РАЗДЕЛ 2
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА МАГНИТОУПРУГОСТИ
2.1. Основные соотношения трехмерной задачи магнитоупругости
Рассмотрим однородное пьезомагнитное (магнитострикционное) тело, находящееся под действием внешних механических сил и магнитных полей. Будем считать, что
1. Деформации тела малы и подчиняются обобщенным уравнениям магнитоупругого состояния;
2. Объемные силы, начальная намагниченность и электрические токи в теле пренебрежимо малы.
С учетом этих предположений определение магнитоупругого состояния (МУС) тела сводится к интегрированию системы уравнений, состоящей из уравнений равновесия сплошной среды, термодинамических уравнений магнитоупругого состояния, уравнений магнитостатики и соотношений Коши
, ,
;
,
,
,
,
,
,
,
,
;
, ,
, ;
, , ,
, , ;
, , .
Здесь , , , , , и , , , , , - компоненты тензоров напряжений и деформаций; , , , , , и - компоненты векторов индукции, напряженности и скалярный потенциал магнитного поля; - коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянной индукции; - пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженности при постоянных напряжениях и индукции; - коэффициенты магнитной восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях.
При этом имеют место уравнения совместности Сен-Венана
, ,
, ,
,
.
Уравнения в матричном виде записываются в виде
, ,
где
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ;
, , - соответствующие элементы матриц коэффициентов в соотношениях . Здесь и далее, повторяющиеся индексы означают суммирование по ним в соответствии с интервалом их изменения.
Решая систему , можно найти и такие формы зависимостей:
, ;
, ;
, .
Здесь - коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянной напряженности; и - модули упругости, измеренные при постоянной напряженности и индукции соответственно; - пьезомагнитные коэффициенты деформаций и индукции при постоянных напряжениях и напряженности; - пьезомагнитные коэффициенты упругости и напряженности при постоянных деформациях и индукции; - пьезомагнитные коэффициенты упругости и индукции при постоянных деформациях и напряженности; - коэффициенты магнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях; и - коэффициенты магнитной восприимчивости и проницаемости, измеренные при постоянных деформациях.
Пересчет постоянных уравнений МУС при переходе из одной формы записи к другой. Выражения , и были получены с помощью представления соотношений в виде системы уравнений с известными левыми частями и ее решения. Но связи между величинами, входящими в или , , и , можно установить и другим способом. Так, подставив из в выражения для по , получим . Сравнивая последнюю формулу с из и приравнивая в этих равенствах коэффициенты при и соответственно, находим
, .
Подставив выражение для по формулам в выражение для по , найдем . После сравнения этого выражения с аналогичным по , приходим к соотношениям
, .
Если выражения по подставить в формулы для по , то будем иметь . После сравнения полученного соотношения и выражения по получим
, .
Аналогичным образом, подставляя по в выражениях по , получаем . Сравнивая последние выражения с аналогичными по , будем иметь
, .
Из и , подставляя по в выражение по , получаем . Из этого выражения найдем
, .
Аналогично из и , подставляя по в выражения из , находим , тогда получим
, .
Таким образом, зная коэффициенты в одной из форм записи уравнений МУС , , или , можно найти коэффициенты другой.
Преобразование постоянных МУС при переходе к новой системе координат. Постоянные уравнений для системы обозначим , , . Введем систему координат , связанную с направляющими косинусами , , (табл. 1.1). В этой системе постоянные уравнений обозначим , , . Для системы имеем
,
,
.
;
.
По основным характеристикам для системы можно найти значения этих величин для новой системы координат [80]:
, . ; ,
, ; , ,
где - элементы -ой строки, -го столбца табл. 1.2; при или ; при ; при ; - элементы -ой строки, -го столбца табл. 1.1; , , ; , , .
Уравнения в новой системе записываются так:
, .
Учитывая выражения - в и сравнивая в полученных равенствах коэффициенты при одинаковых величинах, будем иметь
, ,
.
Из формул следует, что по коэффициентам уравнений МУС для некоторой системы координат можно найти эти коэффициенты для любой другой системы. Эти формулы можно использовать и при изучении уравнений МУС для частных случаев анизотропии материалов тел.
Тело с одной плоскостью материальной симметрии. Пусть в каждой точке тела имеется плоскость материальной симметрии, перпендикулярная к оси (тело моноклинной системы, классов , или [119]). Наряду с введем систе