- г -
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение ........................................................ 4
Глава I. Однопетлевая перенормировка теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени ... 19 § I. Однопетлевая перенормировка калибровочных теорий в искривленном пространстве-времени на основе
метода фонового поля .................................. 19
§ 2. Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контрчленов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле ............................................ 29
§ 3. Локальное импульсное представление пропагаторов и однопетлевые контрчлены в эйнштейновской квантовой гравитации .......................................... 35
Глава П. Уравнения ренормализационной группы и асимптотическая свобода во внешнем гравитационном поле.... 41 § I. Уравнения ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени .................................... 41
§ 2. Асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени ........................... 48
§ 3. Поведение вакуумных эффективных зарядов в сильном гравитационном поле ................................... 56
§ 4. Уравнения ренормализационной группы и асимптотики эффективного действия в Я -гравитации со скалярным полем ...............................................60
Глава Ш. Эффективный потенциал в искривленном пространстве-
времени ...............................................67
§ I. Решение уравнений ренормализационной группы для
- З -
эффективного потенциала ............................... S7
§ 2. Эффективный потенциал в калибровочных теориях в
искривленном пространстве-времени и фазовые переходы, индуцированные кривизной .......................... 76
§ 3. Асимптотические свойства эффективного потенциала
в искривленном пространстве-времени ................... 90
§ 4. Фазовый переход и индуцирование эйнштейновской гра-
•• I?2
витации в квантованной it. -гравитации со скалярным полем.............................................. 97
Глава ІУ. Рождение частиц в космологических моделях ......... 102
§ I. Рождение свободных частиц во фридмановских космологических моделях специального вида с электромагнитным полем............................................... 103
§ 2. Рождение скалярных частиц в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем................................................. 116
§ 3. 0 представлении функций Грина во фридмановских космологических моделях специального вида с помощью контурных интегралов ................................. 119
§ 4. Рождение безмассовых частиц в теории скалярного
самодействующего поля во фридмановской Вселенной.. 123
Заключение ..................................................... 133
Литература...................................................... 137
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время были достигнуты большие успехи на пути построения объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Электромагнитные и слабые взаимодействия были объединены в единую теорию Вейнбергом и Саламом (см., например, обзоры £1,2]). Появились схемы большого объединения (см.,.например, обзоры
в которых теория электрослабых взаимодействий и теория сильных взаимодействий, описываемая квантовой.хромодинамикой, объединены в единую теорию электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий. Однако, гравитация остается пока за рамками этого объединения. Более того, до сих пор не создана полностью удовлетворительная квантовая теория гравитации. В отсутствие реалистической квантовой теории гравитации возникает естественный вопрос: каким образом можно учесть влияние гравитационного взаимодействия в области квантовых эффектов? Одним из первых шагов в этом направлении является квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, то есть теория, в которой рассматриваются квантованные поля материи на ф оне классического гравитационного поля.
С формальной точки зрения квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени можно разбить на: теорию свободных полей и теорию взаимодействующих полей. Квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени посвящено уже несколько сотен работ. Основные результаты, полученные в квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени, отражены в обзорных работах Де Витта [з], Паркера [4,5] , Гриба, Мамаева и Мостепаненко [б], Биррела и Девиса["7J, внесших существенный вклад в развитие всего предмета. Много полезного мате-
- 5 -
риала содержится также в сборниках с татей [8,э] . Большое внимание в этих работах уделено исследованию рождения частиц и поляризации вакуума внешним гравитационным полем [з-7~|, регуляризации тензора энергии-импульса [3,5-7^, физике черных дыр. и эффекту Хокинга £з,4,6,7^. При этом в качестве одной из центральных проблем в теории с вободных полей в искривленном пространстве-времени предстает проблема перенормировки, которая заключается в следующем. При исследовании квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени было выяснено, что в теории возникают расходимости вакуумной энергии, которые зависят от инвариантов кривизны внешнего гравитационного поля, а не являются просто постоянными, как в плоском пространстве.Для устранения этих расходимостей к действию свободных квантовых полей необходимо добавить затравочную вакуумную энергию (действие внешнего гравитационного поля). Тогда только теория, в целом, становится перенормируемой Гз,5-7].
Однако, наиболее существенной проблема перенормировки становится для квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени, поскольку, как известно [ю,п], уже в плоском пространстве е теории взаимодействующих полей необходимо совершать перенормировку полей и параметров теории для устранения возникающих расходимостей.
Впервые вопросы перенормировки взаимодействующих полей во внешнем гравитационном поле были рассмотрены Утиямой [12] на примере спинорной электродинамики. Им было доказано,что спинор-ная электродинамика перенормируема в слабом гравитационном поле. Предложенный Утиямой подход требует рассмотрения бесконечного числа диаграмм и пригоден только для формального доказательства перенормируемоети.Перенормировка теории поля рассматривалась в
- 6 -
13-1б]
и в пространстве с
пространстве постоянной кривизны конформно-плоской метрикой [17-18
В это же вреш было выяснено, нто для изучения проблемы перенормировки теории поля в искривленном пространстве-времени удобно использовать нормальные римановы координаты [ю], позволяющие ввести шалог импульсного представления для диаграмм в кривом пространстве [20] . На этом пути были рассмотрены следующие вопросы: вычисление однопетлевых и двухпетлевых контрчленов в -теории [20-24] , вычисление однопетлевых кон-
трчленов в квантовой электродинамике [25] и в неабелевой калибровочной теории [26,144].
На наш взгляд, наиболее удобным для вычисления контрчленов теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени является метод фонового ПОЛЯ [27-29] и техника Швинге-ра-Де Витта выделения расходимостей эффективного действия [зо-34] . Особенно полезен метод фонового поля в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле, поскольку здесь при выборе фоновой калибровки контрчлены появляются сразу в калибровочно-инвариантном виде. Метод фонового поля был использован для вычисления однопетлевых контрчленов в теории неабелевых калибровочных полей [з5,Зб] и двухпетлевых контрчленов в теории скалярного самодействующего поля [з7,38] и в неабелевой . калибровочной теории [зэ] . На основе метода фонового поля однопетлевые контрчлены в теории, содержащей скаляры, спиноры и калибровочные поля в искривленном пространстве-времени были впервые вычислены в нашей работе [147] (см. также наши работы [149,153] ) и позже с помощью локального импульсного представ-ления пропагаторов в работах [40,41] .
Общий анализ структуры перенормировки теории взаимодействую-
- 7 -
щих полей б искривленном пространстве-времени проделан в работах [42-52.]. Исследования, вшолненные в этих работах, позволяют сделать следующие выводы: если теория мультипликативно-пере-нормируема в пространстве Минковского, то эту теорию можно сделать мультиплнкативно-перенормируемой в искривленном пространстве-времени. Для этого необходимо: I. Записать перенормирова* нное действие теории в пространстве ГЛинковского, а затем перейти к его ковариантвому обобщению. При этом константы перенор- ' мировки теории в плоском пространстве не изменятся в результате перехода к искривленному пространству. 2. Если в теории содержатся скалярные поля V , то прямые вычисления показывают,что возникает расходящаяся структура , где Я - кривизна. По-
этому для обеспечения перенормируемоети теорий со скалярными полями в лагранжиан надо добавить член , где ^ - пара-
метр неминимальной связи скалярных и гравитационного полей. Следовательно, кроме констант перенормировки теории в плоском пространстве, не меняющихся при переходе к искривленному пространству, необходима новая константа перенормировки, отвечающая параметру ^ и не тлеющая плоского аналога. 3. Для устранения вакуумных расходимостей к действию теории необходимо добавить вакуумную энергию (действие внешнего гравитационного поля). Это влечет за собой необходимость введения новых констант перенормировки в секторе вакуумной энергии. После всего этого теория, в целом, становится мультипликативно-перенормируемой в искривленном пространстве-времени.
Как известно, в плоском пространстве-времени условие мультипликативной перенормируемости теории приводит к уравнениям ре-нормализационной группы [ю,53-55] . Эти уравнения позволяют изучать асимптотики вершинных функций Грина при больших импульсах
- 8 -
(высоких энергиях). Во внешнем гравитационном поле глобальное импульсное представление пропагаторов отсутствует. Однако, в работе [бб] обращено внимание на то, что преобразование растяжки импульсов р—*- Кр СОПБ-Ь ) , используемое в плос-
ком пространстве, можно заменить масштабным преобразованием метрики гравитационного поля (^у—►б [Ь-СДПЬЬ)9 При та-
ком цреобразовании метрики скалярная кривизна преобразуется в виде аг — еняг . Поэтому в пределе Ь —<*■ о° , ко-
торый отвечает уменьшению характерных масштабов, скалярная кривизна растет, т.е. предел ^ —*■ о° есть предел большой скалярной кривизны. Мы будем называть предел £—*■ со пределом сильного гравитационного поля. Соответственно, предел £-*>-оо, в котором скалярная кривизна уменьшается, будет называться пределом слабого гравитационного поля.
Уравнения ренормализационной группы, позволяющие изучать асимптотики вершинных функций Грина и вакуумной энергии в пределе сильных и слабых гравитационных полей исследовались в работах [40,41,51,56,57) и в наших работах [146,149,15з). Заметим, что уравнение ренормализационной группы для вакуумной энергии, рассмотренное впервые в работах [57,146^, не имеет аналога в плоском пространстве. Отличительной особенностью уравнений ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени является то, что при их решении возникают новые эффективные заряды. Эти эффективные заряды отвечают параметрам лагранжиана внешнего гравитационного поля и если присутствуют скалярные поля, параметру неминимального взаимодействия гравитационного и скалярных полей. Исследование поведения новых эффективных зарядов в сильном гравитационном поле проводилось для ряда моделей в работах [40,41,51,56,57^ и одновременно в наших работах [146,
- 9 -
147,149,15з]. Общий анализ различных аспектов уравнений ренор-мализационной группы в искривленном пространстве-времени проде-
нормировке и уравнениях ренормализационной группы в асимптотически плоских и топологически эвклидовых искривленных пространствах доведен до того же уровня, что и соответствующий вопрос в плоском пространстве.
Мультипликативная перенормируемость теории поля в искривленном пространстве-времени позволяет устранять расходимости в каждом порядке теории возмущении и таким образом приводит к возможности использования теории возмущений для вычисления радиационных поправок к амплитудам квантовых процессов и средним значениям различных величин. Одна из наиболее простых задач среди задач такого рода - это вычисление радиационных поправок к среднему числу и плотности энергии частиц, рожденных гравитационным полем. Однако, в чисто техническом аспекте даже эта задача становится затруднительной. Дело в том, что в тех немногих типах гравитационных полей, в которых свободные волновые уравнения точно решаются, пропагатор представляется, как правило, с помощью специальных функций. Теория возмущений вовлекает произведение про-пагаторов с интегрированием по четырехмерному объему. Явная оценка подобных выражений вызывает большие вычислительные трудности. Именно этим объясняется тот факт, что сделано лишь несколько работ [59-67,152], в которых изучается процесс рождения частиц гравитационным полем с учетом взаимодействия. При этом в
Другое интересное направление в квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени, интенсивно развивавшееся в последние годы, связано с эффективным потенциа-
лен в работе ) 51_|. В целом, можно заключить, что вопрос о пере-
работай
рассмотрешлишь наиболее простые ситуации.
-Голом. Хорошо известно [б,68-7о}, что уже классический потенциал в искривленном пространстве-времени может приводить к спонтанному нарушению симметрии из-за члена в лагранжиане .Вы-
числению эффективного потенциала в различных моделях посвящены работы [?1-8о]. В частности, однопетлевой эффективный потенциал вычислен в пространстве постоянной кривизны для -теории
[71,72,75-78] и скалярной электродинамики [*73,74,77,78], и в пространстве со слабым гравитационным полем для 2 ^ -теории [79,8о] и скалярной электродинамики [8о]. Заметим,что спонтанное нарушение симметрии изучалось также в работах [81,82] на основе методов, не связанных с эффективных потенциалом. Рядом авторов было отмечено [73,74,80] ,что кривизна может индуцировать фазовые переходы в эффективном потенциале. В то же время, на основе фазовых переходов первого рода по температуре в теориях большого объединения был создан новый космологический сценарий - раздувающаяся Вселенная [83-8б][. В первых работах [ 83-85] для описания фазового перехода во Вселенной использовался эффективный потенциал,вычисленный при ненулевой температуре в плоском пространстве.Позже появились работы м ,в которых сделаны попытки учесть совместное влияние кривизны и температуры на фазовый переход.Исследовательская активность в области,связанной с раздувающейся Вселенной,очень высока,обзор достижений на конец 1984 года сделан Линде [вб].Отметим также,что с помощью эффективного потенциала можно рассматривать индуцирование эйнштейновской гравитации квантовыми эффектами полей материи [вв].
Таким образом, исследование различных аспектов квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени является интересным и актуальным,как с точки зрения физического содержания и приложений,так и с точки зрения дальнейшего
- II -
развития формализма, и привлекало многих авторов.
Настоящая диссертация посвящена исследованию уравнений ренор-мализационной группы в искривленном пространстве-времени. Большое внимание уделено такие ренормгрупповому подходу к вычислению эффективного потенциала и исследованию процесса рождения частиц во фридмановекой Вселенной.
В первой главе обсуждается однопетлевая перенормировка теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени. В первом параграфе рассмотрена калибровочная теория »-содержащая произвольное число скалярных и спинорных мультиплетов и калибровочные поля, в искривленном пространстве-времени. В плоском пространстве однопетлевые константы перенормировки в -такой теории были получены Вороновым и Тгатиным [вэ]. Поскольку при переходе к искривленному пространству константы перенормировки теории в плоском пространстве не меняются [5l], а однопетлевые вакуумные контрчлены определяются уже в теории свободных полей [3,5-7], то в однопетлевом приближении неизвестна только константа перенормировки, отвечающая параметру ^
Мы нашли эту константу перенормировки в однопетлевом приближении &54], используя алгоритм Фрадкина-Вилковыского вычисления однопетлевых расходимостей эффективного действия [32-34]. Заметим, что рассмотренная теория включает большое количество различных моделей. Мы иллюстрируем переход от однопетлевых констант перенормировки рассмотренной теории к однопетлевым константам перенормировки моделей теории поля на примере SU (2) модели, содержащей скалярные, спинорные и калибровочные поля.
Во втором параграфе для этой же S U (2) модели проводится независимое вычисление однопетлевой константы перенормировки, отвечающей параметру % , на основе локального импульсного пред-
- 12 -
ставления пропата торов. Показано, что полученные независимо константы перенормировки совпадают. При этом, во втором параграфе выбрана калибровка, зависящая от параметра </. и отличная от выбора калибровки в первом параграфе. Следовательно, результаты второго параграфа служат и для прямой проверки в однопетлевом приближении независимости найденной константы перенормировки от калибровочного параметра с/. , что и ожидалось из
общих соображений. Б последнем параграфе для иллюстрации возможностей метода на основе локального импульсного представления гравитационного пропагатора [148], воспроизведены однопетле- ' вые контрчлены квантовой гравитации [эо].
Во второй главе рассмотрен метод ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени. В первом параграфе сформулированы уравнения ренормализационной группы для вершинных функций Грина [56,40,51,146] и для вакуумной энергии [40,51,57,146]. Получены решения этихуравнений, связывающие соответственно вершинные функции Грина и вакуумные энергии дЕух теорий, метрики которых связаны масштабным преобразованием »в .
Как известно, при решении ренормгрупповых уравнений возникают эффективные заряды и массы, удовлетворяющие уравнениям для эффективных зарядов и масс. Во внешнем гравитационном поле эффективные заряды разбиваются на две группы: заряды, имевшиеся в плоском пространстве и не меняющиеся при переходе к искривленному пространству, и новые эффективные заряды. При этом, новые эффективные заряды возникают в секторе вакуумной энергии (в лагранжиане внешнего гравитационного поля), и,если в теории есть скалярные поля, возникают эффективные заряды \[^-) ,
отвечающие параметрам неминимальной связи скалярных и гравитационных полей. Асимптотики вершинных функций Грина и вакуумной
- 13 -
энергии в пределе ~Ь —в" о° , в основном, определяются асимптотиками эффективных зарядов и масс. Поскольку асимптотики эффективных масс и эффективных зарядов в плоском пространстве хорошо известны £ю,54], необходило дополнительно исследовать только поведение новых эффективных зарядов в пределе £• —*• 00 . В уравнение для данного эффективного заряда входит уЗ -функция, которая определяется стандартным образом [го] с помощью соответствующей константы перенормировки. Поэтому для записи уравнений эффективных зарядов § (~Ь) необходимо использовать расчеты, выполненные в первой главе, а для записи уравнений ва-уумных эффективных зарядов - результаты, приведенные в работах [з,5-7]. Во втором и третьем параграфах рассмотрено поведение эффективных зарядов в пределе £ —1► 00 для -теории [56,
14б] , скалярной электродинамики [80,151]] и трех моделей теории поля, содержащих скаляры, спиноры и неабелевы калибровочные поля и основанные на калибровочной группе 5 II (2 ] .В плоском пространстве эти 51/(2) модели изучены в работе [89], где показано, что они обладают асимптотической свободой на особых решениях уравнений ренормализанионной группы [54,89,91-95]]. Особый интерес с точки зрения ренормгруппы представляют именно асимптотически свободные модели, т.к. в них отсутствует проблема "ноль-заряда" [ю,54] . В изученных нами асимптотически свободных моделях обнаружено следующее п оведение эффективных зарядов в пределе больших £ . Вакуумные эффективные заряды ли-
нейно по £ расходятся, либо стремятся к своим начальным значениям. Поведение эффективных зарядов §(Ь) подразделяется следующим образом:
а) Существуют модели, обладающие асимптотической конформной
- Київ+380960830922