2
Введение...............................................................4
Глава I. Результаты теоретических исследований волновых
процессов в жидкости..................................................10
§1.1. Натурные примеры распространения поверхностных волн 10
§ 1.2. Линейные поверхностные волны.............................16
§ 1.3. Методы изучения нелинейных поверхностных волн............23
§1.4. Волны Герстнера...........................................40
§ 1.5. Выводы...................................................41
Глава 2. Стационарные волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Интегро-дифференциальное
уравнение с кубической нелинейностью для профиля волны................43
§ 2.1. Физическая и математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности идеальной
несжимаемой однородной жидкости конечной глубины......................43
§ 2.2. Линейные поверхностные волны.............................45
§ 2.3. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной поверхностной волны
и ее характеристик....................................................46
§ 2.4. Одномерная задача для стационарных волн на поверхности
однородной жидкости конечной глубины...............................50
§ 2.5. Исходные тригонометрические представления для решения одномерной задачи с точностью до седьмого приближения и система алгебраических уравнений для коэффициентов тригонометрических
представлений.........................................................51
§ 2.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных
поверхностных волн....................................................52
§ 2.7. Анализ последовательных приближений и нелинейного дисперсионного соотношения для поверхностных волн...........................62
3
Глава 3. Стационарные волны на горизонтальном сдвиговом течении
однородной жидкости конечной глубины...................................68
§ 3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной
жидкости конечной глубины..............................................68
§ 3.2. Предварительный математический анализ задачи..............69
§ 3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном
приближении............................................................72
§ 3.4. Одномерная задача для стационарных волн на горизонтальном
сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины.................75
§ 3.5. Тригонометрические представления для решения одномерной задачи и система алгебраических уравнений для их
коэффициентов..........................................................77
§3.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости
конечной глубины.......................................................86
§ 3.7. Анализ стационарных поверхностных волн на сдвиговом
течении...............................................................104
Заключение............................................................106
Литература............................................................108
4
Введение
Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.
Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярногравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.
Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчел-
5
лом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уи-земом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Корте-вега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики - теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.
Цель работы заключается в изучении характеристик, строения профиля и вывода нелинейного дисперсионного соотношения для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении путем решения следующих задач:
- выводу точного нелинейного уравнения для профиля стационарной волны на поверхности идеальной однородной жидкости конечной глубины, его решение в виде аналитических рядов, вывода нелинейного дисперсионного соотношения;
- в рамках эйлерова подхода и других стандартных условий изучить стационарные нелинейные волны на горизонтальном сдвиговом течении жидкости конечной глубины при условии, что профиль средней скорости линейный; при этом особое внимание уделить выводу и анализу нелинейного дисперсионного соотношения;
- усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.
Научная новизна. Для задачи о двумерных стационарных нелинейных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины при условии, что волновые движения являются потенциальными, впервые выведено точное нелинейное уравнение для профиля стационарной волны на поверхности жидкости; благодаря этому исходная двумерная нелинейная краевая задача сведена к интегро-диффереициальному уравнению для функции одной переменной.
6
Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса.
В задаче о поверхностных волнах на сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости предложена модификация первого метода Стокса; получено и проанализировано нелинейное дисперсионное соотношение для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.
Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-диффсренциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кор-тевега - де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, нелинейного уравнения Шре-дингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:
- Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 03-05-65136, №00-05-64136);
- Международного фонда фундаментальных исследований 1ЫТА8 (проект № 460/01,2002 г.).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Вывод интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.
7
2. Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения включительно по амплитуде волны.
3. Вывод одномерной системы квадратичных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.
4. Обоснование корректности выбора разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.
5. Решение одномерной системы уравнений для трех низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами, известными в литературе.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2001), Всероссийской научной конференции “Физические проблемы экологии. Экологическая физика” (Москва, 2001, 2004), на 56 научно-техническом семинаре Института проблем механики РАН (Москва, 2002), XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003), XII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Санкт-Петербург, 2003), XIII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2005), Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200 -летию со дня рождения К.Г. Якоби (Калининград, 2005).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страниц и включает 10 рисунков. Библиографический список включает 167 наименования.
Первая глава представляет собой обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются теоретические методы изучения нелинейных поверхностных волн, а также дан обзор современного состояния теоретического исследования нелинейных стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости. Трудности исследования задач теории нелинейных поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь также является неизвестной функцией и требует определения.
Во второй главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отличия:
- удалось получить одномерное интегро-дифференциалыюе уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины,
- решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений,
- решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее.
В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача
9
сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения.
В заключении приводятся основные выводы работы.
I
10
Глава I. Результаты теоретических исследований волновых процессов в жидкости
§ 1.1. Натурные примеры распространения поверхностных волн
Волны на поверхности воды (их принято называть поверхностными волнами) являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, доступных для визуального наблюдения. Поверхность океана практически всегда покрыта волнами, причем одновременно существуют самые разнообразные волны от капиллярных с длинами порядка миллиметров до зыби с длинами до нескольких километров.
Свободные поверхностные волны (когда динамическое воздействие ветра отсутствует) также могут быть случайными. Свободные волны на поверхности жидкости создаются двумя факторами - силой тяжести и поверхностным натяжением. Оба фактора действуют одновременно, но если волны достаточно длинные (с длиной Л >10см \ то преобладает сила тяжести. Такие волны называются гравитационными, движение которых определяется взаимодействием между инерцией жидкости и ее стремлением вернуться под действием силы тяжести в состояние устойчивого равновесия; для них несущественно поверхностное натяжение.
Поверхностные гравитационные волны характеризуются прежде всего своей длиной Ли амплитудой а и зависят от глубины жидкости И. Для различных частных случаев поверхностных гравитационных волн важны не абсолютные значения этих величин, а их отношения. Когда глубина воды больше половины длины волны, то говорят о волнах на глубокой воде - они “не чувствуют” влияния дна. Меньшие значения ЬIЛ соответствуют волнам на мелкой воде, а в пределе Л/Я —> 0 может существовать уединенная волна (солитон), состоящая из одного гребня. На глубокой воде в волне малой амплитуды отдельные частицы воды почти не перемещаются вместе с волной, а движутся по орбитам, близким к круговым, радиусы которых экспоненци-
- Київ+380960830922