновесия от определяющих безразмерных критериев подобия.
Изучен характер возникновения вихревых термокапиллярных движений в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне. Установлено, что возникновение вихревого течения предшествует развитию нестационарных движений типа годротермальных волн. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.
Изучено возникновение колебательных термокапиллярных движений в области мениска около холодной стенки. Установлено, что, как и в случае гидротермальных волн, колебаниям в области мениска предшествует появление вихревой структуры. Проведено качественное сопоставление с экспериментом.
Изучено влияние вибраций, перпендикулярных границам плоского слоя, на естественную и термокапиллярную конвекцию. Сделан вывод о возможности абсолютной стабилизации механического равновесия.
Изучено влияние твердых элементов, периодически расположенных на свободной поверхности, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения в плоском слое и жидкой зоне. Установлено, что увеличение числа твердых элементов эффективно уменьшает интенсивность термокапиллярного движения, несмотря на сохранение суммарной площади открытой части поверхности.
Изучено совместное действие двух механизмов неустойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости в случае слоя на внутренней поверхности бесконечного кругового цилиндра в невесомости: термокапиллярного и центробежного. Проведены расчеты надкритических режимов течения.
Глава 1
КОНВЕКЦИЯ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РЕЛЕЯ ПРИ СЛАБОМ НАРУШЕНИИ УСЛОВИЙ МЕХАНИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Экспериментальное определение критических значений параметров, при которых возникает конвективное движение, сопряжено с большими сложностями, так как требует реализации жестких условий нагрева, специфических для областей разных конфигураций, или требований к геометрической форме области. Как показывает опыт в большинстве случаев необходимые требования удается выполнить лишь приближенно, поэтому представляет большой интерес теоретическое изучение следствий слабого нарушения условий механического равновесия в различных силовых полях для областей различных конфигураций.
1.1. Естественная конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры
Рассмотрим сначала гравитационную конвекцию в ситуации, когда нарушение условий равновесия приводит к возникновению малой горизонтальной составляющей градиента температуры. Пусть жидкость заполняет замкнутую область. Распределение температуры в окружающем массиве соответствует тому, что в жидкости формируется в режиме теплопроводности постоянный градиент температуры 0о
У0о = — А^сова + шпа) ~ —А(7 + га)
Здесь а-малый угол наклона градиента температуры к вертикали; 7 -единичный вектор вертикальной оси;г -единичный вектор горизонтальной оси; А -абсолютная величина градиента температуры.
.іітппиіі.
(ііііпш-іііііш.
Рис. 1.1. Замкнутая область. Условия нагрева
1.1.1. Полость произвольной формы Уравнения стационарной конвекции в приближении Буссинеска в безразмерной форме могут быть в этом случае представлены в виде:
Здесь Я - число Релея;С - число Грасгофа; Р - число Праидтля; х -горизонтальная координата.
Если С=0 (строго вертикальный нагрев) возможно механическое равновесие й = 0,0 = О, которое устойчиво, пока число Релея Я не превосходит некоторого критического значения До. При Я > До равновесие становится неустойчивым и сменяется режимом стационарной конвекции. При малом превышении Я над До решение системы можно построить методом разло-
(йУ)й = АІЇ + £07 -Чр+ Ся7 Р(5У)0 = Д в + £>и(т + РОЯ.-1!) У5 = 0, % = % = О
(1.1)
(1.2)
(1.3)
£>2 = Я =
19
жения по амплитуде:
/ -Л и ' ' ' й<2>>
в = £ в(1) + е2 0(2)
[р ) р(1) V ^ / , Р{2) у
Я = До + еЯ(1)+в2Я<2) + ... (1.5)
Каждое приближение для скорости, температуры и давления записывается в виде суперпозиции амплитудных частей малых нормальных возмущений равновесия, являющихся решениями спектральной краевой задачи
-\пьп = д«; + втпу - Урп (1.6)
-\пРТп = А Тп + ад (1.7)
V«; = о, «;|5 =тп|5 =о. (1.8)
Поскольку краевая задача оказывается самосопряженной, собственные значения Ап вещественны, а собственные функции удовлетворяют условиям ортонормировки [66]
/(адй + РТтТп) - 6тп
V
В окрестности #0 (RC.Ro) декремент До стремится к нулю по закону [10]:
\) = —р ^ [ (гоЩ)2с1У (1.9)
щ '
Коэффициенты амплитудного уравнения определяются условиями разрешимости в соответствующих приближениях.
Вычисления приводят к следующим результатам:
20
(й(Ч' / -> \
= Т0
1р(1)> ,Р0 ;
Д(1) = 0;
(1.10)
'гГС») > 0(2)
^ Р{2),
00
= Е ап
п=1
( - \ Тп
\А/
— НопХп ,
я<2> =
ЯоЛ2
!(Ыу0)ЧУ' Л2 п?ЛЯ°"
(1.12)
#0п — -Япо = I (щ(щ^)гГп + РТогГ0УТп) йУ,
V
Таким образом, в первом приближении стационарное движение, возникающее после потери механическим равновесием устойчивости, имеет структуру критического возмущения щ с амплитудой
е = ±[(Я-Д0)/Я2]1/2.
Исследование устойчивости найденного стационарного движения сводится к вычислению собственных чисел Л краевой задачи
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Полагая здесь
-Ху + (гЛ7)й + (иУ)£ = ДгГ + - Ур
-ХРТ + Р[(5У)0 + («У)Т] = АТ + Оуу V« = 0, % =Т|5 =0
Л = Л0 + еА(1) + £2Л(2) + ...,
(1.16)
21
V Т ( -> \ ч То 00 + £ £ С-п ( - \ Ъгь Тп
\ Р ) о П=1 К Рп )
находим, используя (1.10)-(1.12), сп = 2дп, А(1) — 0, А(!) — ЗА , так что
А = А0 4- Зг2Л2
Подставляя в эту формулу Ао и е2, получим окончательно
А = 2 ^ 1у(гоШо)2сГУ
Как видно из этого выражения, стационарное решение уравнений конвекции при строго вертикальном нагреве, существуещее в области значений 9 числа Релея Л > До, устойчиво, по крайней мере, вблизи До.
Рассмотрим как изменятся результаты, если С ф 0. Теперь механическое равновесие невозможно. При любом в, отличном от нуля, существует конвекция, поэтому амплитудное уравнение следует записать в виде:
(? = е(?(1'+е2С(2) + е3С® + ...
Коэффициенты этого ряда являются функциями числа Релея Я. Опре-елить их можно следующим образом. Уравнение 0 = + ев® + е2(У®
получающееся при 0=0, и амплитудное уравнение для случая строго вертикального нагрева должны совпадать с точностью до постоянного множителя, поскольку в отсутствии бокового нагрева вертикальный гра-* диент температуры остается единственной причиной конвекции. Учитывая
это, имеем:
С(1) + е2С(3) = _ Щ + е2Д2]_ С(2) = о
22
Для определения константы К достаточно найти С этой целью решение уравнений конвекции при наличии слабого бокового нагрева в первом приближении по амплитуде запишем как суперпозицию нормальных мод задачи устойчивости механического равновесия:
00)
(1)
= є
Л
То
Ро
/ _ \ Уп
00
+ £Ь„
71= 1
тп
Рп
После линеаризации, учитывая уравнения, которым нормальные моды удовлетворяют, получим систему:
00
Ао^О “Ь 52 Ьп^пУп —
п=1
00
Ао-РТо + 52 ^пАг?.РТп = 0.
п=1
Пользуясь свойством ортогональности нормальных мод, определим связь До И в® , а также коэффициенты Ьп\
Ло - С«1) х(ущ) (Г/
ь _Х°1у
Іу х{ущ) ІУ
(1.18)
(1.19)
Поскольку при Я Ро До -> 0, в то время как остальные декременты остаются конечными, вблизи Яо все коэффициенты Ьп 1, т.е. стационарное решение в этой области значений числа Релея имеет структуру первого критического возмущения.
Подставляя в (1.18) значение До из (1.9), находим
_ До- II 1уЫщ)2(IV
(^(і) ______
Ро ^ х^щ) вУ *
К - /у^)*^ ат = ккя = £___
Ло р£{Фо) (IV ’ х(ч$о) (IV
(1.20)
(1.21)
-1.5—1
Рис. 1.2. Амплитуда конвекции в зависимости от числа Релея
Таким образом для, амплитуды стационарного конвективного движения при слабом боковом нагреве получаем кубическое уравнение:
подобное уравнению для амплитуды деформации слабо нагруженного сжатого стержня [67].
Число вещественных корней определяется знаком дискриминанта А = а3(Я-Яо)3—(ЬС)2. Число Релея Я*, при котором дискриминант обращается в нуль, определяется соотношением
При Я < Я* амплитудное уравнение имеет лиш один вещественный
е3 - За(Д - Я0)е - 26С = О,
(1.22)
а
- Київ+380960830922