РОЗДІЛ 2
МОДИФІКАЦІЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
СТОСОВНО ДИСКРЕТИЗАЦІЇ СПІВВІДНОШЕНЬ
ТЕОРІЇ ТОНКИХ ОБОЛОНОК
Нижче подані розрахункові співвідношення теорії тонких оболнок в загальній криволінійній системі координат і викладена запропонована схема методу скінченних елементів, особливість якої полягає у векторному представленні функції переміщень. Переміщення скінченного елемента приймаються у вигляді вектор-функції, яка містить жорстке зміщення і жорсткий поворот скінченного елемента довільної криволінійної форми, завдяки чому виконується необхідна умова скінченноелементної дискретизації, тобто матриця жорсткості має шість нульових власних значень.
2.1. Співвідношення теорії оболонок
Для аналітичного представлення викривленої тонкостінної оболонкової конструкції переважним є використання викривлених оболонкових елементів. Ці елементи мають переваги в плані точнішого завдання геометрії поверхні оболонки і правильного урахування взаємозв'язку розтягуючих та згинаючих зусиль.
Оскільки оболонку характеризує форма серединної поверхні, при виводі основних співвідношень використовуються поняття загальної теорії поверхонь. Застосовується векторна форма завдання поверхні, що найбільш розповсюджена в теорії оболонок.
Розглянемо довільний чотирикутний елемент поверхні оболонки (рис.2.1).
Рис. 2.1. Індивідуалізація точок серединної поверхні оболонки
в межах скінченного елемента.
Індивідуалізацію точок серединної поверхні оболонки в межах скінченного елемента здійснимо наступним чином: у центрі чотирикутного скінченного елемента розмістимо криволінійну систему координат , обрану так, щоб контури скінченного елемента співпадали з координатними лініями Тоді розміри скінченного елемента визначаються коефіцієнтами першої квадратичної форми поверхні і в напрямках координатних ліній , відповідно, становитимуть і , а площа визначається фундаментальним визначником і становитиме . Поверхня скінченного елемента описується в декартовій системі координат функціями
. (2.1)
Вектори, які описуються залежностями
дотичні до координатних ліній і спрямовані в напрямку зростання відповідних координат, у загальному випадку, не взаємно перпендикулярні і не являються ортами. Вектор співпадає з ортом нормалі до серединної поверхні, тобто
.
Ці вектори представляють собою основний локальний базис точок серединної поверхні оболонки в рамках виділеного скінченного елемента.
Коефіцієнти першої квадратичної форми
(2.2)
що визначають внутрішню метрику серединної поверхні і представляють собою компоненти двічі коваріантного основного метричного тензора, виражаються залежностями
а дискримінант основного метричного тензора має вигляд
(2.3)
Вектори взаємного базису пов'язані з векторами основного базису співвідношеннями
Розрахункові співвідношення теорії тонких оболонок у криволінійних неортогональних координатах приймемо згідно монографії Черниха К.Ф. [127]. Переміщення точок елемента оболонки описуються вектор-функцією координат серединної поверхні
(2.4)
Використовуючи гіпотезу прямих нормалей і припущення, згідно з яким зсуви в нормальних перерізах оболонки є малими у порівнянні з кутами повороту нормалей і тому вважаються рівними нулю, віднесемо серединну поверхню до ліній головних кривизн. Саме в цій системі координат усі розрахункові рівняння мають найпростіший вигляд.
Деформації серединної поверхні елемента визначаються диференціальними залежностями
(2.5)
,
де ? коваріантні компоненти тензора тангенціальних деформацій;
? коваріантні компоненти вектора кутів повороту;
? коваріантні компоненти тензора згинальних деформацій.
Мірою напруженого стану оболонки є зусилля і моменти, що представляють собою інтегральні характеристики напружень по товщині. Між силовими характеристиками і деформаціями існує зв'язок, який містить механічні характеристики матеріалу, з якого виготовлена оболонка. У загальному випадку це можуть бути вельми складні залежності. Для однорідного, ізотропного пружного матеріалу вони мають найпростіший вигляд.
Контраваріантні компоненти тангенціальних і згинальних зусиль виражаються через деформації згідно закону Гука:
,
(2.6)
,
де Е ? модуль пружності матеріалу,
h ? товщина оболонки,
? ? коефіцієнт Пуассона.
Потенціальна энергія деформації елемента записується у вигляді функціоналу
, (2.7)
з якого видно, що в рамках точності співвідношень теорії тонких оболонок величини і розглядаються як енергетичні компоненти деформації для зусиль і моментів , .
2.2. Метод скінченних елементів у векторному поданні
В методі скінченних елементів конструкція розбивається на окремі елементи, для яких можна записати функціональні залежності переміщень від координат і одержати матрицю жорсткості елемента, що зв'язує реакції вузлів скінченноелементної моделі з переміщенями вузлових точок елемента. Розв'язуюча система рівнянь всієї конструкції може бути одержана з умов рівноваги кожного із вузлів моделі.
Розглядається метод скінченних елементів у вигляді методу переміщень із застосуванням функціоналу Лагранжа і припущення вірності гіпотез Кірхгофа-Лява.
Точність розв'язання задачі методом скінченних елементів значною мірою залежить від точності апроксимації функцій переміщень. Пробні функції в МСЕ кусково полін