РОЗДІЛ 2. Вимірювання розмірів частинок порошкових матеріалів
2.1. Розвиток теорії розсіяння світла сферичними частинками до задач вимірювання розмірів порошків.
Математичний опис всіх класичних явищ ґрунтується на рівняннях Максвела для макроскопічних електромагнітних полів у внутрішніх точках середовища [27]. Ці рівняння в системі СІ мають вигляд:
,
,
,
,
де t - час, E та H - вектори напруженостей електричного та магнітного полів відповідно, B - магнітна індукція, D - вектор електричного зміщення, J - густина вільних зарядів. Векторні поля, що входять у рівняння - пов'язані між собою такими співвідношеннями:
,
,
де P - електрична поляризація (середній електричний дипольний момент на одиницю об'єму), M - вектор намагніченості (середній магнітний дипольний момент на одиницю об'єму), ?0 та ?0 - діелектрична та магнітна проникності вільного середовища (вакууму).
Рівнянь - не достатньо для однозначного опису електричних та магнітних полів, а тому вони повинні бути доповнені так званими матеріальними рівняннями:
,
,
,
де ? - провідність, ? - коефіцієнт поляризації, ? - магнітна проникність.
Усі параметри електромагнітної хвилі, які можуть бути виміряні без застосування специфічного обладнання, зводяться до визначення складових вектора Стокса [28]. Для означення цього вектора використаємо сферичну систему координат з центром у точці спостереження. Оскільки ми вважаємо, що середовище не поглинає електромагнітне випромінювання, складова вектора електромагнітної напруженості в напрямку поширення (рис. 2.1.) дорівнює нулю, а електричне поле в точці спостереження дорівнює , де та - ? і ? - складові вектора електричної напруженості.
Нехай плоска електромагнітна хвиля поширюється в середовищі з дійсними ?, ? та k де k - хвильове число. Ця хвиля має такий вигляд: , де ? - кутова частота електромагнітної хвилі, t - час.
До найпростішого повного набору лінійнонезалежних квадратичних комбінацій компонентів вектора напруженості електричного поля належать такі чотири величини:
.
Параметри Стокса I, Q, U та V, означені як елементи вектора-стовпця, виглядають так:
,
де I - інтенсивність світла, а Q, U, V - складові, що визначають стан поляризації світлового пучка [28].
У цій роботі розглянуто випадок розсіяння світла частинками сферичної форми. Це зумовлено тим, що для багатьох прикладних задач, щоб отримати прийнятні результати, достатньо апроксимувати форму частинок сферою. Таким задачами є вимірювання для різноманітних аерозолів, адже відомо, що форма крапель рідини в зваженому стані мало відрізняється від сферичної. При перемеленні, що часто трапляється у технологічних процесах, різноманітних матеріалів форма частинок прямує до сферичної. З іншого боку ми вимірюємо інтенсивність розсіяного світла лише на достатньо великих відстанях відносно розмірів самих частинок. При вимірюванні інтенсивності світла, розсіяного частинкою з характерним розміром 1 мкм на відстані 1 см, відношення відстані від частинки до чутливого елемента до розмірів самої частинки становить 10000 разів. При таких співвідношеннях ми можемо знехтувати впливом різноманітних незначних відхилень форми частинки від сферичної. Крім цього випадкова орієнтація частинок в просторі також дає можливість знехтувати певними відхиленнями від сферичної форми.
Єдиної та вичерпної теорії розсіяння світла несферичними частинками на сьогодні не існує. Задача розсіяння світла частинками-фігурами - геометричними тілами правильної форми, такими як сфероїди, еліпсоїди та ін., розв'язана на сьогодні точно [29]. Однак використання таких апроксимацій пов'язане зі значними розмірами обчислень та потребує великих затрат машинного часу і у більшості випадків є недоцільними [30].
Обраний метод визначення ґрунтується на вимірюванні кутової залежності інтенсивності розсіяного частинками світла. Розсіяне частинками світло залежить від фізичних параметрів частинок, зокрема, від їх розмірів. Для сферичних частинок їх радіус містить вичерпну інформацію про розміри. Далі під а будемо розуміти радіус частинки.
Розсіяння світла однією частинкою точно описується теорією Мі [25, 28, 32].
Інтенсивність світла дорівнює модулю вектора Пойнтінга:
,
де Es - напруженість електричного поля, Hs* - комплексно спряжена напруженість магнітного поля. Вираз для Es та Hs з теорії Мі має вигляд:
,
де , , , де ? та ?1 - магнітна проникність середовища та частинки відповідно, jn та hn - нормовані сферичні функції Бесселя першого та третього роду відповідно, , де N1 та N - показники заломлення частинки та середовища відповідно; , де а - радіус частинки, ? - довжина електромагнітної хвилі, Ne1n, Mo1n, No1n та Me1n - векторні сферичні гармоніки, що дорівнюють:
,
,
,
,
де , а , та - приєднана функція Лежандра, - одна зі сферичних функцій Бесселя, ? = kr, де k - хвильове число, r - координата r, - одиничні вектори в сферичній системі координат.
Розглянемо функцію двох змінних K(?,a), де ? - координатний кут, а a - параметр розміру частинки. Фізично K(?,a) визначає значення інтенсивності розсіяного світла для певного кута ? частинки радіуса a. Фактично K(?,a) залежить від координатних кутів ?, ? та радіуса вектора r сферичної системи координат, але при виборі певної схеми вимірювання інтенсивності розсіяного світла можна уникнути залежності від r. Залежність розсіяного поля за кутом ? не містить інформації про фізичні властивості частинок. Це видно з формул - . А тому кут ? можна вибрати довільний.
Враховуючи, що , можна стверджувати:
,
,
де ES? та ES? - складові вектора ES в сферичній системі координат, та , а .
Таким чином
.
Функція K(?,a), якщо кут ? дорівнює нулю, буде мати вигляд: