РОЗДІЛ 2. КЕРОВАНІСТЬ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ
З СИНГУЛЯРНИМИ ВПЛИВАМИ
При дослідженні систем, вплив на які має зосереджений характер, одним з перших постає питання про керованість та існування оптимального керування. Для лінійних систем з зосередженими параметрами проблема керо-ваності в класах спеціальних розподілів Л. Шварца була вивчена в [2, 42]. Пока-зано, що введення таких впливів не розширює умов повної керованості Р. Кал-мана. Для розподілених систем з імпульсним, точковим та іншими керуваннями ситуація значно складніша. Це, перш за все, пов'язано з принциповою склад-ністю (порівняно з зосередженим випадком) рівнянь стану системи. Різними методами (теорія напівгруп, апріорні оцінки, транспонування, -проблема моментів тощо) керованість розподілених систем вивчалась в [11, 12, 45, 47, 51, 108-110, 112].
В розділі досліджуються задачі керованості для розподілених систем псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів з імпульсним, точковим та імпульсно-точковим керуваннями. При цьому суттєво використовуються результати попереднього розділу та теорія негативних просторів, яка є, на нашу думку, адекватним математичним апаратом опису систем з сингулярним керуванням. Для псевдопараболічної системи доводиться розв'язність задачі оптимального керування коефіцієнтами (задачі ідентифікації невідомих параметрів) та узагальненими правими частинами.
2.1. Керованість розподілених систем з сингулярними впливами
Розглянемо систему з розподіленими параметрами псевдопараболічного типу, функція стану якої є розв'язком граничної задачі, вивченої в підрозділі 1.2 (всі позначення відповідають введеним в підрозділі 1.2)
в , (2.1.1)
. (2.1.2)
Функція в правій частині рівняння (2.1.1) залежить від керування з деякої допустимої множини , що належить простору керувань , алгебраїчна та топологічна структури якого поки не суттєві.
Розв'язок задачі (2.1.1), (2.1.2) який відповідає керуванню , позначатимемо . Під керованістю системи в деякій множині звичайно розуміємо можливість досягнення довільного бажаного стану за рахунок допустимих керувань .
Перейдемо до формальних означень.
Означення 2.1.1. Система (2.1.1), (2.1.2) точно керована в банаховому просторі множиною допустимих керуючих впливів , якщо множина покриває простір , тобто в .
Означення 2.1.2. Система (2.1.1), (2.1.2) асимптотично керована в банаховому просторі множиною допустимих керуючих впливів , якщо множина щільна в , тобто
.
З результатів підрозділу 1.2 безпосередньо випливає наступна лема.
Лема 2.1.1. Якщо , то система (2.1.1), (2.1.2) точно керована в просторі .
Доведення. Нехай - довільна функція з простору . Тоді . Оскільки , то існує таке керування , що в . Позначимо - узагальнений розв'язок задачі (2.1.1), (2.1.2) з правою частиною . Тоді задовольняє тотожності
: .
Отже, використовуючи апріорну оцінку для узагальненого розв'язку з простору , отримуємо . Тому в . Приймаючи до уваги, що , приходимо до висновку, що . З теореми 1.2.3 випливає, що - розв'язок задачі (2.1.1), (2.1.2) у сенсі означення 1.2.1. Таким чином, система точно керована в просторі .
Але умова є досить жорсткою та, як правило, не виконується для правих частин, що зустрічаються в задачах сингулярного керування. Трохи послабивши вимоги на праву частину, яка задає вплив на систему, приходимо до такого твердження.
Лема 2.1.2. Якщо множина щільна в , то система (2.1.1), (2.1.2) асимптотично керована в просторі .
Доведення. Нехай . Оскільки простір щільно вкладений в , то існує послідовність така, що . Розглянемо . В силу щільності множини в просторі
.
Нехай - узагальнений розв'язок задачі (2.1.1), (2.1.2) з правою частиною у сенсі означення 1.2.2. Тоді задовольняє тотожність
: .
Використовуючи апріорну оцінку узагальненого розв'язку з простору та попередню нерівність, отримуємо .
За нерівністю трикутника маємо
Далі розглянемо деякий розв'язок питання про імпульсну, точкову керованість системи (2.1.1), (2.1.2) на основі приведених абстрактних лем.
Будемо вважати, що
, (2.1.3)
де - фінітна послідовність елементів (тобто, починаючи з деякого всі елементи дорівнюють нулю). Позначимо множину всіх таких фінітних послідовностей.
Лема 2.1.3. Множина щільно вкладена в .
Доведення. Покажемо спочатку, що . Для довільного керування розглянемо . Простір ізометрично ізоморфний тензорному добутку , де - простір С.Л. Соболєва, утворений поповненням таких функцій , що , за нормою , - простір С.Л. Соболєва, утворений поповненням таких гладких функцій , що , за нормою .
Приймаючи до уваги означення -функції Дірака та вкладення , маємо , де - негативний простір, побудований за відносно . З іншого боку, оскільки мають місце вкладення , де - негативний простір, побудований за парою , , то . Застосувавши теорему про оснащення тензорного добутку гільбертових просторів [9, с. 493], маємо, що
.
Тому .
Доведемо, що щільно лежить в . З огляду на структуру тензорно-го добутку достатньо довести, що лінійна множина
щільна в просторі .
Нехай функція така, що для всіх виконується
. (2.1.4)
Розглянемо такі -розбиття сегмента : , що . Покладемо , . Тоді праві частини (2.1.4) будуть інтегральними сумами Рімана функції , що відповідають розглянутим розбиттям. Оскільки абсолютно інтегровна за Ріманом на , то, переходячи до границі при , з (2.1.4) матимемо
звідки на , що і доводить лему.
Зауваження. Лема 2.1.3 залишиться справедливою і тоді, коли обираються не з усього простору , а лише з деякої щільної множини (наприклад, з множини простих функцій).
Теорема 2.1.1. Нехай стан системи є розв'язком граничної задачі (2.1.1), (2.1.2) та керуюче відображення має вигляд (2.1.3). Тоді система асимптотично керована в просторі множиною .
Доведення. Твердження теореми безпосередньо виплива