41 :ик - 1/ «114 - б
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи УДК 535.529:541.64
АЛТУХОВ ЮРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД И ВЕРИФИКАЦИЯ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Специальность 01.02.05 — механика жидкостей, газа и плазмы
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Научные консультанты:
— доктор физико-математических наук,
профессор Покровский В.Н.
— доктор технических наук,
профессор Жмудяк Л.М.
Томск — 2001
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Феноменологическое построение реологических моделей полимерных жидкостей 15
1.1 Принципы термодинамики неравновесных процессов и реологические уравнения состояния......................... 16
1.2 Принцип материальной объективности и реологические соотношения .............................................. 18
1.3 Реологические уравнения состояния релаксационного типа 22
1.4 Реологические уравнения состояния интегрального типа 24
2 Определяющее уравнение как следствие мезоскопического приближения 27
2.1 Низкочастотные линейные моды и модели макромолекулы 30
2.1.1 Модель Рауза....................................31
2.1.2 Уравнение динамики субцепей — модифицированные раузовские моды..................................33
2.1.3 Функции памяти..................................36
2.1.4 Внутренний масштаб и эффект локализации ... 38
2.1.5 Релаксация макромолекулы....................... 41
2.2 Многомодное реологическое соотношение.................45
2.2.1 Тензор напряжений и релаксационные уравнения 45
2.2.2 Линейная вязкоупругость и самосогласованность теории...............................................49
2.2.3 Стационарные однородные течения при малых градиентах скоростей....................................52
2
2.3 Одномодное реологическое соотношение.....................54
2.3.1 Реологические уравнения с двумя релаксационными процессами.........................................55
2.3.2 Реологические соотношения с одним релаксационным процессом.........................................58
2.3.3 Реологическая модель Виноградова.................60
2.4 Динамика изолированной гантели и разбавленные растворы полимеров.............................................63
2.4.1 Динамика релаксатора в потоке....................64
2.4.2 Определяющие уравнения...........................67
2.4.3 Стационарное сдвиговое течение...................69
3 Реологическое уравнение состояния неразбавленных полимеров и нелинейные эффекты 73
3.1 Реологическая модель концентрированного раствора полимера с одним временем релаксации..........................73
3.2 Реологическая модель неразбавленных полимеров систем с учетом анизотропии подвижности макромолекулы, моделируемой субцепями........................................82
3.2.1 Анизотропия подвижности и нелинейные эффек-
ты в молекулярной теории вязкоупругости линейных полимеров....................................100
3.2.2 Нелинейные эффекты при простом сдвиге...........106
3.2.3 Стационарное течение одноосного растяжения . . 109
4 Простые неоднородные течения полимеров 116
4.1 Система уравнений движения .............................117
4.2 Пульсирующее течение нелинейной вязкоупругой жидкости без учета инерционных эффектов.......................119
4.2.1 Сравнение теоретических результатов и экспери-
ментальных данных по стационарному и пульсирующему течению растворов полимеров..............127
4.2.2 Резонансный режим течения и теплообмена в трубе 136
3
4.3 Нестационарное течение линейной ВУЖ в плоском канале — задача Рэлея.........................................144
4.4 Течение нелинейной ВУЖ в круглой трубе бесконечной длины под действием заданного градиента давления . .151
5 Численное исследование течений полимеров на основе базовой реологической модели 154
5.1 Система уравнений движения.............................161
5.2 Метод частиц в ячейках для вязкоупругой несжимаемой жидкости....................................................163
5.2.1 Граничные условия на твердых непроницаемых стенках ...............................................166
5.2.2 Метод решения релаксационных уравнений . . . .169
5.2.3 Граничные условия при решении релаксационных уравнений..............................................171
5.3 Течение ВУЖ в круглой трубе под действием заданного градиента давления .........................................171
5.4 Течения ВУЖ во внезапно сужающемся цилиндрическом канале......................................................172
5.4.1 Особенности поведения полимерных жидкостей при входных течениях в канале 4:1..........................174
5.4.2 Расчет входных течений в канале 4:1 на основе модели нулевого приближения............................190
5.5 Течение в цилиндрическом сосуде с вращающимся диском на поверхности..........................................193
5.6 Течение ВУЖ и ньютоновской жидкости в цилиндре с вращающимся диском на дне и со свободной поверхностью200
5.6.1 Граничные условия для вязких и вязкоупругих жидкостей на свободной поверхности.....................201
5.6.2 Результаты расчетов течения в цилиндрическом сосуде с вращающимся дном и свободной поверхностью ................................................203
5.7 Истечение струи ВУЖ из цилиндрического канала со свободной поверхностью......................................207
4
Заключение 215
Литература 217
1;ос
5
ВВЕДЕНИЕ
Существует класс материалов, описание поведения которых требует в равной мере учета как вязких, так и упругих свойств - это вязкоупругие среды. Широко используемым на практике представителем вязкоупругих материалов являются полимеры. Из них, заслуживающими изучения как с теоретической точки зрения - выяснения влияния молекулярного строения полимера на макроскопически проявляющиеся характеристики среды, так и с практической, ввиду возрастающих масштабов производства полимеров и их использования в качестве уникальных конструкционных материалов, являются линейные полимеры. Линейным полимером называется соединение, молекулы которого состоят из большого числа последовательно соединенных мономерных звеньев. Типичными представителями линейных полимеров являются полиэтилен, поликапроамид, полиакриламид, политетрафторэтилен. Особенностью поведения этих материалов является то, что различным температурам соответствуют различные состояния полимера: стеклообразное, высокоэластичное и текучее. Далее рассматриваются полимеры в текучем состоянии, которое встречает почти непременно в процессах переработки, а также широко используется в технических устройствах.
Полимерные системы, как объект исследования, проявляют целый ряд свойств, необъяснимых с позиций механики ньютоновских и неньютоновских вязких жидкостей. Математическая же модель, объясняющая поведение полимеров, должна описывать достаточно широкий класс таких необычных явлений как "эффекты входа и выхода"полимера в каналах переменного сечения, аномальное поведение вязкости при течении, разбухание экструдата при выходе из канала - эффект
б
Баруса, неустойчивость струй, пристенное скольжение и т.д.
Для обобщения указанных экспериментально наблюдаемых явлений необходимо математическое описание этих явлений в рамках некоторой реологической модели, которая в общем случае определяется молекулярным строением исследуемой среды. Такими моделями, связывающими напряжения и кинематические характеристики среды, могут быть идеальная невязкая жидкость, ньютоновская вязкая жидкость, неньютоновская неупругая жидкость, неньютоновская упругая жидкость, или, как часто говорят, вязкоупругая жидкость и т.п. Все эти модели в соответствующих условиях частично описывают наблюдаемые экспериментальные явления. При этом, по мере усложнения модели, вообще говоря, расширяется класс описываемых явлений и область применимости модели. Однако для достаточно широкого класса экспериментальных данных непротиворечивое описание течений полимеров оказывается возможным лишь реологическими моделями, учитывающих вязкоупругие (релаксационные) свойства полимеров.
Как известно [1-3], используемые модели вязкой жидкости и абсолютно упругого твердого тела отражают особенности молекулярного строения и межмолекулярного взаимодействия лишь идеализированных текучих и твердых сплошных сред. Причем, говоря о вязких свойствах среды при деформировании имеют в виду пропорциональность напряжений скоростям деформаций, а упругие свойства характеризуют пропорциональностью напряжений и деформаций, возникающих в деформируемой среде. Реальные тела при деформировании проявляют как вязкие так и упругие свойства, поэтому достаточно общие математические модели поведения реальных материалов должны описывать вязкоупругость. С этой точки зрения широкое и часто достаточно успешное использование идеализированных моделей объясняется как спецификой конкретных условий деформирования - малы деформации или скорости деформаций, велики или, наоборот, малы частоты внешнего воздействия и т.д., так и особенностями молекулярного строения конкретного материала.
Построение реологических моделей, адекватно описывающих поведение полимеров, осуществляется тремя способами. При одном из них
7
- феноменологическом - рассматривается наделенный некоторыми макроскопическими характеристиками материал, для которого записываются соотношения между компонентами тензора напряжений и деформаций (скоростей деформаций) с учетом некоторых ограничений как на вид соотношений, так и на входящие в них постоянные, характеризующие материал. В качестве ограничений используются принципы, связанные как с конкретным математическим представлением реологических соотношений - принцип материальной объективности, так и с непротиворечивостью реологической модели следствиям термодинамики неравновесных процессов и законов сохранения. К настоящему времени последовательная теория вязкоупругого поведения материалов, опирающаяся только на основные и общие принципы без введения некоторых дополнительных предположений физического характера не создана.
Иной подход в описании реакции материала на внешнее воздействие носит название мезоскопического приближения. Мезоскопическое приближение в динамике полимерных расплавов основывается на динамике выделенной макромолекулы, находящейся в системе перепутанных макромолекул. Обшая форма линейного динамического уравнения позволяет проверить различные гипотезы о законе затухания функций памяти среды. Для согласования теории с экспериментальными данными для полимерных расплавов и растворов системы сильно перепутанных оказывается достаточным принять экспоненциальный закон затухания с единственным корреляционным временем. Результирующая картина теплового движения макромекулы при этом совместима с представлениями о локализации макромолекулы, причем при мезоскопическом подходе в теорию естественным образом входит характерный внутренний масштаб, имеющий смысл длины макромолекулы между соседними зацеплениями или диаметр трубки при ином описании.
Оба подхода - феноменологический и мезоскопический - должны в конечном счете давать тождественное описание исследуемого объекта. Однако, ввиду трудностей как принципиального так и технического характера, встречающихся на пути последовательной реализации этих подходов, сейчас они существуют несколько обособленно, но оба
8
используются и развиваются для более полного и всестороннего описания полимеров.
Стоит упомянуть и третий путь получения реологических соотношений - так называемое микроскопическое приближение, которое имеет дело с исследованием системы движущихся перепутанных макромолекул. Этот подход, использующий сложный математический аппарат и большое число слабо обоснованных аппроксимаций при проведении вычислений, не просто реализуется, но полученные этим способом результаты в любом случае проясняют феноменологические результаты.
Важнейшие результаты микроскопическое, приближение используются и при проведении исследований на базе мезоскопического приближения.
В настоящее время нет недостатка в различного рода реологических моделях, в частности сформулированных на основе феноменологического подхода. Однако существующие модели, удовлетворительно описывая частные задачи конкретного исследования, по-прежнему не могут быть основой систематического исследования полимеров, ввиду присущего им принципиального недостатка - неучета особенностей строения конкретных полимерных систем. Поэтому сейчас ясно, что на пути феноменологического построения не будет сформулировано общих реологических соотношений, применимых ко всем полимерным средам. В тоже время подробные молекулярные теории, акцентирующие внимание на молекулярных процессах в полимерах, не дают возможности создания простых реологических соотношений удобных для интерпретации экспериментальных данных и проведения теоретического анализа. Потому по-прежнему стоит вопрос о формулировке простой реологической модели, описывающей поведение полимеров как в линейной так и в нелинейной областях, полученной по возможности последовательным способом, исходя из некоторых исходных принципов.
В настоящей работе изучаются особенности деформирования текучих полимерных систем - растворов и расплавов полимеров - на основе (микроструктурного) мезоскопического подхода.
9
Цель работы:
1) Получение общей реологической модели для разбавленных растворов полимеров при точном учете всех механизмов межмолекуляр-ного и внутримолекулярного взаимодействия макромолекул.
2) Обоснование применимости простейшей нелинейной реологической модели для описания поведения концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров в нелинейной области.
3) Анализ стационарных и нестационарных течений полимеров в условиях, где проявляются наиболее явно вязкоупругие эффекты, присущие полимерным системам.
4) Численный эксперимент и верификации на его основе реологической модели.
Краткое содержание диссертации.
В диссертационной работе, состоящей из 5 глав, рассматривается один из способов последовательного построения реологической модели концентрированных растворов и расплавов полимеров, базирующийся на концепции микровязкоупругости в рамках одномолекулярного приближения, а также уточняется вид реологического соотношения разбавленных растворов полимеров. При этом формулировка общего вида реологических соотношений для разбавленных и концентрированных полимеров проводится на основе существующих в настоящее время представлениях о строении полимеров и моделировании внутримолекулярных процессов.
Для разбавленных растворов полимеров получен общий вид реологических соотношений при совместном учете внутримолекулярной вязкости и анизотропии гидродинамического взаимодействия частей макромолекулы. Построение реологической модели растворов проведено на основе сравнения двух моделей полимерной системы. При этом показано, что при моделировании концентрированных растворов полимеров суспензией невзаимодействующих релаксаторов — гантелей, внутренняя вязкость в первом приближении может не учитываться. Такое приближение приводит к модели В.Н.Покровского. В рамках используемого подхода рассмотрено влияние анизотропии подвижности макромолекулы в системе перепутанных макромолекул на вид реоло-
ю
гических соотношений концентрированных полимерных систем.
Рассмотрение стационарных однородных течений на основе полных реологических соотношений дало качественно новый результат: появление отличной от нуля второй разности нормальных напряжений при простом сдвиге как для разбавленных так и для концентрированных растворов полимеров.
Проведено подробное исследование однородных течений концентрированных растворов с учетом членов третьего порядка по градиентам скорости в реологических соотношения.
Изучение течений концентрированных растворов в существенно нестационарных условиях пульсирующего течения в цилиндрическом канале проводилось на базе реологической модели В.Н.Покровского. Полученные результаты теоретического анализа и их сравнение с экспериментальными данными по пульсирующему течению позволили сделать вывод о применимости использованной реологической модели для описания нестационарных течений полимерных жидкостей и необходимости дальнейшего развития использованного подхода для формулировки более совершенной реологической модели полимерных жидкостей.
Проведено подробное и последовательное численное исследование течений концентрированных растворов в условиях, где течения вязко-упругих сред контрастно отличается от течения иных сред - течения в замкнутых областях и течения со свободной поверхностью.
В заключении кратко сформулированы результаты, полученные в работе.
Научная новизна. В диссертации впервые получена система реологических уравнений разбавленных растворов полимеров на основе модели невзаимодействующих релаксаторов, находящихся в вязкой жидкости, с учетом внутренней вязкости и анизотропии гидродинамического взаимодействия центров трения релаксатора в приближении точечных сил Озеена. В отличии от рассмотренного ранее случая учета усредненного (равновесного) гидродинамического взаимодействия, точная формулировка задачи приводит к качественно новому эффекту уже при стационарном сдвиговом течении — вторая разность нормаль-
11
ных напряжений отлична от нуля.
Обосновано применение в первом приближении для концентрированных растворов и расплавов полимеров простейшей нелинейной реологической модели В.Н.Покровского, в которой не учитывается внутренняя вязкость макромолекул.
На основе сравнения гантельной модели макромолекулы, находящейся в вязкой жидкости, и макромолекулы, моделируемой субцепями в вязкоупругой жидкости, выяснен физический смысл и значение постоянных, входящих в реологическую модель концентрированных растворов полимеров.
Для концентрированных растворов полимеров проведено исследование нелинейных эффектов, проявляющихся в однородных течениях и течениях одноосного растяжения.
Теоретически исследовано и проведено сравнение с экспериментальными данными массо- и теплопереноса при пульсирующем течении в цилиндрическом канале.
На основе численного исследования течений концентрированных растворов в реальных условиях, где течения вязкоупругих сред контрастно отличается от течения иных сред - течения в замкнутых областях и течения со свободной поверхностью, продемонстрирована адекватность рассмотренных уравнений особенностям течений полимерных жидкостей.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты свидетельствуют как о применимости рассмотренных реологических моделей для математического описания процессов переработки полимеров в стационарных и нестационарных условиях, так и о плодотворности использованного подхода в конструировании реологических соотношений.
Полученные закономерности и зависимости влияния различных физических факторов, учитываемых при построении модели, а также свойств полимерных сред и условий их деформирования на стационарные и нестационарные режимы течения позволяют определить возможные способы интенсификации технологических процессов совместного тепломассопереноса в реологически сложных средах, а также
12
при анализе результатов реогониметрических измерений вязкоупругих жидкостей.
Достоверность результатов. Применяемый в диссертации подход в части построения и обоснования реологических соотношений основывается на широко известных представлениях о молекулярной структуре и поведении полимеров на молекулярном уровне и использует достаточно широко применяемые физические модели, учитывающие строение полимера. Это определяет в рамках сделанных допущений и предположений адекватность полученных соотношений реальным полимерным жидкостям.
Полученные результаты при упрощении сводятся к известным результатам, которые используются как в теоретических так и в экспериментальных исследованиях полимеров. Это, совместно со сравнением экспериментальных и теоретических результатов, подтверждает достоверность полученных в работе выводов.
Автором представляются к защите результаты и методика теоретического исследования полимерных жидкостей, проявляющих вязкоупругие свойства при деформировании. В том числе:
1) методика получения и вид реологических соотношений для разбавленных растворов полимеров;
2) качественные и количественная оценки роли и вклада различных механизмов молекулярного и межмолекулярного взаимодействия на вид реологических соотношений;
3) используемая процедура последовательного построения простейшей нелинейной реологической модели концентрированных растворов полимеров;
4) результаты экспериментального и теоретического анализа нестационарного пульсирующего течения в цилиндрическом канале и используемый при численнОхМ анализе алгоритм;
5) качественные и количественные оценки роли и влияния вязко-упругих свойств полимерных жидкостей и нелинейности реологической модели на динамику пульсирующее течение полимеров.
6) результаты численного исследования течений полимерных сред в условиях, где отчетливо проявляется специфика вязкоупругого ПО-
13
ведения полимерных жидкостей.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации изложены в работах [64,68,75,79,80,111,163-184] и докладывались на II Всесоюзном совещании "Математические методы для исследования псшимеровм(Пущино, 1981), XII Всесоюзном симпозиуме по реологии (Рига, 1982), VIII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983), XIII Всесоюзном симпозиуме по реологии (Волгоград, 1984), III Всесоюзном симпозиуме "Теория механической переработки полимерных материалов "(Пермь, 1985), XV Всесоюзном симпозиуме по реологии (Одесса, 1990), IV Международном симпозиуме "Advances in structured and heterogenious сопНпиа"(Москва, 1993), 17 симпозиуме Реология-94 (Саратов, 1994), III научно-практической конференции Бийского технологического института (Бийск, 1995), II internat, sump. Advances in structured and heterogenious continua (Moscow, 1995), 18 Международного симпозиуме по реология (Карачарово, 1996), Международная конференция "Математические модели и методы их исследования "(Красноярск, 1999), II краевой конференции по математике. МАК-99 (Барнаул, 1999), XX симпозиуме по реология (Карачарово, 2000), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000), XIII International Congress On Rheology - Rheology 2000 (Cambridge, UK, 2000).
Материалы, приведенные в диссертации обсуждались на семинаре под руководством профессора В.И.Покровского, НИИПММ при ТГУ (Томск), а также в ИТФ СО РАН (Новосибирск).
В работах, написанных в соавторстве, автор принимал участие в постановке задач; проделал самостоятельно все теоретические выкладки; реализовал в виде программ все разработанные алгоритмы, использованные при численном исследовании; провел обработку результатов реогониметрических экспериментов для получения параметров реологических моделей; провел все расчеты; принимал участие в обсуждении полученных результатов и формулировке окончательных выводов.
14
Глава 1
Феноменологическое построение реологических моделей полимерных жидкостей
Общий вид уравнений переноса с точностью до некоторых неопределенных функций для систем, рассматриваемых в приближении сплошной среды, устанавливается на основе законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии, а также уравнения для изменения плотности энтропии, которые имеют вид [1,2]
^ + div pv = О (1.1)
,dvi , dvi, <9(7,1 , ,,
(L2)
д ^
H- &ik) “b “b (%i&kl %k&il) "b 9ikl\
= Nik - Xi(Tu + Xk<Ti (1.3)
Q S Q
~яГ + ^—(V‘s>k + Qiki) = Nik + (Tik - <?ki (1.4)
at oxi
dE
— -h divq = 0 (1.5)
+ ^) + <*™H = S (I-«)
где pv - плотность потока массы; q - плотность потока энергии; р -плотность; ps - плотность энтропии; Н - плотность неконвективного
15
потока энергии; Е - положительная функция возникновения энтропии
— производство энтропии; ста- - тензор напряжений; сг* - плотность сторонних действующих на жидкость объемных сил; ^ = р(хи щ.)
- плотность внешнего момента количества движен 5^ - плотность внутреннего момента количества движения; дм - плотность неконвектив-ного потока момента количества движения; Л^-плотность сторонних моментов сил, действующих на жидкость и распределен по объему.
Приведенные соотношения имеют общий характер и не связаны со спецификой материала. Система уравнений (1.1) - (1.6) определена через неизвестные функции Я*, Е, сг**, Конкретизация системы уравнений (1.1) - (1.6) достигается, если выразить плотность диссипации энергии или производство энтропии и плотность потока энергии через введенный тензор напряжений. Для этого необходимо выражение для изменения энергии системы, не находящейся в состоянии термодинамического равновесия, причем конкретный вид этого выражения определяется структурой материала. Известны два способа описания изменения энергии системы:
1) на основе общих принципов термодинамики неравновесных процессов;
2) на основе микроструктурных теорий строения вещества.
Рассмотрим конкретное применение первого из этих способов в формулировке реологических уравнений.
1.1 Принципы термодинамики неравновесных процессов и реологические уравнения состояния
Как известно [4], линейная теория вязкоупругости может быть последовательно сформулирована на основе общих принципов термодинамики неравновесных процессов, что позволяет считать реологическое соотношение для вязкоупругих материалов в лияейпом приближении следствием фундаментальных физических принципов.
Для системы, не находящейся в состоянии термодинамического равновесия, постулируется [4,5], что локальные термодинамические функции дополнительно зависят от некоторых внутренних переменных
16
где а - помер переменной и ее тензорные индексы. Тогда для плотности внутренней энергии на единицу объема р, £а) в движущейся
системе координат имеем
с1Ео = рТ + ю (1р + ТХи Л£а
где м = р/р + е - энтальпия единицы массы; е - внутренняя энергия единицы массы; Т.гиуХа - функции переменных я,ру£а.
Отсюда могут быть установлены зависимости
Як = РЧ (и + у) - ы (<Т;к + р5ц;) + ТНи
£ = Ы + р5»0 Т-1щк - ЯГ"1 У{Г - ^-Ха (1.7)
Здесь щи = дУг/дхь- Соотношение (1.7), определяющее производство энтропии, считается как обычно [4] суммой произведений термодинамических потоков
(спк+р6*)Т-',НТ-\^-
на соответствующие термодинамические силы 14*, У*Т, Хау причем потоки в общем случае следует считать функциями термодинамических сил
&Ц{ "Ь Р$1к = У/Т**
Н<=Н^8уХ71ТуХа)у
Представляя потоки в линейном по термодинамическим силам виде и учитывая теорему Онзагера [5] о симметрии коэффициентов при перекрестных членах, получаем 11
^ "Ь Рй%з) = ТрПчкПы 4- К{}к№к1 *+■ Х*-,У,Т 4- МциХи
= Щк№1 + 4- С+У,Т 4- Е^иХи
Щ = Ь^97^ 4- Сцли)}Л 4- 4- В&Х„ (1.8)
17
где <7у = о\- 4- оа{-; а'ф а%—симметричная и антисимметричная части тензора напряжений;7/я = ^ — 1/^)/2—симметри-
зованный и антисимметризованный тензор градиентов скоростей.
Коэффициенты уравнений (1.8) по предположению являются функциями параметров состояния, в том числе и Следовательно, последние соотношения, записанные в линейном приближении по градиентам скорости, нелинейны по £Л, что позволяет учесть нелинейные эффекты при деформировании сплошной среды.
Если не учитывать влияния внутреннего момента на движение сплошной среды, то соотношения (1.1), (1.2), (1.5) — (1.8) образуют замкнутую систему уравнений, определяющую в общем виде нелинейную вязкоупругую жидкость с точностью до некоторых постоянных. Дальнейшая конкретизация уравнений (1.8) может быть связана с применением принципа материальной объективности [6,7].
1.2 Принцип материальной объективности и реологические соотношения
Как известно, законы механики ковариантны относительно преобразования Галлилея, поэтому потребуем ковариантности относительно этих преобразований и уравнений (1.8). Пренебрегая инерционными эффектами, связанными с движением больших частиц, потребуем чтобы во всех системах координат, отличающихся друг от друга преобразованием
= а(кхк + а (1.9)
где (Цк—зависящий от времени ортогональный тензор; С{—зависящий от времени вектор, все процессы описывались одинаковым образом. Это позволяет сформулировать некоторые ограничения на вид соотношений (1.8). Рассмотрим законы преобразования функций и аргументов (1.8).
Для тензора градиентов скоростей */,•*, представимого в виде
Щк = 7\к 4- ^хк
18
преобразование при переходе к другой системе координат по закону
(1.9) будет таким
Щк = + àuüki
а для тензоров уц: и сjt*k
і
Іік = auakjJtj
Lüik = auûkjùj'ij + àuan) (1.10)
Рассмотрим преобразование внутренних параметров реологической модели. Для тензора произвольного ранга, преобразующегося подобно координатам ковариантно
Сik...l == Q'ijQ'ks • • • üln£js...n> Cjs...n = Q’pjQ'ms • • • (^qnCpm...q дифференцируя по времени, находим
d£ik...l • с • Г \ I • с I ^~yjs...n
^ — Q'ijQpjÇpk.J J Q'kjQ'pjÇip..d “г ... "Г 0>ljÜpjÇikmm.p + CLijÜks • • • Q>ln ^
Последнее выражение, учитывая (1.10), можно записать в виде — = i^ip^pk...l "Ь ^km^itn...l “Ь • • • “Ь LOlmÇik...n
. I dçі у і y і y
“rdijdke • • • û/n I ^ tüjp'bqs...n ^sq^jp...n * ’ * ^nqÇja..A
Отсюда видно, что комбинация, которую называют [8] производной Яумашга тензора &*.../
Щіk.j __ d&k.j à ґ
^ ШipÇpk...l ^km\,im...l • • • ^ln^,ik...n
преобразуется как независящий от времени тензор. Аналогичным образом рассматриваются и контравариантные тензоры.
Производная Яуманна имеет простейший вид среди ковариантных производных ПО времени. Действительно, выражение ДЛЯ àilükl может быть представлено в виде
&И®к1 — Wik “Ь ШУік "Ь )
19
где к—произвольная постоянная.
Запись уравнений (1.8) в ковариантном по отношению к преобразованию (1.9) виде при заданном наборе внутренних параметров приводит к определению матриц Ку 1т,Д/у/т,Су, Ну „ в уравнениях (1.8). Число феноменологических постоянных уменьшается. Далее можно использовать условие положительности производства энтропии и принцип минимума диссипации энергии, чтобы выделить область значений введенных постоянных. После этого дальнейшая конкретизация уравнений движения невозможна без некоторых предположений о числе и тензорной размерности внутренних переменных.
Для изотермических движений система уравнений (1.8) с учетом требования ковариантности уравнений относительно преобразований
(1.9) приобретает вид
где Nik—действующий на единицу объема момент сторонних сил. Далее рассматривается случай JV** = 0 и, кроме того, предполагается, что что влияние давления на значения всех величин незначительно, т.е. феноменологические постоянные и термодинамические силы зависят только от внутренних параметров
Соотношения (1.11) в рамках принятых предположений являются наиболее общей реологической моделью, описывающей движение нелинейной вязкоупругой жидкости. В случае линейного приближения по градиентам скорости, когда отклонения от состояния термодинамического равновесия малы, т.е. малы и феноменологические коэффициенты постоянны, термодинамические силы должны быть представлены в линейном виде
При соответствующем выборе числа и типа внутренних параметров система уравнение (1.11) определяет вязкую ньютоновскую жидкость,
&ik Ч P^ik — Pikjs'yjs “Ь Т Mikt/Xi/ aik — Т DikwXu = —Nik
(1.12)
20
- Київ+380960830922