РАЗДЕЛ 2
СМЕЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.1. Моделирование и оптимизация программного процесса управления
Рассмотрим задачу оптимального управления, описываемую следующей математической моделью. Задано описание движения динамического объекта в виде векторного дифференциального уравнения
(2.1)
где x=x(t) - n-мерный вектор состояния;
u - m-мерный вектор управления (m
t?[t0, T] - время, граничное значение которого в одних задачах задается, а в других - не фиксируется.
Требуется найти такое управление u*(t), которое переводит объект из заданного начального состояния при t=t0 в конечное (терминальное), определенное в момент времени t=T. Терминальное состояние определяется q-мерным (q?n) векторным уравнением
S[x(T),T]=0. (2.2)
Качество процесса управления оценивается функционалом
, (2.3)
где заданные функции G и ? имеют непрерывные частные производные по x и u. Полагаем, что ограничения на векторы состояния и управления учтены в процессе выбора вида функционала (2.3).
Цель моделирования заключается в определении вектора оптимального управления u*(t), который при заданных дифференциальных связях (2.1) и граничных условиях (2.2) оптимизирует функционал (2.3).
Предлагается использовать смещенные дифференциальные преобразования [33, 34] временной функции x(t) в произвольной точке t?
, (2.4)
, (2.5)
где X(k, t?) и - дискретные функции целочисленного аргумента k=0,1,2,3,...;
? - локальный временной аргумент, значение которого выбирается в пределах H1???0 и H2???0;
H1 и H2 - отрезки временного аргумента, на которых рассматриваются соответственно функции и , длина отрезков H1 и H2 должна быть меньше радиуса сходимости рядов Тейлора в окрестности точки t?.
Выражение (2.4) определяет прямое преобразование оригинала x(t?+?) в изображение X(k, t?). Аналогично, прямое преобразование временной функции x(t?-?) в область изображений задается выражением (2.5). Величины дискретных функций X(k, t?) и при целочисленных значениях аргумента k называются дискретами соответствующих дифференциальных спектров.
Переход из области изображений во временную область осуществляется с помощью обратных дифференциальных преобразований
, (2.6)
. (2.7)
Определения, основные свойства и математические операции смещенных дифференциальных преобразований описаны в Приложении А.
В дальнейшем полагаем, что функции времени, описывающие процессы оптимального управления в задаче (2.1)-(2.3), являются аналитическими. Вектор оптимального управления, обеспечивающий решение задачи (2.1)-(2.3), будем искать в классе аналитических функций u(t, A), где A=(a1, a2,...,aN) - вектор свободных параметров, подлежащий определению.
Применив дифференциальные преобразования (2.4), (2.5) к функции u(t, A) с выбранной аналитической структурой, получим ее дифференциальные спектры
, (2.8)
. (2.9)
Переведем векторное дифференциальное уравнение (2.1) в область изображений дифференциальными преобразованиями вида (2.4) и (2.5). В результате получим две формы уравнения (2.1)
, (2.10)
,(2.11)
где ; TC и - ДТ-изображения временного аргумента соответственно на интервалах [0, H1] и [0, H2];
функция F представляет ДТ-изображение функции-оригинала f;
выражение (2.11) получено после эквивалентных преобразований левой части уравнения (2.1) с последующим переводом в область изображений производной по временному аргументу ?.
Последовательно присваивая целочисленные значения аргументу k=0,1,2,3,..., по рекуррентному выражению (2.10) от начального условия X(0)=x? определяем дискреты дифференциального спектра X(k, t?, x?, A) решения x(t) уравнения (2.1) на отрезке H1=T-t?. Аналогичным образом по выражению (2.11) находим дискреты дифференциального спектра представляющие в области изображений решение x(t) уравнения (2.1) на отрезке H2=t?-t0.
Обратные преобразования (2.6), (2.7) позволяют выразить граничные значения решения уравнения (2.1) в виде
, (2.12)
. (2.13)
Выражение (2.13) представим в виде n-мерного векторного уравнения
. (2.14)
В частных случаях из уравнения (2.14) удается найти в явном виде вектор x?( t?, A, x0) и исключить его из выражения (2.12). Тогда подстановка (2.12) в уравнение (2.2) преобразует терминальное условие к q-мерному векторному уравнению
S[x(T, A), T]=0. (2.15)
Если размерность N вектора A выбирается равной q-1, то уравнение (2.15) определяет граничное время T и все компоненты вектора A, который формирует закон управления u(t, A), решающий задачу терминального управления (2.1), (2.2). В общем случае задача терминального управления (2.1), (2.2) сводится к системе уравнений, состоящей из терминального условия (2.2) вида
S[x(T, x?, A), T]=0 (2.16)
и уравнения (2.14) при N=q-1. Система уравнений (2.14), (2.16) имеет размерность n+q и позволяет найти n-мерный вектор x?, граничное значение времени T и N=q-1 компонент вектора свободных параметров A. Задача терминального управления (2.1), (2.2), которая с помощью дифференциальных преобразований (2.4), (2.5) сведена к решению уравнения (2.15) либо в общем случае - к системе уравнений (2.14), (2.16), имеет важное практическое значение для управления подвижными объектами [64].
Рассмотрим другой частный случай, часто встречающийся в практических приложениях. Решим задачу оптимального управления (2.1), (2.3) без терминальных условий (2.2). Предварительно выразим функционал (2.3) через дифференциальные спектры (2.8) - (2.11). С этой целью отрезок интегрирования t?[t0, T] разобьем на два интервала [t0, t?] и [t?, T]. На интервале [t0, t?] преобразуем определенный интеграл по правилу подстановки , а на интервале [t?, T] используем подстановку t= t?+?. Затем, учтем соо