Автоколебания и устойчивость в некоторых теплофизических и биофизических системах

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.....................................................6
1. АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ..............................................8
1.1. Устойчивость динамических систем, аттракторы и числа Ляпунова............................................................8
1.2. Автоколебания: определение, основные свойства..........16
1.3. Фазовая диаграмма автоколебаний........................17
1.4. Механические и электрические автоколебания. Отрицательная дифференциальная проводимость.................................... 20
1.5. Генератор Ван-дер-Поля.................................22
1.6. Автоколебания в распределенных системах................32
1.7. Методы расчета автоколебаний...........................33
2. ХАОТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СМЕШЕНИИ ГАЗОВ В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ...............................37
2.1. Экспериментальные данные и теоретические модели смешения газов в вертикальном канале........................................37
2.2. Модель устойчивости смешения двух газов в поле силы тяжести для случая раздельных каналов......................................39
2.3. Модель смешения двух газов в вертикальном канале при наличии диффузионного обмена между встречными потоками.....................51
2.4. Аналог системы Лоренца для смешения двух газов в вертикальном канале................................................60
2.4.1. Постановка задачи......................................61
2.4.2. Устойчивость стационарных режимов......................66
2.4.3. Результаты численного решения системы уравнений для бинарной смеси................................................69
2.4.4. Зависимость периода автоколебаний от числа Релея. Переход к хаосу.........................................................73
2
2.5. Аналог системы Лоренца для смешения трех газов в вертикальном канале..............................................78
2.6. Выводы по главе.......................................87
3. БИСТАБИЛЬНОСТЬ И АВТОКОЛЕБАНИЯ КАПЕЛЬНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ КАПИЛЛЯР, ТЕПЛООБМЕНА ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ В КАНАЛЕ И ТЕПЛООБМЕНА В ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ТЕПЛОВЫХ ТРУБАХ 89
3.1. Гистерезис и метастабильность перехода от испарительного режима к капельному при течении жидкости через вертикальный капилляр.........................................................90
3.2. Автоколебания капельного режима течения жидкости через вертикальный капилляр............................................98
3.3. Бистабильность теплообмена вязкой жидкости при течении в канале..........................................................109
3.4. Автоколебания неизотермического течения вязкой жидкости в канале..........................................................117
3.5. Автоколебания в осциллирующих тепловых трубах........130
I
3.5.1. Экспериментальные данные по осциллирующим тепловым трубам, для случая, когда нагреватель находится вверху 131
3.5.2. Экспериментальное исследование маловитковых тепловых труб.......................................................133
3.5.3. Зависимость среднего времени работы трубы от числа витков.....................................................136
3.5.4. Автоколебания потоков массы и тепла в осциллирующей тепловой трубе.............................................139
3.6. Выводы по главе......................................145
4. АВТОКОЛЕБАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ, ВЫЗВАННЫЕ ДЖОУЛЕВЫМ
САМОРАЗОГРЕВОМ..................................................147
з
4.1. Отрицательное дифференциальное сопротивление и автоколебания в полупроводниках...................................147
4.2. Неравновесные фазовые переходы и S-образные вольтамперные характеристики в двумерной системе полупроводник-металл...........149
4.3. S-образные ВАХ в чистом полупроводнике с учетом пространственной зависимости температуры и плотности тока.........158
4.4. Автоколебания в полупроводнике для случая управления током, вызванные саморазогревом..........................................171
4.5. Автоколебания в полупроводнике, вызванные саморазогревом для случая пространственного распределения температуры и тока 184
4.6. S-образные ВАХ и возможность организации автоколебаний в случае перехода полупроводник-металл..............................196
4.7. Выводы по главе........................................202
5. РОЛЬ АКТИВНОГО ТРАНСПОРТА ИОНОВ В УПРАВЛЕНИИ
АВТОКОЛЕБАНИЯМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ НА БИОМЕМБРАНАХ КЛЕТОК...............................................204
5.1. Модели автоколебаний электрического потенциала на биомембранах клеток...............................................204
5.2. Модели потенциала покоя для различных типов клеток. Роль активного транспорта ионов в организации потенциала покоя.............................................................213
5.2.1. Неравновесная термодинамика переноса ионов через биомембрану..................................................214
5.2.2. Общие замечания по работам, посвященным активному транспорту .................................................216
5.2.3. Основные требования к моделям активного транспорта ионов........................................................217
5.2.4. Модель электрического потенциала на биомембране для двух типов ионов. Обратимость и эффективность ионных насосов......................................................221
4
5.2.5. Роль непроникающих ионов. Потенциал Доннана, как предельный случай потенциала покоя......................228
5.2.6. Влияние других компонентов.......................230
5.2.7. Потенциал покоя и внутренние концентрации ионов для различных видов клеток..................................233
5.2.8. Мембранный потенциал, эффективность и обратимость для модели активного транспорта ионов, основанной на изменении высоты ионных барьеров..................................239
5.2.9. Роль активного транспорта ионов в управлении параметрами автоколебаний клеток сердечной мышцы и нейронов................................................252
5.3. Зависимости параметров автоколебаний для нейронов от внешних концентраций ионов и разности химических
потенциалов АТФ-АДФ.............................. 257
§
5.4. Зависимости параметров автоколебаний для клеток сердечной мышцы от внешних концентраций ионов и разности химических потенциалов АТФ-АДФ.....................................260
5.5. Динамика внутренних концентраций ионов и потенциала на биомембране при блокировании активного транспорта ионов...................................................267
5.6. Выводы по главе....................................274
6. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОВЕДЕНИЯ
БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 276
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................284
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................289
5
ВВЕДЕНИЕ
Автоколебания в теплофизических и биофизических системах, представляющие собой периодические изменения термодинамических потоков и сил являются широко распространенным явлением.
Например, колебания в технических системах: колебания расхода жидкости и температуры в реакторе [1], кризис теплоотдачи при кипении [2], осциллирующие тепловые трубы [3-4], капельный режим течения жидкости [5-7], генераторы в радиофизике, автоколебания движения тел при наличии сухого трения [8]. В биофизических системах автоколебания распространены так же очень широко: почти все процессы в клетке и в организме в целом имеют характер автоколебаний. Это, например, реакция Белоусова-Жаботинского [9, 10], колебания потенциала на биомембране клеток сердца, мозга и других клеточных процессов [11, 12], гиперциклы при эволюции макромолекул [13] и т.д.
Модель автоколебаний в химических системах (Брюсселятор) одними из первых была изучена в работах И. Пригожина и Лефевра [14].
С одной стороны автоколебания используются во многих технологических процессах (струйная печать и т.д.). В этом смысле важно поддерживать параметры автоколебаний (период, амплитуду) на заданном уровне (например, для струйной печати важно, чтобы все капли были одинаковы и падали с одинаковой частотой).
С другой стороны, автоколебания в ряде систем представляют собой нежелательное явление, и с ними необходимо бороться (например, в ядерных реакторах). В этих системах для того, чтобы эффективно управлять процессами, нужно знать зависимость параметров автоколебаний от свойств системы. Тогда целью управления будет поддержание входных параметров в области, где автоколебания отсутствуют.
Вместе с тем, автоколебания в ряде систем исследованы еще далеко не достаточно. Часто их изучение ограничивается экспериментальными данными. Зависимости же параметров этих автоколебаний (амплитуды,
периода и т.д.) от свойств окружающей среды и самой системы остаются неизвестными.
Например, существуют автоколебательные режимы смешения газов в вертикальном канале. Экспериментально получены характерные величины периодов автоколебаний и их амплитуды. Вместе с тем зависимости указанных величин от параметров системы (например, от числа Рэлея) ранее получены не были.
При переносе жидкостей так же наблюдается ряд автоколебательных процессов: автоколебания в тепловых трубах, капельный режим течения жидкости и другие явления. Существует необходимость предсказывать зависимости периода и амплитуды автоколебаний от размеров системы, от существующих термодинамических сил. Необходимо выяснить, в каком диапазоне управляющих параметров такие автоколебания возможны.
В полупроводниковых системах автоколебания так же давно известны, на их основе созданы низкочастотные автогенераторы. Вместе с тем, для управления работой таких приборов необходимо знать не только амплитуду и период автоколебаний, но и распределение температуры внутри полупроводникового образца, а так же форму автоколебаний (что ранее в литературе получено не было).
Для многих жизненных процессов автоколебания являются основой, без которой жизнь невозможна. Это относится, в первую очередь, к автоколебаниям мембранного потенциала при работе клеток сердечной мышцы и нейронов мозга. Несмотря на наличие в литературе множества моделей указанных автоколебательных процессов не существует понимания того, как именно можно управлять такими автоколебаниями. Как изменятся параметры автоколебаний при изменениях в окружающей клетку среде? Такое знание чрезвычайно актуально с точки зрения медицины мозга и сердца.
Изучение автоколебаний ограничено еще и тем, что не существует универсального аналитического способа определить, могут ли в системе
7
существовать автоколебания, и каковы их свойства. Аналитически исследованы только сравнительно простые нелинейные системы. При экспериментальном исследовании ряда автоколебательных систем затруднительно определить, относятся ли автоколебания в такой системе к хаотическим или хаос в них есть следствие случайных воздействий внешней среды?
Таким образом, существует необходимость в построении теоретических моделей автоколебаний в ряде технических и биофизических систем. Необходимо предсказывать зависимости амплитуд и периодов автоколебаний от параметров системы. Для определения областей существования автоколебаний, странных аттракторов нужны фазовые диаграммы состояния в пространстве параметров.
1. АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ
Дано определение автоколебаний. Рассматриваются методы исследования хаотических и нехаотических автоколебаний. Рассматриваются примеры автоколебательных систем. На примере механических и электрических автоколебаний показана прямая связь существования автоколебаний с наличием в системе отрицательной дифференциальной проводимости (сопротивления). Для динамической системы, описываемой двумя дифференциальными уравнениями, рассмотрен метод построения фазовой диаграммы.
1.1. Устойчивость динамических систем, аттракторы и числа Ляпунова
Теория динамических систем основана на дифференциальных уравнениях вида [15]:
8
<**,/</* = ^(и„И2,...,0> (1.1)
где щ - динамические переменные, например концентрации реагирующих веществ; Р,(и^ - нелинейные функции, описывающие их взаимодействие, / = 1,2,..., п.
Уравнения (1.1) являются динамическими, то есть при задании конкретного вида функции Т7, их решения, вообще говоря, однозначно определяются начальными условиями. Казалось бы, в такой ситуации ничего неожиданного быть не должно. Тем не менее, характерные для синергетики неожиданности здесь возникают, когда решения динамических уравнений теряют устойчивость.
Анализ устойчивости уравнений движения (изменения), а также устойчивости стационарных состояний основан на исследовании поведения малых отклонений от соответствующего решения.
Малые отклонения от стационарных значений 8и{ изменяются со временем, и их изменение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений:
= I<Vt4;
dt j
dF, , — —
где а, =—- матрица линеаризации (при w ~ и,, и. —
duj *
стационарные значения переменных). Решения системы имеют вид:
<4(0=Ix/7 •
j
Величины At - числа, которые являются решениями алгебраического уравнения: det cry -&М = 0 , где Sj - символ Кронекера. Величины А,- ифают
важную роль в теории устойчивости, их называют числами Ляпунова.
Если числа Ляпунова отрицательны, то все Sii,(t) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. В этом случае система стремится обратно к стационарному состоянию, даже если ее немного отклонить от
него. Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, то состояние неустойчиво.
В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется тогда знаком действительной части. Если среди чисел Ляпунова имеются равные нулю или чисто мнимые, то стационарное состояние называется нейтральным; при отклонении от него не появляются ни возвращающие, ни отклоняющие силы.
Подчеркнем важное свойство: числа Ляпунова являются характеристическими (или собственными) числами системы; они не зависят от начальных условий. Таким образом, устойчивость (или неустойчивость) — внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии малых воздействий.
Для системы двух дифференциальных уравнений особые (стационарные) точки могут быть только четырех различных типов:
1. Корни X] и Х2 характеристического уравнения действительные и одного знака. Особая точка системы называется узлом.
2. Корни Х\ и Х2 действительные и разных знаков. Такая неустойчивая стационарная точка системы называется седлом. Траектории, проходящие через седло, называются сепаратрисами.
3. Корни Х\ и Х2 характеристического уравнения - комплексносопряженные (но не чисто мнимые). В этом случае особая точка называется фокусом.
4. Корни Х\ и Х2 чисто мнимые. Этот случай встречается только в консервативных (но не диссипативных) системах. Особая точка называется центром.
Кроме перечисленных в многомерных системах встречаются более сложные типы стационарных точек. Например, возможны комбинации 1-го и
ю
2-го, а так же 2-го и 3-го типов. Особые точки в этих случаях называются соответственно седло-узел и седло-фокус.
Притягивающие особые точки, такие как устойчивый узел и устойчивый фокус, называются аттракторами. Но аттракторами в диссипативных системах могут быть не только устойчивые стационарные точки, но и замкнутые фазовые кривые, соответствующие периодическому движению. Такие изолированные замкнутые траектории называются предельными циклами. Устойчивые предельные циклы являются аттракторами. Они обладают тем свойством, что в их достаточно малой окрестности нет других замкнутых траекторий, а все остальные фазовые траектории из этой окрестности наматываются на эту единственную замкнутую траекторию. Если все траектории сматываются с предельного цикла, то он является абсолютно неустойчивым. В этом случае предельный цикл не является аттрактором.
В двумерных диссипативных системах, поскольку фазовые траектории не могут пересекаться, возможны аттракторы только двух типов: устойчивые стационарные точки и устойчивые предельные циклы. Однако для систем с размерностью фазового пространства п=3 динамика уже не исчерпывается этими двумя простыми случаями. Кроме стационарных точек и предельных циклов в таких системах могут существовать и более сложные аттракторы, в частности двумерные инвариантные торы, отвечающие квазипериодическому движению с двумя рационально независимыми частотами.
В многомерных системах п>3 возможно возникновение еще более сложного квазипериодического движения, когда в фазовом пространстве рождаются торы еще более высокой размерности.
Все перечисленные аттракторы - устойчивые стационарные точки, устойчивые предельные циклы и инвариантные торы - называются простыми аттракторами, поскольку динамика систем с такими аттракторами не является хаотической. Но в диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых п > 3, могут существовать
ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами. Такие аттракторы были названы «странными аттракторами» [16].
Сжатие фазового объема диссипативной динамической системы приводит к тому, что фазовые кривые с течением времени стягиваются к предельному множеству - странному аттрактору, и остаются в этой области навсегда. На самом же аттракторе движение является неустойчивым: любые две траектории системы расходятся экспоненциально быстро, оставаясь, тем не менее, на странном аттракторе.
Рассмотрим свойства одной из самых простых систем, обладающих странным аттрактором. Это система Лоренца, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается из уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости:
Х = <тУ-оХ,
У = гХ - У - XI, (1.2)
1 = ХУ-Ы,
где о - число Прандтля, г - приведенное число Релея, Ь - постоянная, характеризующая размеры физической системы.
Начало координат, т.е. точка О (Х=У=2=0) является стационарной точкой при любых г,о и Ь. Точка О устойчива и является устойчивым узлом, еслиг<1.
Когда г>1 точка О теряет устойчивость, превращается в седловую, и в системе возникают еще две стационарные точки:
01(Х,У,2)=|*(г-1)|'!,[Ь(Г-1)1'!,г-1),
02(Х,Г,2)=(-[Ь{г-])Г,-[ь(г-1)]п,г-1\
При всех г>1 система (2.2.) имеет только эти три стационарные точки О, О1 и О2.
Тип точек О1 и О2 определяется из характеристического уравнения:
12
Я3 + (а + Ь +1 )Я2 + (г + а)ЬЯ + 2 оЬ{г -1) = 0.
Отсюда находим, что О1 и 02 устойчивы, если а > Ь+1 и
1 < г< ,» - о^ + Ь + З) '<Г<Г ~ а-4-1 ■ (|3>
При г>г* точки О] и 02 становятся неустойчивыми. В этом случае характеристическое уравнение имеет один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с положительной действительной частью, т.е. О] и 02 будут стационарными точками типа седло-фокус.
Для дальнейшего изучения поведения траекторий требуется численное интегрирование уравнений (2.2.), поскольку локальный анализ окрестностей неустойчивых стационарных точек О, О1 и 02 не дает сведений о характере движения в системе Лоренца.
Численное исследование системы Лоренца было проведено многими авторами (см., например, [17-27]). В частности, при о=10, Ь=8/3, г* = 24.74 и 10 < г < 148.4 система имеет следующие режимы поведения:
1. При 10<г<Г1 « 24,06 система имеет три состояния равновесия: О, 0| и 02. Точка О не устойчива и представляет собой точку типа седло-узел. Две другие стационарные точки являются устойчивыми.
2. При 24,06 < г < 24,74 точки О1 и 02 по-прежнему устойчивы. Однако кроме них в фазовом пространстве системы имеется предельное множество, называемое аттрактором Лоренца. Фазовые траектории, системы в зависимости от начальных условий с течением времени стремятся либо к точке Оь либо к точке 02, либо совершают колебания, случайным образом переходя от вращения вокруг точки О1 к вращению вокруг точки 02 и обратно. Следовательно, в зависимости от начальных условий в этой системе могут реализоваться
13
существенно различные режимы движения: стационарный или хаотический.
3. Когда г « 24.74 точки О1 и О2 становятся неустойчивыми.
4. В интервале 24.74 < г < 28 все стационарные точки О, 0| и Ог являются неустойчивыми. Единственным устойчивым предельным множеством - аттрактором является аттрактор Лоренца. Следовательно, в системе при любых начальных условиях реализуется хаотический режим движения.
Заметим, что при г ~ 148,4 в фазовом пространстве странный аттрактор сменяется предельным циклом - движение становится периодическим.
Мерой хаотичности динамических систем является энтропия Колмогорова-Синая (КС-энтропия) [16]. Эта величина характеризует поведение точек в фазовом пространстве, которые были первоначально близки.
Рассмотрим в фазовом пространстве в начальный момент времени 1=0 две близкие фазовые точки Х|(0) и Х2(0), "выпустим" из них траектории и проследим, как при эволюции системы (X > 0) будет изменяться расстояние (1(0=1 ад Нх2(0-х,(01 между этими точками. Тогда если режим движения является хаотическим, <1(0 с течением времени будет экспоненциально возрастать, так что на больших временах
с1(0 = с1(0)ек‘.
Отсюда можно найти среднюю скорость экспоненциального разбегания траекторий
к«Г!1п{с1(0/с1(0)}. (1.4)
Но это определение, вообще говоря, не является приемлемым. В самом деле, при финитности движения (а только такое движение мы и рассматриваем) 6(1) не может увеличиваться всегда. Поэтому при больших 1 величина (1.4.) в любом случае независимо от режима - хаотического или регулярного - будет близка к нулю. Однако, чем меньше мы выберем начальное расстояние <1(0)= I £(0) I, тем дольше можно следить за
14
возрастанием с!(0, то есть в течение большего промежутка времени величина д(Х) не достигнет максимального значения. Следовательно, необходимо положить <3(0)—>0 и X—>оо:
ь=Пш г,1п{С1(1)/<а(0)}.
Величину Ь в физической литературе часто называют энтропией Колмогорова-Синая, или КС-энтропией. Используя КС-энтропию, можно определить, каким является исследуемый режим движения - хаотическим или регулярным. В частности, если динамика системы является периодической или квазипериодической, то с течением времени расстояние (1(1) не возрастает, так что значение энтропии равно нулю, И = 0. Если движению системы отвечает устойчивая стационарная точка, то <3(1)—>0 и Ь < 0. Однако в случае хаотического поведения КС-энтропия всегда положительна, Л > 0.
Энтропия Ь - величина размерная ([Ь] = с'1) и по существу является не только качественной, но и количественной характеристикой режима движения: величина, обратная энтропии (при условии И > 0), определяет характерное время перемешивания ^ = Ь*1 в системе; по прошествии промежутка времени { » ^,х начальная область Оо расплывается по всей энергетически доступной гиперповерхности (в отсутствие диссипации) или по предельному подмножеству фазового пространства - странному аттрактору (для диссипативных динамических систем); при I» ^ описание системы может быть только вероятностным. Однако на малых временах I« ^ поведение системы можно предсказать с достаточной точностью (не превышающей, естественно, точность задания начального положения фазовой точки).
15
1.2. Автоколебания: определение, основные свойства
Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативно. В любой системе имеются потери (трение, нагрев и т.д.) и обычно система не является энергетически изолированной. В этом случае в нелинейной открытой системе возможна генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от того, из какого начального состояния была запущена система [28]. Системы, обладающие свойством генерировать такие колебания, названы автоколебательными [29]. Согласно [29] автоколебания связаны с предельным циклом.
Движение нелинейных систем принято описывать с помощью фазовой траектории - линии, по которой система движется в пространстве управляющих параметров. Область в фазовом пространстве, к которой с течением времени стремится система, называется аттрактором. Различают следующие основные типы аттракторов: точка, предельный цикл, странный аттрактор.
Предельный цикл - замкнутая фазовая траектория, к которой стремятся все соседние траектории, является образом периодических автоколебаний. Автоколебания в динамической системе могут быть не только периодическими, но и квазипериодическими и стохастическими.
Автоколебания - это незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии в нелинейной диссипативной системе, вид и свойства которых определяются самой системой и не зависят от начальных условий [28].
Автоколебания принципиально отличаются от других колебательных процессов тем, что для их поддержания не требуется периодических воздействий извне. В простейших колебательных системах (автогенераторах) можно выделить колебательную систему с затуханием, усилитель,
16
нелинейный ограничитель - звено обратной связи. Примером является классический генератор Ван-дер-Поля [28].
Можно выделить «жесткий» и «мягкий» режимы возбуждения автоколебаний. В случае жесткого режима колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с «жестким» возбуждением в режим автоколебаний необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Режим автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом «мягкого» возбуждения.
Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу - их период, а форма предельного цикла - форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определении их параметров. Однако общий метод нахождения предельных циклов неизвестен [28].
2.3. Фазовая диаграмма автоколебаний
Как следует из раздела (1.1) предельные циклы можно получать, если в системе уравнений (1.1) не менее двух динамических переменных. Для того, чтобы рассмотреть условия возникновения автоколебаний, рассмотрим систему из двух уравнений для этих переменных:
§=/М, | = 8 М.
Представим возмущения переменных в виде:
8х = 5х0 ехр(Дг), Зу = ду0 ехр(А/),
и ограничимся линейными членами в разложении системы около стационарного состояния. Тогда такая линеазированная около стационарного состояния система уравнений, может быть представлена в матричном виде:
17
где апс - элементы матрицы линеаризации (дифференциальные
_ 8/ _ д/ _дg _д^_
проводимости), &\\ ” ^ , °\2 ~ Оу , ^21 “ ^, °22 “ ^ (все ПрОИЗВОДНЫе
взяты в стационарном состоянии), 8х и 5у - малые отклонения переменных от стационарных значений.
Тогда для чисел Ляпунова X получим следующее уравнение:
(а„ - Я)(сг22 - X) = а,2<721.
Представим число Ляпунова в виде суммы действительной и мнимой
частей:
Л = £+ир.
Тогда получим уравнение:
(<тп -^-/©)(а,22 - г: - йу) = <т,2ст21 =(сгп -£)(<т22 -с)-со1 -/<у(<тп + <ти - 2с), которое распадается на два уравнения, для мнимой и действительной частей:
<*12^21 =(0'||-«)(^22-£)-а,г» С1'6)
бу((Т,,+<т22-2^) = 0. (1-7)
Для действительной части и частоты получаем:
2 12
сг,2<т2,.
Поскольку при незатухающих автоколебаниях со представляет собой действительное число, а 6 положительное, то получим неравенства:
<т„+<т2 2>0,
/ \2 а\\ °тг
> <У\2С2\
2 ;
Эти неравенства означают, что сумма диагональных элементов положительна, а недиагональные элементы должны иметь разные знаки. То есть, как минимум, одна из дифференциальных проводимостей должна быть
отрицательной. Равенства (1.6) и (1.7) разбивают все фазовое пространство на области, где колебаний нет, есть затухающие колебания, есть автоколебания с мягким возбуждением и есть автоколебания с жестким возбуждением. Если ввести новые переменные
СТ.. & | -»О” 21
°22 ^22
то получим уравнения кривых, отделяющих области с различным характером колебаний друг от друга:
На рисунке 1. изображена фазовая диаграмма автоколебательной системы для двух переменных.
Рис. 1.1. Фазовая диаграмма автоколебательной системы с двумя
переменными
Если в системе три независимые переменные, то трехмерное пространство будет делиться на 4 части двумя поверхностями.
19
1.4. Механические и электрические автоколебания. Отрицательная дифференциальная проводимость
Рассмотрим уравнение колебаний в электрическом контуре, содержащем емкость, индуктивность и сопротивление:
d(q2 LI2' +—
dt
IC
= -IU.
Тогда получим дифференциальные уравнения для тока и заряда:
dt ЬС Ь у
dq_
dt
= 1
Матрица линеаризации (1.5) для этого случая может быть представлена в виде:
\Я)
L dl LC 1 О
ff
X
Я)
Тогда получим частоту и действительную часть чисел Ляпунова:
1 (диЛ
£ = -■
2 L
©J=-
f—Т+--
\2LdI) LC
При этом производная 5U/ÖI так же как и раньше, берется в стационарной точке.
Для такой системы так же легко получить фазовую диаграмму. Очевидно, что автоколебания в системе могут существовать, если существует отрицательное дифференциальное сопротивление (проводимость). При положительной проводимости это будут просто известные затухающие колебания. При достаточно увеличении отрицательной проводимости
20
возбуждение колебаний будет жестким, поскольку частота при этом будет уменьшаться, и в определенной точке станет равной нулю.
Описание механических систем во многом аналогично описанию электрических систем. Для механической системы с трением получим уравнение баланса энергии:
где к - коэффициент жесткости, х - смещение от положения равновесия, Р1г - сила трения, т - масса тела, V - скорость (изменение энергии в единицу времени равно мощности силы трения). Тогда получим систему дифференциальных уравнений:
Очевидно, что аналогом отрицательного дифференциального сопротивления (проводимости) является производная силы трения по скорости. При наличии обычного вязкого трения эта производная положительна (знак минус уже учтен в уравнении) и колебания возможны только затухающие. Если эта производная отрицательна, то будут существовать автоколебания. Такая ситуация наблюдается, например, при переходе от трения покоя к трению скольжения. В этом случае так же в зависимости от величины и знака дифференциальной проводимости фазовое пространство делится на четыре области с теми же свойствами, что и у электрических колебаний.
(IV
И
т т
Линеаризованная система может быть записана в матричном виде:
21
Аналогичными свойствами обладает физический маятник, подвешенный на оси, которая вращается с заданной угловой скоростью.
Характерной чертой электрических и механических автоколебаний является то, что эти системы имеют собственную частоту колебаний. Для колебаний груза на пружине это
Частота автоколебаний для таких систем часто близка к собственной частоте (в ряде случаев это выгодно в смысле уменьшения затрат на поддержание автоколебаний). В общем же случае система нелинейных уравнений может не обладать собственной частотой.
1.5. Генератор Ван-дер-Поля
Рассмотрим для примера уравнение Ван-дер-Поля (в безразмерном
виде):
Это уравнение описывает автоколебания напряжения в ламповом генераторе с колебательным контуром в цепи сетки.
Рассмотрим схему лампового генератора [8]. В этом генераторе имеется контур, содержащий омическое сопротивление II, катушку самоиндукции Ь и конденсатор С (рис. 1.2). Падение напряжения на омическом сопротивлении компенсируется напряжением, возникающим в катушке колебательного контура благодаря индуктивной связи с катушкой, включенной в анодную цепь лампы. Фаза возникающего напряжения такова, что фазы колебаний контура и катушки обратной связи совпадают.
а для электрического контура -
1
(1.8).
22
Напряжение на сетке лампы и соответственно величина анодного тока определяются напряжением на конденсаторе.
1а
Рис. 1.2. Схема лампового генератора
Уравнение колебательного процесса получается из уравнения напряжений контура. Оно отличается от уравнения для простого колебательного контура наличием члена, соответствующего добавочному напряжению, возникающему на катушке контура за счет взаимоиндукции. Если величина анодного тока равна /л, а коэффициент взаимоиндукции М>0, то это добавочное напряжение можно записать в виде:
и =~м^-
к А •
При этом знак выбран так, что энергия поступает в контур. Таким образом, получается уравнение напряжений
/,ё + Лё + ^е-М^ = 0. (1.9)
23
Зависимость между величиной анодного тока 1а и напряжением на сетке и8 задается характеристикой лампы. При величине среднего анодного тока 1ао, которая определяется выбранной рабочей точкой лампы, можно записать
К = К о+/(*),
и соответственно
^- = ^-х = Б(х)х А с1х ^
где 8(х) - крутизна характеристики лампы. Так как изменение напряжения на сетке равно
Ш =х~ —
* С’
Уравнение (1.9) принимает следующий вид:
ЬСх + КСх + х - М!?(л:)л: = 0.
Полагая
/ п _Я [с
Лс' , = 2 и-
это уравнение можно привести к безразмерной форме:
М$(х)
х-
[Лс~Щ
х + х = 0. (їло)
Входящую в это уравнение крутизну характеристики лампы 8(х) можно приближенно считать четной функцией и аппроксимировать рядом:
5(х) = — 52дг2 + +....
Принимая во внимание лишь два первых члена это ряда и, вводя обозначения
_ М>0 ^ п а _ А/52
Ш Ш’ ( 0
получим уравнение Ван дер Поля
х-\х- (іхг\с + х = 0. (1.12)
Это лишь приближенное уравнение лампового генератора. Из уравнений (1.11, 1.12) следует, что незатухающие колебания происходят
только тогда, когда коэффициент взаимоиндукции М достигает некоторого минимального значения, так как должно выполняться неравенство а >0, которое в силу (1.11) можно записать так:
Величина М0 определяет так называемую границу самовозбуждения, при переходе которой возникают автоколебания контура.
Из уравнения (1.10) видно, что величина
является дифференциальным сопротивлением генератора. При условии (1.13) эта величина может стать отрицательной.
Уравнение (1.8) при определенных значениях параметра // может привести к организации автоколебаний. Тогда форма предельного цикла будет определяться параметром /а При /2=0 система становится линейной консервативной. Естественно ожидать, что при малом // автоколебания будут мало отличаться от гармонических колебаний. При больших // форма автоколебаний может существенно отличаться от синусоидальной.
Для построения фазовой траектории уравнение (1.8) удобно переписать в виде двух уравнений:
На рисунках (1.3.-1.5.) представлены зависимости величин х и у от времени, а так же фазовые диаграммы системы при /л = 1.
—— //(1 — д:2 V -ь д: = 0 Л К 7
(1.14.)
25
Рис.1.3. Зависимость величины у от времени при /I = 1.
Рис.1.4. Зависимость величины х от времени при /1=1.
26
Рис. 1.5. Аттрактор генератора Ван-дер-Поля при // = /.
В физической литературе величину // иногда называют прочностью предельного цикла [28].
При сильной нелинейности (]л»1) колебания становятся релаксационными, состоящими из участков быстрых и медленных движений (см. рис. 1.6,1.7. при //=10).
20- J . . 1
У “20 0)1 І0 2*1 1 | зо |о 1
Рис. 1.6. Релаксационные автоколебания при /л = 10
27
Рис. 1.7. Аттрактор для случая релаксационных автоколебаний при ц
10
Стационарное решение для такой системы нулевое. Тогда получим матрицу дифференциальных проводимостей:
Г*1 (м -0 V
А [і о] л А
Тогда находим частоту колебаний и действительную часть чисел Ляпунова:
со = ±Л1 -
V2
Линия, отделяющая положительные действительные части от отрицательных представляет собой прямую:
// = 0.
28
Область, в которой частоты колебаний будут действительны, так же ограничена прямыми:
<и = ±2.
Тогда фазовая диаграмма генератора Ван-дер-Поля может быть представлена в виде (рис. 1.7):
Нет Затухающие Автоколебания Автоколебания
колебаний колебания с .мягким с жестким
возбуждением возбуждением
Рис. 1.8. Фазовая диаграмма генератора Ван-дер-Поля
Характерные кривые для перечисленных зон (слева направо) представлены на рисунках (1.9-1.12):
Рис. 1.9. Отсутствие колебаний (ц=-3)
29