Оглавление
1 Постановка задачи о кнудсеновском слое и методы вычисления коэффициентов скольжения 9
1.1 Методы описания граничной области................. 9
1.2 Получение задачи Крамерса........................ 13
1.3 Основные методы вычисления коэффициентов ГГУ 16
1.4 Некоторые численные методы решения интегральных уравнений......................................... 26
2 Газодинамические граничные условия для процессов испарения 31
2.1 Введение......................................... 31
2.2 Решение интегральных уравнений кинетической граничной задачи Крамерса................................ 32
2.3 Постановка кинетической задачи................... 36
2.4 Введение макропараметров......................... 39
2.5 Внутреннее разложение. Кинетические задачи для
пограничных функций .............................. 41
2.6 Анализ кинетической задачи с точки зрения полу-
чения общего вида газодинамических граничных условий .............................................. 42
2.7 Сведение задачи Крамерса к интегральным уравнениям ................................................. 44
3 Газодинамические граничные условия для процессов ис-
2
парения - конденсации и рассеяния 48
3.1 Введение....................................... 48
3.2 Постановка кинетической задачи................. 48
3.3 Кинетические задачи для пограничных функций . 50
3.4 Общий вид газодинамических граничных условий . 50
3.5 Интегральные уравнения задачи Крамерса......... 52
3.6 Результаты численного решения интегральных
уравнений....................................... 53
4 Газодинамические граничные условия для вращательно возбужденного двухатомного газа 67
4.1 Введение....................................... 67
4.2 Исходная постановка задачи..................... 67
4.3 Описание кнудсеновского слоя методом погранфунк-
ций ............................................... 70
4.4 Постановка задачи для погранфункции............ 73
4.5 Получение общего вида граничных условий........ 75
4.6 Коэффициенты разложений........................ 76
4.7 Модельный линеаризованный интеграл столкновений 77
4.8 Интегральные уравнения......................... 81
5 Газодинамические граничные условия для гетерогенных каталитических реакций 87
5.1 Введение....................................... 87
5.2 Постановка кинетической задачи................. 87
5.3 Внутреннее разложение. Кинетические задачи для
пограничных функций............................. 90
5.4 Интегральные уравнения......................... 94
5.5 Метод решения (алгоритмизация)................. 96
5.6 Результаты тестовых расчетов.................. 101
3
А Дополнения к главе 4 107
А.1 Коэффициенты разложений.......................... 107
А.2 Коэффициенты интегральных уравнений ............. 108
A.З Проектирование модельного оператора.............. 112
В Дополнения к главе 5 113
B.1 Свойства кинетического граничного условия .... 113
В.2 Преобразование граничного условия................ 114
В.З Модельное представление линеаризованного интеграла столкновений................................... 116
В.4 Получение интегральных уравнений................. 118
В.5 Вид ядер интегральных уравнений ................. 122
С Пример реализации программы с использованием MPI 124
D Результаты численного расчета к главе 3 132
4
Введение
Развитие современной вычислительной газодинамики даст возможность решения множества самых разных задач. Тем не менее, существует класс проблем, решение которых не удается получить в рамках традиционного подхода. Речь идет о ситуациях, когда физические процессы, происходящие на межфазной поверхности, могут существенно изменять параметры газовой системы. Подобные проблемы возникают в различных задачах, связанных с обтеканием тел в средних слоях атмосферы, расчетами химико-технологического и лазерного оборудования, химическими гетерогенными реакциями и теплообменом на поверхности и т.д.
Еще в 1875 году было показано, что простейшие условия прилипания вязкого газа к твердой стенке не соответствуют экспериментальным данным [90] и должны быть заменены на условия скольжения. Дело в том, что уравнения Навье-Стокса не справедливы в начальном, граничном и ударном слоях. С физической точки зрения это означает, что в этих областях термодинамическое равновесие еще не установилось, т.е. макропараметры еще не сформировались. Таким образом, для постановки корректной задачи в рамках газодинамического описания необходимо определить фиктивные значения макропараметров (начальные или граничные). Дл51 этого необходимо решать кинетические уравнения в пограничных слоях.
В последнее время известную популярность приобрели подходы, основанные на прямом численном моделировании (см. например [21),[19]) или численном решении уравнения Больцмана ([78],[79], [80] и др.). Однако, стоит отметить, что и в том и другом случае современная вычислительная техника не может обеспечить расчет с любой, наперед заданной, степенью
5
точности. Таким образом, большой практический интерес (в задачах исследования газодинамических лазеров, структуры и устойчивости сильных ударных волн в реальных газах, динамики взаимодействия газов с реальными поверхностями) представляет получение корректных газодинамических граничных условий (ГГУ) к уравнениям Навье - Стокса взамен условий “прилипания”.
Подобные работы, основывающиеся на получении математически корректного решения в кнудсеновском слое (приповерхностной области, имеющей толщину порядка нескольких длин свободного пробега) известны давно. Однако, в большинстве своем, несмотря на правильность самих ГГУ численные значения коэффициентов в этих формулах вычислялись либо лишь оценочно либо для простейших моделей взаимодействия газа с поверхностью ([55],[136] и др.), что явно недостаточно для решения современных прикладных задач. Тем не менее, возможности вычислительной техники на сегодняшний день позволяют получать коэффициенты ГГУ с заданной точностью для произвольных моделей взаимодействия газа с поверхностью.
Основной целыо данной работы является построение точных граничных условий для уравнений Навье - Стокса в переходном режиме течения (Кп < 1, рассматриваются медленные течения, Иеоо «1) для сложных процессов взаимодействия газ - поверхность, где эти эффекты важны, а также расчет коэффициентов этих граничных условий с заданной точностью с применением современной высокопроизводительной вычислительной техники.
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Содержание каждой главы, вкратце, состоит в следующем.
В первой, обзорной, главе рассмотрена постановка задачи о слое Киуд-сена и методы получения ГГУ. Также дано краткое описание численных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода,
б
применяемых в данной работе.
Во второй главе рассмотрена задача об испарении-конденсации однокомпонентного простого газа. Получены математически корректные газодинамические граничные условия к уравнениям Навье-Стокса и вычислены их коэффициенты. Также на примере решения модельного уравнения обсуждаются методы решения интегральных уравнений возникающих при решении задачи о получении коэффициентов ГГУ.
В третьей главе рассмотрена задача об испарении - конденсации и рассеянии однокомпонентного простого газа. Получены ГГУ для уравнений Навье-Стокса и вычислены их коэффициенты для различных ядер рассеяния, приведенных в работе Черчиньяни и Лэмпис 1997 года. Исследовано поведение коэффициентов ГГУ в зависимости от изменения температуры и параметров, характеризующих данную модель.
В четвертой главе рассмотрена задача о взаимодействии однокомпонентного двухатомного газа с поверхностью. Получены газодинамические граничные условия к уравнениям Иавье-Стокса и полностью поставлена численная задача по нахождению коэффициентов этих ГГУ.
В пятой, заключительной, главе рассмотрено взаимодействие многокомпонентного газа с поверхностью и получены ГГУ в случае каталитических реакций на поверхности. Поставлена и решена задача о нахождении коэффициентов этих ГГУ для произвольного вида граничного ядра рассеяния. Проведены тестовые расчеты с ядром оператора каталитических реакций предложенном в [138]. Разработан параллельный алгоритм для решения подобных систем интегральных уравнений. Проведен анализ эффективности этого алгоритма при использовании компьютеров разных архитектур, при этом расчеты проводились как на суперкомпьютере, так и с помощью вычислительной техники, доступной на сегодняшний день в рядовых лабораториях.
В приложениях приведен подробный вывод и полный вид некоторых преобразований, результаты численного расчета для задачи об испарении-
7
конденсации и рассеянии и детальное описание параллельного алгоритма с использованием технологии MPI на примере тестовой задачи.
Основные результаты, выносимые автором на защиту, состоят в следующем:
• построены газодинамические граничные условия и рассчитаны их коэффициенты для задачи об испарении - конденсации однокомпонентного простого газа;
• построены газодинамические граничные условия для задачи об испарении - конденсации и рассеянии однокомпонентного простого газа, рассчитаны их коэффициенты для различных ядер рассеяния на поверхности;
• получены газодинамические граничные условия для однокомпонентного двухатомного газа, поставлена вычислительная задача для получения коэффициентов этих условий;
• получены газодинамические граничные условия для случая гетерогенных каталитических реакций, рассчитаны их коэффициенты с использованием модельного ядра оператора, описывающего гетерогенные каталитические реакции на поверхности;
• построен параллельный алгоритм решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода;
• данный алгоритм перенесен на платформу MPI, что позволило протестировать его производительность на компьютерах разных архитектур.
Основные результаты были опубликованы в работах [106], [107], [108]
Глава 1
Постановка задачи о кнудсеновском слое и методы вычисления коэффициентов скольжения
1.1 Методы описания граничной области
Известно, что методы Гильберта или Чепмена - Энскога при малых числах Кнудсена позволяют получить уравнения сплошной среды. В этих методах функция распределения может быть представлена функциональным рядом, члены которого зависят от макропараметров(скорость, температура, плотность). При этом сами макропараметры подчиняются уравнениям Эйлера, Навье - Стокса или Барнетта — в зависимости от используемого разложения.
Указанный класс решений (т.н. класс нормальных решений, как его назвал Г.Грэд [30]) не справедлив в начальных, ударных и граничных слоях (см. например [55]. Причина этого состоит в том, что уравнения Больцмана для функции распределения (интегро - дифф. уравнение) является сингулярно возмущенным при малых числах Кнудсена.
Обычной практикой является использование в качестве граничных условий для уравнений Навье - Стокса условий прилипания. Однако еще в прошлом веке А. Кундтом и Е. Варбургом было экспериментально показано, что в слаборазреженном газе значения скорости и температуры газа
9
испытывают скачки на границе раздела фаз [90].
Для построения равномерно пригодного решения необходимо находить внутреннее разложение функции распределения (т.е в окрестности границы раздела фаз), для чего необходимо искать решение кинетических уравнений в данных областях.
Исторически первым методом позволяющим получить оценку скачков макропараметров на границе раздела фаз (без решения кинетических уравнений) является метод Максвелла. Он основан на законах сохранения (постоянство потока импульса и энергии в газе), аналогично тому, как это делается при выводе условий Рэнкина - Гюгонио в ударных волнах. Чтобы обойтись без решения уравнения Больцмана в кнудсеновском слое, неизвестную функцию распределения падающих на поверхность молекул принимают равной ее асимптотическому значению на внешней границе кнудсеновского слоя [207,41]. Максвелл использовал этот подход при расчете вязкого и теплового скольжения, проявляющегося при движении неоднородно нагретого газа вблизи твердой поверхности. В дальнейшем эта методика была развита рядом авторов.
Трэд получил более общие условия скольжения с использованием для функции распределения приближение 13и моментов [173, 174]. В дальнейшем эта схема применялась для течений смеси и многоатомных газов (см. например [40, 41]).
Более хорошего результата можно достичь с помощью приближенного метода Лоялки [203, 190, 4] (берущего свое начало о того же метода Максвелла), который, фактически, эквивалентен выбору простейшей пробной функции в вариационном методе (см. например [136]).
Другой группой аналитических методов получения ГГУ (газодинамических грапичпых условий ) являются асимптотические методы кинетической теории, основанные на получении решения кинетического уравнения в пристеночной области.
Первые два подхода направлены на решение исходно нелинейной гра-
10
пичной кинетической задачи. Первый из них (“трехпалубный” ) был предложен Даррозе [32] и был в дальнейшем развит рядом авторов [46, 44, 45, 48, 49, 47, 64, 65, 66, 67, 68, 63, 61, 73, 162, 163, 164].
Основная идея состоит в последовательном применении асимптотического метода сращиваемых асимптотических разложений к исходной (нелинейной) сингулярной задаче. Даррозе предложил рассматривать степенное разложение типа Гильберта, но не по е (здесь и далее е — число Кнудсена), а по у/е. В результате он обнаружил два пограничных слоя: внешний слой толщины О (у/е), который можно отождествлять с пранд-тлевским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины 0(е), соответствующий кнудсеиовекому пограничному слою. Таким образом, хотя мы и не получили уравнения Навье - Стокса на внешней границе, как это возможно при использовании метода Чепмена - Энскога, но при таком подходе мы получаем вместо них уравнения Прандтля. Из условий асимптотического сращивания определяем граничные условия для этих уравнений.
Во втором подходе, так называемым “двухпалубным” , асимптотическое сращивание осуществляется с разложением Чепмена - Энскога. При этом члены разложения зависят от е через газодинамические параметры (в отличии от трехпалубного подхода, в котором коэффициенты асимптотического разложения функции распределения от е не зависят).
Необходимо отметить, что в обоих подходах используется предположение о термодинамическом равновесии между поверхностью и газом в слое Кнудсена в главном порядке по е. Это предположение позволяет выбрать в качестве нулевого приближения глобально равновесное поперек слоя Кнудсена решение и, в результате, получить в следующем порядке линеаризированную задачу [46, 47, 55, 136, 162, 163, 164].
Также, в трехпалубном походе необходимым условием для сращивания является в главном порядке по е условие “непротекания”. Это накладывает некоторые ограничения на применение этих методов при вы-
11
поде ГГУ для процессов испарения - конденсации и гетерогенных каталитических реакций. Кроме того, в обоих методах существует необходимость решения задачи о справедливости предположения о термодинамическом равновесии в главном порядке по е между поверхностью и газом [161, 194, 212, 213, 214, 216, 217, 218, 230, 227, 235, 234, 237, 246, 245].
Третий подход заключается в использовании линейной [9, 225] и полулинейной [230, 227] постановки задачи. Этот подход дает возможность точно ответить на вопрос о справедливости предположения о термодинамическом равновесии газа и стенки в главном порядке по е и на вопрос о существовании условия “непротекания”. Однако, для этого необходимо знать структуру решения возникающей здесь задачи Крамерса (одномерная линейная граничная задача см. стр. 14).
Использование этих результатов и метода сращиваемых асимптотических разложений позволяет однозначно ответить на эти вопросы. При этом сами ГГУ получаются как необходимые и достаточные условия существования асимптотического сращивания без привлечения каких-либо дополнительных предположений.
Следующая группа методов, так называемая, “феноменологическая”, связана с решением линеаризированных задач (сюда же можно отнести и метод Максвелла). Феноменологические методы можно условно разделить на две подгруппы. Первая характеризуется интуитивным получением задач на функцию распределения внутреннего разлоэ/сенил и осуществлением асимптотического сращивания [216, 218, 194, 33, 8, 223]. Вторая группа включает в себя методы, в которых ГГУ получаются на основе функции распределения внешнего разлооюения и кинетического граничного условия [13, 128, 122, 136]
Наконец, к последней группе можно отнести методы неравновесной термодинамики ( см. например [42]), которые по своей идеологии близки к феноменологическим, и методы, сочетающие подходы неравновесной термодинамики и кинетической теории.
12
В заключении параграфа стоит отметить, что всюду, где мы говорили о получении ГГУ, подразумевается, что мы получаем и систему газодинамических уравнений, которая соответствует полученным ГГУ в рамках единого асимптотического подхода. Система таких уравнений вместе с ГГУ и образует с заданной точностью замкнутую гидродинамическую аппроксимацию для исходных кинетических уравнений.
1.2 Получение задачи Крамерса
Рассмотрим общие идеи асимптотических методов.
Для начала рассмотрим двухпалубный метод для простого газа на плоской поверхности при малых числах Кнудсена. В безразмерной форме задача имеет следующий вид:
(1.2.1)
У(£' —у —■ трансформанта отражения [12], “4-”“-” — означает отражен-
ные и падающие молекулы соответственно.
Функция распределения в кнудсеновском слое , зависящая от растянутой координаты б (5 = z/e, 2 — нормальная координата) и функция распределения во внешней области ищутся в виде рядов по е:
/(І)(в> I) = /о!)0>, І) + є/і(г)(5,1) + -
/(0)М = /Гм+є/і(0)м + ---
Условия сращивания этих разложений записываются в виде:
(1.2.4)
13
В качестве внешнего разложения возьмем ряд Чепмена - Энскога [159] с точностью 0(е2).
= М1 + Сф) + 0(е2) (1.2.5)
0£ - йо)2~
/о = (27г) 3/2 ехр
га — масса молекулы, по, [/о, То — числовая плотность, скорость и температура газа, удовлетворяющие уравнениям Навье - Стокса, а поправка ф известным образом зависит от тго, Vf/o^ УТ0 (смотри, например, [126]).
С точностью до е /г можно записать так:
fi — fw + 0(e)
fw = nu,(27rTtu)_3/2exp
(1.2.6)
£2
2Г,
W
Тю — температура стенки, пю — числовая концентрация молекул.
В этом случае при помощи принципа детального баланса [12] можем записать:
1^41 ехр
е'2
v{£ = С«СХр
2Т,
£2
W ,
2 Т,
V(-f -[') (1-2.7)
W ,
Тогда из (1.2.4) можно получить граничные условия скольжения для £Ло и То:
Us = Do
2=0
= фг*,)1^ + о(е2)
(1.2.8)
Т$Мт0|2=0 = 7Ц1 + ет5) + 0(е2)
Скорость скольжения й$ и скачок температуры т8 получаются из решения краевой задачи для стационарного линеаризованного интегро-дифференциального одномерного уравнения Больцмана с граничным условием операторного типа — так называемой задачи Крамерса.
Ьк = Lh
(h + фв)+ = R{h + ф.)~ hs--^2(2Tw)~^^us • £ + т8
-1)
(1.2.9)
+ const
14
- Київ+380960830922