Содержание
Введение 3
1 Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита и их свойства 19
1.1 Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита. Свойства и примеры аналогов многочленов Чебышева-Эрмита....................... 19
1.2 Вспомогательные утверждения.................................... 25
1.3 Доказательство рекуррентной формулы для многочленов Я,<ад, 3 = 1,2,.................................................... 27
2 Асимптотические разложения для плотностей с использованием вспомогательных зарядов 30
2.1 Основные обозначения и предположения........................... 30
2.2 Постановка задачи...............................................32
2.3 Две леммы...................................................... 36
2.4 Разложения для плотностей при конечности моментов порядков 5 и б . 36
3 Асимптотические разложения для плотностей в общем случае 57
3.1 Асимптотические разложения для плотностей в общем случае при конечности момента порядка т ^ 3..................................... 57
3.2 Формулировка и доказательство леммы ........................... 66
4 Асимптотические разложения для решетчатых распределений 70
4.1 Асимптотические разложения в локальной ЦПТ..................... 70
5 Асимптотические разложения для вероятностей 73
5.1 Получение разложений для вероятностей с помощью разложений для плотностей......................................................... 73
6 Приложение 1. Текст программы для вычисления многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита. Ма^аЬ 7.0 75
7 Список литературы 77
2
Введение
Одним из фундаментальных результатов теории вероятностей является центральная предельная теорема (ЦПТ), которая утверждает, что при достаточно широких условиях сумма многих случайных величин имеет приблизительно нормальное распределение. В ЦПТ рассматриваются независимые и слабо зависимые случайные величины. одинаково и различно распределенные случайные величины, действительные случайные величины и случайные величины, принимающие значения в многомерных пространствах и т.д. Простейший вариант ЦПТ связан с независимыми одинаково распределенными случайными величинами (н.о.р.с.в.) с конечными дисперсиями, при этом без ограничения общности можно считать, что среднее значение этих случайных величин равно нулю, а дисперсия - единице. В этом случае ЦПТ можно сформулировать в следующем виде.
Пусть Х\,Х2,... - н.о.р.с.в. с ЕХ1 = 0 и 0X1 = 1. Обозначим через Р общую функцию распределения (ф.р.) этих случайных величии и Рп(х) — Р[Х'+^Хп < х) -функцию распределения нормированной суммы Х^^Хл первых п из этих случайных величин. ЦПТ утверждает, что
Рп(х) —> Ф(т) при 71 —> ОС
* 2
равномерно но —оо < х < оо, где Ф(х) = / е~и 12<1и - функция распределе-
—оо
ния стандартного нормального закона. При выполнении некоторых дополнительных условий у ф.р. Рп(х) существует плотность рп(х) и рп(х) —> <р(х) при гг —> оо равномерно по — оо < х < оо, где 1р(х) = '^е~х2'2 - плотность стандартного нормального закона.
Важность ЦПТ объясняется тем, что она позволяет в практических расчетах заменять (при больших тг) ф.р. Рп на ф.р. Ф. работа с к(угорой не представляет трудностей. Функцию распределения Рп(х) можно записать в виде Р*п(у/пх), где *п означает п—кратную свертку функции распределения F, точнее,
оо оо
Ряп(х) = J ... J Р{х-у1 Уп-\)с1Р(у1) . . . <£Р(уп_1), -00 < X <00,
-оо -оо
'-------v------'
>»-1
то есть Fn(x) является многократной нормированной сверткой ф.р. F с самой собою. Хорошо известно, что свертки распределений в явном виде вычисляются лишь в исключительных случаях, и даже в этих случаях расчет многократных сверток напрямую обычно невозможен.
Например, в случае, когда F(x) является экспоненциальным распределением с параметром единица, то есть Р(х) — 0 при х < 0 и Р(х) — 1 — е~х при х ^ О
п—1 г
F’n(x) = 1 - Р(Х, + ■ •• + Х„ > х) = 1 - 1>-*^
г=0
при х > 0. Прямые расчеты по этой формуле при больших п невозможны хотя бы из-за того, что 70! > Ю100. Как уже отмечалось, ЦПТ позволяет заменять многократные
3
свертки нормальными законами, работа с которыми не вызывает трудностей. Однако. при такой замене мы всякий раз (за исключением тривиального случая, когда F - нормальная функция распределения) совершаем некоторую ошибку, и возникает естественный вопрос о величине этой ошибки, или, как иногда говорят, о точности аппроксимации в ЦПТ.
Одним из самых известных результатов в этом направлении является теорема Берри-Эссена, которая гарантирует, что
Р(К, ф) = sup |ад - Ф(*)| s: (I)
-оо<ж<оо V71
где с - некоторая константа. Эта оценка является неулучшаемой с точностью до значения константы с, для которой известна как верхняя оценка с < 0,7056 ([32]), так и нижняя оценка с ^ = 0,409... (Эссен, 1956 год, [6]). К сожалению, точность
оценки Берри-Эссена невелика. Если мы захотим гарантировать с помощью (1) справедливость неравенства р(.Рп,Ф) ^ ДО“3, то в силу того, что E|Xi|3 ^ 1 (это следует из неравенства Ляпунова), величина п должна быть более (103с)2 > 160000. В случае, когда нормированная сумма состоит из нескольких десятков слагаемых, оценка теоремы Берри-Эссена, по существу, бессодержательна.
Малая точность аппроксимации в ЦПТ - факт, давно и хорошо известный. Он привел к развитию нескольких направлений в оценках точности аппроксимации в ЦПТ, среди которых изучение неравномерных оценок и изучение оценок, содержащих псевдомоменты. Примером неравномерной оценки является неравенство
|л<'>-фМ'<с(ГПЖД' и
а пример оценки, содержащей псевдомоменты, дает неравенство
p(Fn, Ф) « 1Ф) при п > 4, (3)
где С - некоторые постоянные, а 1/3 - метрика на множестве функций распределения, которая называется вариацией с весом (здесь вес равен |х|3) и определяется равенством
оо
W) = J |1|3КУ - W)(x)\ = sup
“ОО
где верхняя грань берется по множеству таких измеримых функций w, что |ги(а;)| < 1, —оо < х < оо, а V н W - произвольные функции распределения.
Значения постоянных в этих оценках оказывается существенно больше значения постоянной с в неравенстве (1).
Таким образом, оценка (2) не имеет преимуществ перед (1) при не очень больших |х|, а (3) не имеет преимущество перед (1), если расстояние /^С^Ф) не очень мало.
По-видимому, малая точность аппроксимации, которую гарантируют приведенные оценки, связана с тем, что они применимы для очень широкого класса распределений F: они справедливы для любой ф.р. F с конечным третьим моментом. Существенное продвижение в оценках точности аппроксимации в ЦПТ можно получить
оо
J xsw(x)d(V — W)(x) ,
-00
4
за счет сильного сужения множества функций распределения исходных случайных величин. Так известно, что если для некоторого натурального га ^ 2 абсолютный момент ßm-\-2 функции распределения F конечен, моменты F совпадают с моментами Ф вплоть до порядка га 4- 1, F обладает некоторой гладкостью, то
где с зависит лишь от га. Известны явные оценки величин о (^77). Это неравенство приводилось в спецкурсе ”Дополнительные главы теории вероятностей", прочитанном В.В. Сенатовьш на механико-математическом факультете МГУ в 2002 г.
Для справедливости (4) необходимо наложить на F ограничения, связанные с ее гладкостью. Эти условия, по крайней мере, должны гарантировать нерешетчатость F, поскольку для любой решетчатой ф.р. F величины p(Fn, Ф) ^ 0.125^ для всех 71, начиная с некоторого, где h - шаг распределения F, при любых (сколь угодно сильных) ограничениях на моменты.
Одним из условий на гладкость F, которое гарантирует выполнение (4), является условие Крамера
liinsup 1/(0! <
И—оо
где / - характеристическая функция распределения F. Выполнение этого условия гарантирует существование у F непрерывной компоненты в ее лебеговом разложении. При выполнении условия Крамера и упомянутых выше условий на моменты справедливо неравенство (4), в котором для о (^77) можно получить явную оценку, в которую входит величина
а(Т) =sup{|/(<)|: t> Т} <1
для некоторого Т > 0. При этом о (^75) из неравенства (4) при росте п убывает экспоненциально быстро.
Условия, при которых доказывается неравенство (4) близки, а при четных га совпадают с условиями одной теоремы И.А. Ибрагимова, устанавливающей связь между скоростью стремления к нулю величины p(F„, Ф) и значениями моментов F.
По-видимому, точности, которую гарантирует неравенство (4), достаточно для большинства практических расчетов уже при не очень больших га, скажем, для га., больших 3-5, однако ограничение, связанное с совпадением моментов F и Ф вплоть до порядка га-Ь 1. очень сильно сужает область применения неравенства (4).
Хорошо известен еще один подход к аппроксимации распределений Fn, он связан с так называемыми асимптотическими разложениями. В этом подходе нормальный закон Ф рассматривается только как первое приближение распределения Fn и аппроксимация Fn ищется в виде суммы Ф и некоторых слагаемых, стремящихся к нулю при росте п. Асимптотические разложения в ЦПТ появились в работах Грама |7| 1883 года, Шарлье |2] 1913-1914 годов и в работе Эджворта (4| 1905 года. В 1920-х годах асимптотические разложения интенсивно изучались Г. Крамером, а затем и другими исследователями, которыми были получены важные результаты, однако подавляющее большинство этих результатов давало оценки точности для асимптотических разложений в терминах О (^-) и о (^г), где а > 0 - некоторое число, зависящее от количества моментов, которые существуют у распределения F. По-видимому,
первые результаты с явными оценками точности для асимптотических разложений появились в конце 20-го века в работах Шимицу (8), Добрич, Гош [3]. В 1990-х годах появились результаты В. Сенатова. которые были получены с использованием сопровождающих зарядов. Кратко опишем содержание этого подхода, детальное описание которого можно найти в [27].
Для данного распределения Я, у которого конечен момент (Зт+2, т ^ 2, и которое является достаточно гладким, попробуем подобрать гладкое распределение С с конечным моментом порядка т + 2и первые т + 1 моментов которого совпадают с соответствующими моментами Р. Рассуждения, аналогичные тем, что использовались при доказательстве (4) показывают, что нормированные свертки Рп и (7„ при росте п сближаются друг с другом быстрее, чем они сближаются с нормальным законом. Оценка величины р(Рп, (7П) имеет тот же вид, что (4) с явными оценками с и 0(^2). Если нам удастся подобрать распределение б?, для которого просто вычисляются функции Сп или просто получаются асимптотические разложения Сп, то в качестве асимптотического разложения Рп можно взять асимптотическое разложение Сп и тем самым задача построения асимптотического разложения для Рп будет решена.
Нам будет удобней вначале рассмотреть задачу об асимптотических разложениях плотностей рп{х) ф.р. Рп{х) (при соответствующих дополнительных условиях), а затем вернуться к задаче о разложении для Рп(х).
Распределение (7 с указанными выше свойствами естественно назвать сопровождающим. В. Сенатов искал сопровождающие распределения в классе абсолютно непрерывных распределений, плотности q{x) которых допускают представление
ч(х) = X) 7ГЯ*
1=0
где Я/(х) = (—\)1<р1(х)/ч>{х) - многочлены ЧебышевагЭрмита, а 0* - числа, называемые моментами Чебышева-Эрмита распределения (7
оо
о,= J т(х)гЮ(х).
-оо
Так как функции Яфт) являются многочленами 1-г о порядка, то для вычисления в( необходимо и достаточно знать моменты ау = j = 3,..., I.
Обратим внимание на то, что равенство (5) представляет собой разложение отношения по многочленам Чебышева-Эрмита, которые образуют полную ортогональную систему в пространстве Т2(<^) действительных функций, квадрат которых интегрируем с весом (р(х) но всей действительной прямой. Условия сходимости ряда (5) являются очень тяжелыми, но они оказываются ненужными, если еще сильнее сузить класс сопровождающих распределений, потребовав дополнительно, чтобы ряд из (5) состоял из конечного числа слагаемых. Этот класс распределений замкнут но отношению к переходу к нормированным сверткам. Действительно, если для некоторого распределения (7
Ф) = £|Я|(*М*)> (6)
/=0
б
- Київ+380960830922