Содержание
Введение 4
. , Глава 1. Вычисление эффективного действие и метод символов операторов 15
*4
1.1 Производящие функционалы функций Грина
и эффективное действие................................................. 16
1.2 Петлевое разложение эффективного действия.............................. 21
1.3 Общие свойства эффективного действия .................................. 26
1.3.1 Расходимости и перенормировка эффективного действия............. 27
1.3.2 Калибровочная зависимость эффективного действия................. 27
1.4 Методы вычисления одиопетлевого эффективного действия.................. 32
1.4.1 Метод дзета-фуикции............................................. 32
1.4.2 Метод собственного времени.......................'............... 33
1.4.3 Разложение Швингсра - Де Витта ................................. 35
1.4.4 Эффективное действие для суперсим.метричных теорий.............. 37
1-5 Метод символов операторов............................................... 38
1.5.1 Определение символов операторов ................................ 39
1.5.2 Когерентные состояния и символы операторов ..................... 42
1.5.3 Операция звездочка-произведения............................... 43
1.5.4 Использование символов операторов для вычисления следов ... 46
1.5.5 Определение звездочка-оператора................................. 48
1.5.6 Специальное представление операторов как разложение 1
по нормальным координатам....................................... 49
1.5.7 Связь с деформационным квантованием............................. 50
1.5.8 Примеры специального представления операторов................... 54
I
1
I
1.5.8 Примеры специального представления операторов.................. 54
1.6 Использование метода символов операторов для вычисления однопетлевого эффективного действия.................................................... 58
Глава 2. Однопетлевое эффективное действие для Н = 4 суперспмметрич-ной теории поля Янга-Миллса 59
2.7 N = 4 суперснмметричная теория поля Янга-Миллса ..................... 60
2.8 Суперполевые формулировки N = 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса . .......................................................... 63
2.8.1 Формулировка N = 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса
в N = 1 суперпространствс . .................................. 64
2.8.2 Формулировка N = 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса
в N ** 2 гармоническом суперпространстве....................... 66
2.8.3 Метод фонового поля в М — 1 суперпространстве.................. 68
2.9 Вычисление функциональных следов и однопетлевого эффективного действия ................................................................... 73
2.10 Преобразование -V = 1 суперсимметричного эффективного действия к явно N - 2 супсрсимметричной форме....................................... 77
Глава 3. Аспекты М = 4 суперсимметрии однопетлевого эффективного действия в Я — 2 суперпростраистве • 82
3.11 Восстановление Л/' = 4 суперсиммстрии эффективного действия 83
3.12 Структура эффективного действия И = 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса вне рамок низкоэнергетйческого приближения .... 89
3.13 Инвариантность члена в N = 4 суперснммстричной теории поля Янга-Миллса при преобразованиях скрытой М = 2 суперсимметрии.................. 91
Глава 4. Киральный эффективный потенциал в М = £ супсрсимметричной модели Весса-Зумино 96
4.14 Некоммутативное N =-\ суперпространство.............................. 96
4.15 Описание некоммутативной модели Весса-Зумино на ЛГ = £ суперпространстве ...............................................................101
4.16 Схема вычисления однопетлевого эффективного потенциала...............103
Ч
/
4.16.1 Техника символов операторов и представление теплового ядра . . 105
4.16.2 Точное вычисление теплового ядра..............................108
4.16.3 Разложение теплового ядра.....................................112
4.17 Вычисление (трального эффективного потенциала........................115
4.17.1 Расходящаяся часть эффективного потенциала . 119
4.17.2 Структура конечных вкладов....................................120
4.17.3 Вклад в хиральный эффективный потенциал на постоянном фоне 124
Заключение 126
Приложение А. Алгебраические операции 128
А.1 Основные обозначения ................................................128
A.2 Методы приведения операторов к нормальной форме .....................128
А.2.1 Упорядочение операторов в степенных выражениях.................129
А.2.2 Присоединенное действие операторов.............................130
А.2.3 Дифференцирование экспоненты от оператора......................131
А.2.4 Разложение экспоненты оператора по малому параметру 132
Приложение В. Использование метода символов операторов 135
B.З Вычисление специальных представлений для ковариантных производных
в Л/* = 1 суперпрострапстве..........................................135
В.4 Вычисление тепловых ядер.............................................137
В.5 Вычисление тепловых ядер Швингсровского типа.........................139
Литература 141
I
3
*
I
I
Введение
Значительная часть исследований в современной теоретической физике высоких энергий посвящена различным аспектам проблемы построения объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Представляется, что безусловным атрибутом такой теории должна являться суперсимметрия |1]-[7], обеспечивающая единое описание бозонов и фермионов. В настоящее время наиболее вероятным кандидатом на роль объединенной
I
теории считается теория суперструн, которая в низкоэнергетическом переделе приводит либо к теории гравитации (замкнутые струны) либо к теории Янга-Миллса (открытые струны) (см., например |8|).
В рамках теории возмущений теория суперструн, как теория протяженных объектов, снимает проблему ультрафиолетовых (УФ) расходимостей, присущую теории точечных фундаментальных объектов, и позволяет построить свободную от расходимостей квантовую теорию гравитации. Однако, поскольку существует несколько вариантов теории суперструн (не говоря уже о способах их компактификации), то непонятно какой из них является более "правильным"», следовательно, проблема построения единой теории в таком подходе остается открытой.
Попытки выхода за рамки теории возмущений в теории суперструн привели к по-‘
г
явлению М-теории [9, 10| (см. также [11,12)). При этом различные типы теории супер-струн рассматриваются как возмущения в окрестности различных вакуумов М-теории, а связь между различными теориями суперструн обесценивается преобразованиями дуальности. Низкоэнергетическим пределом М-теорин является теория Б = 11 сунер-гравктации [13). При размерной редукции этой теории возникает О = 10 супергравитация, которая является полевым пределом теории суперструн типа НА. Основными объектам»! М-теории являются браны и струны. Понятие Бр-браи естественным образов возникает при комиактификацни суперструн. Согласно М-теории векторные поля локализованы на гиперповерхностях £>-бран, а взаимодействие между 17-браками осуществляется пос-
редством открытых струн (14]-|17).
А/-теория объединяет "материю"(в виде открытых струн) и "гравитацию"(в виде замкнутых струн), при этом материя сосредоточена на гиперповерхностях Бр-брал, а замкнутые струны распространяются в пространстве между бранами [18, 19]. Такой симбиоз между открытыми и замкнутыми струнами позволяет описывать один и те же эффекты как с помощью открытых струи (Янг-Миллс) так и помощью замкнутых струн (гравитация). Подобное свойство называется Айв/СБТ соответствием [20, 21], и благодаря ему устанавливается связь между определенным образом компактифицированной теорией ПВ суперструны [20] (супрегравитацисй в Б = 5 /Ы5) и N = 4 сунерсимметричной конформной теорией Янга-Миллса. Таким образом, исследование квантовых расширенных суисрсимметричных теорий Янга-Миллса приобретает особую актуалыюсть. В частности, изучение эффективного действия X = 4 суиерсиммет-ричной теории Янга-Миллса является важным для понимания взаимосвязи между квантовой теорией поля (КТП) и теорией струи. Мировой объем Бр-браны имеет размерность р + 1, поэтому для получения Б = 4 теории можно изучать /93-браны, что приводит к Я = 4 суперсимметричной калибровочной теории (см. ниже). Потенциал взаимодействия набора из п параллельных ЛЗ-бран описывается действием Борна-Иифельда [22] и совпадает с ннзкоэисргетическим эффективным действием N = 4 суперсимметричной теории Яига-Миллса с калибровочной группой £[/(п) спонтанно нарушенной до II(1)п~1 (см, например [23]-|38]).
При изучении свойств КТП широко используется метод фонового поля (см.,например, [39]-[48]) при котором исходные поля классического действия рассматривается как комбинации классической и квантовой составляющей, и представляет собой обобщение метода производящих функционалов (см., например, [49]) на случай ненулевых фоновых полей. Основным объектом исследования при использовании метода фонового ноля является функционал эффективного действия, который содержит всю квантовую информацию о теории, поскольку позволяет получить полный пропагатор, полные вершинные функции [39] и исследовать квантовые эффекты на фоне внешних полей (40]т [43], [85]-[52]. В теориях со спонтанным нарушением симметрии эффективное действие является наиболее адекватным инструментом для изучения квантовых свойств [40], [41]-[43]. К сожалению для калибровочных теорий вычисление эффективного действия сталкивается с определенными сложностями. Исключение нефизических степеней сво-
боды требует фиксации калиброоки, что в свою очередь приводит к калибровочной зависимости эффективного действия и нарушению калибровочной инвариантности при преобразовании фоновых полей. Калибровочная зависимость эффективного действия (впервые определенного в работе |53|) замечена Джакивом [54,55]. Он поставил вопрос о физической значимости эффективного потенциала и пришел к заключению, что только предельная унитарная калибровка дает осмысленный результат для спонтанного нарушения симметрии. Решение проблемы калибровочной инвариантности эффективного действия предложено в работе [56]. С другой стороны попытки построить калнбровочно независимое эффективное действие предпринимались неоднократно и привели к появленню понятия "единое эффективное действие"[47, 48). Позже было показано, что во всех порядках теории возмущений, для скалярной КЭД и ЯМ теорий, единое эффективное действие точно совпадает с калнбровочно иивариантпым обычным эффективным действием, вычисленным в калибровке Ландау-Де Витта [57, 58]. Данное утверждение подтверждено на различных моделях. Среди других проблем конструкция Вилковыского - Де Витта зависит от выбранной точки отсчета в пространстве нолей и требует выбора метрики на конфигурационном пространстве. С этой точки зрения конструкция единого эффективного действия не является решением проблемы калибровочной зависимости [59]. Тем не менее это не уменьшает ее значимости для анализа эффективного действия теории вне массовой поверхности. Имеется множество работ, посвященных построению и анализу единого эффективного для различных моделей теорий поля. В частности, конструкция единого эффективного действия для различных моделей Калуцы-Клейиа и теорий гравитации изучалась, например, в работах [С0]-[б4].
В настоящее время единственным известным способом вычисления эффективного действия является пертурбативиый, использующий петлевое разложение [49], разложение по производным (см., например, |б5]-|79|) и разложение по большим массам. Для вычисления эффективного действия пертурбативным способом достаточно знать разложение классического действия по степеням квантовых полей. Коэффициенты этого
разложения представляют собой псевдоднфференциальные операторы, зависящие от
.... . ■ . • ' * .» * •■••••••• •- , ■ '•
фоновых полей и определяют классические иропагаторы и вершины взаимодействия.
Вычисление эффективного действия в кривых пространствах имеет свои сложности. Для этого обычно используется метод Швингера- де Впгга [80, 81], который позволяет получать явно ковариантные выражения. Однако для случая сильных фоновых полей
данный подход не применим и совершенно лишен смысла для безмассовых теорий и произвольно изменяющихся фоновых полей. Для изучения таких случаев требуются специальные методы (см., например, [65]). Получающиеся результаты имеют существенно нелокальную форму.
Проблема вычисления и перенормировки эффективного действия в ковариантиых величинах породила отдельную область исследований. Распространение получил, например метод собсгвенного времени (теплового ядра) [82|-[84], имеющий геометрическую интерпретацию |80]-[81]. Метод собственного времени является наиболее подходящим инструментом для анализа ультрафиолетовых расходимостей, поскольку позволяет получать разложение функций Грина в окрестности светового конуса. Основными схемами УФ-регуляризации являются размерная и ^-функции [85, 86].
Метод фонового ноля в суперпространствс [2,3, 89] позволяет работать с векторными супермультиплетами и материальными супсрполями калибровочно инвариантным способом. Однако в отличие от обычных калибровочных теорий, калибровочная связность не является независимым объектом а выражается через препотенциал. Общие свойства суперполевого эффективного действия изучались, например, в работах [60]-[64].
Среди последних исследований следует отметить метод символов операторов [70, 71, 72]. Он также позволяет получать поправки к эффективному действию в явно ковариантиом виде. Специфика метода состоит в том, что для вычисления следов сложных операторов используются их символы [87, 88], что па практике приводит к разложению величин по нормальным координатам в фазовом пространства. Данный метод опробирован |70]-[72] , результаты полученные с его помощью полностью совпадают с результатами, полученными другим способом. Более того, дтя некоторых задач получены новые результаты [73]-[79]. Важно, что суперсимметричиая и калибровочно инвариантная форма сохраняется на всех стадиях вычисления этим методом. В методе используется простая идея, использующая канонические преобразования, которые в итоге дают разложение по нормальным координатам. Эта процедура составляет хорошо известную реализацию принципа эквивалентности, который утверждает существование такой системы координат в каждой точке, что эффекты калибровочных полей локально отсутствуют.
Как уже было отмечено, исключительное место в моделях квантовой теории поля занимают N = 4 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса. Максимально расши-
7
репная N = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса обладает замечательными свойствами как на классическом, так и на квантовом уровне. Она является ультрафиолетово-конечной, конформно-инвариантной теорией и предполагается, что она само-дуальна относительно непертурбативных преобразований, переводящих область слабой связи в сильную. Первые исследования низкоэнергетического ЛГ = 4 эффективного действия можно найти в работах [38, 90, 91). В этой теории ведущие квантовые поправки описываются неголоморфным потенциалом и доказано [38, 92], что поправки за счет высших петель и непертурбативных эффектов отсутствуют. Известно, что проблема определения супернолевого эффективного действия, согласованного с симметриями исходной теории может быть изучена в рамках суперполевой техники собственного времени [2, 93].
Формулировки И — 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса с явной N = 4 супсрсимметрией вис массовой поверхности в настоящее время не существует. Поэтому изучение конкретных квантовых аспектов этой теории обычно основывается на се переформулировке либо в терминах физических компонентных полей (см., например, [94]) либо в терминах М = 1 сунсрпространства (см., например, [95]) либо в терминах N = 2 гармонического сунсрпространства [4]-[7], [96, 97).
Одной из рассматриваемых в диссертации задач является получение разложения по производным однопетлевого эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории ноля Янга-Миллса, содержащей как поля = 2 векторного мультиплета так и гипермультиплетные ноля. N = 4 суперсимметричная теория ноля Янга-Миллса обладает рядом замечательных свойств которые позволяют прояснить некоторые вопросы, связанные с квантовой динамикой в суперполевых моделях и связать их с теорией струн и брал. Максимально расширенная глобальная суперсимметрия в /V = 4 супсрсимметричной теории поля Янга-Миллса накладывает жесткие ограничения на квантовую динамику. Это позволяет найти и изучить величины, характеризующие теорию в квантовой области (см., например, работы |98]-[107]).
К настоящему моменту не существует строго описания упомянутой выше М-теории. В качестве альтернативного подхода к струнной интерпретации Л/-теории был предложен матричный подход [108]. В рамках этого подхода поперечные координаты £>0-бран задаются N х ^-матрицами Х{,г = 1...9, которые являются основными объектами из которых строится лагранжиан теории. Таким образом девять поперечных Х{ и две
Л’_,А”+ координаты светового конуса составляют В = 11 пространство матричной теории.
С точки зрения эффективной калибровочной теории поля координаты набора В-браи можно рассматривать как собственные значения матрицы скалярного поля в присоединенном представлении. Подобное наблюдение позволяет интерпретировать неком-мутативность матриц как проявление некоммутативности координат, что приводит к необходимости изучения некоммутативных теорий поля. Более подробную аргументацию о связи между теорией струн некоммутативными теориями [109]-[111]. Некоторые матричные модели допускают иенертурбативное определение некоммутативной теории Янга-Миллса |109, 112).
Идея использовать некоммутативное пространство при малых масштабах впервые реализована Снайдером в работе [113)-[115] где оно применялось для УФ регуляризации. Предполагалось, что использование некоммутативного пространства наилучшим образом подходит для УФ регуляризации, сохраняющей лорснцсву инвариантность. Эта идея не получила широкого развития и вскоре забылась.
Фон Нейман впервые математически строго описал квантовые некоммутативные пространства чем вновь вызвал интерес к некоммутативной геометрии, ссылаясь на то, что понятие частицы в квантовом фазовом пространстве лишено смысла из-за принципа неопределенности Гейзенберга. Это привело к теории алгебр фон Неймана и появлению некоммутативной геометрии, т.е. к изучению пространств в которых обычные коммутативная алгебра функций заменена на некоммутативную алгебру (11б]-[119).
В 80-х годах идея некоммутативной геометрии исследована математиками, которые обобщили понятие дифференциальных структур на некоммутативный случай [120|-(122). После определения обобщенного интегрирования [123], это привело к операторному описанию некоммутативных пространств и позволило определить калибровочные теории для большого класса некоммутативных пространств. Одним из примеров калибровочной теории в некоммутативном пространстве является теория Янга-Миллса на некоммутативном торе [123). Примерно в тоже время, проводились исследования геометрических интерпретаций стандартной модели на некоммутативном пространстве (модель Коииеса-Лотга) [124]-[12б], изучение других квантовых теорий поля (см, например, )127]-[128)) и гравитации [129]-[133]. Общей идеей во всех этих исследованиях было использование модифицированного механизма Калуцы-Клейна, в колюром скрытые размерности рас-
сматривались некоммутативными Ц34]. Данный подход имел много недостатков и по этой причине потерял привлекательность- В частности существовала проблема того, что квантовые радиационные поправки не давали удовлетворительных результатов, хотя подтвердилась идея Снайдера о нарушении лоренцевой симметрии на планковскнх масштабах, поскольку пространство не являлось больше дифференцируемым многообразием [135]-[137|. При таких масштабах квантовые гравитационные флуктуации становятся большими и ими уже нельзя пренебречь [138)-|139].
Другое свидетельство пространственной некоммутативности происходит из теории струн. Поскольку струны имеют собственный масштабный параметр /, то при рассмотрении струнных состояний на малых масштабах невозможно наблюдать расстояния меньшие I. Основываясь на анализе высокоэнергетических амплитуд рассеяния струи |140)-[142], модифицированное для струн соотношение Гейзенберга постулируется в форме
А*=Ы+1*Ар) •
При I = 0 это соотношение переходит в стандартное кваитово-мсханнчсское соотношение. Но из этой-жс формулы следует что размер струны растет с ростом энергии. Таким образом меняя Ар невозможно уменьшить размер струны меньше определенной величины (Дх)тш = I2. Подобные рассуждения позволили постулировать соотношение неопределенности в виде (143|-|145)
А = 1\,
где 1Р это планковская длина. Таким образом при высоких энергиях понятие точки в пространстве теряет смысл. При низких энергиях 1Р -э 0 восстанавливается обычное классическое коммутативное пространство.
Первые исследования классических теорий Янга-Миллса на некоммутативных торах появились в конце 80-х годов [123], [146]. Несмотря на то, что теории на некоммутативных пространствах изучались и раньше, последние исследования были обусловлены тем, что такие теории естественным образов возникают в теории струи [147]-[148],' Если й-брана [18, 19] находится в фоне некоторых ненулевых полей супсргравита-ции, динамика некоторых низкоэнергетических состояний открытых струн, связанных с ней, описывается некоммутативной теорией поля. В некоммутативных теориях поля возникают иелокалыюстн, присущие струнным теориям. Существует надежда, что не-
коммутативные теории помогут объяснить общие свойства теории струн. Последние, связанные с этой темой работы, обсуждаются в [149]-[151].
Изучение взаимосвязи между некоммутативными полевыми теориями и теориями струн оказалось плодотворным и позволило лучше понять как некоммутативные так и струнные теории. Пасть усилий было направлена на изучение регуляризации и псрснор-мнруемости квантовых теорий, которые не обладают ни локальными ни лоренцевскими симметриями. Другая часть усилий была сконцентрирована на анализе классических и квантовых нслокальностей в некоммутативных теориях. Выяснилось, что некоммутативные теории обладают свойствами, присущими обычным (коммутативным) теориям.
Среди необычных свойств иекоммутатиных теорий можно отметить то, что элементарными состояниями в них являются не точечные частицы а некоммутативные диполи — слабовзаимодействующие протяженные объекты (152). В типичной некоммутативной теории всегда имеется специальный класс составных операторов: открытые вильсоновские линии ИЪ(Ф) и их потомки (ФИ^)*(Ф). ИК динамика некоммутативных диполей и, следовательно, открытых линий дуальна ультрафиолетовой динамике элементарных полей Ф.
Кроме связи со струнными теориями некоммутативные теории ноля имеют самостоятельный интерес. Они являются нелокальными и содержат много вершин с производными, что ведет к непереиормируемосги квантовой теории. Это означает что некоммутативная геометрия приводит к специфической структуре членов взаимодействия, которые содержат высшие производные. Изучение этой структуры затрудняется имеющимся смешиванием состояний с большими и малыми импульсами в петлевых диаграммах, что разрушает привычные представления о Вильсоновской схеме перенормировки, которая предполагает четкое разделение энергетической шкалы. Данный эффект получил название УФ/ИК-смешивание. В результате интегрирование высокоэиергетичсских степеней свободы приводит к появлению низкоэнергстичсских расходимостей. Наличие такого смешивания затрудняет перенормировку некоммутативных теорий и при этом до сих пор непонятно связан этот эффект с пертурбативным подходом к перенормировке или он присутствует на непертурбативном уровне.
Другое интересное свойство некоммутативных теорий заключается в том, что ряд теории возмущений нс сводится гладким образом к своей коммутативной версии а содержит полюсы по некоммутативному параметру. В тоже время такое поведение
может исчезать в полной квантовой теории. Эти открытые вопросы мотивируют исследования точно решаемых моделей на некоммутативных пространствах, что может пролить свет на вопрос являются ли эти свойства следствием пертурбатнвпого подхода. Этот вопрос рассматривался в работе [153].
Значительный интерес вызывает изучение калибровочных теорий на некоммутативных пространствах [147, 154]. Эти симметрии перемешивают внутренние и пространственные степени свободы. Следствием этого, в частности, является то, что некоммутативная калибровочная теория не имеет локальных наблюдаемых в обычном понимании, поскольку операция взятия следа подразумевает интегрирование но пространству, иначе нарушается калибровочная инвариантность. В некоммутативных калибровочных теориях существует новый тип калибровочно-инвариантных объектов, локализованных в импульсном пространстве (см. [152], [155]-|158]). В дополнение к обычным наблюдаемым имеются калибровочно инвариантные вильсоновские операторы [159]-[101]. Из них можно построить калибровочно инвариантные операторы, имеющие определенный момент, которые в коммутативном пределе сводятся к обычным локально калибровочно инвариантным операторам обычной калибровочной теории [162]-[163]. С точки зрения И-бран эти калибровочно инвариантные операторы естественным-образом связаны с общими фоновыми полями супергравитации [1б4]-[107].
Построение калибровочно инвариантных наблюдаемых, связанных с открытыми вильсоновскими линиями, основывается на свойстве трансляционной инвариантности калибровочных теорий [162]-[1бЗ]. С точностью до глобальных преобразований симметрии, трансляции вдоль некоммутативных направлений эквивалентны калибровочным преобразованиям. Обсуждения связи некоммутативности с общей ковариантностью можно найти в [168]-[169].
. Обобщение идеи некоммутативности на супернростраиство и конструкция мояловп ского звездочка-произведения как операции умножения на нетривиальных (супер)пуас-соновских многообразиях [170]-[173] привлекает большое внимание в качестве первого шага построения суперсиммстричной струнной теории поля. В работе [174] показано, что на языке струнной теории ноля мояловское произведение является простейшим описанием взаимодействия бозонных струн. В недавно опубликованных работах имеются другие фундаментальные исследования звездочка-ироизведении для некоторого класса квантовых теорий поля на некоммутативных пространствах Минковского, которые яв-
ляются пределом Зайберга-Виттена открытых струн в присутствии внешних постоянного NS-NS В-поля [175). Точнее говоря компактифицируя браны на фоне ненулевого постоянного антисимметричного поля Втп мы получаем соответствующее ннзкоэнерге-тическое эффективное действие калибровочной теории, которая является деформированной некоммутативной супсрсимметричной калибровочной теорией с некоммутативными бозонными направлениями. Этот результат явился причиной современных исследований в квантовой теории поля на некоммутативных пространствах (см. [155, 156, 176, 177)).
Открытые вильсоновские линии определяются в терминах звездочка (★) произведений, а их разложение по степеням калибровочного потенциала использует обобщенное *п-произведенис в каждом порядке по п. Обобщение ★-произведения возникает и в од-ноиетлевом эффективном действии некоммутативных теорий [178* 179), во взаимодействии между закрытыми безмассовыми и открытыми струнными модами [180]. Найдено полное соответствие результатов вычислений, полученных в пределе Зайберга-Виттена мирового листа струн и стандартным вычислением фейнмановских диаграмм при низких энергиях и в пределе сильной некоммутатнвностн [178, 179).
Главную тему диссертационной работы составляет задача исследования новых свойств эффективного действия в Af = 4 коммутативных и Af = 1/2 некоммутативных супер-симметричиых моделях теории ПОЛЯ.
Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Приложений.
Глава 1 представляет собой обзор необходимого математического аппарата. Структурно она состоит из двух частей. В первой части дано определение эффективного действия и рассмотрены его свойства. Показано как возникает петлевое разложение. Представлен вывод формулы однопстлевого эффективного действия и проанализированы основные методы его вычисления. Во второй части дан развернутый обзор основных идей метода символов операторов. Даются основные понятия метода, демонстрируется связь с дру-
I
гимн методами, приводятся рецепты конкретных вычислений.
В главе 2 рассматривается формулировка Af = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах Af = 1 суперполей и полученное однопетлевое эффективное действие, используя приближение постоянных абелевых напряженностей Fmn и постоянных полей гипермультинлетов выражается в терминах А/ — 1 суперполей. Полученное действие представляется в виде разложения по суперковариантным npoib
- Київ+380960830922