РАЗДЕЛ 2
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ОБЛАСТИ С МНОГОУГОЛЬНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Как следует из раздела 1, задача о кручении призматического стержня может быть сведена к двумерной задаче Дирихле или Неймана, или смешанной (при наличии плоскостей симметрии) граничной задаче для уравнения Лапласа (Пуассона) в зависимости от выбора функции, относительно которой она формулируется. В настоящем разделе, отвлекаясь от механического содержания искомой функции, мы формально строим решение такого типа задач в области, ограниченной конечным многоугольником произвольной формы. Многоугольник представляется в виде цепочки вырожденных эллипсов, которые имеют общие конечные точки (фокусы). Рассматриваются как внутренняя, так и внешняя задачи. Последняя потом используется в разделе 4, при нахождении приближенного решения задачи кручения. Обобщение развитой теории на многосвязные области выполнено в разделе 3 непосредственно для задач кручения.
Построение решения основывается на методе произведения областей. Этот метод был развит ранее в теории дифракции электромагнитных волн для уравнения Гельмгольца [94-97]. Метод применим, когда область определения решения может быть представлена в виде общей части вспомогательных областей, в которых уравнение допускает разделение переменных. При этом условии граница рассматриваемой области состоит из полных координатных линий, используемых систем координат, или их частей. Если границы вспомогательных областей только частично совпадают с границей рассматриваемой области, то для обеспечения единственности решения граничные условия задачи должны быть продолжены на другие их части. Это может быть сделано не единственным образом, что предоставляет некоторые возможности по управлению свойствами получаемого решения. Если же область определения ограничена полными координатными поверхностями, то такой подход ведет к известному [98-100] методу теорем сложения.
2.1. Постановка задачи
Рассмотрим некоторую конечную или бесконечную область (рис. 2.1),
Рис.2.1. Геометрия границ: а) - внутренняя задача, б) - внешняя задача
ограниченную многоугольным контуром. Введем основную систему прямоугольных координат , а также поставим в соответствие каждому -тому звену граничного контура локальную систему так, чтобы сторона звена была обращена к области определения искомой функции, а , где и - соответствующие орты. Начало отсчета такой системы поместим в центре звена. Обозначим упомянутую сторону звена через :
(2.1)
Противоположную его сторону будем обозначать через .
Требуется найти решение уравнения Лапласа
(2.2)
удовлетворяющее граничным условиям
(2.3)
Здесь - заданные функции, - половина длины - го звена, - множество номеров звеньев граничного контура, на которых заданы граничные условия Дирихле, - то же для граничных условий Неймана. Обозначим также . В частном случае если ?, рассматривается задача Дирихле, если ? - Неймана. Для каждого звена контура введем свою локальную систему эллиптических координат , связанную с декартовой системой соотношениями [98]
(2.4)
(Система обсуждается детально в следующем параграфе). Это дает нам возможность рассматривать -ю сторону многоугольника, как предельное положение эллипса , когда . Область определения функции можно считать тогда общей частью некоторых (базовых) областей, каждая из которых представляет собой всю плоскость вне такого вырожденного эллипса.
Из теории метода Шварца-Неймана [101] известно, что решение линейного однородного дифференциального уравнения в области, являющейся общей частью других областей, может быть представлено в виде суммы функций, определенных и удовлетворяющих этому уравнению в каждой из таких областей. (Сам метод являет собой некоторую специальную итерационную процедуру для двух областей, которую мы не рассматриваем). Опираясь на этот факт, будем искать решение поставленной краевой задачи в виде суммы
(2.5)
где каждая из функций определена и удовлетворяет уравнению Лапласа в своей базовой области, введенной выше. Как для внутренних, так и для внешних задач функция продолжается формулой (2.5) на всю плоскость, исключая множество точек граничного контура. Для обеспечения однозначности решения мы в обоих случаях
1) добавим условие на бесконечности
(2.6)
(- точка наблюдения)
2) доопределим граничные условия на стороне граничного контура полагая
(2.7)
Другие возможные варианты граничных условий, которые можно ввести вместо (2.7) в настоящем разделе не рассматриваются. Отметим, что построенное таким образом решение будет справедливо и в случае, когда граничный контур разомкнут, если только граничные значения заданы так, что выполняется условие (2.7).
Если нам требуется найти решение уравнения Пуассона и известно какое-либо его частное решение (что обычно имеет место в интересующих нас задачах), то может быть найдено как , где является решением рассматриваемой краевой задачи для уравнения Лапласа с измененными очевидным образом функциями в (2.3).
Итак, задача состоит в построении определяемой формулой (2.5) функции , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (2.2) и граничным условиям (2.3), (2.6), (2.7).
2.2. Эллиптическая система координат
Рассмотрим более подробно систему эллиптических координат (рис. 2.2). Опуская в формулах их связи (2.4) с декартовыми координатами индекс получим
Рис.2.2. Эллиптическая система координат
(2.8)
Координатные линии образуют семейство конфокальных эллипсов с расстояниями между фокусами равным . Кривые на плоскости образуют семейство ортогональных им гипербол. Координата из меняется от до , а принимает значения от до .
Отрезок оси абсцисс между фокусами и в дальнейшем будем рассматривать как вырожденный эллипс, т.е. предельное положение эллипса при . При этом его стороне в эллиптической системе координат отвечает множество точек , а стороне - множ