раздел 2.3).
Анализ волн в пластине показывает, что наиболее подходящий с точки зрения
раздельной регистрации мод является низкочастотная область, где существуют
только моды s0 и а0 ; в других областях существует большое количество мод, и их
влияние учесть в общем случае затруднительно.
С целью определения условий раздельного наблюдения мод s0 и а0 в настоящей
работе теоретически и экспериментально исследованы характеристики данных мод в
пластинах. Амплитуды упругих смещений и мощность мод волн Лэмба зависят от вида
и способа приложения возбуждающих усилий. Аналитические выражения и расчеты для
упругих смещений в случае произвольных сил в литературе отсутствуют, однако
известны исследования упругих смещений волн Лэмба при расположении источника
гармонической возбуждающей силы на поверхности пластины (задача Лэмба). Как
будет показано ниже, можно определить соотношение смещений мод s0 и а0 при
любом способе возбуждения.
Для этого введем скалярный j и векторный y потенциалы смещений, так что вектор
смещения частиц v запишется в виде
v = grad j + rot y .
Потенциалы j и y называются соответственно потенциалами продольных и сдвиговых
волн и удовлетворяют (для гармонических процессов) следующим волновым
уравнениям:
где – волновые числа соответственно продольных и поперечных волн; w – круговая
частота; r – плотность среды;
и – упругие постоянные Ламе.
Компоненты смещения частиц Ux и Wz по осям x и z соответственно и компоненты
напряжений sx , sz , txz можно представить через j и y по формулам
Схема задачи Лэмба показана на рис.2.17. Возбуждающая сила на единицу площади (
у0f(x) ) приложена к поверхности z = d в области – а < х < а (на рисунке
заштрихована). Для определенности возбуждающие силы выбраны нормальными к
поверхности. А – точка на поверхности пластины с координатами (х, d), в которой
вычислялись характеристики волн. Граничные условия на поверхностях пластины z =
± d имеют вид
фzx = 0 при z = d ,
уz = фxz = 0 при z = – d .
Рис.2.17. Общая схема постановки задачи Лэмба
В области х > а представим j и y в следующей форме:
где As, Ba, Ca, Ds – произвольные постоянные, которые определяются из
граничных условий; k – волновое число волн Лэмба;
; множитель для краткости опущен.
Очевидно, эти выражения удовлетворяют волновым уравнениям, представленным выше.
Получим выражения для нормальных (Wz) и касательных (Ux) смещений к поверхности
пластины в модах s0 и а0 . На поверхности пластины при z = d
; (2.4)
; (2.5)
; (2.6)
, (2.7)
где м – модуль сдвига материала пластины;
ks,a = щ / хs,a – волновые числа моды в пластине, щ – частота;
kt = щ / хt – волновые числа сдвиговой волны в безграничной среде;
kl = щ / хl – волновые числа продольной волны в безграничной среде,
хs,a , хt , хl – скорости распространения моды в пластине, сдвиговой и
продольной волн в безграничной среде соответственно;
, , ;
, .
В этих выражениях волновые числа моды s0 находятся из дисперсионного уравнения
= 0, а волновые числа моды а0 – из дисперсионного уравнения = 0.
Из выражений (2.4) – (2.7) следует, что смещения в модах в зависимости от
частоты описываются безразмерными частотными функциями:
зависящими только от свойств волны в пластинах, и функциями и , которые
характеризуют возбуждение волн.
Средняя за период 2pf мощность, переносимая волной через поперечное сечение
пластины, равна
Из сравнения выражений для смещений и мощности видно, что мощность и нормальные
упругие смещения на поверхности описываются одними и теми же частотными
функциями fw и F(k). Если F(k) не зависит от частоты, т.е. возбуждение
широкополосное, функции и полностью определяют частотные зависимости нормальных
смещений и энергию, переносимую волнами. Функция возбуждения не зависит от
частоты при действии сосредоточенной силы. В случае произвольного возбуждения
(не обязательно поверхностного) отношение нормальных смещений на поверхности
для различных мод можно представить в виде
где и – функции, характеризующие возбуждение волн. Расчет этих функций в
произвольном случае затруднен, но экспериментально при известных функциях и ,
измеряя , легко определить отношение / и найти, какая мода преимущественно
излучается при возникновении АЭ. Таким образом, зная функции , , можно
определить полосу частот, в которой преобладает та или иная мода, и, используя
эти функции, можно провести модовый анализ сигналов АЭ. В данной работе
рассчитаны зависимости , , а также , от безразмерной частоты kt d.
При расчетах коэффициент Пуассона выбирался равным 0.32, соответствующим
материалу АМг6. Вычисления проведены на ПЭВМ. Графические зависимости
нормальных и касательных смещений в модах s0 и а0 от частоты kt d представлены
на рис.2.18. Поскольку обычно регистрируются нормальные смещения к
поверхности, то в дальнейшем проведем анализ нормальных смещений.
Рис.2.18. Расчетные зависимости нормальных (а) и касательных (б) смещений на
поверхности пластины
Частотную область существования мод s0 и а0 можно разделить на три области:
первая – низкочастотная, kt d = 0…2; вторая – средних частот, kt d = 2…3;
третья – kt d = 3.0…3.4. В низкочастотной области смещения в моде а0
преоблада-
ют над смещениями в моде s0 , причем с ростом частоты kt d отношение /
уменьшается; например, при kt d = 0.5 это отношение достигает 80. В области
средних частот смещения в моде s0 преобладают над смещениями в моде а0 , при-
чем отношение / максимально в области kt d = 2.5 и численно равно 2.5.
Для вы