РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА І РОЗВ'ЯЗУЮЧІ
РІВНЯННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ПЕРЕМІЩЕННЯМИ
В'ЯЗКОПРУЖНИХ ДИСКІВ
2.1. Постановка задачі оптимізації переміщень
Елементарні розрахунки посадки дисків з допомогою температурного поля без дослідження можливості економії енергії зроблені в роботі [15]. В монографіях [69], [70] досліджується управління напруженнями і переміщеннями в елементах конструкцій з допомогою температурних полів, які знаходять в результаті розв'язування обернених задач термопружності. Оптимізації керування напружено-деформованим станом тонких дисків присвячена стаття [2].
Технологічні задачі, пов'язані із створенням необхідного поля переміщень при умові мінімальних затрат енергії, вивчені недостатньо. Одним із ефективних методів створення переміщення є нагрів. А тому важливо в рамках теорії малих переміщень і деформацій побудувати основні рівняння, граничні і часові умови для знаходження розподілу теплових джерел з метою створення таких переміщень, що задовольняють наперед заданій умові задачі. Така постановка задач зустрічається в технологічних процесах посадки, рихтовки та інших. Важливо підкреслити, що задачі такого типу при мінімальних енергетичних затратах будуть розв'язуватися вперше.
Надалі ми зосередимось тільки на задачах посадки круглих дисків. Викладки будемо проводити для дисків із в'язкопружних матеріалів через те, що в процесі нагріву матеріали можуть проявляти як пружні так і в'язкі властивості.
2.2. Основні рівняння термов'язкопружності для дисків.
Нехай тонкий кільцевий диск має товщину і радіуси внутрішнього і зовнішнього контурів відповідно і . Сектор диску знаходиться під дією теплових джерел з інтенсивністю .
Потрібно знайти режим нагріву, при якому за час термообробки отримується задане або близьке до заданого поле переміщень при мінімальних енергетичних затратах.
Розглянемо надалі випадок, коли напружений стан диска визначається напруженнями , а деформований стан диска, віднесеного до циліндричної системи координат , визначається деформаціями які пов'язані з переміщеннями ( ) залежностями [102]:
; ; , (2.1)
де - компоненти переміщень в довільній точці серединної поверхні диска в радіальному та кільцевому напрямку.
Рівняння рівноваги елемента диску мають вигляд
; , (2.2)
в яких - компоненти тензора напружень, які діють в довільній точці диска.
Фізичні співвідношення для в'язкопружного тіла приймаємо згідно моделі Максвелла, з допомогою якої можна в цілому або кусково добре описати властивості матеріалу важливих конструктивних елементів [104]
;
. (2.3)
У формулі (2.3) введено наступні позначення - час релаксації напружень, - коефіцієнт в'язкості при зсуві, - модуль зсуву, , - модуль Юнга, - коефіцієнт Пуассона, - температура у довільній точці диска, - коефіцієнт лінійного розширення матеріалу. Крапкою зверху позначено швидкості зміни відповідних величин в часі.
Вважаємо, що має місце повна симетрія процесу нагріву і теплообміну із зовнішнім середовищем відносно серединної площини диска. Тоді рівняння теплопровідності для усередненої по товщині диска температури при умові , що на поверхні диска здійснюється конвективний теплообмін із зовнішнім середовищем з однаковим коефіцієнтом теплообміну , має вигляд [114]
, (2.4)
де - коефіцієнт температуропровідності, , - питома теплоємність, - густина матеріалу диска. Оператор записується так
, (2.5)
в якому , - коефіцієнт тепловіддачі на поверхнях , - коефіцієнт теплопровідності матеріалу диска.
В рівнянні (2.4) зроблено позначення
, , (2.6)
- температура в довільній точці диска,
- температура навколишнього середовища.
Для знаходження однозначного розв'язку приведеної системи рівнянь повинні бути задані граничні і початкові умови. В нашому випадку задача теплопровідності не зв'язана з задачею термов'язкопружності і тому приведемо спочатку крайові умови для задачі теплопровідності.
Нехай в початковий момент часу функції стану дорівнюють нулеві, температура диску постійна і рівна температурі зовнішнього середовища . Тоді мають місце такі початкові умови
, , , , , при . (2.7)
Якщо на краях диска і мають місце умови конвективного теплообміну з коефіцієнтом теплообміну , то відповідні граничні умови запишуться так
при ; (2.8)
при , . (2.9)
Граничні умови задачі термов'язкопружності залежать від умов закріплення і навантаження відповідних країв диска. Так, наприклад, якщо край вільний від навантаження і закріплення, то граничні умови такі
, . (2.10)
Аналогічно для вільного від закріплення і навантаження краю маємо
, . (2.11)
Якщо край диска закріплений і не має переміщення, то на цьому краї
, . (2.12)
Можуть бути випадки, коли переміщення деякого краю обмежені в одному напрямку і вільні в другому. Наприклад, якщо краї і закріплені від переміщення в кільцевому напрямку і вільні в радіальному напрямку, то граничні умови будуть такими
, . (2.13)
Очевидно, що можуть бути і інші умови закріплення.
Рівняння (2.1) -(2.4) разом з граничними і часовими умовами складають замкнуту систему рівнянь задачі термов'язкопружності, яка дає змогу при заданому розподілі інтенсивності теплових джерел знайти температуру, напруження і переміщення в кожній точці диска і для будь-якого моменту часу.
2.3. Функціонал мети. Розв'язуючі рівняння, граничні та часові умови
В залежності від того, яка мета переслідується при розв'язуванні задачі, повинен бути математично сформульований критерій якості. Так в задачах посадки або рихтовки тонких елементів конструкцій та деталей машин виникає потреба створення необхідних переміщень по всій області деталі чи деякій її частині. В багатьох випадках технологічно це робиться за допомогою температурного поля, яке створюється температурним
- Київ+380960830922