2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр,
ВВЕДЕНИЕ....................................................... 6
ГЛАВА I. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В РАС
ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК - ОБРАТНАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА (ПУТИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНЕГО СИГНАЛА)... 19
1.1. Генератор обратной волны - типичный пример РАС, демонстрирующей стохастическое
поведение ......................................... 20
1.2. Теоретическая модель ЛОВ. Некоторые результаты
машинных экспериментов в рамках нелинейной нестационарной теории ЛОВ ................ 23
1.3. Результаты экспериментального исследования путей перехода к хаосу в РАС электронный
пучок - обратная электромагнитная волна ............ 32
1.3.1. Особенности конструкции лабораторного
.макета ЛОВ....................................... 32
1.3.2 Последовательность бифуркаций удвоения периода
автомодуляции ................................... 33
1.3.3. Переход к хаосу от режима квазипериодической
автомодуляции. Разрушение двумерных торов .......... 35
1.3.4. Структура бифуркационных диаграмм: системы при переходе к хаосу на плоскости параметров
ток и напряжение пучка ............................ 42
1.4. РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна вблизи порога возникновения хаоса,
как двупараметрическая динамическая система .... 52
1.5. Обсуждение возможных причин существования у
генератора обратной волны двух независимых параметров, определяющих динамику системы .......... 59
1.5.1. Некоторые особенности возникновения и эволюции режима периодической автомодуляции
в ЛОВ при изменении параметров системы ............. 60
1.5.2. Результаты экспериментального исследования
характера бифуркации потери устойчивости режима периодической автомодуляции в ЛОВ в широком г
диапазоне изменения параметров системы ............. 66
з
1.5.3.
1.6.
1.7.
1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
Выводы ГЛАВА 2
2.1
2.2.
2.3.
2.4.
2.4.1
2.4.2.
Стр.
Модельные эксперименты по исследованию
влияния, отражений на механизм перехода к _0
хаосу в ЛОВ..........................................бо
Эволюция спектра мощности выходного сигнала и фазового портрета системы в режиме стохастических автоколебаний ....................... 71
Результаты экспериментального исследования влияния внешнего гармонического воздействия на динамику ЛОВ......................................73
Переход к хаосу при воздействии внешнего гармонического сигнала на режим периодической автомодуляции в ЛОВ................................ 76
Переход к хаосу через разрушение трехмерного
тора в неавтономном генераторе обратной
волны................................................77
Синхронизация хаоса внешним гармоническим сигналом в ЛОВ.......................................80
< главе I..............................................84
СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В РАС С ЗАПАЗДЫВАЮРИ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ С АКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК - ПРЯМАЯ БЕГУЩАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА.
ЭКСПЕРИМЕНТ............................................87
Экспериментальный макет генератора с знзапзды-вающей обратной связью и его особенности ........... 88
Генератор с запаздыванием как распределенная динамическая система ............................91
Собственные моды генератора с запаздыванием и структура плоскости параметров 92
Модуляционная неустойчивость. Экспериментальное
исследование путей перехода к хаосу в ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью .........96
Последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции и ее универсальные свойства .......... 98
Разрушение квазипериодических режимов.................105
4
2.4.3.
2.4.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.7.1.
2.7.2.
Выводы ГЛАВА 3
3.1
3.2.
3.3.
Стр.
Переход через перемежаемость ...................... 118
О многообразии путей перехода к хаосу в исследуемой РАС ........................................ 120
Экспериментальное исследование эволюции одномодового хаоса в РАС с запаздывающей обратной связью .......................................... 124
Качественное обсуждение особенностей
сложной динамики системы с запаздыванием т.^
(по результатам натурных экспериментов) ...........
Стохастизация колебаний и переходы в хаосе в неавтономном генераторе с запаздыванием .......... 131
Экспериментальное исследование влияния малого гармонического возмущения на переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода..............................................132
Переходы в хаосе, инициированные внешним гармоническим воздействием. Дестохастизация колебаний .......................................... 136
< главе 2..............................................140
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ЭВОЛЮЦИИ МОДУЛЯЦИОННОГО ХАОСА В РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ АВТОГЕНЕРАТОРА С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ .....................................1«
Модели генератора с резонансным фильтром
в цепи запаздывающей обратной связи и
алгоритмы численного расчета амплитуды ............. 145
Режим стационарной генерации и условия
возникновения автомодуляции в модели
генератора с запаздыванием ......................... 151
Фазовый (топологический) инвариант и рабочие
моды генератора с запаздывающей обратной
связью ............................................. 162
3.4. Влияние расстройки фильтра на условия возникновения амплитудной автомодуляции в генераторе с запаздыванием ....................................... 165
5
Стр.
3.5. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода в модели генератора
с запаздывающей обратной связью ....................172
3.6. Модель генератора с запаздыванием, учитывающая
отражения в линии задержки (генератор с двумя петлями запаздывающей обратной связи) ...............1оЗ
3.6.1. Условия возникновения амплитудной модуляции в генераторе с двумя петлями запаздывающей
обратной связи.......................................184
3.6.2. Мультипликаторы "пространственно-однородного"
периодического режима в моделях генератора с запаздыванием........................................191
3.6.3. Некоторые результаты численного эксперимента по исследованию динамики модели генератора с двумя петлями запаздывающей обратной связи (разрушение торов) ...........................................193
3.7. Динамика комплексной амплитуды огибающей в
модели генератора с запаздыванием..................203
3.7.1. Устойчивость одномодовых автомодуляциоиных режимов и переход к многомодовому хаосу ...204
3.7.2. Влияние расстройки и ширины полосы пропускания фильтра на устойчивость одномодовых автомодуля-ционных режимов ............................................. 209
3.8. Качественная интерпретация результатов численного
рк^перимента. Структура фазового пространства ^3
Выводы к главе 3...............................................217
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................220
Приложение I. Экспериментальное исследование прохождения амплитудно модулированного сигнала через
цепочку лабораторного макета генератора с запаздывающей обратной связью.................222
%
Литература ...................................................2 34
6
ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы
В последние десять - пятнадцать лет распределенные автоколебательные системы (РАС) устойчиво привлекают внимание исследователей различных специальностей, что связано с их широким распространением в физике, химии, биологии и даже в общественных науках. Сейчас уже имеется ряд монографических обзоров (см., например [ 1 ] и примыкающий к нему обзор [ 2 ] ) и две книги
[3,4-] , посвященные автоколебаниям в распределенных системах.
Достаточно взглянуть на оглавление книги [3] и ознакомиться с содержанием главы 21 из [5 ] * чтобы понять, сколь широкий круг объектов различной природы относится к РАС. Действительно, это - лазеры (самый распространенный в литературе пример РАС), генераторы Ганна, пьезополупроводниковые генераторы ультразвука, страты в плазме, различные гидродинамические течения (термоконвекция Релея-Бенара, течение Куэтта и т.д.), биоконвекция, автоколебания в сообществах организмов, автоколебательные химические реакции и др. Проблемы, возникающие при исследовании РАС различной физической природы, оказываются похожими с наиболее характерной для радиофизики общеколебательной и общеволновой точки зрения. Поскольку общая теория колебательных и волновых процессов в системах с распределенными параметрами еще не завершена, серьезный интерес представляет экспериментальное исследование сложной динамики РАС, включая турбулентные режимы. Весьма подходящими для этих целей являются радиофизические РАС, такие как лампа с обратной волной(Л0В) и лампа бегущей волны с запаздывающей обратной связью (ЛБВ), демонстрирующие стохастические автоколебательные режимы. Эти автогенераторы в наибольшей степени отвечают физическому определению РАС, данному М. И.Рабиновичем [ 1 ] :
7
"...назовем автоколебательной консервативную систему, в которой в результате развития неустойчивостей возможно установление незатухающих волновых или колебательных движений (не обязательно регулярных), причем параметры этих движений - амплитуда и форма колебаний или волн, частота, а в более общем случае - спектр колебаний, - определяются самой системой и не зависят от конечного изменения начальных условий".
В ЛОВ волновая неустойчивость связана с черенковским излучением движущихся электронов, и к возникновению автоколебаний приводит развитие абсолютной неустойчивости возмущений. В ЛБВ имеет место конвективная неустойчивость (физический механизм тот же, что и в ЛОВ, - черенковское излучение движущихся электронов); однако при введении в систему запаздывающей обратной связи возмущения и при конвективной неустойчивости со временем будут нарастать в определенном объеме - возникает глобальная неустойчивость [ 1 ] . Ив том и в другом случаях неустойчивость приводит к установлению автоколебаний из-за наличия обратной связи, но характер обратной связи (ее физическая природа) разный. В ЛОВ она внутренняя и обусловлена встречным направлением скорости электронов и групповой скорости волны, т.е. скорости распространения потока электромагнитной мощности. В ЛБВ-генераторе -внешняя, обеспечиваемая внешней цепью обратной связи.
До последнего времени, главным образом, излучались регулярные волновые и колебательные движения в РАС, более того для радиофизики СВЧ было характерно изучение одночастотных режимов.
Правда, в связи с многочастотной и шумовой радиолокацией изредка обсуждались режимы одновременной генерации нескольких частот в ЛОВ и ЛБВ-генераторах. Исключение составляли предложенные В.Я.Кисловым и подробно изученные им и его сотрудниками шумотроны -генераторы шума, представляющие собой различные варианты ЛБВ с
запаздывающей обратной связью [ 6 ] .
8
Несмотря на то, что шумотроны были изобретены еще в начале шестидесятых годов, понимание природы автостохастических колебаний и механизмов их возникновения в динамических системах пришло много позже. Широкий круг физиков познакомился с проблемой стохастических колебаний благодаря обзору [ 7 ] • Следующий шаг состоял в понимании возможности существования хаотических режимов в простых динамических системах с конечным числом степеней свободы (см. обзоры [8 - Ц] ), Число работ по изучению стохастического поведения простых динамических систем в настоящее время растет взрывным образом, особенно после того, как были вскрыты некоторые универсальные закономерности путей перехода от порядка к хаосу (см., например, § 22.5 в монографии [5 ] ). Сейчас
можно сказать, что основные представления о природе стохастического поведения в простых динамических системах уже сформировались: математическая природа хаоса связана с существованием в фазовом пространстве диссипативной системы притягивающего множества из неустойчивых траекторий - странного аттрактора; определим основные механизмы рождения странного аттрактора из регулярных траекторий (точки устойчивого равновесия, предельного цикла, двумерных и трехмерных торов) при изменении параметров системы. Для систем, динамика которых моделируется одномерным отображением, получено аналитическое описание характеристик рождающегося хаоса в терминах критических индексов [И ] - вблизи точки перехода энтропия,
средняя мощность, ширина спектральных пиков и другие параметры хаоса степенным образом зависят от величины надкритичности.
В последнее время, по мнению М.И.Рабиновича [12] 9 максимум интереса как теоретиков, так и экспериментаторов начинает смещаться в сторону исследования свойств и характеристик уже возникшего хаоса и их трансформаций при возрастании степени неравновесности динамической системы, т.е. проблемы организации в фазовом прост-
9
ранстве системы стохастического множества предельно высокой размерности, С позиций этой проблемы необходимо выделить именно распределенные динамические системы, размерность фазового пространства, как и число стпеней свободы которых, принципиально бесконечное*
Полученные результаты для простых динамических систем должны стать отправной точкой при исследовании турбулентного поведения распределенных систем; конечной целью такого изучения
следует считать создание теории турбулентности, в первую очередь, гидродинамической. Эксперименты, в которых различные пути переходов порядок-хаос изучались для различных типов закрытых гидродинамических течений, уникальны [13] - их единицы и они сложны
в исполнении. С другой стороны для целого класса распределенных систем - систем радиофизических (к ним относятся, в частности, упомянутые выше ЛОВ и ЛБВ-генератор) - техника экспериментального исследования автоколебательных режимов хорошо разработана и сравнительно проста. В этом убедили уже первые исследования автоколебательных режимов (включая стохастические) в ЛОВ [14]
Заметим, что из распределенных систем только для ЛОВ в настоящее время имеется теоретическая модель вполне адекватная экспериментальным макетам [15] . Целесообразность дальнейшего исследования подробных радиофизических систем очевидна и из-за высокой достоверности и точности получаемых результатов.
Поскольку для систем с малым числом степеней свободы установлены некоторые универсальные пути перехода порядок-хаос (мы уже упоминали об этом), то в отсутствии общей теории РАС важен ответ на следующие вопросы:
I. Могут ли распределенные системы демонстрировать .все известные переходы к автостохастическим колебаниям, характерные для простых динамических систем, и какова специфика таких
10
переходов в РАС?
2. Какова природа эволюции свойств уже возникшего хаоса при изменении параметров РАС, в частности, при переходе к "сильно турбулентному” движению?
Ответы на эти вопросы нужно искать, в первую очередь, в
натурных экспериментах и в экспериментах на ЭВМ. Если "сценарии" возникновения хаоса действительно универсальны, то результаты исследования радиофизических систем окажутся важными и в других областях науки. Отметим, что в качестве объектов для машиннных экспериментов с РАС можно использовать упрощенные математические модели, основанные на уравнениях с запаздыванием, всилу относительной простоты используемых численных методов и алгоритмов
расчета, требующих малых затрат машинного времени.
Таким образом, экспериментальные и теоретические исследования автоколебательных режимов в радиофизических РАС, включая автостохастические, и выявление общих закономерностей в переходах типа порядок-хаос и хаос-хаос представляется актуальным для современной науки о колебаниях и волнах, в частности, для создания предпосылок дальнейшего развития теории турбулентности. Такие исследования актуальны и с практической точки зрения для создания автошумовых СВЧ генераторов с управляемыми параметрами и свойствами, демонстрирующих целый набор различных автоколебательных режимов.
Цель работы
I. Экспериментальное исследование последовательности автоколебательных режимов и деталей механизмов перехода к хаосу в РАС электронный поток - обратная электромагнитная волна (ЛОВ) в режиме автономных и неавтономных (под действием внешнего гармонического сигнала) колебаний при изменении параметров системы в широкой области, а также влияния отражений от концов электродина-
II
мической структуры на динамику РАС при переходе к хаосу;
2. Экспериментальное исследование различных сценариев возникновения хаоса и его эволюции при увеличении степени неравно-весности РАС с внешней запаздывающей обратной связью с активным элементом электронный пучок - прямая бегущая электромагнитная волна (ДБВ-генератор) как в автономном, так и неавтономном режимах работы;
3. Численное моделирование экспериментально обнаруженных автомодуляционных режимов и сценариев перехода к хаосу в РАС
на различных простых цепочках-моделях генератора с запаздывающей обратной связью.
Научная новизна
Отличительной особенностью работы является то, что в ней
впервые сделана попытка экспериментального исследования стохастических колебаний в двух типах РАС, отличающихся характером неустойчивости и видом обратной связи, с целью выявления, с одной стороны сценариев перехода к хаосу, типичных для систем с небольшим числом степеней свободы, и, с другой стороны, специфических особенностей сложной динамики РАС. Достоинство такого подхода в том, что исследование разных систем одновременно позволяет говорить о типичности и нетипичности того или иного сценария.
Это важно с точки зрения установления общеволновых и общеколебательных закономерностей в РАС.
Другая отличительная черта работы состоит в том, что в сверхвысокочастотных автогенераторах, которые на практике можно использовать в качестве шумовых, впервые экспериментально продемонстрированы все известные сценарии перехода к хаосу в простых динамических системах, а также все пути перехода к гидродинамической турбулентности, обнаруженные в различных экспериментах при
12
исследовании термоконвекции Релея-Бенара и течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.
Отметим также, что в отсутствии общей теории РАС в работе была впервые сделана попытка численного моделирования автоколебательных режимов и их сложной динамики при переходе к хаосу, экспериментально обнаруженных в исследуемых РАС, на упрощенных математических моделях генератора с запаздывающей обратной связью, основанных на дифференциальных уравнениях первого порядка с запаздывающим аргументом.
Конкретно получены следующие новые результаты:
1) экспериментально доказано, что типичным механизмом перехода к хаосу в системах типа распределенных резонаторов с активной средой является последовательность бифуркаций удвоения периода;
2) экспериментально обнаружено, что структура бифуркационной диаграммы перехода к хаосу в исследуемых РАС качественно описывается в рамкая теории разрушения двумерного тора в фазовом
пространстве размерности три двупараметрической динамической системы;
3) как в численном, так и в натурном экспериментах обнаружен переход к многомодовому хаосу в РАС с запаздывающей обратной связью, связанный с последовательным включением новых собственных мод системы в процесс стохастического движения;
4) показано, что генератор с двумя петлями запаздывающей обратной связи демонстрирует в численном эксперименте переход к хаосу, связанный с разрушением двумерных и трехмерных торов в фазовом пространстве.
Практическая значимость
Полученные результаты важны, в первую очередь, как экспери-
13
ментальное подтверждение теоретически предсказанных сценариев возникновения хаоса и их универсальности. Значение проведенных экспериментов состоит также в том, что они продемонстрировали существование в РАС практических всех типов переходов порядок-хаос, характерных для простых динамических систем. Последнее можно использовать для построения картины возникновения турбулентности в РАС в различных режимах через так называемый "маломерный хаос", основанной на представлениях, типичных для систем с малым числом стпеней свободы (в различных областях изменения параметров РАС ведет себя как та или иная конечномерная система). Высказано также предположение о природе перехода РАС к "развитой турбулентности ", связанной с включением новых собственных мод системы, на базе каждой из которых существует режим стохастической модуляции, в процесс стохастического движения.
Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации возникновения паразитных явлений в некоторых релятивистских сильноточных генераторах, а также для выработки требований к СВЧ автошумовым автогенераторам и при конструировании.
Использование результатов работы
Результаты теоретического и экспериментального исследования сложной динамики электронных распределенных систем, полученные в диссертации, были использованы в Институте прикладной физики АН СССР при разработке релятивистских генераторов, предназначенных для получения коротковолнового электромагнитного излучения большой мощности и интерпретации экспериментов, на что указано в справке об использовании [109] . Конкретно использованы следующие результаты, полученные автором диссертации и включенные в диссертацию:
I) результаты экспериментального исследования на нерелятивистских аналогах сложной динамики автоколебательных режимов ( в
14
особенности стохастических) и влияния отражений от концов электродинамической структуры на характер переходов типа порядок-хаос в карсинотроне;
2) результаты численных и натурных экспериментов на нерелятивистских моделях генератора с запаздывающей обратной связью, в которых исследована сложная динамика автомодуляционных режимов, а также механизмы возникновения и эволюции стохастических автоколебаний при увеличении степени неравновесности системы.
Полученные результаты позволили с высокой степенью точности прогнозировать области параметров ЛСЭ и карсинотронов, в которых реализуются заданные автоколебательные режимы, а также предсказывать характер переходов от одного режима к другому (в частности, переходы порядок-хаос).
По результатам, приведенным в диссертации, в специальном курсе лекций "Стохастические колебания в динамических системах" для студентов 5 курса физического факультета СГУ (специализация "Теория колебаний и волн") был разработан и внедрен новый раздел "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" [110].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и приложения ( 125 стр. основного текста, 9? стр. рисунков и таблиц, 6 стр. приложений и 12 стр. списка литературы (ПО названий)).
Содержание работы«*
Во введении обоснована актуальность темы диссертации и сформулирована ее цель. Изложено краткое содержание работы, перечислены основные научные результаты и положения, выносимые на защиту.
15
В первой главе приведены некоторые результаты машинных экспериментов в рамках нелинейной нестационарной теории ЛОВ, изложены результаты экспериментального исследования различных автоколебательных режимов (включая стохастические) и путей перехода к хаосу в РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна в широком диапазоне изменения параметров системы. Проанализированы возможные причины существования в ЛОВ двух независимых параметров, определяющих динамику системы и приведены результаты модельных экспериментов по исследованию влияния отражений на механизм перехода к хаосу в ЛОВ. Представлены также результаты экспериментального исследования влияния внешнего гармонического воздействия на режимы периодической, квазипериодической и стояастической автомодуляции в ЛОВ при переходе к хаосу и, наоборот, синхронизации хаоса в неавтономной системе.
Во второй главе изложены результаты экспериментального исследования структуры плоскости параметров и механизмов возникновения и эволюции одномодового модуляционного хаоса в РАС с запаздывающей обратной связью и активным элементом электронный пучок - прямая электромагнитная волна. Приведены результаты натурных экспериментов по исследованию влияния малого гармонического воздействия на переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и переходов в хаосе в неавтономном генераторе с запаздыванием.
В третьей главе сформулировнны основные уравнения и численные алгоритмы для расчета амплитуды генерируемого сигнала в рассматриваемых моделях генератора с запаздывающей обратной связью и определены условия возникновения амплитудной модуляции и характер соответствующих бифуркаций. Показано, что модель классического генератора с запаздывающей обратной связью демонстрирует переход к стохастическим автоколебаниям в результате последова-
16
тельности бифуркаций удвоения периода автомодуляции, а введение второй петли обратной связи с удвоенным временем задержки при« водит к качественному изменению характера бифуркаций и переходу к хаосу, связанному с разрушением двумерных и трехмерных торов в фазовом пространстве системы. Приведены также результаты численных экспериментов по исследованию динамики фазы комплексной амплитуды сигнала в модели генератора с запаздыванием, устойчивости одномодовых автомодуляционных режимов и обнаружен переход к многомодовому хаосу.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, и изложены материалы документов о внедрении.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
1. В зависимости от эволюционной предыстории РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна и генератор с запаздывающей обратной связью и активным элементом электронный пучок -
прямая бегущая электромагнитная волна демонстрируют в эксперименте все известные для простых динамических систем переходы к хаосу, как в автономном режиме, так и под воздействием внешнего гармонического сигнала:
1) последовательность бифуркаций удвоения периода;
2) переход через перемежаемость;
3) последовательность бифуркаций удвоения резонансного цикла на двумерном торе;
4) "жесткое" возникновение странного аттрактора при исчезновении резонансного цикла на двумерном торе;
5) потеря гладкости двумерного инвариантного тора;
6) разрушение трехмерного тора.
2. Структура экспериментально снятой бифуркационной диаграммы перехода к хаосу на плоскости параметров исследуемых РАС
17
качественно описывается в рамках теории разрушения двумерного тора в фазовом пространстве размерностью три двупараметрической динамической системы (например, автоколебательной системы с циклом в фазовом пространстве под действием периодического возмущения).
3. Типичным механизмом перехода к хаосу в системах типа распределенных резонаторов с активной средой является последовательность бифуркаций удвоения периода. Для РАС с запаздывающей обратной связью экспериментально по первым трем бифуркациям удвоения определены значения характерных констант и =2,51*0,1 которые близки к величинам соответствующих универсальных констант
теории Фейгенбаума; перепад мощности между спектральными пиками четных субгармоник на бифуркацию удвоения составил величину -
13,0+0,5 дБ, что свидетельствует об универсальности формы
энергетического спектра движения вблизи критической точки.
4. Теоретическая модель генератора с резонансным фильтром и двумя петлями запаздывающей обратной связи, времена задержки
в которых кратны (Т и 2Т), демонстрирует в численном эксперименте переход к стохастической автомодуляции не только через цепочку бифуркаций удвоения периода, но и через возникновение двумерных и трехмерных торов с их последующим разрушением.
5. РАС с запаздывающей обратной связью при увеличении
надкритичности демонстрирует как в натурном, так и в численном (на примере классической модели генератора с запаздыванием) экспериментах переход к многомодовому хаосу в результате последовательного включения за счет развития параметрической (фазовой) неустойчивости новых собственных мод системы, на базе каждой из которых существует режим стохастической модуляции, в процесс стохастического движения. Образом многомодового хаоса в фазовом пространстве такой РАС является странный (стохастический) аттрактор высокой размерности, организуемый в результате последовательности поглощения стохастических множеств низкой размерности.
18
до этого не притягивающих.
Публикации и доклады
По теме диссертации опубликовано 12 работ. Материалы диссертации докладывались и одобрены на семинарах кафе,1фр, электроники С1У, ИРЭ АН СССР (Москва), ИПФ АН СССР (горький), семинаре "Проблемы электроники" (МИЭМ, Москва), Ш Всесоюзном семинаре "Высокочастотная релятивистская электроника" (Горький, 1983), Всесоюзном симпозиуме с международным участием "Синергетика. Автовол-новые процессы в биологии, химии и физике" (Пущино, 1983), X Всесоюзной научной конференции "Электроника сверхвысоких частот"
(Минск, 1983), а также излагались в лекции, прочитанной на Шестой зимней школе-семинаре инженеров по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1984).
19
ГЛАВА I
СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕЕАНШ В РАС ЭЛЕКТРОННЫЙ
ПУЧОК - ОБРАТНАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА (ПУТИ
ПЕРЕХОДА К ХАОСУ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ С
ПОМОЩЬЮ ВНЕШНЕГО СИГНАЛА)
Традиционный для электроники СВЧ автогенератор обратной волны СЛОВО) [16 ] , представляющий собой распределенную активную
систему электронный поток - обратная электромагнитная волна, демонстрирует при привышении рабочего тока 10 над пусковым 1п примерно в 30 раз (10 ^ 3 О I п ) стохастисческое изменение во времени амплитуды генерируемого сигнала, характеризующееся сплошным спектром и спадающей автокорреляционной функцией [14 3 • Простейшая теоретическая модель ЛОВО при выполнении ряда приближений (отсутствие потерь и отражений от концов электродинамической структуры, пренебрежение влияния сил пространственного заряда в электронном пучке на процессы взаимодействия) [ 12 ] позволяет описать систему единственным бифуркационным параметром
Ä =2^;CN -jb0ce, (1Л)
где =(x)/zrD ; с =л[ IdK0/4ü0/ " параметр усиления Пирса;
10 - постоянная составляющая тока электронного пучка;
Uq - ускоряющее напряжение; К Q - сопротивление связи;
Ь - геометрическая длина пространства взаимодействия;
0-> - частота, zrQ =\[2 I^Uq - скорость электронного пучка.
Первые экспериментальные исследования стохастических автоколебаний в РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна на специальных лабораторных макетах ЛОВО, максимально адекватных простейшей модели генератора, показали, что [15] :
I. С ростом тока пучка ЛОВО демонстрирует последовательную
20
смену стационарных автоколебательных режимов; одночастотные, многочастотные и стохастические.
2. Возникновению стохастических автоколебаний в ЛОВО предшествует конечное (небольшое) число нормальных бифуркаций. *
3. Бифуркационные значения рабочего тока 10 на плоскости параметров ток и напряжение пучка ( 10 , 170 ) располагаются
вблизи линий постоянных 26 , т.е. выполняется закон подобия для
бифуркационных линий.
Целью исследований, результаты которых изложены в данной главе, было выяснение механизмов перехода к хаосу в генераторе обратной волны и физической природы цепочки бифуркаций, заканчивающихся появлением стохастических автоколебаний, построение бифуркационной диаграммы перехода к хаосу на плоскости параметров ( Г0 , 1Г0 )| качественное сопоставление полученных результатов с известными сценариями возникновения хаоса в простых динамических системах, а также изучение влияния внешнего сигнала на автоколебания.
1Л. Генератор обратной волны (ЛОВО) - типичный пример РАС, демонстрирующий стохастическое поведение
На рис. 1.1 схематично изображена типичная конструкция
генератора обратной волны. Электродинамическую структуру (замедляющая система типа "встречные штыри"), согласованную на концах, пронизывает электрический поток, формируемый электронной пушкой и движущийся в продольном однородном магнитном поле в положительном направлении оси X. В электродинамической структуре
могут распространяться волны с продольным электрическим полем, а ее дисперсия такова, что фазовая скорость волны на некоторой
х Термин "нормальные" бифуркации употребляется в смысле [19].
21
ВЫХОДНОЕ
УСТРОЙСТВО
ВХОДНОЕ
УСТРОЙСТВО
ЭЛЕКТРОННАЯ
ПУШКА
ЗАМЕЛЛЯЩАЯ СИСТЕМА І
1
ПУЧОК
1
КОЛЛЕКТОР
■Б,
I х
Рис.1.1 Схематическое изображение конструкции РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна (ЛОВ)
22
частоте со равна скорости пучка (гг,^ (со) ^ гг0 ) » ® групповая
скорость ^Гр(со) отрицательна, т.е. поток электромагнитной энергии, переносимый волной, распространяется навстречу электронному пучку. Это обстоятельство обеспечивает существование в ЛОВ распределенной обратной связи, которая приводит к развитию абсолютной неустойчивости волновых возмущений и возникновению автоколебаний. Физический механизм неустойчивости в ЛОВ связан с черенковским излучением движущихся электронов, сгруппированных в сгустки продольным электрическим полем электромагнитной волны.
Выходной сигнал с ЛОВ снимается с того же конца замедляющей системы, с которого встреливается пучок. Коллекторный конец замедляющей системы является вЦходом для внешнего сигнала в неавтономном режиме работы ЛОВ, либо нагружен на согласованную нагруз-
I
ку — в автономном режиме.
Описанное устройство можно рассматривать как динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы (см,, например, [5,20/])» так как его состояние (или состояние адекватной математической модели [1?]) в каждый момент времени t полностью описывается распределением комплексной амплитуды электрического поля волны по длине электродинамической структуры х , т.е. непрерывной функцией координаты Г(х) . Если известно такое распределение в некоторый момент времени ф: = ^ , то в любой
последующий момент времени Ь у оно будет определено собственной динамикой системы однозначно. Таким образом, множество всевозможных функций ¥ (X) , образующих функциональное пространство, будет определять бесконечно мерное фазовое пространство распределенной динамической системы. Каждому состоянию системы (т.е. функции Г(х)) в фазовом пространстве будет соответствовать "точка". При изменении состояния во времени изображающая