Содержание
«
Введение 2
Глава 1. Задача Флокс для у])аішсішя типа Хартри п классе траєкторії ©-сосредоточенных функций 12
1 Постановка задачи и обозначения 12
2 Траекторно-сосрсдоточспные функции 13
3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста 19
3.1 Система уравнений Гамнльтоиа-Эреифеста для упорядоченных по ВсПлю операторов.................................................................. 20
3.2 Система Га м 11 л ьто и а-Э рс ш|>сста, не содержащая постоянную Планка . . 23
3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.................. 25
* 4 Задача Флоке для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёднпгера 2G
5 Квазиэнсргстические спектральные серии оператора типа Хартри (mod 0(й3/2)) 30 С Квазиэнсргстические спектральные серии оператора типа Хартри (mod 0(Гі5/2)) 37
7 Оператор Флокс 41
Глава 2. Геометрические ({»азы уравнения тина Хартри, отвечающие квазнэнерге-тическим спектральным сериям 43
8 Геометрические фазы трлскторно-когерентиых состояний 43
9 Геометрические фазы уравнения тина Хартри в поле одномерного гармонического осциллятора и переменном электрическом поле с квадратичным нелокальным
^ потенциалом 45
9.1 Система Гамильтона-Эрснфсста............................................... 4G
9.2 Ассоциированное линейное уравнение Шрёднпгера.............................. 49
9.3 Квазиэнсргстические спектральные серии и фаза Аароиопа-Апандана . . 52
10 Геометрические фазы уравнения типа Хартри в поле гармонического осциллятора с нелинейным потенциалом гауссовского типа 53
10.1 Уравнение типа Хартри в поле многомерного гармонического осциллятора, постоянном и однородном магнитном ноле и переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского тина........................ 53
10.2 Система Гамильтона-Эрснфсста и ассоциированное уравнение Шрёднпгера 55
10.3 Кпазпэнсргнп и геометрические фазы........................................ 57
% 10.4 Геометрические фазы уравнения типа Хартри в поле одномерного гармо-
нического осциллятора и переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского типа ............................................. G1
Глава 3. Оператор эволюции уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом G5
11 Уравнение типа Хартри и система Гамильтона-Эренфеста G5
12 Параметрическое семейство ассоциированных линейных уравнений Шрёднпгера G9
13 Функция Грипа уравнения тина Хартри 71
14 Операторы симметрии уравнения типа Хартри 79
Заключение 81
^ Приложение А. Система в вариациях 85
Список литературы 91
1
Введение
Нелинейные модели описывают широкий класс явлений, играющих фундамситаль-ную роль и соирсмсппоП физике. Эти модели, как правило, основываются на нелинейных уравнениях математической физики. Особый интерес представляют уравнения в многомерных пространствах с переменными коэффициентами (внешними полями) и различными видами нелинейности. Разработка аналитических методов интегрирования таких уравнений представляет актуальную проблему не только для математической физики, по и для физических приложений, описываемых этими моделями. Одним из нелинейных уравнений, которое служит основой описания различных моделей квантовой теории и нелинейной оптики, является уравнение типа Хартри.
Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку § позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории
или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования, и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна.
В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазнкласспческих. Квазиклассичсское приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия который предъявляет к теории требование, чтобы и пределе її —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазнклассичсских решений определяется тем, % что основные кпантовомсханпческис уравнения содержат параметр /і при старших про-
изводных. Например, для уравнения Шрёдпнгера имеем
ід—= *(*)*, ад = адг,о, ;т=-глу. (ол)
Здесь Щр,х,І) — вейлевский символ оператора ЩЬ). Существует широкий круг задач, в которых параметр Л можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближенных асимптотических решений этих уравнений. Математический аппарат решения проблемы соответствия получил название метода квазнкласспческих асимптотик.
Исторически сложились два подхода к решению этой проблемы. Б первом из них,
• предложенном Борном |1), квантовая система приближенно описывается классическим статистическим ансамблем, который определяется квазнкласспческой волновой функцией. Строгое обоснование этого подхода основывается на алгоритме построения квазп-класспчсскпх решений волновых уравнений, который задаётся каноническим оператором Маслова |2—С]. В этом случае соответствие результатов квантовой и классической теорий проявляется в том, что главный член асимптотического разложения матрицы плотности квантовой системы является при /і -> 0 решением уравнения Лиувнлля.
В основе второго подхода, преложенного Эрснфестом [7], лежит представление о классических уравнениях движения как о пределе при /і -» 0 уравнении движения для средних значений соответствующих кваитовомехапичеекпх величии. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими клас*
• епчеекпй аналог, и классическими наблюдаемыми понимается и следующем смысле:
2
квантовые средние но некоторым (специально выбранным - квазикласснчсски сосрс-* доточенным) нестационарным состояниям должны п пределе при h —> 0 переходить п фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную на характеристиках уравнения Лнувнлля.
Подход Эрснфсста связан с представлением кваптовомехаппческих состояний и виде волновых пакетов, локализованных в окрестности положения частицы на классической траектории. С математической точки зрения локализованпость означает, что квантовые средние по таким состояниям от операторов координат и импульсов в пределе при h -» О являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения
lim (г) = ZC|(£,z0), 0 < t < Т. (0.2)
л-*о
^ Условие (0.2) было названо [8,9] условном траекториой когерентности. Прагматическая
сторона этого подхода, по существу, связана с представлением волновых пакетов как решений (точных или приближенных по h —> 0) уравнения Шрёдпнгера (0.1), удовлетворяющих условию траекториой когерентности (0.2). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле В.М. Бабичем и 10.П. Даниловым [11| и позднее для уравнения Шрёдпнгера в произвольном электромагнитном поле В.Г. Багровым, В.В. Беловым и И.М. Терновым [8-10) на основе метода комплексного ростка Маслова [12-1G]. Подробную библиографию но этому вопросу можно найти в работах [ 17-20].
В работах |1S, 19,21-23) был развит новый подход и квазпклассичсском приближении для нсрелятипистских уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит % в том, что в классе квазикласснчсски сосредоточенных состояний средние значения
наблюдаемых приближенно (с любой степенью точности її —> О, /V > 0)
определяются по решению конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдпнгера этот базис - универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга-Вейля). Такая система для уравнения Шрёдпнгера была получена впервые в работах [21-23) и названа системой Гамнльтона-Эрснфсста.
Метод квазикласснчсски сосредоточенных состояний оказался эффективным инструментом исследования математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение этого метода на случай нелинейных моделей, основанных на нелинейном уравнении типа Хартрн, является одной из основных задач диссертации. Последнее % представляется особо актуальным, поскольку «проблема соответствия» для нелиней-
ных квантовых систем практически не изучена. Полученные в диссертации результаты позволяют по-иовому взглянуть на эту проблему. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних значений различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при ҐІ —» 0.
Помимо решения фундаментальных проблем квантовой теории, квазнкласспчсское приближение доказало свою эффективность при расчёте конкретных киаптовомехани-чеекпх эффектов (см. [19.24—38) п цитируемую там литературу). Например, киазпклас-сичсскп.ми методами могут быть описаны геометрические свойства физических систем, находящихся под внешним периодическим воздействием. Нетривиальная геометрия II топология системы определяют глобальные свойства решений математических уравие-щ ииИ, её описывающих. Для квантовых систем с нетривиальной топологией такие свой-
ства «представлены» так называемыми топологическими или геометрическими фазами
3
(ГФ) волновой функции. Проявления ГФ были обнаружены в поляризационной оптике, механике, химии молекулярных комплексов. Теоретические и экспериментальные исследования геометрических фаз и квантовой механике проводились, начиная с копна 20-х годов прошлого века (Ваи-Флек, 1929; Дирак, 1931; Ааронов-Бом, 1959). Работа Берри |39| (1984) существенно расширила область применения ГФ и привела к интерпретации этого понятия в терминах калибровочной симметрии и эффективного калибровочного ноля или в геометрической формулировке — гильбертова расслоении с конечномерной базой [40,41|. Подробное изложение данной проблематики можно иайтп, например, в обзорах [42,43|.
Для линейного уравнения Шрёдннгера с Т-исрнодичсскнм гамильтонианом H(t) Зельдовичем [45] и Рптусом [4G] впервые был введен важный класс решении — ква-знэиергетичсскис состояния 'l'siz, t, li), обладающие свойством
= (0.3)
где
ipe(x, t + Т, П) = t, Л). (0.4)
Величина €, входящая в (0.3), была названа квазпэнергисн и определена но модулю tvjj (cj = 2л/7’), т.е. С = € + rnhuj, m 6 Z. Состояния такого типа называются квази-эиерготпчсскими и играют ключевую роль при описании квантовомеханических систем, находящихся под влиянием сильных периодических внешних воздействий, когда стандартные методы нестационарной теории возмущений оказываются неприемлемыми.
Квазиэпергетичеекпс состояния (0.3) являются частным случаем циклических состояний, введенных Аароновым и Апаидапом [48] (см. также обзоры |42-44|). Под циклической эволюцией квантовой системы на временном интервале [0,Т] понимается сле-
дующее: вектор состояния Ф(<) имеет вид
ф(0 = e‘/(<V(0> <€[0,71, (0.5)
где
ЦТ) - /(0) = 4(inod 2тг), (0.G)
<р(Т) = Ф). (0.7)
1!|>п этом полная <])аза ф функции (0.5) разбивается па два слагаемых: динамическую
фазу
т ,.<ф(0|«(01*(0>
Л mmt)) m
о
-if
и геометрическую фазу Аароиова-Анаидана
т
-/
в. (0.9)
<9?(0к(<)>
о
Сравнив (0.3) и (0.5), получаем, что для квазиэнсргетпчсскнх состояний функция f(t) % равна
m = st/n, (o.io)
4
а для полной фазы ф, согласно (0.G), имеем
*
ф =—— (inod2ir).
/ с
(0.11)
В силу (0.8)—(0.11) фаза Аароноиа-Анандана 7*, отвечающая данному киазнэнсргстн-чсскому состоянию может быть определена по формуле (mod 2тг)
Г Л
Явление бозе-эйнштсйиовской конденсации было предсказано еще на заре квантовой механики и с тех пор постоянно привлекало внимание как теоретиков, так п экс-
# перпментаторов. Это явление было одним из первых, которое; показало, что квантовая механика может описывать эффекты не только на микроскопическом атомном уровне, но и в привычном нам повседневном масштабе. Первоначально было установлено, что бозе-эПпштсПповскиП конденсат (БЭК) играет главную роль в явлениях сверхтекучести и сверхпроводимости. Однако в обоих случаях изучение самого БЭК, не говоря уже о динамике перехода системы в состояние БЭК, было крайне трудным, поскольку температуру газа следовало довести до уровня лишь немногим выше абсолютного нуля. С открытием лазерного охлаждения эту задачу удалось решить. Экспериментаторы фиксировали атомы газа магнитными ловушками, затем замедляли их движение лазерными лучами. А далее, опять же лазерным лучом, отбирали самые быстрые атомы, пока не оставалось сколько-то с минимальной энергией. Несколько лет назад БЭК был папря-
^ мую получен в лаборатории (см., например, [49-51]). Экспериментаторы к тому времени
научились удерживать облако атомов щелочных металлов в магппто-оптпчеекпх или чисто оптических ловушках. Охлаждая удержанные атомы до сверхнизких температур, удалось добиться перехода атомов в состояние бозс-кондспсата.
Теория БЭК основана па уравнении Гросса-Пнтаевского [52), которое в математической литературе известно как нелинейное уравнение Шрёдипгера. Учёт «пеиде-алмюстн» межатомного взаимодействия частиц конденсата приводит к нелокальному уравнению Гросса-Питаспского [53,55]. Наличие ислокальиостп оказывается полезным сточки зрения проблемы коллапса волновой функции [04]. В различных разделах нелинейной физики нелокальное уравнение Гросса-Питасиского имеет различные названия (обобщенное нелинейное уравнение Шрёдипгера, уравнение Гинзбурга-Ландау и др.).
^ Здесь п далее мы будем использовать термин «уравнение типа Хартри». Изучение раз-
личных аспектов конденсации Бозе-Эйнштейна превратилось в бурно развивающееся направление современной физики. Исследование ГФ в БЭК |5б-58| вызывает интерес к проблеме ГФ нелинейных систем.
Теория ГФ в квантовой механике опирается на свойство линейности уравнения Шрёдипгера. Для нелинейных уравнений понятие ГФ также может быть введено (см., например, [42]), хотя не вполне очевидно, что построенное выражение определяется лишь геометрией системы н не содержит динамический вклад, обусловленный нелинейностью. Геометрические фазы и нелинейных системах менее изучены не только из-за неприменимости классического принципа суперпозиции решений. Нетривиальная топология системы может определяться как соответствующими граничными условиями,
* так и внешними нолями. Последние входят в уравнение в виде переменных коэффициентов. Построение квазиэноргстичсских состояний и геометрических фаз в этом случае
(0.12)
о
5
сталкннастся с фундаментальной проблемой интегрируемости нелинейных уравнений, поэтому естественно изучать ГФ в нелинейных системах в квазиклассическом приближении.
В настоящей работе под уравнением типа Хартри мы будем понимать уравнение вида
{~т + Я*(0}Ф = 0, Ф € L2(К"), (0.13)
где действие оператора типа Хартри определяется формулой
Йк(0Ф = (Я(0 + хР(1,Ф))Ф. (0.Ы)
Здесь
й(0 = Щг, 0, К(*, Ф) = J dy Ф9(у, t)V(z, w, t)'V(y, t), (0.15)
Ті п
а самосопряжённые в І2 и упорядоченные по Вейлю |59,С0] операторы 1i(z,t), V{z, w, t) - функции от нскоммутирующнх операторов і = (—ihd/dx, х), w = {—ihd/dy,y), x,y € R"; функция Ф* комплексно сопряжена к Ф; х - вещественный параметр; h - «малый параметр», h Є [0,1[.
В частном случае, когда вейлевские символы операторов в (0.15) имеют вид
П(г,1) = Ç + U(x,t), рЄ R", V(z,w,t) = V(ï,ÿ,t),
уравнение
_,т‘§г - тЛФ + +х ()|ф(* oi2«'»)*=0 (°лс>
Rn
называемся в квантовой механике нестационарным уравнением типа Хартри во внешнем поле с потенциалом U(x,t), где V {х, у, t) - потенциал самосогласованного поля.
В задачах квантовой механики и ядсриоП физики при исследовании взаимодействия систем многих частиц в приближении Хартри (см., например, |G1-GG|) потенциал Г(£, il, 0 имеет, как правило, сингулярности, в частности, в обычном уравнении Хартри |G7| - кулоновского типа. Уравнение (0.10) с гладким интегральным ядром возникает, например, при описании взаимодействия бозонов с формфактором в потенциале взаимодействия [С8|, фермноиов в модели Тиринга |С9), коллективных возбуждений в молекулярных цепочках (70|, в сверхтекучих квантовых жидкостях [71]. Это же уравнение возникает и в задачах квантовой теории нелинейных оптических явлений, например «сжатого» [72| света, при распространении коротких и мощных импульсов в нелинейной среде с учётом вклада молекулярных колебаний в нелинейную поляризацию среды |73|.
Математическая теория уравнений типа Хартри (0.1G) (задача Коши) развита в |74-85|, важные результаты были получены также в спектральной теории таких уравнений |SG—1011. Теория квазиклассичсского приближения при /і —> 0 для этого типа нелинейных уравнений начала систематически разрабатываться в 1102—101| (см. также |Ю5|). При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале взаимодействия в (0.1G) достаточно гладкое. Для такого гладкого случая была построена (формальная) квазиклассическая асимптотика задачи Коши с быстроосцнллирующими начальными условиями |103|, а для соответствующих спектральных задач были впервые построены киазпмоды, сосредоточенные вблизи точки [12,103,106]. Асимптотические
решения, локализованные в окрестности незамкнутых кривых, для стационарного уравнения типа Хартри (0.1G) были построены в [107,108). Случаи сингулярного ядра взаимодействия в квазикласспческой асимптотике спектра уравнения типа Хартри активно исследовался, начиная с [103), в работах [109-111|. Интересные результаты и теории построения квазимод уравнения типа Хартри, сосредоточенных при h —> 0 вблизи маломерных подмногообразий, были получены в [112,113| па основе «сингулярной» версии ВКБ-мстода, разработанной в [111). Наконец, отметим, что уравнения типа Хартри вида (0.13) (с симметричным символом интегрального «операторного» ядра в (0.15): Г(г, w, £) — V{xv,zyt)) играют важную роль в конструкции асимптотических решений дли /У-частнчпого уравнения Шрёдингсра при N —> оо [114,116]. В дайной работе для уравнения типа Хартри (0.13) (с гладкими вейлевскими символами в операторе (0.14)) мы строим локализованные асимптотические при h —> 0 решении - «квазисолмтоиы», обладающие рядом свойств, присущих уединенным волнам.
Наиболее характерным свойством уединённых воли («квазисолитопов») является проявление части неподобных свойств. Для «квазисолитопов» — кпазпкласспчсски сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри — эти свойства представлены ниже динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно «квантовых» средних X(t, /і), операторов координат х и импульсов /7 и цеитри-
]юиаиных моментов высших порядков. В пределе при Л —> 0 «центр тяжести» такого «кнпзнсолптопа» движется в фазовом пространстве по траектории этой динамической системы: и каждый момент времени квазпкласспчсскн сосредоточенное состояние эффективно сосредоточено в окрестности точки А'(£,0) (в ^-представлении) и в окрестности точки /*(£,0) (в ^представлении). Эту систему1 относительно квантовых средних для уравнения типа Хартри мы так же, как и в линейном случае, называем системой Гамилыпопа-Эрснфсста. Отметим, наконец, следующий важный факт, что в огличие от (линейного) уравнения типа Шрёдингсра в самой конструкции квазнклассичсски сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри существенно используются решения системы Гамильтопа-Эрепфеста.
Ключевым методом рассматриваемой диссертации является разработанный метод решения задачи Флокс в классе траекторио-сосредоточеппых функций. Он развивает метод решения задачи Коши, предложенный в |11б,117|. 3 результате удастся построить квазпэпсргстпчсскнс спектральные серии (0.3) уравнения типа Хартри и исследовать отвечающие нм геометрические фалы.
Перейдём к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введення, трёх глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего__библиографических ссылок. Общий объём диссертации составляет_____________страниц.
3 первой главе диссертации развит метод построения асимптотических квазинс-рподичсских решений, то есть решений многомерной задачи Флокс
Фг(г,г + T,h) = е~'еТ,г‘^е{х, t, /і) (0.17)
,чди уравнения (0.13), когда операторы 'H[t) и V(tt Ф) являются Т-нериодичсскимн функциями времени:
Щ1 + Т)= H{t), V{t + Т, Ф) = V{t, Ф). (0.18)
'Сіюмсіво гам ил ьтої юности этой системы является предметом отдельного исследоиаиия.
- Київ+380960830922