Розділ 2
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ДЕФОРМУВАННЯ
ТРУБОПРОВІДНОЇ ОБВ’ЯЗКИ ГПА
2.1 Математична модель процесу деформування труб з криволінійною віссю та
змінним поперечним січенням
Першим етапом розв’язку задачі є створення математичної моделі трубопровідної
обв’язки ГПА на прикладі її елементу - нагнітального патрубка головного
масляного насоса в початковий та контрольний моменти часу.
Вважається, що в початковий момент часу досліджуване тіло не зазнає
навантажень, деформації та напруження, що наявні в тілі, або значення цих
величин дорівнюють нулю, або вважаються відомими. Елемент обв’язки ГПА в
початковий момент часу моделюється як циліндричне тіло з криволінійною віссю та
змінною формою поперечного січення, яке поділене на 6 ділянок (I, II, III, IV,
V, VI, рис. 2.1) кожна з яких має наступну геометричну конфігурацію [97].
Ділянки I, IV та VI є прямолінійними циліндричними тілами (див. рис. 2.2) з
відомими геометричними характеристиками: довжиною L, зовнішнім та внутрішнім
радіусами – R1, R2. Для їх параметричного подання використовується циліндрична
система координат, в якій координати точок ділянок задаються за формулами:
(2.1)
де – відповідно координати початкової та кінцевої точок ділянки;
– зовнішній та внутрішній радіуси;
Ділянка II (див. рис.2.3) є конічним циліндричним тілом (з відомими
геометричними характеристиками L, RM, RB), для параметризації якої
використовується наступна система координат:
Рис. 2.1 – Елемент трубопровідної обв’язки ГПА – нагнітальний патрубок
головного масляного насоса
Рис. 2.2 – Прямолінійна ділянка
(2.2)
де S0 та S1 – повздовжня координата початкової та кінцевої точки осі ділянки;
d – товщина стінки.
Рис. 2.3 – Конічна ділянка
Функція задається наступним чином:
(2.3)
де та – внутрішній радіус початкової та кінцевої точки конічної
ділянки.
Ділянки III та V є тороподібними ділянками (рис.2.4), для їх параметризації
використовується тороподібна система координат, в якій координати точок труби
записуються у вигляді:
де – початковий радіус кривини тороподібної ділянки, який є відомою
геометричною характеристикою; – величини кутів, які визначають початкову та
кінцеву точки тороподібної ділянки.
Так, для ділянки III: = 0, ; для ділянки V: = 0, .
В деякий контрольний момент часу, вважається, що досліджувана трубопровідна
обв’язка ГПА зазнає вібраційних навантажень, внаслідок чого виникають
вібропереміщення (Sx, Sy, Sz) її точок, причому вказані переміщення не залежать
від місцезнаходження точки на досліджуваному тілі [100].
Вважатимемо [99], що для тороподібних ділянок вимірювання переміщень
проводиться в трьох точках, перша та третя точка вибираються на початку та в
кінці відрізку, що має тороподібну конфігурацію, друга – точка, яка
визначається для недеформованої ділянки ІІІ значенням кута ; а для ділянки V –
. Для побудови параметричного подання деформованої тороподібної ділянки
необхідно визначити новий радіус кривини траєкторії .
В початковий момент часу через осі ділянок I, II, III, IV (рис. 2.5) та ІV, V,
VІ (рис. 2.6) проходять деякі площини XY тривимірного простору, а тому є
відомими координати трьох точок A(;0;0), B(cos(j/2);sin(j/2);0),
C(sin(90o-j);cos(90o-j);0) (див. рис. 2.7), в яких буде здійснюватись
вимірювання переміщень.
Для ділянки ІІІ:
– для ділянки V:
В контрольний момент часу під дією вібраційних навантажень відбудеться перехід
точок A, B, C в точки A1(x1;y1;z1), A2(x2;y2;z2), A3(x3;y3;z3) (див. рис. 2.8),
причому:
– для ділянки ІІІ:
– для ділянки V:
Рис. 2.5 – Просторове представлення осі ділянки ІІІ
Рис. 2.6 – Просторове представлення осі ділянки V
Рис. 2.7 – Просторове представлення осі тороподібної ділянки
Рис. 2.8 – Зміщення осі тороподібної ділянки відносно
початкового положення
в результаті чого тороподібна ділянка матиме новий радіус кривизни – (рис.
2.8), для визначення якого необхідно знайти радіус кола, що проходить через три
точки A1, A2, A3. Визначимо радіус кола, що проходить через вказані три точки.
Нехай координати центра вказаного кола є невідомими: O1(x;y;z). Тоді
справедлива наступна система рівнянь, яка одержується на основі рівності:
, (2.5)
з використанням квадратів довжини вказаних відрізків:
, (2.6)
яка може бути подана у вигляді:
, (2.7)
де:
Система (2.7) встановлює рівняння прямої, що є перетином обох площин, її
параметричне подання записується у вигляді:
. (2.8)
Рівняння площини, що проходить через точки A1, A2, A3, записується у вигляді:
(2.9)
де
(2.10)
Підставляючи (2.8) в рівняння (2.9) з урахуванням (2.10) одержується рівняння
для визначення координати точки перетину площини (2.9) з прямою (2.8), яка і є
центром шуканого кола. Якщо розв’язком одержаного лінійного рівняння виду
R1·z=P1 є точка z=z0, то точка О1 матиме координати:
(2.11)
Таким чином, для визначення одержується формула:
(2.12)
де xi, yi, zi – координати будь-якої з точок A1, A2, A3.
Слід зауважити, що формули (2.5)-(2.12) можуть бути використані і для
знаходження величини в формулі (2.4) в тому випадку, коли величина є невідомою
і знаходиться за координатами трьох точок досліджуваної ділянки. Таким чином,
після того, як досліджувана ділянка зазнала вібронавантажень, що обумовило
появу вібропереміщень та деформацій, параметричне подання ділянок ІІІ та V в
контрольний момент часу може бути записан