СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ................................................... 3
ЕПАВА I. Оценки средних взаимных уклонений времен пребывания
независимых траекторий в различных метриках. ... 13
§ I. Постановка задачи.................................. 13
§ 2. Взаимные уклонения времен пребывания в метриках
Р*..................................................... 20
§ 3, Взаимные уклонения времен пребывания в метриках
Ц* и 2?^ 36
§ 4. Взаимные уклонения совместных распределений
нескольких функционалов.......................... ЧЪ
1ЯАВА П. О существовании типичных распределений ...... 75
§ I. Постановка задачи................................ 75
§ 2. Существование типичных распределений для метрик
Р«м °^о< 78
§ 3. Замечание о смеси гауссовских мер................ 83
§ 4. Теорема о существовании типичных совместных распределений в метрике Канторовича-Рубинштейна ... 88
ЛИТЕРАТУРА................................................. 99
- 3 ~
ВВЕДЕНИЕ
Изучение времен пребывания случайных процессов - одна из важных и принципиальных задач современной теории вероятностей. Ее истоки можно видеть в классической эргодической теории. Многие ее аспекты начали исследоваться сравнительно недавно и вызывают в настоящее время все возрастающий интерес,
В настоящей работе рассматривается вопрос о том, насколько статистически разнообразными могут быть времена пребывания независимых траекторий измеримого центрированного гауссовского случайного процесса, реализации которого лежат в некотором пространстве МХАР) (Р0О (♦оо) .К задаче можно подходить по-разному. В 1978 году В.Н.Судаков СЩ предложил рассматривать совокупности времен пребывания = Р°{ ^ * югда траек-
тории { выбираются из расширяющейся системы N —мерных подпространств р 1_1г(Х,(К, Р ) » и Доказал, что при фик-
сированном N в совокупности распределений имеется типичное в следующем смысле: для любого £ > о при достаточно большом Ы(а) (зависящем лишь от £ ) при каждом
N(6) можно найти такое распределение Р на прямой, что отклонение от Р в смысле метрики Канторовича-Рубинштейна ге (см.С41 СЮ] И£Й) меньше £ , если ^ выбирать
из шкоторого множества 1 с » мера которого
относительно нормированной инвариантной меры на $м-/1 больше £ . Там же было показано, что вместо меры на сфере можно брать гауссовскую меру в Ры с плотностью (М/яг) ^ *
( II * II и г “ след на нормы ИЗ
ЦОС,и,Р) ).
- 4 -
В связи с этим результатом Б.С.Цирельсоном была высказана гипотеза о справедливости более сильного утверждения: существует такое распределение Р на прямой, что Е^ае (р^ )< •
Частичный ответ на этот вопрос получен ниже (теорема I § 3 гл.1). В 1982 году С.В.Нагаев £8) предложил вместо метрики as рассматривать более слабую метрику р0 (см. определение в § 2 гл.Х) и, используя аппарат характеристических функций, доказал, что существует такое распределение Р , что Е^Р)<«**( и, следовательно, для метрики р0 справедлива теорема о существовании типичного распределения, аналогичная теореме В.Н.Суда-кова.
Глава I работы посвящена усилению и обобщению результата С.В.Нагаева на случай некоторых новых семейств метрик, причем используемые методы совершенно отличны от метода характеристических функций, примененного С.В.Нагаевым. В главе П получены обобщения теоремы В.Н.Судакова о типичном распределении на случай совместного распределения по мере Р нескольких функционалов. Для ряда метрик эти результаты удается вывести как следствие теорем главы I об оценках средних взаимных уклонений независимых времен пребывания, а в случае метрики Канторовича-Рубинштейна используется, с некоторыми модификациями, метод, примененный В.Н.Судаковым.
Перейдем к более подробному изложению содержания работы.
Всюду нике будем рассматривать только измеримые центрированные гауссовские процессы (за исключением § 3 гл.П, где будет рассмотрена смесь таких процессов). Все рассматриваемые множества будут предполагаться борелевскими, а меры - борелевскими вероятностными (за исключением меры Лебега в R»* ). Будем счи-
5
тать, что параметрическим множеством указанного выше гауссовского процесса является пространство с мерой (Х,0(,Р) , и что его
где Р - некоторая мера на прямой, ар- какая-то метрика е множестве мер, удобнее рассматривать более симметричную величину £ Р* ) # которая и будет оцениваться (Пред-
ложение I § I). Кроме этого, в § I обсуждается переформулировка изучаемой задачи на языке конечномерных пространств (Предложение 2), Такая переформулировка удобна при непосредственном получении оценок и используется на протяжении всей работы. Везде далее будем считать, что (Хм*, 1Н*) - N -мерные
евклидовы пространства в двойственности. В задана стандартная гауссовская мера , в Хм -мера Р . удов-
летворяющая условию
траектории лежат в Ег(Х, 0(, Р) . Соответствующую процессу меру в 1»ХХ,01., Р) обозначим через у“ . Очевидно всегда найдется такая постоянная , что
( ('>") - скалярное произведение в 1_г(Х, 0{, Р) ).
Под временем пребывания траектории ^ процесса будет подразумеваться мера Р^=Ро^',<
Через ]гн будем обозначать гауссовскую меру в N
мерном евклидовом пространстве
, задаваемую плотнос-
относительно меры
Лебега.
Вместо величины Е^р(^»Р) (или Е^г( Вр Р ) ),
б
м П'С (**)
где постоянную с0 будем далее считать фиксированной. Класс мер, удовлетворяющих условию (я*), будем обозначать ^(Со) • При таком подходе соотношение
^ (I)
будет справедливр,если для всех мер Рб ^Р*М(со) найдется такая постоянная Л(св) > не зависящая от Р и N . что
(2)
Однако, как будет видно в главе П, могут быть полезны оценки типа неравенства (2), где правая часть зависит от размерности.
В §§ 2 и 3 вводятся метрики р*, о1л и .
Все эти метрики будут рассматриваться на мерах, имеющих второй момент, хотя при некоторых значениях параметров они имеют смысл и в других случаях.
Заметим, что о(0 = ^ = йе - метрика Канторовича-Рубинштейна. Для нас метрика р* является основной. Главный результат § 2 заключается в следующей теореме.
ТЕОРЕМА. (§ 2 гл.I). Для любой меры Р^'5ам(с0) справедливы оценки
I) при о< (г С- і, 'О
■§м(р\#*Е рг(Р я
где с (о<) зависит только от <* } с(А)=5/ЗГ
При ы = о оценка, полученная в п.1 теоремы I, фактически сов
падает с результатом С.В.Нагаева.
Примеры, приведенные после этой теоремы, иллюстрируют точность полученных в ней оценок.
Метрики р* с одной стороны и о!.* , « - с другой -
несравнимы между собой, однако можно получить оценки математичес
ких ожиданий &“( р)Р м о1* (Р+# Р*) и Ж"(Р ) = ©1<1? Л
~ ае^(Р^,Р<з_) через ^Ы(Р) (при надлежащих
соотношениях между о<, г, и р> ).
ТЕОРЕМА (теорема 2, § 3 гл.1). Для любой меры Р^ 35м(с.0)
справедливы неравенства:
♦<§>*(£), при г * (а, г!
г-г
(коэ№циент С ПРИ ^ считается равным еди-
нице) ,
*<>)<• ^■■£“м(Р)-йгМ+ К, "ГИ',С°'1)-
Как следствие этой теоремы и теоремы I немедленно получаем следующий результат.
ТЕОРЕМА (теорема I, § 3 гл.1). Для всякой меры Р* ^Р^со) и любого натурального N справедливы неравенства
8
$”((*)« <:(*)■<£, г«: 0,2.1
1 1
С С С^-) зависит только от *С ) ;
^(Р)4ССС0,Ы)Н^Н, о<*По,'|)}
(С - постоянная, зависящая лишь от с0 и ).
При <* = 0 из утверждения последней теоремы получаем (ср. [20],
[*])
При рассмотрении примеров в § 3 главы I и в § 3 главы П используется удобная лемма о двусторонней оценке метрики ,
которая в случае сферически инвариантной меры имеет вид
ЛЕММА. (§ 3 гл.1). Пусть Р - сферически инвариантная мера
вХн* йбХ*Г, $/ци •Тогда
Примеры, приведенные в § 3, показывают, что полученные оценки для (Т>/1) точны, а оценки для скы точны в степенной шкале и не могут быть улучшены больше чем в -бь М раз.
Параграф 4 посвящен вопросу о совместных распределениях относительно меры Р нескольких функционалов, выбранных независимым образом. В нем рассматривается одно из возможных обобщений метрик о на случай мер в 5^ .
- Київ+380960830922