РОЗДІЛ 2
БАГАТОВИДИ ЯК УЗАГАЛЬНЕНІ ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ СКЛАДНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
2.1. Загальні положення
За визначенням, багатовид, взагалі - це геометрична k - вимірна фігура, взагалі криволінійна, n - вимірного простору (1 ? k ? n - 1). При k = 1 - це крива лінія, при k = n - 1 - гіперповерхня.
Багатовид розглядається як неперервна сукупність точок (взагалі, будь-яких однорідних об'єктів), що допускає введення локальної параметризації. Іншими словами, дозволяє будь-який стан залежності між багатьма змінними описати набором чисел-координат (координатний спосіб вираження).
Взагалі, k - багатовид виражається системою n - k рівнянь:
???1 (xl, ... , xs) = 0,
.............................. (2.1)
?n-k (xp, ..., xq) = 0,
l, s, p, q = 1, ..., n;
Зокрема, коли на кожну з функцій оптимізації впливають одночасно всі k аргументів, система рівнянь k - багатовиду має вигляд:
???1 (xl, ... , xk, xk+1) = 0,
..................................... (2.2)
???n-k (x1, ..., xk, xn) = 0.
Кожне з рівнянь системи (2.1) в геометричному розумінні розглядається в обхоплюючому n - просторі як рівняння проекціюючого гіперциліндра. На взаємному перетині всіх n - k гіперциліндрів виділяється k - багатовид як геометрична модель (графік) залежності (2.1).
З точки зору нарисної геометрії кожне з рівнянь системи (2.1) розглядається як проекція k - багатовиду на відповідні n - k координатні підпростори декартової системи координат. Кожна така проекція може розглядатись як результат перетину проекціюючих гіперциліндрів з відповідними координатними підпросторами.
Рис. 2.1
На рис. 2.1. приведена загальна схема процесу побудови проекцій багатовиду на прикладі 2 - вимірного багатовиду 4 - вимірного простору. У наведеному прикладі, що відповідає випадку k = 2 і n = 4, маємо систему двох рівнянь (n - k = 4 - 2 = 2) або ж систему із двох проекцій на відповідні 3 - вимірні координатні підпростори, а саме: 2 - підбагатовид Б12 (x1, x2, x3) у 3 - вимірному координатному підпросторі Ox1x2x3 і підбагатовид Б22 (x1, x2, x4) - у підпросторі Ox1x2x4. Відповідними їм проекціюючими гіперциліндрами є Ц13 та Ц23, твірні яких паралельні координатним підпросторам, доповняльним до відповідних координатних підпросторів проекцій. У даному випадку твірними гіперциліндра Ц13 є прямі, паралельні координатній осі Ox4, а гіперциліндра Ц23 - прямі, паралельні координатній осі Ox3 . На взаємному перетині гіперциліндрів Ц13 і Ц23 одержуємо шуканий багатовид Б2 (x1, x2, x3, x4).
Якщо привести у взаємно-однозначну відповідність неперервну сукупність точок k - багатовиду з усіма можливими станами взаємної залежності між змінними досліджуваної системи, то це дає можливість перефразувати технічні задачі на геометричну мову і таким чином формалізувати і постановку технічних задач, і їх розв'язок.
2.2. Класифікація складних залежностей багатьох змінних
У залежності від природи змінних багатопараметричної системи, що досліджується, має місце відповідний характер їх взаємного впливу. В цьому контексті виділяються три групи залежностей:
I група. Із n змінних багатопараметричної системи одна змінна (функція) залежить від решти незалежних змінних (аргументів). У математичній термінології такі залежності відповідають простим функціям багатьох змінних. Геометричною моделлю такої залежності є певна гіперповерхня фазового простору всіх змінних. Система рівнянь (2.1) у цьому випадку зводиться до одного рівняння (оскільки тут k = n - 1, то n - k = n - - (n - 1) = n - n + 1 = 1).
II група. Всі n змінні багатопараметричної системи розділяються на m функцій і k аргументів (m + k = n), що одночасно впливають на всі функції. Таким залежностям відповідають складні функції багатьох змінних. Геометричною моделлю цієї залежності є певний k - багатовид, що визначається системою n - k рівнянь (2.2).
III група. Всі n змінні системи розділяються на m функцій k аргументів, що одночасно пов'язані взаємною залежністю так, що на одні функції впливає одна група аргументів, а на інші - інші групи. Тобто, на m функцій впливають ті ж k аргументів, але в різних комбінаціях. Геометричною моделлю залежності є певний k - багатовид, що визначається системою n - k рівнянь (2.1).
У прикладній геометрії найбільше досліджена I група залежностей, оскільки вона є найпростішою. II групі залежностей присвячені тільки окремі наукові праці [33 ??35]. Більшість же дослідників розбиває такі залежності на частини, кількість яких рівняється кількості функцій оптимізації, і таким чином зводять їх до I групи. Однак, такий підхід не дозволяє строгого, з точки зору геометрії, розв'язання багатокритеріальних задач з багатьма функціями оптимізації одночасно.
Що ж стосується III групи залежностей, то таких складних одночасних зв'язків між багатьма змінними поки що взагалі ніхто не розглядав ні в прикладній геометрії, ні в математичному аналізі. Тому й математичних відповідників їм поки що не існує.
Умовимся називати такі залежності складними функціями багатьох змінних при впливі їх на функції у різних комбінаціях.
Основною ціллю дослідження даної роботи нами вибрані залежності II i III груп залежностей між багатьма змінними, пошук відповідних для них геометричних моделей у вигляді багатовидів n - вимірного фазового простору всіх змінних досліджуваної системи та розробку формалізованих алгоритмів розв'язування різних технічних задач, включаючи і багатокритеріальні задачі оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно.
2.3. Прості (I гр.) та складні (II гр.) залежності багатьох змінних
Для простої залежності між багатьма змінними, коли маємо одну функцію, що залежить від n - 1 змінних-аргументів, зв'язок між ними записується у вигляді:
F(xi) = 0, i = 1, ..., n; (2.3)
або у явному вигляді:
xn = ??(xi, ... , xn-1) (2.3a)