ГЛАВА 2
ЭЙКОНАЛЬНАЯ АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
В ПОЛЕ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
КАК ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ МОДЕЛЬ
Эйкональное приближение для амплитуды рассеяния, вместе с борновским приближением, являются самыми простыми общими формулами, которые можно получить в теории рассеяния. Эйкональная формула выглядит лишь немногим сложнее: интеграл от потенциальной энергии по направлению, ортогональному к переданному импульсу, оказывается в экспоненте. Однако, это небольшое усложнение приводит к тому, что при потенциале , заданном в терминах элементарных функций, выразить амплитуду в замкнутом виде через элементарные или хотя бы стандартные специальные функции оказывается весьма непросто. Единственным известным случаем, когда и потенциал, и амплитуда рассеяния имеют простые аналитические представления, является рассеяние в неэкранированном кулоновском поле.
Целью настоящей главы является показать, что в действительности существует целый класс потенциалов естественного вида, для которых эйкональная амплитуда рассеяния может быть выражена в виде конечной комбинации классических специальных функций. Это электростатические поля, создаваемые системами конечного числа точечных электрических зарядов.
2.1. Эйкональное приближение при релятивистских скоростях и столкновениях с участием составных систем.
Релятивистское эйкональное приближение, не вызывающее вопросов в рамках модели рассеяния на заданном одночастичном потенциале, может показаться не столь обоснованным, если не все частицы, составляющие рассеивающую систему, тяжелы по сравнению с налетающей, а также если учесть, что при релятивистских скоростях теряет смысл даже многочастичная потенциальная энергия. Тем не менее, и в этих условиях эйкональное приближение все равно имеет смысл. Более того, с его помощью можно описывать не только упругие или инклюзивные процессы, но и эксклюзивные реакции. Основания и используемые предположения для этого следующие.
Рассмотрим столкновение двух бесструктурных быстрых заряженных частиц. Вокруг себя каждая из частиц создает поле, с которым взаимодействует другая частица. При высокой энергии столкновения правомерно считать, что частицы не успевают заметно изменить свой импульс при прохождении через поля друг друга. Тогда поле каждой частицы, зависящее от ее координат и скоростей, тоже можно считать статическим в системе покоя этой частицы.
Хотя импульсы частиц можно считать неизменными, вообще говоря нельзя пренебрегать изменением их волновых функций. При электромагнитном взаимодействии это изменение состоит в появлении в одночастичной волновой функции локального фазового множителя:
, (2.1)
где - волновая функция начального состояния в координатном представлении, интегрирование производится вдоль направления движения частицы в системе покоя частицы .
Полная волновая функция системы есть произведение данных одночастичных волновых функций:
То, что волновые функции частиц эволюционируют независимо, означает, что динамической корреляции в движении частиц нет. Но после прохождения области взаимного действия частиц фазы и оказываются равными в силу симметричного характера взаимодействия:
, (2.2)
. (2.3)
Таким образом, фазу процесса рассеяния в целом достаточно вычислить лишь для движения одной из частиц в поле другой. Это делает ситуацию вполне аналогичной описанию динамики в терминах двухчастичной потенциальной энергии, зависящей от разности координат частиц.
В случае столкновения составных систем, в течение малого времени прохождения их через поля друг друга можно пренебречь взаимодействием частиц внутри каждой из систем. В силу принципа суперпозиции для электромагнитных полей, эйкональная фаза рассеяния частицы комплекса на комплексе равна сумме фаз рассеяния на составляющих ее частицах по отдельности. Таким образом, полная волновая функция после быстрого этапа столкновения составных систем равна
Полученная функция еще не является асимптотической, поскольку остается взаимодействие в конечном состоянии возбужденных систем. При этом взаимодействием между электронами, имеющими релятивистские относительные скорости, можно пренебречь (или учесть его по теории возмущений), а взаимодействие между электронами с близкими скоростями можно описывать в терминах потенциальной энергии и единой волновой функции. Так или иначе, для возбужденных систем и можно построить базис волновых функций, обладающих определенными значениями полного 4-импульса. Тогда для получения эксклюзивных амплитуд рассеяния систем и достаточно разложить по этому базису функцию . При этом в функции не плосковолновая зависимость от относительных координат центров инерции систем проявляется лишь по прицельным параметрам . Таким образом, амплитуда, соответствующая передаче импульса между системами определяется, как и в случае бесструктурных частиц, интегралом Фурье по прицельным параметрам.
В дальнейшем нас будут интересовать главным образом процессы, в которых лишь одна из сталкивающихся с большой энергией систем является составной. Удобной системой отсчета в этом случае будет система покоя составной системы, а амплитуда процесса выглядит аналогично амплитуде рассеяния частицы во внешнем поле:
. (2.4)
Для краткости мы будем опускать индекс у эйкональной фазы. обозначают полные наборы квантовых чисел, характеризующих состояния составной системы в начальном и конечном состояниях.
В заключение условимся об определении эйкональной фазы в кулоновском поле. (2.3) является лишь формальной записью, поскольку интеграл расходится на больших расстояниях. Как известно, если регуляризовать интеграл (2.3) заменой бесконечных пределов интегрирования неким большим параметром , то вычисление интеграла дает
. (2.5)
Условие в формуле (2.5), существенное при ее выводе, в конечной записи можно снять, поскольку фаза все равно определена по модулю .
Вычисление эйкональной амплитуды рассеяния, соответствующей фазе (2.5), дает
. (2.6)
Если сравнить эт