3.5 Пыльная Вселенная................................. 60
3.6 Локальная теория поля............................. 61
3.7 Собственное время в ОТО и КЕТ..................... 63
4 Теория возмущения 65
4.1 Нулевое приближение............................... 65
4.2 Линеаризированное приближение..................... 67
5 Осцилляторное приближение 71
5.1 Обоснование....................................... 71
5.2 Аналитически-решаемый предел и численное моделирование .............................................. 76
5.3 Рождение Вселенной и фазовые корреляции для гравитонов ................................................ 79
6 Заключение 82
А Приложение: Конформные преобразования АДМ параметров 84
В Приложение: Фермионы в КЕТ 85
2
1 Введение
Наиболее общепринятая на сегодняшний день гамильтонова формулировка Общей Теории Относительности основана на АДМ параметризации 4-х метрики пространственно-временного многообразия [1]. Изначально такая формулировка развивалась для целей квантования гравитационного поля, для чего проводились интенсивные исследования с целью выявления геометрического и динамического содержания АДМ параметров и, так называемого, физического сектора переменных соответствующих гравитонным степеням свободы [2, 3, 4, 5], также велись исследования посвященные анализу проблемы начальных данных [2, 6, 7, 8, 9], проблеме энергии и поверхностных членов [10, 11, 12].
Отметим несколько все еще не решенных проблем которые, по нашему мнению, затрудняют корректное квантование гравитационного поля.
Первая из них - это проблема гамильтониана. Дело в том, что ОТО, являясь сингз'лярной теорией с первичными и вторичными связями первого рода, имеет гамильтониан пропорциональный связям и равен нулю на уравнениях движения. Этот факт затрудняет однозначное определение генератора эволюции для функции состояния в квантовой теории и интерпретацию энергии гравитационного поля. Прямое же квантование связей, дающее, например, уравнение Уилера-Де-Витта, приводит к ненормируемой волновой функции состояния. По-видимому такое положение будет иметь место для всех общековариантных метрических формулировок гравитации.
Вторая проблема - это самосогласованность теории возмущения. Как было отмеченно еще К. Кухаржом [13], шифт-вектор выпадает из уравнений связи при взятии дивергенции от поперечной связи, а лэпс-функция вообще не входит в линеаризованные уравнения связи. В этом и состоит несамосогласованность, что, в свою очередь, сильно затрудняет формулировку пертурбативной квантовой теории. Действительно, метрическое представление функционала состояний основано на предположении, что компоненты метрического тензора могут быть взяты как независимые переменные. В классической
3
теории это предположение было сформулированно как ’’thin sand-vich theorem”, согласно которой, начальные значения д,ь вместе с производными 0,-jfc,о однозначно (при подходящих граничных условиях) определяют метрику пространства-времени. Предполагают, что задавая на начальной гиперповерхности и и используя четыре уравнения связи, можно определить четыре неизвестные -лэпс-функцию и шифт-вектор, то есть определить полностью 4-х метрику пространства времени. В линейном приближении эта теорема нарушается и необходимо как-то фиксировать лэпс-функцию и шифт-вектор. Отсюда можно заключить, что в линейном приближении недостаточно информации чтобы определить например лэпс-функцию по заданным дм# и <7,7.. Очевидно, что не имея хорошо определенной теории возмущения на классическом уровне, вряд ли стоит рассчитывать на успех в пертурбативной квантовой теории гравитации.
Следующей проблемой является проблема редукции. Под ней понимается отделение динамического содержания теории па поверхности связей от ’’лишних” переменных, ответственных за калибровочный произвол. Безусловно, эта проблема связана с предыдущими двумя. Существует два способа решения этой проблемы. Первый состоит в наложении дополнительных калибровочных условий, исключающих лишние переменные. Второй способ состоит в разрешении связей. К достоинствам первого способа следует отнести удобство и простоту, так как обычно выбираются такие условия, которые существенно облегчают вычисления, а недостатком является достаточно узкая применимость данной конкретной калибровки и отсутствие уверенности в том, что данная калибровка не испортит ’’истинной” динамики. Способ же разрешения связей, если бы его удалось провести полностью, был бы идеальным для исследователя, и эго озпачало бы, что удалось найти истинную динамику на связях в общем случае. Но в силу сложной структуры связей, это трудно реализовать технически. Возможно, что правильная стратегия исследования проблемы редукции состоит в комбинации двух этих способов.
Конечно же, на пути построения квантовой гравитации суще-
4
ствует целый ряд и других проблем как принципиального, так и технического характера. Среди них отметим неперенормируемость теории, связанную с размерностью константы Ньютона [14], и вопросы интерпретации вектора состояния, описывающего квантовую Вселенную, для которой не существует внешних классических приборов.
1.1 Гамильтонова редукция и репараметризаци-онная инвариантность
Идентификация и выделение физических степеней свободы, является одной из самых важных проблем Общей Теории Относительности (ОТО), которая стимулировала Дирака к созданию Обобщенной гамильтоновой формулировке для систем со связями [15], и, позднее, к развитию этой формулировки многими авторами [16, 17, 18].
Основная трудность здесь - это перемешивание и трудность в отделении параметров общих координатных преобразований от истинных степеней свободы, или , так называемая проблема калибровочной неоднозначности.
Поэтому, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) понятие времени (как и понятие пространственных координат) многозначно [19, 20, 21]. ОТО инвариантно относительно общих преобразований координат, включая репараметризацию временной координаты £ £' =
£'(£). Наблюдатель в ОТО (будем называть его Эйнштейновским) измеряет собственное время, как инвариантный геометрический интервал. Гамильтонов подход [19] в случае космологических моделей ОТО [19, 20, 21] выделяет внутренний динамический параметр эволюции дираковского инвариантного сектора физических переменных [15, 22, 23,12, 24]. Таким эволюционным параметром для космологических моделей является масштабный фактор (или, как его иногда называют, космический масштаб). Соотношение между геометрическим интервалом и динамическим параметром эволюции ('’динамика'1 собственного времени) описывает наблюдательные космологические факты (закон Хаббла, красное смещение и т.д.)
В настоящее время предпринята еще одна попытка [25] обобще-
5
ни я метода гамильтоновой редукции с внутренним параметром эволюции на случай теории гравитации с физическими полями, которая базируется на двух основных идеях.
Первая идея - это идея гамильтоновой редукции. Она принадлежит Шанмугадхасану, [26] (см. также [27, 28, 29]), который обратил внимание на принципиальную возможность точного разрешения связей первого рода без привлечения новых связей второго рода, фиксирующих калибровку. Леви-Чивита [30] использовал каноническое преобразование для конвертации связей в новые импульсы1. В этом случае гамильтониан не зависит от этих импульсов и не нужно фиксировать калибровки.
Вторая идея состоит в классификации времен в гамильтоновой редукции для теорий инвариантных относительно репараметризации времени.
Для исследования проблемы ’’времени” в теории инвариантной относительно общей группы координатных преобразований [19], используется Дирак-АДМ параметризация метрики [10] и конформноинвариантные переменные Лихнеровича [31].
Дирак-АДМ параметризация инвариантна относительно группы кинеметрических преобразований, которая содержит глобальную подгруппу репараметризации времени t £' = £'(£). Гамильтонова редукция такой репараметризационно-инвариантной системы заключается в том что одна из динамических переменных становится параметром эволюции редуцируемой системы. Йорк и Кучер [34, 35] указывали что такой переменной может быть величина пропорциональная следу второй квадратичной формы. В работе предполагается и обосновывается, что след второй квадратичной формы может быть разложен на глобальную (функция только времени) и локальную часть.
АДМ параметризация и конформно-инвариантные переменные Лихнеровича позволяют тогда выделить эволюционный параметр редуцируемой системы в ОТО, как глобальную компоненту простран-
^аиомшш, что Фадеев [32] использовал канонические преобразования для конвертации связей второго рода (калибровок) в импульсы для обоснования функционального интеграла Фадеева-Попова [33].
6
ственного масштаба.
Недавно такое отделение было проведено для космологических моделей Фридмана [12, 24] с использованием канонических преобразовании Леви Чивита [30, 27, 28]. И было показало что таким путем можно построить нормализуемую волновую функцию Вселенной, и вариация этой функции по отношению к собственному времени ведет к закону ’’красного смещения” [24].
Кроме того, было показано что гамильтонова редукция в ОТО выделяет конформное время как более предпочтительное чем собственное время с точки зрения принципов соответствия и причинности [36].
Идеи гамильтоновой редукции для систем с репараметризацион-ной инвариантностью подробно излагаются в следующих двух подпунктах Введения.
1.1.1 Классическая механика
Одна из основных проблем Общей теории Относительности - это полное отделение истинных физических степеней свободы от параметров общих координатных преобразований.
Простейший пример общих координатных преобразований - это группа репарамстризации времени. Рассмотрим репараметризацион-но-инвариантную классическою механическою систему
И/А [Рь9<;Р(ь9о|*,Я] = /<Й (-Ро(7о + £р.?; -
и \ * >
(1.1)
где
Де(?о,Р<ь = [-Ро + Я(р;, д,)] (1.2)
является расширенным гамильтонианом.
Действие (1.1) построение из
И/Я[рь9(Ы = / <*<1о
ш
”(2) <1д
(1.3)
7
- Київ+380960830922